Podstawy Automatyki Wykład 3 - Modelowanie układów automatyki, schematy blokowe dr inż. Jakub Możaryn

(1)

Podstawy Automatyki

Wykład 3 - Modelowanie układów automatyki, schematy blokowe

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki, Wydział Mechatroniki PW

Warszawa, 2018

(2)

Projektowanie układu regulacji

(3)

Linearyzacja

Obiekty (procesy) rzeczywiste, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p.

turbulencje,

wiele stanów stabilnych, histereza,

straty energii w wyniku tarcia.

W praktyce, dla uproszczenia opisu matematycznego przeprowadza się li- nearyzację, co pozwala na sformułowanie przybliżonego opisu liniowego zjawiska, ważnego w otoczeniu wybranego punktu pracy na charaktery- styce statycznej - punkt ten odpowiada najczęściej nominalnym lub uśred- nionym warunkom pracy układu.

Stosowany aparat matematyczny:

opis zjawiska w postaci równań różniczkowych, linearyzacja modelu,

rachunek operatorowy- transmitancja operatorowa.

(4)

Metody opisu działania elementów (układów) liniowych

Podstawowymi formami matematycznego opisu zjawiska (układu) stoso- wanymi w automatyce są:

równanie dynamiki, transmitancja operatorowa, równania stanu.

W przypadku elementu (układu) o jednym sygnale wejściowym x (t) i jed- nym sygnale wyjściowym y (t) równanie dynamiki wyraża związek zacho- dzący pomiędzy sygnałem wyjściowym y (t) i sygnałem wejściowym x (t).

Rysunek 1:Proces - przyczynowo-skutkowy ciąg zdarzeń

(5)

Opis matematyczny układów liniowych - równania dynamiki

Zasada superpozycji:

f (x1+ x2) = f (x1) + f (x2), i f (0) = 0 (1) przestrzeń rozwiązań równania spełniającego zasadę superpozycji (1) jest przestrzenią liniową.

Jednorodność (implikuje niezmienność skalowania):

Funkcja f (x , y ) jest jednorodna w stopniu k jeżeli

f (βx , βy ) = β^kf (x , y ), i f (0) = 0. (2) gdzie: β - stały współczynnik.

Układ liniowy

Układ opisany funkcją jednorodną, w którym zachowana jest zasada superpozycji.

Układ nieliniowy

Układ, w którym nie jest zachowana jest zasada superpozycji i/lub nie jest opisany funkcją jednorodną.

(6)

Algebra schematów blokowych

Schemat blokowy

Schemat blokowy (strukturalny):

przedstawia wzajemne powiązania pomiędzy poszczególnymi zespołami analizowanego elementu lub układu, tzn. podane są kierunki przepływu sy- gnałów oraz związki między sygnałami wejściowymi i wyjściowymi wszyst- kich podzespołów analizowanego układu.

Schemat blokowy zarówno pojedynczego elementu jak i układu złożonego jest formą matematycznego opisu jego działania – jednoznacznie wyraża zależność sygnałów wyjściowych od sygnałów wejściowych, jeżeli znane są opisy właściwości elementów składowych.

(7)

Algebra schematów blokowych

Rysunek 2:Przykładowy schemat blokowy

(8)

Elementy schematu blokowego

Blok: prostokąt ze strzałkami reprezentują- cymi jego sygnał wejściowy i wyjściowy, we- wnątrz którego jest wpisana jego funkcja

y (s) = G (s)u(s)

Węzeł informacyjny (zaczepowy): repre- zentuje na schematach blokowych urządze- nia, które pozwalają pobierać informację i przesyłać ją do kilku gałęzi układu.

Węzły sumacyjny: reprezentuje na schema- tach blokowych urządzenia, w których zacho- dzi algebraiczne (z uwzględnieniem znaków) sumowanie sygnałów.

z = u − y (3)

(9)

Rodzaje połączeń

Stosując odpowiednie przekształcenia, każdy pierwotny schemat blo- kowy można doprowadzić do postaci, w której występują jedynie cztery rodzaje połączeń elementów, zwane połączeniami elementarnymi.

Są to:

połączenie szeregowe (łańcuchowe), połączenie równoległe,

ujemne sprzężenie zwrotne, dodatnie sprzężenie zwrotne.

(10)

Rodzaje połączeń

Połączenie

szeregowe G (s) = G1(s)G2(s)

Połączenie

równoległe G (s) = ±G₁(s)±G₂(s)

Ujemne sprzężenie

zwrotne G (s) = ±G1(s)

1 + G1(s)G2(s)

Dodatnie sprzężenie

zwrotne G (s) = ±G1(s)

1 − G₁(s)G₂(s)

(11)

Przekształcanie schematów - węzły informacyjne

Przenoszenie węzła informacyjnego z za bloku przed blok

Zmiana kolejności wę- złów informacyjnych

Przenoszenie węzła informacyjnego sprzed bloku za blok

(12)

Przekształcanie schematów - węzły sumacyjne

Przenoszenie węzła sumacyjnego sprzed bloku za blok

Przenoszenie węzła sumacyjnego z za bloku przed blok

Rozdzielanie węzła sumacyjnego wielowej- ściowego

Zmiana kolejności wę- złów sumacyjnych

(13)

Przekształcanie schematów - węzły informacyjne i sumacyjne

y (s) = u1(s) − u2(s) (4)

(14)

Przekształcanie schematów - przykład 1

Przekształcić do postaci jednej funkcji poniższy układ, gdzie 1 i 2 - węzły sumacyjne.

(15)

Przekształcanie schematów - przykład 1

Korzystamy z reguł: a) przesunięcie węzła sumacyjnego (2) za blok, b) zamiana węzłów sumacyjnych (1) i (2).

(16)

Przekształcanie schematów - przykład 1

gdzie

G⁰(s) = 1 + 1

G₁(s) (5)

G⁰⁰(s) = G1(s)

1 − G1(s)G2(s) (6)

ostatecznie G(s) =

1 + 1

G1(s)

G₁(s)

1 − G1(s)G2(s)= 1 + G₁(s)

1 − G1(s)G2(s) (7)

(17)

Wpływ sprzężenia zwrotnego

Rysunek 3:Układ sterowania

Gdzie: k - parametr sterownika (wartość, którą możemy nastawić).

y (t) = 5k · yr(t) (8)

Pytanie: Jaką wartość powinien mieć parametr k, żeby na wyjściu procesu uzyskać zadaną odpowiedz układu?

(18)

Wpływ sprzężenia zwrotnego

Gdzie:k - parametr sterownika (wartość, którą możemy nastawić).

y (t) = 5k · y_r(t) (9)

y (t)

yr(t) = 1 → yr(t) = 5k · yr(t) → k = 1

5 (10)

(19)

Wpływ sprzężenia zwrotnego

Gdzie:k - parametr sterownika (wartość, którą możemy nastawić).

y (t) = 5k · yr(t) (11)

y (t)

yr(t) = 1 → y_r(t) = 5k · y_r(t) → k = 1

5 (12)

Problem: Żeby precyzyjnie uzyskać zadaną odpowiedz układu, musimy znać dokładny model procesu. W rzeczywistości proces modelowany jest w sposób przybliżony.

(20)

Wpływ sprzężenia zwrotnego

Rysunek 6:Układ regulacji

y (t) = 5k

1 + 5k · yr(t) (13)

(21)

Wpływ sprzężenia zwrotnego

Rysunek 7:Układ regulacji

y (t) = 5k

1 + 5k · yr(t) (14)

y (t) = 5k k 1

k + 5

 · yr(t) → y (t) = 5 1 k + 5

· y_r(t) (15)

(22)

Wpływ sprzężenia zwrotnego

y (t) = 5k k 1

k + 5

 · yr(t) → y (t) = 5 1 k + 5

· yr(t) (16)

Z równania (15) wynika, że parametr k powinien mieć bardzo dużą wartość.

Przy k → ∞ ułamek 1

k → 0 i w takim wypadku y (t) → yr(t).

Zalety: Przy odpowiednio dużej wartości parametru k (tzw. wzmocnienia) wyjście z procesu będzie ’śledziło’ zadaną odpowiedz układu, niezależnie od modelu procesu.

Uwaga: Dotyczy to tylko procesów o charakterze zbliżonym do liniowego, osiągającymi stan ustalony przy t → ∞.

(23)