Fizyczne podstawy ogólnej teorii względności Denis Sciama

################################################################################

Fizyczne podstawy ogólnej teorii względności

Denis Sciama

Tytuł oryginału : „The phisical foundations of general relativity”

Doubleday & Company Inc 1969

Tłumaczenie wspomagane tłumaczeniem rosyjskim Moskwa Mir 1971

********************************************************************************

Tłumaczenie z rosyjskiego: R. Waligóra

Ostatnia modyfikacja : 2012-02-10 Tłumaczenie całości książki.

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Wstęp własny.

Chociaż książka Denisa Sciamy w wielu aspektach jest już przestarzała ( myślę tutaj głownie o postępie jaki dokonał się w eksperymentalnym sprawdzaniu OTW i postępie w astronomii i astrofizyce ) stanowi ona jednakże przykład

niebanalnego połączenia intuicji fizycznych i rozważań jakościowych prowadzonych w ramach teorii grawitacji ( newtonowskiej i einsteinowskiej ). Szczególnie cenne wydają się rozważania dotyczące zagadnienia Macha m.in.

pochodzenie i szacunki wielkości sił bezwładności.

Autor rachując „na palcach” pokazuje w jaki sposób szybko i jakościowo oceniać rzędy wielkości dla omawianych danych fizycznych, łącząc przy tym prostotę i elegancje. Teorię Einsteina (OTW ) traktuje jako naturalną konsekwencje uogólnienia teorii Newtona, nie przeciążając czytelnika ani używanym aparatem matematycznym ( którego oprócz prostych zależności właściwie nie stosuje ), ani fizycznymi detalami ( jedynie proste obserwacje ). Jak można się

przekonać najważniejsze jest czysto fizyczne ujęcie zagadnienia tj. odpowiednia zgodność wprowadzanej teorii z danymi obserwacyjnymi, przy tym zgodność ta ma być zapewniona minimalnym kosztem tj. bez wprowadzania niepotrzebnych (nowych ) pojęć. Autor pokazuje jak z potocznych obserwacji np. toru ciał próbnych na Ziemi wyciągać daleko idące konsekwencje, lub dopasować je do nowej teorii.

Patrząc z tej perspektywy należy bacznie przypatrywać się tokowi myśli autora ( D. Sciama – był znanym i bardzo cenionym fizykiem angielskim ( Cambridge University 1926 – 1999 ). Nauczycielem i promotorem wielu bardzo znanych obecnie fizyków ) albowiem na jego podstawie możemy nauczyć się intuicyjnego myślenia fizycznego, bez zbytniego powoływania się na skomplikowany nieraz aparat matematyczny ( zwłaszcza w sytuacji kiedy temat rozważamy szacunkowo lub jakościowo )

Przed przeczytaniem przedstawionego tłumaczenia można zapoznać się z ogólnym wprowadzeniem do tematu ogólnej teorii względności.

Tekst : Podstawy Ogólnej Teorii Względności ( OTW)

Wszystkie cytaty z dzieła Newtona pt. „The Mathematical Principles of Natural Philosophy” pochodzą z polskiego tłumaczenia :

“Matematyczne zasady filozofii przyrody” -- Isaac Newton ; Copernicus Center Press 2011 i oznaczono je jako [ Principles + odnośnik do strony tłumaczenia polskiego ]

Skróty i oznaczenia zastosowane w tłumaczeniu.

CP – czasoprzestrzeń.

MQ – mechanika kwantowa MK – mechanika klasyczna UO – układ odniesienia

IUO – inercjalny układ odniesienia

NIUO – nieinercjanly układ odniesienia STW – szczególna teoria względności

OTW – ogólna teoria względności

Wielkości wektorowe zapisywane będą czcionką pogrubioną F, a , ...

Dopiski własne tradycyjnie oznaczono w następujący sposób (* .... *)

************************************************************************************************

Rozdział 1

Problem bezwładności.

Wprowadzenie.

Na tyle przywykliśmy do bezwładności ciał, że po prostu zapominamy, na ile zagadkowa jest ona w istocie.

Newton wprost przeciwnie rozumiał, na ile zadziwiająca jest bezwładność i poświecił wiele trudu aby ją zrozumieć.

Doszedł on do pewnego wniosku, który wyraził w następujących słowach

„Jednakże sytuacja nie jest całkowicie beznadziejna”.

Przedstawione przez niego rozwiązanie jest już jednak całkowicie niemożliwe do zaakceptowania.

W niniejszej książce zajmiemy się bardzo atrakcyjną alternatywą wyjaśnienia zagadnienia bezwładności, kierując się ideami, które rozwinął Albert Einstein. Opracowanie takich idei uwieńczone zostało powstaniem OTW – jednej z najpiękniejszych i głębokich wytworów ludzkiego umysłu jest ona logicznie najpełniejszą i zadowalającą z współczesnych teorii fizycznych.

W niniejszym rozdziale wyjaśnimy w czym tkwi istota problemu i opowiemy jak go rozwiązał Newton i dlaczego jego rozwiązanie nie jest zadowalające. Na końcu rozdziału zasygnalizujemy drogę do lepszego rozwiązania, którą będziemy postępować w dalszej części.

Inercjalne układu odniesienia (IUO)

Ponieważ inercja opisywana jest poprzez newtonowskie prawa ruchu, to rozpoczniemy od tego, że sformułujemy te prawa, chociaż być może czytelnik jest już z nimi zaznajomiony.

Pierwsze prawo Newtona. Ciało na które nie działają siły, zachowuje stan spoczynku lub porusza się ze stałą prędkością.

Drugie prawo Newtona. Przyspieszenie ciała jest proporcjonalne do przyłożonej ku niemu siły.

Trzecie prawo Newtona. Działanie i przeciwdziałnie są równe (* co do wielkości *) i przeciwne skierowane.

Jedno z zagadnień jakie pojawia się w związku z tymi prawami, jest następujące : w jaki sposób można ustalić, czy na dane ciało działa siła, jeśli nie poprzez zastosowanie praw Newtona ?

Jednakże w takim przypadku wydają się one tautologiczne. (* tj. na ciało działa siła jeśli jego przyspieszenie jest niezerowe. Przyspieszenie ciała jest niezerowe jeśli działa na niego siła *)

Zagadnienie to stanie się szczególnie ważne nieco później. Póki co będziemy przyjmowali, że możemy stwierdzić czy na dane ciało działa siła w przypadku obecności źródła sił np. naciągniętej gumy lub siły magnesu.

Zagadnienie, które interesuje nas teraz, polega na tym, że dwa pierwsze prawa w ogólnej sytuacji nie mogą być spełnione. Aby dokonać pomiaru prędkości ciała, musimy bowiem wybrać nieruchome ciało odniesienia.

Jednakże nic nie może nam zabronić dokonywać pomiarów prędkości względem różnych ciał odniesienia, poruszających się z przyspieszeniem względem siebie. Jest jasne, że nie poddane działaniu siły ciało, o którym mówimy w pierwszym prawie Newtona, nie może mieć stałej prędkości we wszystkich tych przypadkach.

Zatem, pierwsze dwa prawa Newtona należy uściślić, dopełniając je następującym stwierdzeniem:

istnieje układ odniesienia względem którego prawa Newtona są słuszne.

Jeśli chociaż jedno takie ciało zostanie znalezione, to i dowolne drugie ciała odniesienia poruszające się względem niego ruchem jednostajnym i prostoliniowym, będzie w równym stopniu spełniało wymogi tych dwóch praw. Tylko ciała odniesienia, poruszające się z przyspieszeniem będą naruszały cały ten obraz. Uprzywilejowaną klasę ciał odniesienia, dla której słuszne są prawa Newtona, zostały nazwane inercjalnymi układami odniesienia (* w skrócie IUO *)

Teraz można wypowiedzieć następujące stwierdzenie :

Prawa dynamiki we wszystkich IUO są jednakowe. Z tego nowego sformułowania wynika, że różni obserwatorzy mogą ujawnić jedną i tę samą grupę zjawisk i opisać je za pomocą jednych i tych samych praw.

Przejście od jednego obserwatora do drugiego nie zmienia praw fizycznych. Stwierdzenie to nazywa się zasadą względności (* ZW *). Wskazana zasada zawiera w sobie dwa pojęcia – po pierwsze, zjawisko ( w danym przypadku należące do dynamiki ), po drugie klasę obserwatorów lub układów odniesienia ( w rozpatrywanym przypadku – inercjalnych ). Stąd jest jasnym, że ZW można uogólnić w dwóch kierunkach : rozszerzyć albo klasę zjawisk, albo klasę obserwatorów. Uogólnienie na klasę zjawisk zostało dokonane w 1905 roku przez Einsteina. Pokazał on , że w

zbudowanej przez niego STW wszystkie zjawiska fizyczne, a nie tylko mechaniczne, spełniają jedne i te same prawa we wszystkich IUO. ( nie będziemy omawiali tego zganienia – jest ono rozpatrzone np. w książce H. Bondi „Teoria względności i zdrowy rozsądek” )

Uogólnienie rozszerzające klasę obserwatorów do wszystkich obserwatorów, zostało wykonane również przez Einsteina, doprowadzając go do zbudowania OTW.

Aby rozjaśnić znaczenie ZW, należy dokonać rozróżnienia między prawami kierującymi układami fizycznymi i rzeczywistymi parametrami opisującymi ich stan. Dwaj obserwatorzy inercjalni, poruszający się względem siebie

otrzymają różne liczbowe wartości prędkości pewnego ciała lub układu fizycznego. Jednakże przekonają się oni również, że niektóre zależności między różnymi parametrami układu, pozostają niezmienne – są to właśnie te zależności, które wyrażają prawa kierujące układami fizycznymi.

Takie rozróżnienie jest istotne dla tzw. „zasady nierozróżnialności”, która zawiera się w ZW.

Jeśli prawo fizyczne spełnia ZW dla określonej klasy obserwatorów, to przekonawszy się, że prawo to jest słuszne i dla nas możemy powiedzieć, jakim konkretnie reprezentantem tej klasy my jesteśmy. Mówiąc bardziej konkretnie nie jesteśmy w stanie np. określić swojej prędkości, jeśli wiemy, że spełnione są prawa Newtona ; możemy tylko stwierdzić, że należymy do określonej klasy obserwatorów inercjalnych.

( Oczywiście stwierdzenie autora odnosi się do pojęcia, które przyjęto nazywać „prędkością absolutną”, bowiem prędkość względną ciał i układów odniesienia możemy wyznaczyć zawsze. W teorii względności nie ma sensu pojęcie

„prędkości absolutnej” – przypis redaktora przekładu rosyjskiego )

Fakt ten możemy zilustrować następującym obrazem. Złóżmy, ze znajdujemy się w zamkniętym pomieszczeni

poruszającym się po powierzchni Ziemi. Wtedy, jakiekolwiek eksperymenty fizyczne byśmy nie wykonywali, nie uda się nam stwierdzić czy poruszamy się względem Ziemi czy nie ( Oczywiście stwierdzenie to jest słuszne dla ruchów

swobodnych i tylko z taką dokładnością z jaką Ziemię można przyjąć jako IUO )

Okoliczność ta nieco zbija z tropu, dlatego, że z praw fizycznych nie możemy określić prędkości, ale poprzez konkretne wartości mierzalnych parametrów można to uczynić. Przykładowo w naszym przypadku, oprócz składowej

magnetycznej Ziemi, pojawia się również składowa elektryczna, wielkość której może świadczyć o naszej prędkości.

Zatem, należy twardo wiedzieć, co należy przyjmować jako prawo, a co jako parametr, zanim wykorzystywać będziemy ZW. Rozróżnienie to jest skrajnie istotne dla całej dalszej treści.

Nieinercjalne układy odniesienia (NIUO)

Wspominaliśmy już o tym, że Einsteinowi udało się rozszerzyć ZW na dowolnych obserwatorów. Aby zobaczyć jak stało się to możliwe, należy jasno przedstawić punkt widzenia Newtona, którego będziemy się trzymali w niniejszym rozdziale ( i od którego odejdziemy dopiero na samym jego końcu )

Z tego punktu widzenia jest szczególnie istotne, ze prawa Newtona są słuszne tylko dla obserwatorów inercjalnych.

Zatem, mierząc stopień odchylenia od tych praw, każdy obserwator może określić swoje przyspieszenie względem układu inercjalnego.

Przykładowo, fakt rotacji Ziemi wokół własnej osi, można stwierdzić z obserwacji – jest ona spłaszczona na biegunach i rozszerzona na równiku. Takie odchylenie od formy sferycznej nie jest zgodne z prawami Newtona dla ciała

znajdującego się w własnym polu grawitacyjnym, jeśli tylko samo to ciało wybrać jako układ odniesienia.

Zatem, znajdujemy naruszenie praw Newtona i dlatego Ziemia powinna być NIUO. Ponadto, możemy określić

parametry takiego NIUO. Oś zdeformowanej figury Ziemi pokrywa się z jej osią rotacji, a wielkość odchylenia od formy sferycznej pozwala ocenić prędkość kątową jej obrotu.

Newtonowi udało się zademonstrować rotacje Ziemi jeszcze na jeden sposób. Rzucając ciała z dużej wysokości, przekonał się on, że spadają one nie wertykalnie, ale odchylają się nieco na wschód, przy czym ciało posiada nieco większą prędkość horyzontalną, niż liniowa prędkość Ziemi w danym miejscu. Stąd jest jasne, że ruch ciała względem Ziemi nie spełnia drugiego prawa Newtona, a skierowanie i wielkość odchylenia od ruchu, przewidywanego przez drugie prawo Newtona, pozwala wskazać oś rotacji Ziemi i jej prędkość kątową.

Zasada działania wahadła Foucault’a opiera się właśnie na tej zasadzie. Wahadło to składa się z ciężaru, podwieszonego na linie (nici), tak aby mógł się on swobodnie kołysać w dowolnej płaszczyźnie. Dla uproszczenia rozpatrzmy takie wahadło, umieszczając go na jednym z biegunów Ziemi ( na innych szerokościach jego ruch będzie bardziej złożony ) Ponieważ nić wahadła zaczepiona jest na zawieszeniu swobodnym, jego płaszczyzna wahań w przestrzeni absolutnej ( w danym przypadku pod pojęciem przestrzeni absolutnej rozumiemy układ odniesienia, w którym słuszne są prawa Newtona ) pozostaje niezmienna, podczas gdy Ziemia obraca się (rys. 1 )

Rys. 1 Wahadło Foucault’a umieszczone na biegunie Północnym. Płaszczyzna jego wahania jest ustalona i stała, Ziemia pod nim obraca się.

Obserwatorowi na Ziemi będzie się wydawało, że płaszczyzna wahań wykonuje pełny obrót w ciągu 24[h] (rys. 2 )

Rys. 2 Obserwatorowi na Ziemi wydaje się, że płaszczyzna drgań wahadła obraca się, tak jak to pokazuje rysunek.

Taki obrót płaszczyzny drgań wahadła zdradza rotacje Ziemi.

Rotujące ciało przedstawia sobą szczególnie interesujący przykład NIUO, dlatego że w przypadku zaniedbania tarcia nie potrzeba ani siły, ani nawet pary siła by utrzymywać ruch.

Jednakże zasada ta jest słuszna tylko w tym przypadku, kiedy jako NIUO służy ciało, którego przyspieszenie wywołane jest zewnętrznymi przyczynami. Przykładowo, oprócz rotacji wokół osi własnej, Ziemia obraca się wokół Słońca pod działaniem siły jego ciążenia o okresie 1 rok.

Z punktu widzenia obserwatora ziemskiego wokół Ziemi z tym okresie obraca się Słońce, jednakże wtedy naruszone są prawa Newtona. Oczywiście w takim przypadku Ziemia nie doznaje przyspieszenia, nie bacząc na to, że działa na nią siła grawitacyjna ze strony Słońca, jednocześnie Słońce doznaje przyspieszenia, nie bacząc na to, że nie działają na niego żadne siły. (Siła ciążenia ze strony Ziemi nie zmienia naszego wywodu – Ziemie można zamienić na dowolne inne ciało o dowolnie słabym ciążeniem )

W wyniku tego znowu znajdujemy się w NIUO. Zatem nasz podstawowy wniosek jest następujący – obserwując odstępstwa od praw Newtona, można określić doznawane przez nas przyspieszenia, ale w żadnym przypadku nie prędkości.

Siła bezwładności.

W praktyce często bywa dogodnie wykorzystywać NIUO, np. w postaci rotującej Ziemi. W takim przypadku, prawa Newtona nie są już słuszne, istnieje jednak bardzo prosty sposób sprawić aby stały się na powrót słuszne – oprócz znanych sił, działających na ciała należy wprowadzić pewne dodatkowe „siły”.

Drugie prawo Newtona możemy zapisać w postaci :

F = ma (1)

Gdzie zewnętrzna siła F jest proporcjonalna do przyspieszenia a , współczynnik proporcjonalności nazywa się masą bezwładną. Prawo to jest słuszne w dowolnym IUO. Jednakże wyobraźmy sobie, że w charakterze ciała odniesienia wybieramy samo ciało na które działa siła. Zależność (1) można zatem przepisać tak :

F – ma = 0 (2)

Z algebraicznego punktu widzenia przejście od wzoru (1) do wzoru (2) jest całkowicie trywialne. Z fizycznego punktu widzenia ma ono znaczenie zasadnicze, dlatego, że zależność (2) można rozpatrywać w charakterze II prawa Newtona w NIO. Jednakże wtedy powinniśmy przyjmować wielkość – ma jako jedną z sił działających na ciało. Oczywiście ta siła różni się od siły F tym, że nie można wskazać żadnego jej źródła fizycznego – kiedy przechodzimy do układu

odniesienia poruszającego się z przyspieszeniem nie istnieją ani naciągnięte gumy , ani magnesy. Aby podkreślić, że te nowe siły nie są tak realne jak siła F , a są wynikiem jedynie pewnego wyboru NIUO, nazywamy je siłami bezwładności lub siłami pozornymi. W mechanice Newtona wprowadzenie sił bezwładności jest tylko prostym formalnym sposobem, pozwalającym zastosować newtonowskie prawa ruchu, w sytuacji kiedy faktycznie nie są one spełnione.

Najbardziej znanymi przykładami sił bezwładności są siły, pojawiające się w obracających się układach odniesienia. W pierwszej kolejności są to siły odśrodkowe, skierowane – jak to wynika z ich nazwy od osi obrotu. Konieczność ich wprowadzenia zilustrowano na rysunku 3, na którym przedstawiono sztucznego satelitę Ziemi, którego orbita przechodzi nad równikiem, a okres jego ruchu jest równy 24 [h].

To znaczy, ze taki sputnik cały czas znajduje się nad jednym i tym samym punktem na powierzchni Ziemi (* jest to tzw.

satelita o orbicie geostacjonarnej *)

Rys. 3 a) Satelita porusza się w płaszczyźnie równikowej o okresie 24 [h], b) satelita ten widziany jest na równiku jako nieruchomo wiszący nad głową, bez żadnych widocznych oznak działania na niego sił.

Satelita ten jest nieruchomy, bez względu na to, ze działa na niego siła przyciągania Ziemi – obserwatorzy na Ziemi widzą go jako nieruchomo wiszącego, bez widocznych objawów działania sił. Nie mamy zatem innego wyjścia, jak wprowadzić niewidoczny „magnes” utrzymujący satelitę - siłę bezwładności, skierowaną od osi obrotu Ziemi.

Jest to właśnie siła odśrodkowa. Siła ta działa i na Ziemię, powodując jej spłaszczenie na biegunach i rozszerzenie na równiku.

Aby zbadać jej wartość, przepiszemy równanie (1) dla NIUO, w którym satelita obraca się wokół Ziemi z prędkością liniową v i kątową ω :

F = mωv (3)

W układzie nieinercjalnym w którym satelita spoczywa, tj. w układzie związanym z Ziemią równanie to zapiszemy w postaci :

F – mωv = 0 (4)

Odpowiednio do tego siła odśrodkowa jest równa mωv i ma kierunek od osi obrotu.

Oprócz tego, jeśli ciało porusza się względem rotującego układu, to należy wprowadzić jeszcze jedną siłę bezwładności.

Na rysunku 4a pokazano ciało, poruszające się po prostej ze stałą prędkością względem IUO. Na rysunku 4b pokazano, jak wygląda ruch tego ciała w układzie odniesienia, obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara o stałej prędkości ω, względem osi, skierowanej prostopadle do wektora prędkości v.

W takim układzie odniesienia trajektoria ciała będzie odchylona od linii prostej, chociaż żadne siły na niego nie działają.

( rys. 4c) Jeśli ciało będzie poruszało się w przeciwnym kierunku, to odchylać się ono będzie w drugą stronę ( rys. 4d, e, f )

Rys. 4 Konieczność wprowadzenia siły Coriolisa.

a) ciało swobodne porusza się po prostej ze stałą prędkością v. Obraz widziany w IUO. W czasie t ciało przechodzi odległość vt i osiąga punkt A.

b) układ odniesienia obraca się z prędkością kątową ω, w czasie t obróci się on o kąt ωt i punkt A przemieści się do położenia A’

c) względem układowi obracającego się punkt A’ zajmuje niezmienne położenie, zatem ciało powinno odchylić się od prostej, tak, aby osiągnąć punkt A. Odchylenie od prostej zmusza nas do wprowadzenia siły nazywanej siłą Coriolisa Rysunki d, e, f (* w kolejności polskiego alfabetu *) ilustrują sytuacje, kiedy ciało porusza się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Odchyla się ono w przeciwna stronę.

Zatem, powinniśmy wprowadzić jeszcze jedną siłę bezwładności, działającą pod kątem prostym zarówno do soi rotacji jaki i kierunku prędkości ciała v. Siłę tą nazywamy siłą Coriolisa. Można ją obliczyć z następującego wzoru :

2mωv (5)

lub z wzoru wektorowego, który daje nie tylko jej wartość, ale również jej zwrot : 2mω × v

Siła Coriolisa jest tą siłą, która działała na ciała rzucane przez Newtona w jego doświadczeniach, powodując odchylenia trajektorii na wschód. Jest to również ta siła, która działa prostopadle do płaszczyzny drgań wahadła Foucaulta

Tylko za pomocą siły Coriolisa można wyjaśnić widoczny dobowy ruch Słońca względem Ziemi ( rys. 5), dlatego że taki ruch zakłada, że przyspieszenie Słońca ma kierunek ku Ziemi. ( oczywiście zakładamy przy tym, że masa Ziemi jest zaniedbywanie małą w porównaniu z masą Słońca – przypis tłumacza )

Jednakże siła odśrodkowa, pojawiająca się w NIUO, związanym z Ziemią, jest skierowana od Ziemi, przy czym jej wielkość zgodnie z wzorem (4) jest równa mωv. Właśnie tu przychodzi nam z pomocą siła Coriolisa, która działa na poruszające się Słońce w kierunku Ziemi. Oprócz tego, ponieważ do wzoru (5) wchodzi czynnik 2, to wynikowa siła inercji skierowana ku Ziemi jest równa mωv , tj. jest co do wielkości równa takiej sile, aby Słońce doznawało przyspieszenia ku Ziemi równe ωv.

Zatem, możemy utrzymać w mocy newtonowskie prawa ruchu również w układach nieinercjalnych, wprowadzając dodatkowe siły, których źródłem nie są znane nam obiekty fizyczne.

Rys. 5 Widoczny dobowy ruch Słońca (S) wokół Ziemi (E) powodowane przez przyspieszenie Słońca w kierunku Ziemi.

Siła Coriolisa, skierowana jest w tym przypadku ku Ziemi i jest dwa razy większa niż siła dośrodkowa, skierowana od Ziemi. Siła wynikowa zapewnia przyspieszenie, skierowane ku Ziemi.

(* opis na rysunku – siła dośrodkowa, siła Coriolisa *)

(* Dodatek własny 1.1 Podstawowe pojęcia mechaniki klasycznej MK.

Podstawowe pojęcia kinematyki

Mechanikę klasyczną, zwaną mechaniką Newtonowską, dzielimy ogólnie na dwa obszerne działy : kinematykę i kinetykę. Kinetykę, z kolei możemy podzielić na : statykę i dynamikę.

Opisem ruchu punktu materialnego bez uwzględnienia przyczyn tego ruchu zajmuje się dział mechaniki zwany

„kinematyką”.

Kinematyka – rozdział mechaniki poświęcony badaniu ruchu ciał materialnych (zamiast pojęcie: „ciało materialne”

stosuje się również, zamiennie nazwę: „punkt materialny” ) z geometrycznego punktu widzenia tj. bez uwzględnienia przyczyn wywołujących ten ruch (sił, oddziaływań). Od geometrii kinematyka różni się tym, że przy rozpatrywaniu przemieszczeń ciał (ciała) w przestrzeni bierzemy pod uwagę czas w jakim to przemieszczenie zachodzi. Dlatego też kinematykę nazywa się niekiedy „geometrią czterowymiarową”, rozumiejąc czas jako czwarty wymiar.

Do głównych zadań kinematyki należy opisanie jakościowe ruchu ciała (ciał, punktu materialnego) w danym układzie odniesienia tj. ustalenie sposobów za pomocą których możemy określić ruch ciał materialnych.

Jak widać, w zależności od rodzaju rozpatrywanego „obiektu”, możemy mówić o kinematyce (podobnie zresztą jak i w przypadku dynamiki ) : punktu materialnego , ciała stałego (bryły materialnej ), ośrodka ciągłego lub płynu.

Do podstawowych pojęć kinematyki należą (kolejność mniej więcej odpowiada kolejności ich omówienia ) : -przestrzeń ( przestrzeń w której zachodzi ruch, przestrzeń konfiguracyjna)

-czas (chwila, odcinek czasu, zdarzenie, zegar )

-punkt materialny (ciało materialne, bryła sztywna, układ punktów materialnych, układ fizyczny) -układ odniesienia (układ laboratorium, obserwator, urządzenie pomiarowe, pomiar )

-tor, droga ( przemieszczenie ,hodograf, odległość )

-ruch (przemieszczenie , przesunięcie, ruch względny, złożony, obrotowy) -prędkość (prędkość - średnia, chwilowa, kątowa, polowa ; szybkość) -przyspieszenie (przyspieszenie styczne, dośrodkowe )

Głównymi pojęciami kinematyki są : czas i przestrzeń. Ruch mechaniczny zachodzi, bowiem w czasie i przestrzeni.

W mechanice przyjmujemy pojęcia czasu i przestrzeni wywodzące się od Newtona.

Są to: czas absolutny i przestrzeń absolutna. Istnienie i własności tych pojęć zostały przez Newtona zapostulowane.

Zgodnie z przyjętą aksjomatyką są one niezależne jedno od drugiego, nie zależą one również od innych własności fizycznych takich jak np. masa, prędkość, siła itp.

„Absolutny matematyczny i prawdziwy czas sam w sobie i przez jego naturę płynie równo w odniesieniu do wszystkiego zewnętrznego, który inaczej zwie się trwaniem; względny, pozorny i powszechny czas jest pewną zmysłowo

postrzegalną, zewnętrzną ( czy to dokładną, czy to nierówną ) miarą trwania poprzez ruch, który jest powszechnie używany zamiast czasu, tak jak nasza godzina, dzień, miesiąc, rok”

„Absolutna przestrzeń przez jej własną naturę niezależnie od wszystkiego zewnętrznego pozostaje zawsze ta sama i nieruchoma.

[ Principles ; str. 190 ]

Czas

Matematycznie czas jest modelowany jako oś skierowana (odcinek osi) liczb rzeczywistych, lub ogólnie jako podzbiór zbioru R – liczb rzeczywistych. Przejmuje on zatem wszelkie własności metryczne i topologiczne tej osi, lub zbioru.

(m.in. ciągłość, jednowymiarowość, odległość – metrykę, interwał ). Wato również podkreślić, że zgodnie z takim matematycznym modelem, czas rozciąga się od minus nieskończoności (nieskończonej przeszłości) , do plus

nieskończoności (nieskończonej przyszłości) , nie ma więc ani początku ani końca. Ruch mechaniczny (ruch swobodny) może zatem trwać wiecznie nie ma więc sensu dociekać ( w szczególności ) jego przyczyn.

Z fizycznego punktu widzenia, czas jest parametrem zmienności ruchu. Interwał czasu mierzymy za pomocą urządzenia fizycznego zwanego „zegarem”. Od zegara wymagamy periodyczności (powtarzalności), danej dla badanego

zagadnienia dokładności i niezależności od czynników zewnętrznych. Z doświadczenia wiemy, że czas jest jednorodny tj. punkt zerowy, na osi czasu możemy wybrać dowolnie lub inaczej - dowolne doświadczenie mechaniczne nie zależy od wybranej chwil początkowej.

Nie trywialnym pytaniem jest problem izotropowości czasu tj. niezależności od wybranego kierunku upływu czasu.

(w przeszłość lub przyszłość). Jak wiadomo równania mechaniki , które są równaniami różniczkowymi zwyczajnymi (rrz) drugiego rzędu (ogólnie) są symetryczne względem odbicia (odwrócenia) czasu. Należy jednak mieć na uwadze to, że dobrze postawiony problem dotyczący rozwiązania rrz musi zawierać warunki początkowe. Zadanie konkretnych warunków początkowych i równań ruchu całkowicie określa ten ruch.

W związku z takim stwierdzeniem wypowiedzieć możemy tzw. „Zasadę przyczynowości Newtona” – początkowy stan układu mechanicznego tj. zbiór wartości początkowych położenia i prędkości w danej chwili czasu określa

jednoznacznie cały ruch tego układu.

Inne warunki początkowe, nawet przy takich samych równaniach ruchu określają inną rodzinę rozwiązań (torów) ruchu.

A jak wiadomo pomiar jest zawsze wykonywany z pewną skończoną dokładnością , nie można więc , szczególnie dla pewnej klasy układów dynamicznych ( myślę tutaj o układach „wrażliwych” na warunki początkowe) określić dokładnie dalekiej przeszłości (lub dalekiej przyszłości) takiego układu. Ogólnie jednak w mechanice przyjmujemy, że ruch mechaniczny jest symetryczny względem punktu początkowego (zerowego na osi czasu). Zgodnie z tym możemy dokonać nie tylko nieskończonej predykcji (czyli przewidywania) zachowania się ciała , ale również nieskończonej w czasie retrodykcji (czyli zbadania jak zachowywało się ciało w przeszłości). Oczywiście jak dzisiaj wiemy (z badań dotyczących stabilności ruchu i dynamiki chaotycznej ) w ogólności takie prognozy (dotyczące nieskończonej

przeszłości lub przyszłości ) są zazwyczaj nie uprawnione. Proste doświadczenia mechaniczne dotyczące badania ruchu układów ciał materialnych takich jak np. ruch wahadła, ruch w polu grawitacyjnym , potwierdzają słuszność idealizacji czasu jako wielkości izotropowej.

Już jednak analiza prostych układów termodynamicznych pokazuje, że taka idealizacja może nie być słuszna, w związku z tym istnieje cały szereg zagadnień ujętych pod wspólnym terminem „strzałka czasu”.

W układzie SI jednostką czasu jest sekunda [s].

Sekunda – jest to czas równy 9192631770 okresom promieniowania odpowiadającego przejściu między dwoma nadsubtelnymi poziomami stanu podstawowego atomu cezu 133

(J. M. Massalski , J. Studnicki „Legalne jednostki miar i stałe fizyczne” PWN 1988 ) Przestrzeń

Matematycznie przestrzeń mechaniki modelowana jest jako trójwymiarowa przestrzeń Euklidesa (przestrzeń o metryce euklidesowej). Jak wiadomo jest to przestrzeń płaska, dopuszczająca globalnie, możliwość wprowadzenia ortogonalnych (prostokątnych) układów współrzędnych. Zazwyczaj wprowadzamy układ kartezjański tj. układ współrzędnych

prostokątnych, prostoliniowy. Przestrzeń płaska jest przestrzenią jednorodną i izotropową, znaczy to, że przebieg dowolnego doświadczenia mechanicznego nie jest zależny od wyboru punktu odniesienia (punktu w którym

rozpoczynamy doświadczenie) oraz kierunku w którym zachodzi ruch. (oczywiście mowa o przestrzeni „swobodnej” – przestrzeni bez pól )

Przestrzeń taką możemy wyobrażać sobie jako pewną arenę na której rozgrywają się zjawiska.

Własności tej areny nie zależą od rozgrywających się na niej zdarzeń – w szczególności możemy mówić o zupełnie pustej arenie, tj. arenie bez zjawisk. Podobnie jest w przypadku czasu – czas Newtonowski (matematyczny) upływa bez względu na to czy istnieją zjawiska czy nie. Czas jest jak gdyby czymś zewnętrznym w stosunku do zjawisk.

Z operacyjnego (instrumentalistycznego) punktu widzenia jest to oczywiście bez sensu – to dopiero zjawisko

periodyczne konstytuuje czas i sposób jego pomiaru. Jak wiadomo współczesna fizyka wiąże ściśle pojęcia przestrzeni , czasu i zdarzeń – oddziaływań (pól).

I tak, w kolejności i w szczególności : szczególna teoria względności wprowadza pojęcie czterowymiarowej przestrzeni Minkowskiego, łączącej w jednolitą strukturę geometryczna pojęcie czasu i przestrzeni, ogólna teoria względności wprowadza przestrzeń zakrzywioną (czterowymiarową przestrzeń Riemanna), na której nie można globalnie rozdzielić pojęć : czasu i przestrzeni, mechanika kwantowa wprowadza nieskończenie wymiarową przestrzeń Hilberta.

Omawiając pojęcia przestrzeni i czasu dokonujemy pewnego wyboru tzw. areny zdarzeń - jest to czasoprzestrzeń Galileusza. Teraz na tą arenę należy wprowadzić pewne szczegółowe struktury matematyczne (geometryczne i algebraiczne) – m.in. są to pojęcia : układu współrzędnych lub (ogólniejsze) pojęcie rozmaitości. Należy również zdefiniować pewne podstawowe pojęcia fizyczne, takie jak – punkt materialny, układ punktów materialnych, fizyczny

układ odniesienia. Warto wspomnieć, że takie podejście przypomina pod pewnymi względami system aksjomatyczny współczesnych nauk dedukcyjnych tj. wprowadzamy zbiór aksjomatów i zasad dedukcji i na tej podstawie budujemy pewną teorię (wywodząc pewne twierdzenia).

W układzie SI jednostką długości jest metr [m]

Metr – jest to długość drogi przebytej w próżni przez światło w czasie 1/299792458 [s]

Układ odniesienia i układ współrzędnych

Określić ruch punktu materialnego to znaczy określić zmianę jego położenia względem wybranego układu odniesienia w dowolnej chwili czasu. Ustalenie układu odniesienia (ciała odniesienia, układu laboratorium) stanowi podstawę

jakiegokolwiek opisu ruchu , jest zatem kluczowym dla całej kinematyki. Nie można mówić o jakimkolwiek ruchu bez wskazania układu odniesienia według którego taki ruch opisujemy, można zatem powiedzieć, że ruch jest pojęciem względnym tj. dotyczy co najmniej dwóch punktów materialnych – nie ma ruchu bezwzględnego, samego w sobie – jest to kluczowe stwierdzenie dla całej fizyki i stanowi podstawę dla zasad względności.

Jest to naturalna konsekwencją jednorodności przestrzeni – z każdym dowolnym punktem przestrzeni możemy związać - na zasadzie równouprawnienia - pewien układ odniesienia.

Układem odniesienia - nazywamy ciało materialne lub układ ciał materialnych, wyposażone w zestaw przyrządów pomiarowych (prętów pomiarowych, zegarów, źródeł sygnałów elektromagnetycznych lub podobnych - równoważnych) Układ odniesienia jest zatem pojęciem makroskopowym (ze wszystkimi tego fizycznymi konsekwencjami).

Pomiar parametrów kinematycznych ruchu ciała takich jak np. czas ruchu, przesunięcie, długość musi być jednoznaczny i ograniczony jedynie przez możliwości użytych przyrządów pomiarowych. Przyrządy mikroskopowe podlegają zasadą kwantowym m.in. zasadzie nieoznaczoności, zatem nie mogą być użytecznymi – przynajmniej jeśli chodzi o kinematykę Newtonowską (klasyczną), mającą do czynienia z odległościami, czasami, masami - ogólnie skalami makroskopowymi.

Widać stąd również, że pojęcia ugruntowane w kinematyce makroskopowej nie mogą być bezkrytycznie przenoszone (stosowane) na inne działy fizyki – szczególnie dotyczy to mechaniki kwantowej, kwantowej teorii pola, lub pewnych zagadnień ogólnej teorii względności. Układ odniesienia w powyższym sformułowaniu jest jednak bardzo użytecznym pojęciem, i może być stosowany (z pewnymi modyfikacjami) w szczególnej i ogólnej teorii względności.

Z danym układem odniesienia wiążemy prawie nierozłącznie (w wielu sytuacjach nawet utożsamiamy – czasem słusznie czasem nie słusznie – w zależności od rozpatrywanego zagadnienia fizycznego) pojęcie – układu współrzędnych.

I o ile „układ współrzędnych” jest abstrakcją fizyczną (modelem), to „układ współrzędnych” jest ścisłym

(definiowalnym) pojęciem matematycznym. Od razu należy dodać, że z danym układem odniesienia możemy związać nieskończenie wiele - na ogół - różnych układów współrzędnych.

(sytuacja odwrotna raczej nie może mieć zastosowania).

Układ odniesienia możemy sobie wyobrazić jako pewne ciało materialne (punkt materialny, zobacz rys. 1.1 ) do którego

„przyczepiono” trzy nieskończenie długie, absolutnie sztywne, odpowiednio wyskalowane, ułożone prostopadle pręty odmierzające długości w przestrzeni, ciało to wyposażone jest również w zegar -odpowiednio wyskalowany, jego wskazania pokazują upływ czasu absolutnego i mogą być odczytywane z dowolnej odległości przestrzennej. To założenie równoważne jest postulatowi istnienia sygnału fizycznego o nieskończonej prędkości rozchodzenia.

Równoważnie - możemy również umieścić zegar w każdym, dowolnym punkcie przestrzeni albo przemieszczać jeden zegar nieskończenie szybko do dowolnego punktu w przestrzeni Oczywiście postulujemy, że na chód takiego zegara nie zmienia się po takim przesunięciu – jest to cecha czasu absolutnego.

Rys. 1.1 Układ odniesienia jako układ makroskopowy wyposażony w przyrządy do pomiaru czasu i długości ( lub/i inne przyrządy fizyczne )

Układem współrzędnych – nazywamy zbiór reguł które opisują (reprezentują, jednoznacznie) każdy obiekt (punkt) p, danej przestrzeni P (obszaru ) , za pomocą odpowiedniego ciągu ( x1, ... , xn ), liczb rzeczywistych lub zespolonych , nazywanych współrzędnymi lub składowymi tego obiektu.

Liczbę n – nazywamy wymiarem przestrzeni P. Jak widać układ współrzędnych jest sposobem przyporządkowania każdemu punktowi przestrzeni fizycznej oraz czasowi fizycznemu, odpowiednio ciągu liczb i liczby.

Mówimy o tzw. koordynacji przestrzeni i czasu.

Zazwyczaj też ustala się punkt odniesienia O, równy wektorowi zerowemu.

Wybierając w przestrzeni Euklidesa pewien punkt – początek układu współrzędnych O, otrzymamy przestrzeń afiniczną.

Przestrzeń afiniczna ( zbudowana nad przestrzenią wektorową ) umożliwia wprowadzenie ważnych dla kinematyki pojęć wektorów swobodnych i zaczepionych, długości wektorów oraz kątów między wektorami.

Wraz z aparatem analizy wektorowej (zwłaszcza teorii równań różniczkowych zwyczajnych) geometria afiniczna umożliwia wyprowadzenie wszystkich pojęć mechaniki.

Należy podkreślić iż istnieją możliwości wyprowadzenia mechaniki bazujące na przestrzeniach innego typu ,np.

przestrzeni fazowych (przestrzenie symplektyczne).

Możemy wprowadzić następującą, abstrakcyjna definicję :

Niech { O, e1, ... , en }- będzie reperem przestrzeni afinicznej P tj. bazą {e1, ... , en } przestrzeni liniowej V razem z punktem O ∈ P – zwanym „początkiem układu współrzędnych” .

Definicja. Afiniczny (lub prostoliniowy) układ współrzędnych odpowiadający reperowi { O, e1, ... , en }, jest to zbiór funkcji :

x = ( x1, ... , xn ) , xi : P - > R zdefiniowanych następująco :

xi (p) - ei (Op→ ) , i = 1, ...n (1.1) {e1, ... , en } – jest bazą V* dualną do bazy {e1, ... , en } przestrzeni V.

Funkcje xi nazywamy funkcjami współrzędnościowymi reperu. Dla punktu p ∈ P zbiór liczb :

x(p) = (x1(p) , ... , xn(p) ) nazywamy „współrzędnymi punktu p” w układzie współrzędnych x = (x1, ... , xn ) Zauważmy ,że (1.1) jest równoważne :

Op→ = xi(p) • ei

tj. współrzędne punktu p są to współrzędne wektora wodzącego Op→, w bazie {e1, ... , en }

We współrzędnych kartezjańskich, trójwymiarowych mamy reper o postaci : {O, i, j, k } gdzie : i, j, k – są wersorami układu współrzędnych, O – jest początkiem układu współrzędnych.

Każdemu punktowi przestrzeni P, możemy przyporządkować pewien wektor wodzący tj. zdefiniować pewną wektorofunkcje.

Położenie punktu w przestrzeni określa wektor (wektor wodzący tego punktu ) :

r = x(α)i + y(α)j + z(α)k , gdzie α - jest ustalonym parametrem (1.2)

Rys. 1.2 Wektor wodzący punktu (geometrycznego) w przestrzeni Euklidesa we współrzędnych kartezjańskich

W kinematyce parametrem α jest czas, oznaczany zwyczajowo symbolem - „t”.

Jest to więc funkcja wektorowa zmiennej skalarnej.

Każdemu punktowi w przestrzeni fizycznej możemy przypisać trzy liczby (x, y, z) – o stałej wartości, dla punktu nieruchomego w danym układzie odniesienia lub będące funkcjami czasu – dla punktu poruszającego się

(w danym układzie odniesienia). Taką procedurę nazywamy „arytmetyzacją przestrzeni”. Powstaje pytanie czy taka arytmetyzacja może być wykonana zawsze i bez względu na rozważane parametry fizyczne.

Jak łatwo się jest domyśleć – odpowiedź jest przecząca, jednak dla celów mechaniki , zakładamy, że jest to całkowicie wykonywalne. Poprzez arytmetyzację przestrzeni (dla danego układu współrzędnych) możemy wprowadzić odpowiedni, dla tej arytmetyzacji układ współrzędnych.

Punkt materialny

Punktem materialnym nazywamy ciało materialne o niezerowej masie ,którego rozmiary liniowe dążą do zera lub są dużo, dużo mniejsze od rozpatrywanych odległości przestrzennych.

Możemy zatem powiedzieć, że punkt materialny, to punkt w sensie geometrycznym posiadający własność fizyczną zwaną - „masą”. Masa jest parametrem dynamicznym dlatego zostanie ona zdefiniowana i omówiona w punkcie dotyczącym dynamiki. Nie ma sensu pojęcie punktu materialnego który ma zerową masę (był by to punkt geometryczny), co najwyżej masa może być pomijalnie mała w porównaniu z innymi rozpatrywanymi masami.

Często w zagadnieniach fizycznych przyjmujemy masę jednostkową tj. masę równą jednej przyjętej jednostce w której ją definiujemy.

Jest to oczywiście idealizacja (model matematyczno fizyczny ), jest ona uprawniona w szczególnych warunkach np.

jako punkt materialny możemy traktować Ziemię, rozważając jej ruch po ekliptyce, punktem materialnym możemy również nazwać samochód , rozpatrując jego ogólny ruch po torze, nie można by przyjąć takiej idealizacji gdyby chcieć rozpatrywać aspekty aeordynamiczne jego ruchu.

Przyjęta idealizacja pozwala przypisać punktowi materialnemu pewien wektor tj. układ trzech funkcji skalarnych lub po prostu trzy współrzędne , zmieniające się w czasie. Położenie punktu materialnego może być określone jednoznacznie przez podanie jednego wektora. Układ ciał materialnych lub bryła materialna do jednoznacznego określenia położenia wymaga większej liczby wektorów.

Naturalnym rozszerzeniem pojęcia punktu materialnego jest układ punktów materialnych i bryła sztywna .

Bryłą sztywną nazywamy taki układ punktów materialnych ,w którym przy dowolnym jego ruchu odległości między punktami nie ulegają zmianie.

Rys. 1.3 Punkt materialny M, układ punktów materialnych , bryła sztywna.

Podstawowe pojęcia dynamiki.

Cząstka swobodna – prawo bezwładności.

Dynamika przejmuje od kinematyki pojęcia czasu i przestrzeni bez ich modyfikacji.

Cząstki materialne umieszczone są (poruszają się ) w trójwymiarowej (absolutnej ) przestrzeni Euklidesa a ich stan określony być może jako funkcja absolutnego czasu.

Mamy zatem arenę zdarzeń oraz „aktorów” na tej arenie tj. punkty (układy punktów, bryły) materialne. Dynamika wprowadza na tą arenę pojęcie siły tj. miary działania cząstek między sobą. Konsekwencją oddziaływania cząstek (lub ogólnie – działania na nie siły ) jest zmiana parametrów ruchu – toru , prędkości przyspieszenia.

Załóżmy na początku, że na tej arenie istnieje tylko jedna cząstka , oczywiste jest , że jej parametry ruchu będą

niezmienne w czasie, jednak jak wiemy takie pojęcie kinetyczne jak np. prędkość nie maj sensu dla jednej jedynej cząstki ,celowe zatem jest wprowadzenie drugiej cząstki. Jednak w takiej sytuacji moglibyśmy przypuszczać, że między tymi cząstkami działa pewna siła. Oczywiście tak być nie musi i jest to uwarunkowane rodzajem cząstek i rodzajem

działających między nimi sił. Nadto wiadomo również, że dla większości działających sił ( mowa oczywiście o siłach istotnych dla mechaniki klasycznej tj. siłach grawitacyjnych, siłach naprężeń i deformacji, czy nawet siłach EM ) – siła zmniejsza się wraz z odległością (tak jest np. dla najuniwersalniejszej z sił – siły grawitacji).

Mamy więc dwie (nie oddziałujące lub o zaniedbywanej sile oddziaływania ) cząstki, możemy zatem określić sensownie pewne wielkości kinetyczne. Pytanie jest następujące : jak będą się poruszały takie cząstki ? ( zgodnie z zasadą

względności, z każdą z nich możemy związać równoprawny układ odniesienia )

Przyjmijmy następująca definicję: cząstki lub cząstkę na którą nie działają żadne siły zewnętrzne (lub działające siły równoważą się ) nazywamy „cząstką swobodną”. Pojęcie to, oczywiście pewną abstrakcją fizyczną w rzeczywistości nie ma cząstek swobodnych , warunki swobody tj. nie działania żadnych sił ,mogą być spełnione jedynie w przybliżeniu.

Postulujemy, że cząstka swobodna porusza się ruchem jednostajnym, prostoliniowym ( ruchem swobodnym) lub spoczywa. Układ odniesienia dla którego spełnione są powyższe warunki nazywamy „układem inercjalnym”

Postulat ten nazywamy „prawem bezwładności” (Galileusza ).

Wypowiedzmy go jasno :

Istnieje taki układ odniesienia – zwany : inercjalnym układem odniesienia ( w skrócie IUO ) w którym cząstka (cząstki) swobodne poruszają się ruchem swobodnym.

Jest to postulat (zgodny z eksperymentem w granicach przyjętych przez model ) – cząstka swobodna mogła by poruszać się np. ruchem jednostajnie przyspieszonym lub mogła by tylko spoczywać ( tak przyjmował np. Arystoteles w swojej dynamice )

Rys. 1.4 Inercjalne układy odniesienia to układy w których cząstki swobodne poruszają się ruchem swobodnym.

Prawa dynamiki Newtonowskiej.

Zajmiemy się teraz podstawowymi prawami dynamiki sformułowanymi przez Newtona.

I prawo dynamiki Newtona ( zwane prawem bezwładności) głosi :

Ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym , jeżeli działające na niego siły są równe zeru.

Jak widać jest to zasada bezwładności Galileusza.

Prawo to możemy sformułować następująco : Istnieje IUO.

I jak już powiedziałem jest to postulat. W kinematyce wszystkie układy odniesienia były równouprawnione ( albo, po prostu kinematyka nie zajmowała stanowiska w tej kwestii ) dynamika uprzywilejowaną rolę przypisuje pewnej wyróżnionej klasie układów odniesienia, którymi są IUO.

W praktyce jako IUO możemy przyjąć układ odniesienia w którym ruch swobodny jest swobodnym w pewnych granicach. Jak łatwo zauważyć (wynika to ze szczególnego przekształcenia Galileusza ) jeżeli istnieje jeden IUO to istnieje nieskończenie wiele IUO. W praktyce takim IUO może być , jak wiadomo, nawet układ który tak naprawdę układem inercjalnym nie jest. Przykładowo obliczając ruch pocisku wystrzelonego z niedużą prędkością , w pobliżu powierzchni Ziemi i o niedużym zasięgu , możemy jako IUO przyjąć np. układ związany ze środkiem Ziemi.

II prawo dynamiki Newtona ( zwane prawem ruchu) głosi :

Przyspieszenie cząstki jest proporcjonalne do działającej na nią siły.

k a = F ; k – stała proporcjonalności (1.1) Siła F może być wypadkową kilku (ogólnie wielu ) sił działających na dana cząstkę. Ze wzoru (1.1) wynika, że wektor przyspieszenia ma kierunek działającej siły.

I teraz najważniejsza uwaga – II prawo dynamiki jest spełnione ( w powyższej formie) tylko w IUO. To znaczy , że przyspieszenie określone jest względem IUO związanego z daną cząstką. Można więc powiedzieć, że IUO to układ w którym spełnione jest II prawo Newtona. Jak zobaczymy dalej NIUO (nie inercjalny układ odniesienia ) możemy sprowadzić do IUO wprowadzając pewną modyfikację II prawa dynamiki.

Jeżeli obserwator O związany z IUO stwierdzi, że cząstka porusza się ruchem przyspieszonym (ogólnie nie jednostajnym lub krzywoliniowym ) może powiedzieć, że na cząstkę ta działa pewna siła F. ( jest jeszcze jedna możliwość

obserwatorowi O może się wydawać , że znajduje się w IUO i do tej kwestii powrócę później ) Obecnie omówię bardzo ważną kwestię, mianowicie - czym jest (co to jest ) stała proporcjonalności k.

Po pierwsze jak widać jest to skalar. Skalar ten nazywamy „masą bezwładną”. Masa bezwładna charakteryzuje konkretną cząstkę (jest własnością konkretnej cząstki). W dynamice klasycznej przyjmujemy, że masa bezwładna może być funkcją jedynie czasu (chociaż zazwyczaj przyjmujemy ją jako stałą ). Wymiarem tej stałej jest kilogram [kg] – właściwiej było ,opuszczając przedrostek „kilo”, powiedzieć : gram [g] . Jak dotąd wzorzec kilograma nie doczekał się definicji „uniwersalnej” i należy odwoływać się do pewnego etalonu.

Przyjmijmy zatem zgodnie z tradycją : k = m. Masa ( w mechanice newtonowskiej ) jest wielkością addytywną tj.

możemy sumować poszczególne masy cząstek otrzymując masę wypadkową, jest również wielkością zachowaną, tj.

obowiązuje dla niej prawo zachowania masy. Newton definiuje masę ( na samym początku Principiów ) jako „ilość materii” proporcjonalną do objętości i gęstości. Jest to oczywiście znany wzór na masę :

m = ρV ; ρ - gęstość substancji, V – objętość zajmowana przez tą substancje.

II prawo dynamiki ma oczywiście oparcie (mocne) w doświadczeniu. Stała siła działająca na ciała o różnej masie bezwładnej wywołuje oczywiście różne przyspieszenia, tym sposobem możemy wyznaczać doświadczalnie wielkości m lub F. Możemy powiedzieć, że masa bezwładna jest miarą oporu (bezwładności) z jakim ciało przeciwstawia się próbie zmiany ruchu czyli działającej na nie sile F.

III prawo dynamiki Newtona ( zwane prawem akcji i reakcji ) głosi :

Jeżeli ciało A działa na ciało B siłą F , to ciało B działa na ciało A siłą – F.

Prawo to ma również oparcie eksperymentalne. Wiadomo bowiem z doświadczenia , że jeśli jedno ciało działa pewną siłą na drugie ciało – to drugie ciało działa również pewną siłą na ciało pierwsze. Stwierdzono , że siły te są równe co do wartości bezwzględnej, działają na tej samej prostej (łączącej oba ciała) i maja przeciwne zwroty. Pojedyncze siły nie mogą więc występować w przyrodzie. Jeżeli jedną z takich sił nazwiemy „siłą akcji” to drugą nazwiemy „siłą reakcji”.

Nie jest istotne którą z tych dwóch sił ( jest to tzw. para sił ) jak nazwiemy, ważne jest to że mamy do czynienia z działaniem równoczesnym. O tej własności sił po raz pierwszy mówił Newton w swojej II zasadzie dynamiki.

Oczywiście z relatywistycznego punktu widzenia to równoczesne działanie jest działaniem natychmiastowym i powinno być zastąpione działaniem w sensie relatywistycznym.

Siły akcji i reakcji są siłami działającymi na różne ciała – gdyby działały na jedno i to samo ciało ich wypadkowa była by równa zeru i II zasada dynamiki nie miała by szans funkcjonować.

Jeżeli mamy pewien układ ciał (punktów ) materialnych i m-ty punkt działa na n-ty punkt siłą Fmn to n-ty punkt działa na m-ty punkt siłą Fnm = - Fmn .

Z powyższej równości wynika w szczególności dla m = n znikanie sił samoodziaływania tj. : Fnn = Fmm = 0

W literaturze spotkać możemy różne postaci sformułowań praw dynamiki Newtona. Możemy prawa te podać, przykładowo w formie :

I Prawo. Ciało pozostaje w spoczynku lub ruchu jednostajnym po linii prostej , jeśli działające na niego siły nie zmuszą go do zmiany tego stanu.

II Prawo. Zmiana pędu w czasie jest proporcjonalna do siły powodującej ruch i zachodzi w kierunku linii prostej ,którą wyznacza kierunek działania siły.

III Prawo. Działaniu towarzyszy zawsze przeciwdziałanie, równe co do wielkości , lecz przeciwnie skierowane.

Jako IV prawo dynamiki przyjmuje się zasadę superpozycji sił ( lub wektorowego liniowego charakteru siły)

Jeżeli na punkt materialny działają niezależnie siły F1, F2 ... Fn , to możemy zsumować wektorowo te siły i przyjąć, że działa jedna siła wypadkowa :

n F =

ΣΣΣΣ

I odpowiednio z II prawem :

a = a1+ a2 + .. .+ an = (1/m)(F1 + F2 + ... + Fn )

Możemy również przyjąć, że każda siła działająca na dany punkt materialny może być przedstawiona jako pewna suma niezależnie działających sił składowych. Zasada ta ma oczywiście oparcie w doświadczeniu.

Uwaga !. Zasada superpozycji sił nie jest spełniona dla sił które są zależne od drugiej i wyższych pochodnych wektora wodzącego punktu materialnego na które działa ta siła. To oznacza, że rozważane w mechanice siły mogą być funkcjami czasu, położenia i prędkości ale nie przyspieszeń tj.

F = F ( r , v , t )

Uogólniając pojęcie siły możemy wprowadzić tzw. „pole siły” (pole siłowe). Mówimy, że w pewnym obszarze przestrzennym zostało zdefiniowane pole siłowe, jeżeli każdemu punktowi należącemu do tego obszaru został

przyporządkowany wektor reprezentujący siłę jaka działała by na ciało materialne jeżeli znalazłoby się w tym punkcie.

Z punktu widzenia matematyki zadanie pola siły jest równoważne zadaniu pewnego pola wektorowego.

Równanie ruchu punktu (układu punktów) materialnego.

Zajmiemy się teraz dokładniej II prawem dynamiki. Na początek wprowadźmy pojęcie pędu.

Pędem nazywamy iloczyn masy i prędkości punktu materialnego lub układu punktów materialnych.

p = mv (1.2) Pęd jest wielkością wektorową ( Newton nazywa go „ilością ruchu” ). W dalszej części przyjmuje , że masa jest

wielkością stałą w czasie tj. m = const. Oczywiście można rozpatrywać układy mechaniczne o masie zmiennej w czasie.

Jeżeli układ materialny składa się z n punktów o masach odpowiednio : m1, ... ,mn poruszających się odpowiednio z prędkościami : v1, .. , vn to pęd tego układu jest dany :

n n

p =

ΣΣΣΣ

ΣΣΣΣ

II zasada dynamiki (dla punktu materialnego) w sformułowaniu pierwotnym ma postać :

dp /dt = F (1.4) lub , równoważnie : d/dt ( mv ) = F ; ma = F ; md2r/dt2 = F ;

Dla układu punktów materialnych mamy : n n

ΣΣΣΣ

ΣΣΣΣ

Równanie (1.2) jest to równanie wektorowe - w przestrzeni Euklidesa równoważne jest ono trzem równaniom skalarnym md2x/dt2 = Fx

md2y/dt2 = Fy md2z/dt2 = Fz

Z matematycznego punktu widzenia jest to układ równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rzędu.

Rozwiązaniem tego równania ( jest to tzw. rozwiązanie podstawowego zagadnienia dynamiki tj. mamy podaną siłę a wyznaczamy wektor wodzący ) jest pewna funkcja wektorowa :

r = x(t) i + y(t) j + z(t) k (1.6) Jeżeli funkcja ta spełnia odpowiednie warunki ( jest regularna ) to równania ruchu maja dokładnie jedno rozwiązanie.

Rozwiązanie to zawiera w ogólności sześć stałych całkowania , mianowicie :

- trzy składowe wektora położenia początkowego ( tj. wektora wodzącego w chwili t0 ) : r0 = (x0 , y0 , z0 )

- trzy składowe wektora prędkości początkowej : v0 = (vx0 , vy0 , vz0 )

Rozwiązanie znajdujemy poprzez dwukrotne całkowanie postaci : t1 τ1

r(t) = (1/m)

∫ ∫

W ogólnym przypadku rozwiązanie analityczne takiego równania jest niemożliwe , stosujemy wtedy metody numeryczne.

Znajomość postaci funkcji siły F = F( r, t) – działającej na cząstkę materialną o stałej masie m jak również znajomość wartości wektorów r0 , v0 dla (dowolnej ) chwili początkowej t0 pozawala jednoznacznie określić (obliczyć ) wartość funkcji r = r ( t ) dla dowolnej chwili czasu t , tym samym pozwala nam określić jednoznacznie tor ruchu tej cząstki.

Stwierdzenie to stanowi podstawę dla sformułowania klasycznej zasady przyczynowości ( zasady determinizmu), w myśl której znajomość praw ruchu i wartości wielkości ruchu w jednej dowolnie ustalonej chwili pozwala na ustalenie parametrów ruchu w dowolnej chwili w przyszłości jak i przeszłości.

Można pokazać (prostymi rachunkami ), że równanie (4.3) nie zależy od wyboru IOU. Zatem siła jest niezmiennicza wobec przekształcenia Galileusza. tj.

F’ = F dla IUO U i U’

Jeżeli działająca siła jest równa zeru to : dp /dt = 0 ⇒ p = const ⇒ v = const lub :

dp /dt = 0 ⇒ ma = 0 ⇒ a = 0 ⇒ v = const

Czyli jeżeli na punkt materialny nie działa żadna siła ( lub wypadkowa działających sił jest równa zeru ) to punkt ten porusza się ze stałą prędkością tj. ruchem jednostajnym prostoliniowym czyli swobodnym.

Jest to tzw. zasada zachowania pędu punktu materialnego.

Zasada bezwładności.

„Zasada bezwładności zrodziła się z chęci filozoficznego uzasadnienie systemu Kopernika i jego obrony przed zarzutami scholastyków, którzy twierdzili, że jest on „filozoficznie fałszywy, nawet jeżeli jest „matematycznie prawdziwy”

Główny zarzut fizycznym przeciwko systemowi Kopernika opierał się na następującym stwierdzeniu :

Skoro Ziemia obraca się wokół własnej osi ze znaczna prędkością to ciało upuszczone w wysokiej wieży powinno upaść nie u jej podnóża ale znacznie dalej ( na zachód ), co wynika z „faktu” iż w czasie jego lotu w dół Ziemia przesunęła się o pewien odcinek na wschód. Podobnie pocisk wystrzelony z tego samego działa wystrzelony na wschód powinien dolatywać znacznie dalej niż ten sam pocisk wystrzelony na zachód.

Zarzuty takie wydawały się poważne, gdyż opierały się na „zdrowym rozsądku” i codziennej prostej obserwacji zachowania się poruszających się ciał.

Kluczowym dla rozwiązania tego problemu jest pojęcie „impetu” - „siły ożywiającej ciała poruszające się i która zużywa się w czasie ruchu”.

Dzięki takiemu impetowi możemy wyjaśnić dlaczego ciało spadające z wieży upada u jej podnóża :

w chwili upuszczenia posiada ono ten sam „impet” co i wieża, który związany jest z lokalną prędkością liniową Ziemi. ( dziś powiedzielibyśmy, że posiada tą samą prędkość styczną )

Giordano Bruno podaje przykład doświadczalnego sprawdzenia tego rozumowania : wyrzućmy kamień ze szczytu masztu płynącego statku, następnie zbadajmy w które miejsce upada – u podnóża masztu czy w pewnej odległości od niego ( zgodnej z kierunkiem ruchu statku )

Zasługą Galileusza było dokładne uchwycenie zagadnienia ruchu bezwładnego, które przedstawia w wiekopomnym dziele pt. „Dialog o dwu najważniejszych układach świata, ptolemeuszowym i kopernikowym”

( Florencja 1632 )

Dialog toczony w dniu drugim ( dialog odbywa się między wyimaginowanymi osobami: Salvato, Sagredo – zwolennicy poglądów Galileusza, Simplicio – zwolennik filozofii Arystotelesa ) dotyczy dobowego obrotu Ziemi, analizowane są i zbijane argumenty wysuwane przeciwko systemowi Kopernika wprowadzone są również zasady względności ruchu, bezwładności ruchu jak również zasada niezależności ruchów. [ 1 str. 105 ]

Galileusz w pięknym obrazowym stylu przekonuje do swoich racji :

„Dajcie się zamknąć z jakimś przyjacielem w możliwie obszernym pomieszczeniu pod pokładem dużego statku i napuśćcie tam much, motyli i innych podobnych małych latających zwierzątek. Niech będzie tam także duże naczynie z woda i w nim rybki. Powieście także u sufitu wiadro , z którego kropla po kropli wyciekałaby woda do drugiego naczynia z wąskim otworem znajdującym się pod wiadrem. Jak długo statek nie porusza się, obserwujcie, jak wszystkie latające owady będą latać z równą prędkością we wszystkie strony kajuty. Zobaczycie , że ryby będą pływać bez żadnej różnicy we wszystkie strony , spadające krople będą wszystkie spadać w podstawione naczynie. I wy rzucając

przyjacielowi jakikolwiek przedmiot nie będziecie używać większej siły przy rzucaniu w jedną stronę niż w drugą, jeżeli tylko odległości są równe. Skacząc będziecie przebywać jednakowe odległości w każdą stronę , w jakąkolwiek byście nie skoczyli. Zaobserwujcie szczegółowo wszystkie te zjawiska i następnie wprawcie w ruch statek nadając mu jakakolwiek szybkość. Jeżeli ruch będzie jednostajny , nie zauważycie najmniejszej zmiany we wszystkich wymienionych zjawiskach i według żadnego z nich nie będziecie mogli stwierdzić, czy statek porusza się czy stoi w miejscu”

Wniosek z rozważań Galileusza będzie jeden : żadne doświadczenie mechaniczne nie może upewnić nas czy poruszamy się ruchem jednostajnym prostoliniowym czy też spoczywamy. ( stylizacja współczesna )

( dodajmy – względem pewnego IUO )

W dalszych badaniach Galileusz rozpatruje ruch ciała na równi pochyłej ( bez tarcia ). Wnioskiem z tych badań będzie stwierdzenie : „...jeżeli pominąć opory ruchu, ciało raz wprawione w ruch poruszać się będzie ruchem jednostajnym prostoliniowym ( w nieskończoność lub w przypadku ruchu na kuli ruch będzie periodyczny ).

Przez równy albo jednostajny rozumiem ruch taki, gdy w jakichkolwiek równych sobie odstępach czasu ciała przebiegają drogi równe”

Dobrym przykładem metody Galileusza jest jego praca o wahadle. Abstrahuje on od czynników ”nieistotnych” w danej sytuacji ( pomija opory ruchu, przyjmuje idealizacje punktu materialnego oraz idealizacje modelu linki na której

zawieszono obciążenie). Używając takiego modelu mógł on udowodnić, że okres oscylacji jest niezależny od wychylenia

( przy małych wychyleniach ) i jest wprost proporcjonalny do pierwiastka kwadratowego z długości linki. Mając do dyspozycji te wyniki mógł on w dalszej kolejności wprowadzić

( niezależnie ) czynniki poprzednio usunięte tzn. urealniał swój model.

Do klasyki przechodzi również „eksperyment” Galileusza polegający na upuszczaniu różnych ciężarów z wysokiej wieży. Zwalczając założenie Arystotelesa, że prędkość spadania jest proporcjonalna do ciężaru ośmiesza on pogląd iż jeden z kamieni, stukrotnie cięższy od drugiego spadnie sto razy szybciej od tego drugiego. Jednak droga do zasady równoważności była jeszcze daleka, bowiem w dziele pt. „De motu” Galileusz pisze :

„... jeżeli je upuścić [ dwa ciała jedno z ołowiu drugie z drewna – dopisek R.W ] z wysokiej wieży, ołów wyprzedzi drzewo o znaczną odległość ... i często to sprawdzałem”

Najbardziej precyzyjne sformułowanie zasady bezwładności podał Descarte’s (Kartezjusz ) :

„Uważam, że natura ruchu jest taka, że jeżeli jakieś ciało raz zostanie wprawione w ruch, to to samo już wystarczy, by poruszało się dalej z tą samą szybkością i stale w tym samym kierunku po prostej, tak długo, aż nie zostanie zatrzymane lub odchylone przez jakąś inną przyczynę”

Jest to właściwie już sformułowane I prawo Newtona :

„Każde ciało pozostaje w swym stanie spoczynku lub jednostajnego ruchu po prostej o tyle i tak długo, aż nie zostanie zmuszone do zmiany swego stanu przez przyłożone siły”

„Rewolucje w dynamice XVII w. spowodowało zastąpienie arystotelesowskiego pojęcia ruchu jako procesu stawania się, wymagającego dla swego podtrzymania ciągłego działania przyczyny sprawczej – pojęciem bezwładności, zgodnie z którym ruch jednostajny po linii prostej jest po prostu stanem ciała, podobnie jak spoczynek.” [ 14 tom II str. 170 ]

5) Współczesny punkt widzenia.

Śledząc historię rozwoju mechaniki klasycznej ( zwłaszcza w okresie od XIII do XVI wieku ) widać wyraźnie z jakim trudem dochodzono do metod i pojęć, które dzisiaj stanowią program wykładu szkoły podstawowej i średniej.

Współcześnie mechanika ( rozumiana jako kinematyka + dynamika ) poprzez zastosowanie odpowiednich metod matematycznych m.in. pojęć analizy i rachunku wektorowego nie wydaje się trudna do opanowania i nie nastręcza większych problemów (oczywiście mowa o elementarnym jej ujęciu ).

U jej podstaw znajdujemy problemy, których sformułowanie tradycja przypisuje Galileuszowi.

Problemy te z dzisiejszej perspektywy wydają się trywialne, jednak warto się nad nimi głębiej zastanowić.

I. Zagadnienie niezależności ruchu.

Pytanie : Czy jeden rodzaj ruchu np. ruch w kierunku środka Ziemi może być niezależny np. od ruchu bezwładnego, stycznego do powierzchni Ziemi ?

Uczeni średniowieczni mieli z tym pytaniem problem, rozwiązał go dopiero Galileusz odwołując się do doświadczenia.

Klasycznym przykładem ruchu złożonego jest ruch kuli armatniej – wiemy, że wystrzelona kula porusza się z prędkością, która jest wypadkową prędkości początkowej o kierunku zgodnym z kierunkiem nachylenia armaty, oraz prędkości lokalnego spadku swobodnego.

Rys. 1.5 Średniowieczna teoria ruchu pocisku jako złożenie ruchu prostoliniowego i kołowego.

W czasach średniowiecza uważano, że droga pocisku dzieli się na trzy części : początkowy ruch prostoliniowy, następnie ruch po wycinku koła i na końcu pionowe spadanie. Galileusz odkrył, że prędkość spadającego ciała rośnie ze stałą szybkością tzn. ruch jest ruchem o stałym przyspieszeniu, pozwoliło mu to wydedukować, że tor jest paraboliczny.

Rys. 1.6 Współczesny przykład rozkładu wektora prędkości – rzut poziomy w polu grawitacyjnym.

Z dzisiejszej perspektywy powiemy, że ruch w polach sił nie zależnych od prędkości ( np. ruch w polu grawitacyjnym ) może być „rozłożony” na niezależne składowe, zgodne z rozkładem (lokalnym) wektora prędkości wypadkowej.

II. Zagadnienie ruchu bezwładnego i względności ruchu.

Z doświadczeń Galileusza wiemy, że ciała materialne posiadają specjalną własność zwaną bezwładnością.

Należy w pierwszej kolejności podkreślić, że pojęcia, takie jak : bezwładności, względność ruchu, pierwsza zasada dynamiki, pęd, energia kinetyczna są ściśle ze sobą związane.

Pierwsza zasada dynamiki nazywa się „prawem bezwładności” i właściwie stwierdza, że każdy ruch bezwładny jest ruchem względnym.

Każde ciało materialne któremu nadamy pewną prędkość początkową ( jeżeli pominąć opory ruchu) będzie poruszało się z taką prędkością w nieskończoność ( lub aż nie zostanie zatrzymane ), to oznacza, że ciału temu nadajemy pewien pęd p (wielkość wektorową ) i związaną z nim energię kinetyczną T ( wielkość skalarną ), wielkości te zostają zachowany podczas ruchu swobodnego ( zasada zachowania pędu i energii całkowitej ).

Wiemy oczywiście, że między tymi wielkościami zachodzi elementarny związek : p = ∂T/∂v

Wiadomo również, że taki ruch bezwładny jest ruchem względnym tj. żadne doświadczenie ( mechaniczne w przypadku zasady względności Galileusza ) nie może powiedzieć obserwatorowi związanemu z układem poruszającym się takim ruchem, czy istotnie w klasie takich układów ( zwanych inercjalnymi ) to on się porusza czy poruszają się inni.

Ruch bezwładny i spoczynek są nierozróżnialne – prędkość jest zatem wielkością względną.

Mówimy zatem , że ruch bezwładny definiuje szczególną klasę układów odniesienia – Inercjalnych Układów Odniesienia.

Równanie opisujące ruch bezwładny ma postać : dv/dt = 0 ⇒ v = const.

Jest to bardzo szczególna cecha natury ruchu, każda zmiana wektora prędkości wymaga działania siły – sam ruch bezwładny nie wymaga udziału siły

( poza ewentualnym „momentem” w którym nadajemy ciału prędkość ).

Z analizy takiego ruchu możemy wyciągnąć pewien bardzo ważny wniosek – jeżeli ruch swobodny jest „zachowany”

tzn. spełniona jest zasada zachowania pędu to przestrzeń w jakiej się on odbywa jest izotropowa tj. nie wyróżnia żadnego kierunku. Jeżeli jest względny to nie wyróżnia żadnego punktu ( co odpowiada zasadzie zachowania energii całkowitej – dla nas interesująca jest energia kinetyczna ).

Generalnie w całej fizyce teoretycznej, bardzo użyteczne wnioski, dotyczące własności przestrzeni w jakiej odbywa się ruch można wyciągnąć z analizy własności takiego ruchu w zadanej przestrzeni

( przestrzeni wolnej od działania pól sił lub w przestrzeni w której obecne są konkretnego pola siły ) Przywołajmy pewien użyteczny cytat :

„...W takim razie możemy wypowiedzieć ogólne twierdzenie : jeśli dla jakiejkolwiek formy materii mamy prawa jej ruchu w formie równań różniczkowych, to te równania zawierają również informacje o strukturze przestrzeni i czasu.”

[ „Wykłady z teorii względności i grawitacji - współczesna analiza problemów”

A.A. Łogunow Moskwa „Nauka” 1987 str. 16 ( tłumaczenie własne ) ]

Jest to znacząca zmiana w stosunku do „świata” Arystotelesa, który nie był ani jednorodny, bo wyróżniał jeden punkt – środek Ziemi, ani izotropowy – istniał uprzywilejowany kierunek „ku środkowi” Ziemi.

Jak wiadomo zasada względności Galileusza dotyczyła tylko zjawisk mechanicznych, Einstein rozszerzył ją na zjawiska elektromagnetyczne tzn. - za pomocą żadnego zjawiska ani mechanicznego ani elektromagnetycznego nie możemy wykryć absolutnego spoczynku. Póki co to możemy rozciągnąć ta zasadę znacznie dalej :

żadne zjawisko fizyczne ( jądrowe, elektrosłabe itp. ) nie „preferuje” absolutnego spoczynku.

( przynajmniej nic autorowi nie wiadomo aby było inaczej )

Jest to kamień węgielny fizyki – przestrzeń „swobodna” jest izotropowa i jednorodna.

( przestrzeń swobodna to przestrzeń w której nie działają żadne siły ).

Oczywiście obecność siły ( pola siły, związanego z konkretnym oddziaływaniem ) łamie zasadę względności – przestrzeń nie musi być już ani anizotropowa ani jednorodna. Wyróżnionym kierunkiem jest kierunek działania siły – kierunek lokalnego wektora siły, wyróżnionym punktem jest ( o ile można go wskazać ) punkt związany z centrum siły.

( stosując się do takiego postawienia sprawy „świat” Arystotelesa jest jak widać związany z lokalnym polem siły - Ziemskiej siły grawitacji )

Z zasady bezwładności wynika (empirycznie) II zasada dynamiki :

dp/dt = F

--- prawo ruchu cząstki próbnej – zmiana pędu --- --- odchylenie od przestrzeni swobodnej – działająca siła -- Można oczywiście zastanowić się dlaczego to akurat druga pochodna wektora prędkości ( przyspieszenie ) jest wyróżnikiem ruchu nieswobodnego – okazuje się, ze problem ten związany z spełnieniem zasady superpozycji.

Dla wyższych pochodnych nie jest ona spełniona.