Paweł Tarasiuk, 151021
Ćwiczenie 79.
Czy możliwe jest przejście szachownicy n × n, n ∈ N ruchem skoczka szachowego, tak by każdy z możliwych ruchów był wykonany dokładnie raz (w jednym lub drugim kierunku)?
Rozwiązanie
Rozważmy graf G(V, E, γ) w którym V jest zbiorem pól rozważanej szachownicy, oraz dwa wierzchołki są sąsiadami wtedy i tylko wtedy gdy skoczek szachowy może się między nimi przemieścić w pojedynczym ruchu.
Opisane przejście będzie możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy graf będzie eule- rowski albo półeluerowski.
Przypadki n = 1 oraz n = 2 są szczególne, gdyż na takich szachownicach skoczek nie może wykonywać żadnych ruchów (mamy więc do czynienia z grafami pustymi). W grafach pustych wszystkie wierzchołki są stopnia 0 oraz nie da się wskazać dwóch różnych składowych, w których znajdowałyby się krawędzie - zatem w myśl twierdzenia 21. i uwagi 8. można je prawdopodob- nie uznać za grafy eulerowskie (a zatem spełniające warunki zadania). Roz- strzygnięcie tego przypadku zdaje się jednak wymagać specjalnych umów co do wykorzystanych definicji.
Rozważmy przypadek dla n = 3. Dla każdego pola szachownicy zapiszmy stopień wierzchołka grafu reprezentującego to pole:
2 2 2
2 0 2
2 2 2
Zauważmy, że każda para spośród ośmiu pól (poza środkowym) jest wza- jemnie osiągalna (z każdego z tych pól da się w 5 ruchach przejść do pola sąsiedniego, zatem przez indukcję można wykazać istnienie połączenia po- między dowolnymi dwoma polami, jako ciąg przejść między polami sąsied- nimi). Zatem wszystkie wierzchołki grafu są stopnia parzystego oraz tylko jedna składowa zawiera krawędzie - graf zatem jest eulerowski, czyli opisane przejście szachownicy skoczkiem jest możliwe.
1 / 2
Paweł Tarasiuk, 151021
Rozważmy przypadek n 4, w tym klasyczną szachownicę, gdzie n = 8.
Wówczas (wielokropki mogą być w szczególności puste - nie interesują nas stopnie zawartych w nich pól, gdyż rozstrzygnięcie będzie możliwe w oparciu o samo otoczenie narożników):
2 3 · · · 3 2 3 4 · · · 4 3 ... ... . .. ... ...
3 4 · · · 4 3 2 3 · · · 3 2
Każde 8 pól mających wspólny bok z narożnikami (na mocy n 4, jest to 8 parami różnych pól) umożliwia skoczkowi wykonanie trzech róż- nych ruchów na inne pola, a co dla naszego grafu oznacza obecność ośmiu wierzchołków stopnia 3. Ponad dwa wierzchołki są stopnia nieparzystego, więc w takim grafie nie może istnieć cykl ani ścieżka Eulera, co należało rozstrzygnąć.
2 / 2
