Geometria klasyczna
Maciej Czarnecki
Spis treści
1 Aksjomaty geometrii 3
1.1 Aksjomaty Euklidesa . . . 3
1.2 Aksjomaty Hilberta . . . 3
2 Geometria metryczna 6 2.1 Przestrzenie metryczne i izometrie . . . 6
2.2 Geodezyjne . . . 7
2.3 Pojęcia metryczne . . . 8
3 Geometria euklidesowa 10 3.1 Geodezyjne w przestrzeni euklidesowej . . . 10
3.2 Wzory trygonometryczne . . . 11
3.3 Izometrie przestrzeni euklidesowej . . . 14
3.4 Pole trójkąta i długość krzywej . . . 16
4 Geometria sferyczna 18 4.1 Odległość sferyczna . . . 18
4.2 Trygonometria sferyczna . . . 21
4.3 Izometrie sferyczne . . . 24
4.4 Pole trójkąta sferycznego . . . 26
5 Geometria konforemna 28 5.1 Inwersje . . . 28
5.2 Dyfeomorfizmy konforemne . . . 29
6 Geometria hiperboliczna 31 6.1 Funkcje hiperboliczne . . . 31
6.2 Czasoprzestrzeń i przestrzeń hiperboliczna . . . 32
6.3 Odległość hiperboliczna . . . 33
6.4 Trygonometria hiperboliczna . . . 36
6.5 Model w kuli i na półprzestrzeni . . . 39
6.6 Brzeg idealny . . . 43
6.7 Izometrie hiperboliczne . . . 45
6.8 Pole hiperboliczne . . . 48
6.9 Podzbiory przestrzeni hiperbolicznej . . . 50
7 Geometria w niskich wymiarach 51 7.1 Rozmaitości topologiczne i różniczkowe . . . 51
7.2 Grupy i ich działania . . . 52
7.3 Struktury geometryczne . . . 52
7.4 Uniformizacja w wymiarze 2 . . . 53
7.5 Geometryzacja w wymiarze 3 . . . 53
Rozdział 1
Aksjomaty geometrii
1.1 Aksjomaty Euklidesa
Euklides sformułował w dziele Elementy następujące aksjomaty geometrii płaskiej:
1. Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem.
2. Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie, otrzymując pro- stą.
3. Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w jednym z jego punktów końcowych i promieniu równym jego długości.
4. Wszystkie kąty proste są przystające.
5. Przez dany punkt można poprowadzić co najwyżej jedną prostą roz- łączną z daną prostą.
1.2 Aksjomaty Hilberta
David Hilbert podał układ aksjomatów dla geometrii bez względu na wymiar.
Ograniczenie się do przypadku dwuwymiarowego daje nieco prostszy, bardziej intuicyjny i bliższy euklidesowemy pierwowzorowi układ pewników.
Pojęciami pierwotnymi są:
• płaszczyzna P,
• proste — podbiory płaszczyzny P; ich zbiór oznaczymy przez L,
• odległość geometryczna — funkcja d : P × P → R ∪ {0}.
Aksjomatami Hilberta geometrii dwuwymiarowej są:
Aksjomaty incydencji
(I1) Dla dowolnych różnych punktów A, B ∈ P istnieje dokładnie jedna prosta l ∈ L taka, że A, B ∈ l.
Oznaczamy ją przez (AB)
(I2) Każda prosta ma co najmniej dwa punkty.
(I3) Istnieją trzy punkty nie należące do jednej prostej.
Takie punkty nazywamy niewspółliniowymi.
Aksjomaty uporządkowania
(O1) Na każdej prostej istnieją dwa wzajemnie odwrotne relacje liniowego porządku.
Jeżeli jedną z nich oznaczymy przez ≺ (a przez X Y rozumiemy X ≺ Y lub X = Y ), to odcinkiem [AB] nazywamy zbiór {X ∈ (AB) ; A X B}, a półprostą AB→ zbiór {X ∈ (AB) ; A X B}, gdy A ≺ B
(O2) (aksjomat Pascha) Jeżeli punkty A, B, C są niewspółliniowe, a l ∈ L, to jeżeli l ∩ [AB] 6= ∅, to l ∩ [AC] 6= ∅ lub l ∩ [BC] 6= ∅.
Aksjomaty odległości
(D1) Dla dowolnych A, B ∈ P: d(B, A) = d(A, B)
(D2) Dla dowolnych A, B ∈ P: d(A, B) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy A = B.
(D3) C ∈ [AB] wtedy i tylko wtedy, gdy d(A, B) = d(A, C) + d(C, B).
Aksjomaty symetrii
(S1) Dla dowolnej prostej l ∈ L istnieje dokładnie jedna funk- cja sl odwzorowująca płaszczyznę P na siebie przeprowadzająca proste na proste, zachowująca odległość d i taka, że zbiorem jej wszystkich punktów stałych jest prosta l.
(S2) Dla dowolnych półprostych AB→ i AC→istnieje co najmniej jedna prosta l taka, że sl(AB→) = AC→.
Aksjomat równoległości
(E) (aksjomat Euklidesa) Dla dowolnej prostej l ∈ L i dowolnego punktu A ∈ P \ l istnieje dokładnie jedna prosta m ∈ L taka, że A ∈ m oraz m ∩ l = ∅.
Rozdział 2
Geometria metryczna
2.1 Przestrzenie metryczne i izometrie
Definicja 2.1.1. Przestrzenią metryczną nazywamy parę uporządkowaną (X, d), gdzie X jest zbiorem niepustym, zaś d : X × X → R, spełniającą warunki:
∀x,x0∈X (d(x, x0) = 0 ⇐⇒ x = x0)
∀x,x0∈X d(x, x0) = d(x0, x)
∀x,x0,x00∈X d(x, x0) + d(x0, x00) ¬ d(x, x00)
Funkcję d nazywamy wówczas odległością (lub metryką) w zbiorze X.
Przykład 2.1.2. Każda przestrzeń liniowa z iloczynem skalarnym (w szcze- gólności każda przestrzeń euklidesowa) lub z normą jest przestrzenią me- tryczną, gdy odległość określimy wzorem (u, v) 7→ ku − vk.
Definicja 2.1.3. Włożeniem izometrycznym przestrzeni metrycznej (X, d) w przestrzeń metryczną (Y, ρ) nazywamy funkcję f : X → Y spełniającą warunek
∀x,x0∈X ρ(f (x), f (x0)) = d(x, x0).
Izometrią nazywamy funkcję działającą z X na Y spełniającą powyższy wa- runek.
Zbiór wszystkich izometrii przestrzeni X na siebie oznaczamy przez Isom(X).
Definicja 2.1.4. W przestrzeni metrycznej (X, d) kulą (otwartą) o środku z ∈ X i promieniu r > 0 nazywamy zbiór
B(z, r) = {x ∈ X ; d(x, z) < r}.
Zbiór
B(z, r) = {x ∈ X ; d(x, z) ¬ r}
nazywamy kulą domkniętą.
Uwaga 2.1.5. Przestrzeń metryczna jest przestrzenią topologiczną T4 (nor- malną), a bazę topologii pochodzącej od metryki stanowią kule otwarte.
2.2 Geodezyjne
Definicja 2.2.1. Geodezyjną w przestrzeni metrycznej (X, d) nazywamy funkcję c : [a, b] → X spełniającą warunek
∀t,t0∈[a,b] d (c(t), c(t0)) = |t − t0|
Innymi słowy, geodezyjna jest włożeniem izometrycznym przedziału domknię- tego i ograniczonego zawartego w R w przestrzeń metryczną (X, d).
Funkcję c : [a, b] → X dla której istnieje K > 0 takie, że
∀t,t0∈[a,b] d (c(t), c(t0)) = K |t − t0| nosi nazwę geodezyjnej sparametryzowanej liniowo.
Definicja 2.2.2. Prostą (odpowiednio półprostą) geodezyjną w przestrzeni metrycznej nazywamy włożenie prostej rzeczywistej R (odpowiednio półpro- stej rzeczywistej [a, +∞)) w tę przestrzeń metryczną.
Definicja 2.2.3. Odcinkiem (odpowiednio półprostą, prostą) w przestrzeni metrycznej nazywamy obraz geodezyjnej (odpowiednio półprostej geodezyj- nej, prostej geodezyjnej).
Przykład 2.2.4. 1. W przestrzeni dyskretnej nie ma geodezyjnych.
2. Tożsamość na dowolnym odcinku prostej rzeczywistej R jest geode- zyjną.
3. W przestrzeni E2 funkcja t 7→ (t, 0) jest geodeyzjną.
4. Na sferze jednostkowej
S2 = {(x, y, z) ; x2+ y2+ z2 = 1} ⊂ R3
z odległością kątową odcinkami geodezyjnymi są łuki okręgów wielkich czyli przekrojów sfery S2 płaszczyznami przechodzącymi przez począ- tek układu współrzędnych.
5. Biegun północny N (0, 0, 1) z biegunem południowym S(0, 0, −1) sfery S2 łączy nieskończenie wiele geodezyjnych — są nimi południki.
6. Na płaszczyźnie R2 z metryką miejską
ρ((x1, x2)) = |x1− x2| + |y1 − y2|
każde dwa różne punkty łączy nieskończenie wiele geodezyjnych.
Definicja 2.2.5. Mówimy, że przestrzeń metryczna (X, d) jest geodezyjną przestrzenią metryczną jeżeli dowolne dwa jej punkty można połączyć geo- dezyjną w tym sensie, że istnieje odcinek geodezyjny zawierający te punkty jako obrazy początku i końca przedziału.
Przestrzeń jest r–geodezyjna, gdzie r > 0, gdy dowolne dwa jej punkty odległe o co najwyżej r można połączyć geodezyjną.
Definicja 2.2.6. Przestrzeń metryczna (X, d) jest jednoznacznie geodezyjna, gdy dla dowolnych punktów x, x0 ∈ X takich, że d(x, x0) = l > 0 istnieje dokładnie jedna geodezyjna c : [0, l] → X spełniająca warunki c(0) = x, c(l) = x0.
O przestrzeni r–jednoznacznie geodezyjnej mówimy, gdy powyższy waru- nek jest spełniony dla punktów odległych o co najwyżej r.
2.3 Pojęcia metryczne
Definicja 2.3.1. Podzbiór A geodezyjnej przestrzeni metrycznej jest wy- pukły, gdy dla dowolnych punktów x, x0 ∈ A dowolny odcinek geodezyjny łączący te punkty jest zawarty w A.
Definicja 2.3.2. Niech (X, d) będzie geodezyjna przestrzenią metryczną.
Dla ustalonych geodezyjnych c : [0, l] → X i c0 : [0, l0] → X o wspólnym początku p = c(0) = c0(0) i ustalonych t ∈ (0, l] oraz t0 ∈ (0, l0] rozważmy kąt porównawczy punktów c(t) i c0(t0) w punkcie p
^p(c(t), c0(t0)) = arc cost2+ (t0)2− (d(c(t), c0(t0))2
2tt0 ,
czyli kąt trójkącie euklidesowym o bokach długości d(p, c(t)), d(p, c0(t0)), d(c(t), c0(t0)) leżący naprzeciwko boku o długości d(c(t), c0(t0)).
Kątem pomiędzy geodezyjnymi c i c0 nazywamy liczbę
^(c, c0) = lim sup
t,t0→0 ^p(c(t), c0(t0))
Definicja 2.3.3. Niech γ : [a, b] → X będzie funkcją ciągłą. Długością krzy- wej γ jest
l(γ) = sup
(n−1 X
i=0
d(γ(ti), γ(ti+1)) ; a = t0 < t1 < . . . < tn= b
)
Rozdział 3
Geometria euklidesowa
W przestrzeni liniowej Rn rozważamy standardowy iloczyn skalarny h., .i i pochodzącą od niego normę k.k .
3.1 Geodezyjne w przestrzeni euklidesowej
Definicja 3.1.1. Przestrzeń afiniczną En = (Rn, Rn, −) z odległością pocho- dzącą od standardowego iloczynu skalarnego, tzn, daną wzorem
d(A, B) = kB − Ak =
v u u t
n
X
i=1
(Bi− Ai)2 dla A, B ∈ En, nazywamy n–wymiarową przestrzenią euklidesową.
Stwierdzenie 3.1.2. Dla danego punktu A ∈ En i wektora u ∈ Rn takiego, że kuk = 1 oraz liczby a 0 funkcja c : [0, a] → En dana wzorem
c(t) = A + tu dla t ∈ [0, a]
jest geodezyjną w przestrzeni euklidesowej En.
Dowód: Dla t, t0 ∈ [0, a] z uwagi na kuk = 1 otrzymujemy
d(c(t), c(t0)) = kc(t) − c(t0)k = k(t − t0)uk = |t − t0| kuk = |t − t0|.
Wniosek 3.1.3. Dla dowolnego punktu A ∈ Eni wektora jednostkowego u ∈ Rn funkcja c : I → En dana wzorem c(t) = A + tu jest prostą geodezyjną w przestrzeni euklidesowej En, gdy I = R (odpowiednio półprostą geodezyjną, gdy I = [0, +∞)).
Twierdzenie 3.1.4. Niech A, B ∈ En oraz a = d(A, B) > 0.
Funkcja c : [0, a] → En jest geodezyjną łączącą punkt A z punktem B wtedy i tylko wtedy, gdy
c(t) = A + t
a(B − A) dla t ∈ [0, a].
Dowód: ”⇐” Załóżmy, że d(A, B) = kB − Ak = a i c(t) = A +at(B − A) dla t ∈ [0, a]. Wektor u = 1akB − Ak jest jednostkowy, więc ze stwierdzenia 3.1.2 wynika, że c jest geodezyjną. Ponadto c(0) = A, c(a) = B.
”⇒” Niech teraz d(A, B) = a i c : [0, a] → En będzie geodezyjną od A do B. Wówczas z warunku geodezyjnej dla t ∈ [0, a]
t = d(c(0), c(t)) = d(A, c(t)), oraz a − t = d(c(t), c(a)) = d(c(t), B), skąd
d(A, c(t)) + d(c(t), B) = d(A, B),
czyli c(t) należy do odcinka AB. Istnieje zatem s ∈ [0, 1] takie, że c(t) = A + s(B − A), a po podstawieniu
t = d(A, c(t)) = ks(B − A)k = skB − Ak = sa.
Zatem geodezyjna c jest dana wzorem c(t) = A + at(B − A). Wniosek 3.1.5. Przestrzeń metryczna En jest jednoznacznie geodezyjna.
Stwierdzenie 3.1.6. Każda kula w przestrzeni En jest wypukła.
3.2 Wzory trygonometryczne
Definicja 3.2.1. Dla danych punktów A, B, C ∈ En nie leżących na jednej prostej odcinki [A, B], [B, C], [C, A] nazywamy bokami, liczby
a = d(B, C), b = d(C, A), c = d(A, B)
— długościami boków, a liczby
α = arc cos hB − A, C − Ai kB − Ak kC − Ak, β = arc cos hA − B, C − Bi
kA − Bk kC − Bk, γ = arc cos hA − C, B − Ci
kA − Ck kB − Ck
— kątami wewnętrznymi trójkąta (euklidesowego) ABC.
Twierdzenie 3.2.2. (twierdzenie cosinusów) W trójkącie euklidesowym ABC
c2 = a2+ b2− 2ab cos γ.
Dowód: Z określenia długości boków w trójkącie wynika, że hA − C, B − Ci = ab cos γ.
Ponadto B − A = B − C − (A − C), więc c2 = kB − Ak2 = kB − C − (A − C)k2
= kB − Ck2+ kA − Ck2− 2hA − C, B − Ci = a2+ b2 − 2ab cos γ.
Wniosek 3.2.3. (twierdzenie Pitagorasa) W trójkącie euklidesowym ABC
c2 = a2+ b2 ⇐⇒ γ = π 2.
Stwierdzenie 3.2.4. (twierdzenie sinusów) W trójkącie euklidesowym
ABC a
sin α = b
sin β = c sin γ.
Dowód: Wykażemy pierwszą równość. Niech u = B − A, v = C − A, wówczas
α = ^(u, v), β = ^(−u, −u + v), a = ku − vk, b = kvk.
Ponieważ α, β ∈ (0, π), więc
sin α =√
1 − cos2α =
v u u
t1 − hu, vi2 kuk2kvk2 =
qkuk2kvk2− hu, vi2 kuk kvk oraz
sin β =q1 − cos2β =
v u u
t1 − hu, u − vi2 kuk2ku − vk2 =
qkuk2ku − vk2− hu, u − vi2 kuk ku − vk
=
qkuk4− 2kuk2hu, vi + kuk2kvk2− kuk4+ 2kuk2hu, vi − hu, vi2 kuk ku − vk
=
qkuk2kvk2− hu, vi2 kuk ku − vk .
Ostatecznie
a
sin α = kuk kvk ku − vk
qkuk2kvk2− hu, vi2 = b sin β .
Drugie równości dowodzimy analogicznie.
Stwierdzenie 3.2.5. Suma kątów w trójkącie euklidesowym wynosi π.
Dowód: Załóżmy, że 0 < α ¬ β ¬ γ < π. Z twierdzenia sinusów wynika istnienie liczby dodatniej D takiej, że
a = D sin α, b = D sin β, c = D sin γ, co po podstawieniu do twierdzenia cosinusów daje
D2sin2γ = D2sin2α + D2sin2β − 2D2sin α sin β cos γ,
a wraz z sin2γ = 1 − cos2γ — równanie kwadratowe ze względu na cos γ:
cos2γ − 2 sin α sin β cos γ + sin2α + sin2β − 1 = 0 o wyróżniku
∆ = 4(sin2α sin2β − sin2α − sin2β + 1) = 4(1 − sin2α)(1 − sin2β)
= (2 cos α cos β)2. Zatem
cos γ = sin α sin β + cos α cos β lub cos γ = sin α sin β − cos α cos β, inaczej
cos γ = cos(β − α) lub cos γ = cos(π − (α + β))
Zauważmy, że γ, β − α, π − (α + β) ∈ (−π, π). Na tym przedziale funkcja cos przyjmuje każdą wartość co najwyżej dwukrotnie, dla przeciwnych argumen- tów, co redukuje nasz wynik do
γ = |β − α| lub γ = |π − (α + β)|.
Równości
γ = β − α, γ = α − β, γ = α + β − π są sprzeczne z założeniem 0 < α ¬ β ¬ γ < π, pozostaje więc
α + β + γ = π.
3.3 Izometrie przestrzeni euklidesowej
Definicja 3.3.1. Hiperpłaszczyzną w przestrzeni euklidesowej Ennazywamy każdy jest podzbiór postaci
{Q ∈ En ; hQ − P, ui = 0}, gdzie P ∈ En, u ∈ Rn, kuk = 1.
Mówimy wtedy, że hiperpłaszczyzna przechodzi przez punkt P i jest pro- stopadła do wektora jednostkowego u.
Definicja 3.3.2. Symetrią hiperpłaszczyznową względem hiperpłaszczyzny H przechodzącej przez punkt P i jest prostopadłej do wektora jednostkowego u nazywamy przekształcenie rH przestrzenie En na siebie dane wzorem
rH(X) = X − 2hX − P, uiu dla X ∈ En.
Stwierdzenie 3.3.3. Symetria hiperpłaszczyznowa rH względem hiperpłasz- czyzny H ma następujące własności:
1. rH jest inwolucją, 2. rH jest izometrią,
3. H jest zbiorem punktów stałych przekształcenia rH.
Dowód: Niech H będzie hiperpłaszczyzną prostopadłą do wektora jed- nostkowego u i przechodzącą przez punkt P .
1. Dla X ∈ En
rH ◦ rH(X) = rH (X − 2hX − P, uiu)
= X − 2hX − P, uiu − 2 hX − 2hX − P, uiu − P, ui u
= X − 2hX − P, uiu − 2hX − P, uiu + 4hX − P, uihu, uiu = X
Stąd rH ◦ rH = idEn. 2. Dla X, Y ∈ En
|rH(X)rH(Y )|2 = krH(X) − rH(Y )k2
= kX − Y − 2hX − P − (Y − P ), uiuk2
= kX − Y k2+ 4hX − Y, ui2kuk2− 4hX − Y, uihX − Y, ui
= |XY |2, czyli rH zachowuje odległość.
3. Dla X ∈ En
rH(X) = X ⇔ X − 2hX − P, uiu = X ⇔ hX − P, ui = 0 ⇔ X ∈ H.
Twierdzenie 3.3.4. (Mazura–Ulama) Grupa Isom (En) jest izomorficzna z iloczynem półprostym grupy (Rn, +) oraz grupy (O(n), ·).
Innymi słowy, każda izometria przestrzeni euklidesowej En jest postaci x 7→ Ax + b ,
gdzie A ∈ O(n) i b ∈ Rn, przy czym wektor b i macierz A są wyznaczone jednoznacznie.
Dowód: Udowodnimy najpierw, że jeżeli izometria przestrzeni En prze- prowadza 0 na 0, to jest przekształceniem liniowym. Zastosujemy w tym celu wielokrotnie odległościowy warunek należenia do odcinka euklidesowego:
z ∈ xy ⇐⇒ |xz| + |zy| = |xy| .
Niech f ∈ Isom (En) i f (0) = 0. Ustalmy x ∈ En \ {0} i λ ∈ R \ {0}.
Punkty 0, x, λx są współliniowe, a dla λ 1 mamy x ∈ 0, λx. Pozostałe przypadki (λ < 0, 0 < λ < 1) są analogiczne.
Z warunku |0x| + |x, λx| = |0, λx|, izometryczności f i f (0) = 0 wynika, że
|0f (x)| + |f (x), f (λx)| = |0, f (λx)| ,
czyli f (x) ∈ 0, f (λx). Istnieje więc liczba k 1 taka, że f (λx) = kf (x).
Izometria gwarantuje zachowywanie odległości od 0, czyli także zachowy- wanie normy wektorów. Stąd
λkxk = kλxk = kf (λx)k = kkf (x)k = kkf (x)k = kkxk , czyli k = λ. Tym samym f jest przekształceniem jednorodnym.
Przekształcenie f jako izometria zachowuje środek odcinka, co wraz z właśnie udowodnioną jednorodnością daje dla x, y ∈ En
f (x + y) = f
2
1 2x +1
2y
= 2f
1 2x +1
2y
= 2
1
2f (x) + 1 2f (y)
= f (x) + f (y), czyli przekształcenie f jest liniowe.
Niech A będzie macierzą f w bazie kanonicznej. Stosując tożsamość po- laryzacyjną i fakt, że f : x 7→ Ax zachowuje normę otrzymujemy
hAx, Ayi = 1 4
kAx + Ayk2− kAx − Ayk2
= 1 4
kA(x + y)k2− kA(x − y)k2
= 1 4
kx + yk2− kx − yk2= hx, yi Tym samym macierz A jest ortogonalną, czyli A ∈ O(n).
Jeżeli teraz f jest izometrią i f (0) = b, to f1 : x 7→ f (x) − b jest izometrią przeprowadzającą 0 na 0. Istnieje więc macierz A ∈ O(n) taka, że Ax = f1(x) = f (x) − b dla x ∈ En, skąd f (x) = Ax + b.
Jednoznaczność A i b potwierdzamy podstawiając do wzoru punkty
0, e1, . . . , en.
Stwierdzenie 3.3.5. Każda izometria przestrzeni euklidesowej Enmoże być przedstawiona jako złożenie co najwyżej n+1 symetrii hiperpłaszczyznowych.
Stwierdzenie 3.3.6. Przestrzeń metryczna E2 spełnia aksjomaty Hilberta dla geometrii dwuwymiarowej.
3.4 Pole trójkąta i długość krzywej
Definicja 3.4.1. Polem trójkąta euklidesowego ABC nazywamy liczbę A(4ABC) = 1
2
q
det G(B − A, C − A)
= 1 2
v u u t
kB − Ak2 hB − A, C − Ai hC − A, B − Ai kC − Ak2
Stwierdzenie 3.4.2. Pole trójkąta euklidesowego ABC wyraża się wzorami:
1. A(4ABC) = 12ab sin γ,
2. A(4ABC) =qp(p − a)(p − b)(p − c), gdzie p = a+b+c2 . Dowód:
1. Stosujemy definicję pola trójkąta wyróżniając punkt C:
A(4ABC) = 1 2
qkB − Ck2kA − Ck2− hB − C, A − Ci2
= 1 2
q
a2b2− (ab cos γ)2 = 1
2abq1 − cos2γ = 1
2ab sin γ.
2. Z twierdzenia cosinusów
cos γ = a2+ b2− c2
2ab .
Zatem ze względu na γ ∈ (0, π)
sin γ = q1 − cos2γ =
v u u
t1 − a2+ b2− c2 2ab
!2
=
q(2ab − a2− b2+ c2)(2ab + a2+ b2− c2) 2ab
=
q((c2 − (a − b)2)) ((a + b)2− c2) 2ab
=
q
(−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c)(a + b + c)
2ab .
Jeżeli p = a+b+c2 , to p − a = −a + b + c
2 , p − b = a − b + c
2 , p − c = a + b − c
2 .
Ostatecznie na mocy punktu 1.
A(4ABC) = 1
2ab sin γ = 1 2ab
q16p(p − a)(p − b)(p − c) 2ab
=qp(p − a)(p − b)(p − c).
Uwaga 3.4.3. Każdy wielokąt jest sumą mnogościową rodziny trójkątów, w której częścią wspólną dowolnej nierozłącznej pary jest wspólny wierzcho- łek lub bok, zatem wzór na pole trójkąta pozwala obliczać pola dowolnych wielokątów euklidesowych.
Przybliżając dostatecznie ”porządną”figurę zawartą w E2 sumą rodziny trójkątów można obliczyć także jej pole.
Miary euklidesowe w wyższych wymiarach buduje się w oparciu o wyra- żony wyznacznikiem Grama wzór na objętość sympleksu.
Stwierdzenie 3.4.4. Długość (euklidesowa) krzywej γ = (γ1, . . . , γn) : [a, b] → En klasy C1 wyraża się wzorem
l(γ) =
Z b a
kγ0(t)k dt =
Z b a
q
(γ10(t))2+ . . . + (γn0(t))2dt
Rozdział 4
Geometria sferyczna
4.1 Odległość sferyczna
Niech h., .i i k.k oznaczają standardowy iloczyn skalarny i pochodzącą od niego normę w przestrzeni Rn+1, n 2.
Definicja 4.1.1. Zbiór
Sn= {x ∈ Rn+1 ; kxk = 1}
nazywamy sferą n–wymiarową.
Twierdzenie 4.1.2. Niech d : Sn× Sn→ R będzie funkcją, która dowolnym dwóm punktom A, B ∈ Snprzypisuje jedyną liczbę d(A, B) ∈ [0, π] spełniającą warunek
cos d(A, B) = hA, Bi.
Wtedy (Sn, d) jest przestrzenią metryczną.
Lemat 4.1.3. Niech P, Q ∈ Sn, d(P, Q) = r ∈ (0, π) oraz u = Q−cos r Psin r . Wówczas
hu, P i = 0, kuk = 1, Q = cos r P + sin r u.
Dowód: Niech P, Q, r, u będą takie jak w założeniach lematu. Wówczas hP, P i = hQ, Qi = 1, hP, Qi = cos r.
Stąd
hu, P i = 1
sin r (hQ, P i − cos rhP, P i) = 0, kuk2 = hu, ui = 1
sin2r
hQ, Qi − 2 cos rhQ, P i + cos2hP, P i= 1 − cos2r sin2r = 1, cos rP + sin ru = cos rP + Q − cos rP = Q.
Dowód twierdzenia 4.1.2: Z nierówności Schwarza wynika, że iloczyn skalarny dwóch punktów sfery jednostkowej należy do przedziału [0, π], na którym z kolei cosinus jest różnowartościowy, zatem funkcja d jest dobrze określona.
Symetria d wynika z symetrii iloczynu skalarnego, zaś dla A, B ∈ Sn d(A, B) = 0 ⇔ cos d(A, B) = 1 ⇔ hA, Bi = 1 ⇔ kAk kBk cos ^(A, B) = 1
⇔ cos ^(A, B) = 1 ⇔ A = B.
Pozostaje uzasadnić nierówność trójkąta. Niech punkty A, B, C ∈ Sn będą parami różne. Wówczas pośród nich są najwyżej dwa punkty antypodyczne, możemy więc założyć, że a = d(B, C), b = d(C, A) ∈ (0, π); oznaczmy po- nadto c = d(A, B).
Z lematu 4.1.3 wynika, że istnieją wektory u, v ∈ Rn+1 takie, że hu, Ci = hv, Ci = 0, kuk = kvk = 1,
A = cos b C + sin b u, B = cos a C + sin a v.
Stąd
cos c = cos d(A, B) = hA, Bi = hcos b C + sin b u, cos a C + sin a vi
= cos a cos b hC, Ci + cos a sin b hu, Ci + sin a cos b hC, vi + sin a sin b hu, vi
= cos a cos b + sin a sin b hu, vi cos a cos b − sin a sin b = cos(a + b).
Nierówność wynika z nierówności Schwarza |hu, vi| ¬ 1. Mamy więc cos c cos(a + b).
Jeżeli a+b < π, to monotoniczność cos |[0,π]daje nierówność trójkąta c ¬ a+b.
Jeżeli zaś a + b π, to także a + b c ∈ [0, π]. Wniosek 4.1.4. Różne punkty A, B, C ∈ Sn spełniają warunek
d(A, B) = d(A, C) + d(C, B)
wtedy i tylko wtedy, gdy B = −A lub C = xA + yB dla pewnych x, y > 0.
Stwierdzenie 4.1.5. Dla dowolnego punktu A ∈ Sn i wektora u ∈ Rn+1 takiego, że kuk = 1 i hu, Ai = 0 funkcja c : [0, l] → Sn, przy czym 0 ¬ l ¬ π, dana wzorem
c(t) = cos t A + sin t u dla t ∈ [0, l]
jest geodezyjną na sferze Sn.
Twierdzenie 4.1.6. 1. Niech A, B ∈ Sn, d(A, B) = r ∈ (0, π). Wówczas funkcja c : [0, r] → Sn jest geodezyjną łączącą punkt A z punktem B wtedy i tylko wtedy, gdy
c(t) = cos t A + sin t u dla t ∈ [0, r], przy czym u = B−cos r Asin r .
2. Dla A ∈ Sn funkcja c : [0, π] → Sn jest geodezyjną łączącą punkt A z punktem −A wtedy i tylko wtedy, gdy
c(t) = cos t A + sin t u dla t ∈ [0, π], przy czym kuk = 1 i hu, Ai = 0.
Dowód:
1. Część ”tylko wtedy”wynika bezpośrednio ze stwierdzenia 4.1.5 i lematu 4.1.3.
Załóżmy teraz, że d(A, B) = r ∈ (0, π) oraz c : [0, r] → Sn jest geode- zyjną od A do B. Z definicji geodezyjnej dla t ∈ (0, r)
t = d(c(0), c(t)) = d(A, c(t)) r − t = d(c(t), c(r)) = d(c(t), B)
Stąd d(A, c(t)) + d(c(t), B) = d(A, B) i wniosku 4.1.4 istnieją funk- cje dodatnie x, y określone na (0, r) takie, że c(t) = x(t)A + y(t)B.
Podstawiając otrzymujemy
cos t = cos d(A, c(t)) = hA, c(t)i = x(t)hA, Ai + y(t)hA, Bi
= x(t) + cos r y(t),
cos(r − t) = cos d(c(t), B) = hc(t), Bi = x(t)hA, Bi + y(t)hB, Bi
= cos r x(t) + y(t).
Stąd (wzory Cramera)
x(t) = cos t − cos r cos(r − t)
1 − cos2r = cos t(1 − cos2r) − sin r cos r sin t sin2r
= cos t − sin t cos r sin r , y(t) = cos(r − t) − cos r cos t
1 − cos2r = sin r sin t
sin2r = sin t sin r. Ostatecznie dla t ∈ [0, r]
c(t) = cos t A + sin tB − cos r A sin r .
2. Część ”tylko wtedy”wynika bezpośrednio ze stwierdzenia 4.1.5.
Niech teraz c : [0, π] → Snbędzie geodezyjną od A do −A. Niech ε > 0.
Oznaczmy Cε = c (π − ε), wówczas d(A, Cε) = π − ε < π. Z części 1.
wynika jednoznaczność geodezyjnej od A do Cε, jest nią więc c|[0,π−ε]. Istnieje więc wektor jednostkowy u taki, że c(t) = cos t A + sin t u dla t ∈ [0, π − ε]. Warunek geodezyjnej gwarantuje jej ciągłość, więc c wyraża się takim wzorem na całym przedziale [0, π].
Wniosek 4.1.7. Śladem geodezyjnej łączącej dwa różne punkty A, B ∈ Sn jest łuk okręgu (okręgu wielkiego) będącego przekrojem sfery Sn dwuwymia- rową podprzestrzenią liniową zawierającą punkty A i B (gdy B = −A takich płaszczyzn jest nieskończenie wiele).
Wniosek 4.1.8. Przestrzeń metryczna (Sn, d) jest przestrzenią geodezyjną i przestrzenią r–jednoznacznie geodezyjną dla każdego r < π.
Stwierdzenie 4.1.9. Otwarta (odpowiednio domknięta) kula na sferze (Sn, d) jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy jej promień nie przekracza π2 (odpo- wiednio jest mniejszy od π2).
4.2 Trygonometria sferyczna
Definicja 4.2.1. Dla dowolnych różnych punktów P, Q ∈ Sn takich, że Q 6= −P niech cP Q oznacza jedyną geodezyjną, sparametryzowaną na prze- dziale o początku 0, łączącą punkt P z punktem Q, zaś [P, Q] — obraz tej geodezyjnej.
Wektorem kierunkowym geodezyjnej łączącej P z Q /∈ {P, −P } nazywamy wektor
uP Q= Q − cos r P sin r ,
gdzie d(P, Q) = r ∈ (0, π). Wektor ten jest styczny w punkcie P (a dokładniej w punkcie 0) do geodezyjnej cP Q.
Hiperpłaszczyzna przechodząca przez punkt P i prostopadła do wektora P jest przestrzenią styczną do Sn w punkcie P ; wektor uP Q jest do niej równoległy.
Definicja 4.2.2. Dla danych punktów A, B, C ∈ Sn nie leżących na jednym okręgu wielkim odcinki sferyczne [A, B], [B, C], [C, A] nazywamy bokami, liczby
a = d(B, C), b = d(C, A), c = d(A, B)
— długościami boków, a liczby
α = arc cos huAB, uACi kuABk kuACk, β = arc cos huBC, uBAi
kuBCk kuBAk, γ = arc cos huCA, uCBi
kuCAk kuCBk
— kątami wewnętrznymi trójkąta sferycznego ABC.
Twierdzenie 4.2.3. (sferyczne twierdzenie cosinusów) W trójkącie sfe- rycznym ABC
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ.
Dowód: Oznaczmy krótko u = uCA, v = uCB. Z lematu 4.1.3 mamy kuk = kvk = 1, hu, Ci = hv, Ci, A = cos b C + sin b u, B = cos a C + sin a v, a z definicji kąta w trójkącie sferycznym hu, vi = cos γ. Zatem
cos c = hA, Bi = hcos b C + sin b u, cos a C + sin a vi
= cos a cos bhC, Ci + sin a cos bhC, vi + cos a sin bhu, Ci + sin a sin bhu, vi
= cos a cos b + sin a sin b cos γ.
Wniosek 4.2.4. (sferyczne twierdzenie Pitagorasa) W trójkącie sfe- rycznym ABC
cos c = cos a cos b ⇐⇒ γ = π 2.
Stwierdzenie 4.2.5. (sferyczne twierdzenie sinusów) W trójkącie sfe- rycznym ABC
sin a
sin α = sin b
sin β = sin c sin γ.
Dowód: Udowodnimy pierwsza równość. Ze sferycznego twierdzenia co- sinusów dla kąta α
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α otrzymujemy
cos α = cos a − cos b cos c sin b sin c ,
a także
sin α = √
1 − cos2α =
s
1 −(cos a − cos b cos c)2 sin2b sin2c
=
q(1 − cos2b)(1 − cos2c) − (cos a − cos b cos c)2 sin b sin c
=
√1 − cos2a − cos2b − cos2c + 2 cos a cos b cos c sin b sin c
Podobnie stosując sferyczne twierdzenie cosinusów dla kąta β otrzymu- jemy
cos β = cos b − cos a cos c sin a sin c oraz
sin β =
√1 − cos2a − cos2b − cos2c + 2 cos a cos b cos c sin a sin c
Stąd sin a
sin α = sin a sin b sin c
√1 − cos2a − cos2b − cos2c + 2 cos a cos b cos c = sin b sin β.
Stwierdzenie 4.2.6. (drugie sferyczne twierdzenie cosinusów) W trój- kącie sferycznym ABC
cos γ = − cos α cos β + sin α sin β cos c.
Dowód: Podobnie jak w dowodzie sferycznego twierdzenia sinusów obli- czamy
cos α = cos a − cos b cos c sin b sin c cos β = cos b − cos a cos c
sin a sin c sin α =
√1 − cos2a − cos2b − cos2c + 2 cos a cos b cos c sin b sin c
sin β =
√1 − cos2a − cos2b − cos2c + 2 cos a cos b cos c sin a sin c
Stąd
− cos α cos β+ sin α sin β cos c = −(cos a − cos b cos c)(cos b − cos a cos c) sin a sin b sin2c
+ 1 − cos2a − cos2b − cos2c + 2 cos a cos b cos c sin a sin b sin2c cos c
= cos c − cos b cos a − cos3c + cos a cos b cos2c sin a sin b sin2c
= (cos c − cos b cos a)(1 − cos2c)
sin a sin b sin2c = cos c − cos b cos a sin a sin b , a ostatnie wyrażenie na mocy sferycznego twierdzenia cosinusów jest równe
cos γ.
Wniosek 4.2.7. Suma kątów w trójkącie sferycznym jest większa niż π.
Dowód: Jeżeli α + β π, to teza jest już dowiedziona.
Załóżmy więc, że α + β < π i skorzystajmy z drugiego sferycznego twier- dzenia cosinusów:
cos γ = − cos α cos β + sin α sin β cos c
< − cos α cos β + sin α sin β = − cos(α + β) = cos(π − (α + β)).
Ponieważ γ, π − (α + β) ∈ (0, π), a cos jest w tym przedziale malejący, więc γ > π − (α + β) lub inaczej
α + β + γ > π.
4.3 Izometrie sferyczne
Stwierdzenie 4.3.1. Dla dowolnej izometrii sferycznej f ∈ Isom (Sn) ist- nieje taka izometria euklidesowa F ∈ Isom (En+1), że F (θ) = θ i F |Sn = f .
Dowód: Odległość sferyczną będziemy oznaczać po prostu d, a odległość euklidesową |. .|.
Niech f będzie izometrią sferyczną. Połóżmy F (x) =
( kxkfkxkx gdy x ∈ En+1\ {θ}
θ gdy x = θ
Oczywiście F (θ) = θ i F |Sn = f . Podczas dowodu zachowywania przez F od- ległości euklidesowej skorzystamy z faktu, że f zachowuje odległość sferyczną i jej wartości mają normę 1. Dla x, y 6= θ
|F (x)F (y)|2 =
kxkf x kxk
!
− kykf y kyk
!
2
= kxk2
f x
kxk
!
2
+ kyk2
f y
kyk
!
2
− 2kxk kyk
*
f x
kxk
!
, f y kyk
!+
= kxk2+ kyk2− 2kxk kyk cos d f x kxk
!
, f y kyk
!!
= kxk2+ kyk2− 2kxk kyk cos d x kxk, y
kyk
!
= kxk2+ kyk2− 2kxk kyk
* x kxk, y
kyk
+
= kx − yk2 = |xy|2. Dowód dla y = θ jest o wiele prostszy:
|F (x)F (θ)| =
kxkf x kxk
!
− θ
= kxk
f x
kxk
!
= kxk = |xθ|.
Łatwo też widać, że F jest surjekcją, bo dla z 6= θ F kzkf−1 z
kzk
!!
= z.
Zatem F jest izometrią przestrzeni En.
Wniosek 4.3.2. Grupa izometrii sferycznych Isom (Sn) jest izomorficzna z grupą ortogonalną (O(n + 1), ·).
Dowód: Niech f będzie izometrią sferyczną. Wówczas istnieje izometria F przestrzenie euklidesowej En+1 przeprowadzająca θ na θ i taka, że F |Sn = f . Z postaci izometrii euklidesowych (twierdzenie Mazura–Ulama 3.3.4) wynika, że F : x 7→ Ax, gdzie A ∈ O(n + 1) (b = θ , bo F (θ) = θ).
Definicja 4.3.3. Hiperpłaszczyzną sferyczną nazywamy przekrój sfery Sn hiperpłaszczyzną liniową w przestrzeni euklidensowej En.
Innymi słowy, hiperpłaszczyzna sferyczna jest zbiorem postaci h⊥∩ Sn, gdzie h ∈ Sn.
Definicja 4.3.4. Sferyczną symetrią hiperpłaszczyznową względem hiper- płaszczyny sferycznej h⊥ ∩ Sn nazywamy obcięcie (euklidesowej) symetrii hiperpłaszczyznowej rh⊥ do sfery Sn.
Stwierdzenie 4.3.5. Każda izometria sfery Sn może być przedstawiona jako złożenie co najwyżej n + 1 sferycznych symetrii hiperpłaszczyznowych.
4.4 Pole trójkąta sferycznego
Sfera Sn jest hiperpowierzchnią w przestrzeni euklidesowej En. Objętość na sferze (w szczególności pole na sferze S2) określamy więc jako miarę na hi- perpowierzchni Sn (odpowiednio na powierzchni S2) indukowaną przez miarę Lebesgue’a w En+1 (odpowiednio w E3).
Stwierdzenie 4.4.1. Pole sfery S2 wynosi 4π.
Definicja 4.4.2. Niech dane będą punkt P ∈ S2 i wektory u, v ∈ R3 takie, że kuk = kvk = 1 i hu, P i = hv, P i = 0.
Dwukątem sferycznym o wierzchołkach P, −P ∈ S2 wyznaczonym przez wektory u i v nazywamy obszar ograniczony geodezyjnymi biegnącymi od P do −P o wektorach kierunkowych odpowiednio u oraz v, zawarty w półsferze.
Stwierdzenie 4.4.3. Pole dwukąta sferycznego wyznaczonego przez wektory u i v wynosi 2^(u, v).
Stwierdzenie 4.4.4. Pole trójkąta sferycznego położonego na sferze S2 o kątach wewnętrznych α, β, γ wynosi α + β + γ − π.
Dowód: Niech dany będzie trójkąt sferyczny ABC. Wprowadźmy ozna- czenia dla trójkątów sferycznych:
∆ = ABC, ∆A= (−A)BC, ∆B = A(−B)C, ∆C = AB(−C)
− ∆ = (−A)(−B)(−C), −∆A= A(−B)(−C),
− ∆B = (−A)B(−C), −∆C = (−A)(−B)C.
Zauważmy, że suma mnogościowa tych trójkątów daje całą sferę S2, a ich czę- ści wspólne zawierają się w bokach, a także, że trójkąt (−X)(−Y )(−Z) jest izometrycznym obrazem trójkąta XY Z, czyli ma takie samo pole; izometrią tą jest obcięcie symetrii środkowej x 7→ −x.
Zatem
4π = A(S2) = 2 (A(∆) + A(∆A) + A(∆B) + A(∆C))
Ponadto ∆∪∆Ajest dwukątem sferycznym o wierzchołkach A, −A wyzna- czonym przez geodezyjne przechodzące przez B i C, czyli jego kąt rozwarcia wynosi α. Ze stwierdzenia 4.4.3 mamy więc, że
A(∆) + A(∆A) = 2α.
Analogicznie
A(∆) + A(∆B) = 2β, A(∆) + A(∆C) = 2γ, skąd
4π = 2 (2α + 2β + 2γ − 2A(∆)) , czyli
A(∆) = π − (α + β + γ).
Uwaga 4.4.5. Długość krzywej położonej na sferze mierzymy tak samo jak długość tej krzywej traktowanej jako krzywa w En+1.
Rozdział 5
Geometria konforemna
5.1 Inwersje
Definicja 5.1.1. Dla danego punktu x0 ∈ Eni danej liczby r > 0 przekształ- cenie ιx0,r : En\ {x0} → En dane wzorem
ιx0,r(x) = r2 x − x0
kx − x0k2 + x0 dla x ∈ En\ {x0}
nazywamy inwersją względem sfery S(x0, r) o środku x0 i promieniu r.
Uwaga 5.1.2. Utożsamiając poprzez rzut stereograficzny sferę n–wymiarową z przestrzenią En uzupełnioną punktem ∞ możemy traktować inwersję jako przekształcenie Sn→ Sn.
Przykład 5.1.3. Na płaszczyźnie E2 inwersja względem okręgu o środku O i promieniu r przekształca punkt X 6= O na punkt X0 ∈ OX→ spełniający warunek |OX| |OX0| = r2.
Stwierdzenie 5.1.4. Złożenie inwersji o tym samym środku pokrywa się z jednokładnością:
ιx0,r◦ ιx0,R = J
r2 R2
x0
Stwierdzenie 5.1.5. Każda inwersja jest złożeniem inwesji podstawowej ιθ,1 z jednokładnością i translacjami:
ιx0,r = Tx0 ◦ Jθr2 ◦ ιθ,1◦ T−x0
Stwierdzenie 5.1.6. Każda inwersja ma następujące własności:
1. jest inwolucją (tzn. przekształceniem do siebie odwrotnym) klasy C∞,
2. obcięta do sfery tej inwersji jest tożsamością, 3. zachowuje kąty.
Stwierdzenie 5.1.7. Dla danych różnych punktów x0, x1 ∈ En oraz liczb r, r1 > 0 następujące warunki są równoważne:
1. ιx0,r(S(x1, r1)) = S(x1, r1), 2. ιx1,r1(S(x0, r)) = S(x0, r), 3. kx0− x1k2 = r2+ r21.
4. sfery S(x0, r) oraz S(x1, r1) są prostopadłe w każdym punkcie przecię- cia.
Stwierdzenie 5.1.8. Niech ι = ιx0,r. Wówczas:
1. Jeżeli H jest hiperpłaszczyzną i x0 ∈ H, to ι(H) = H.
2. Jeżeli H jest hiperpłaszczyzną i x0 ∈ H, to ι(H) jest sferą oraz x/ 0 ∈ ι(H).
3. Jeżeli S jest sferą i x0 ∈ S, to ι(S) jest hiperpłaszczyzną oraz x0 ∈ ι(S)./ 4. Jeżeli S jest sferą i x0 ∈ S, to ι(S) jest sferą oraz x/ 0 ∈ ι(S)./
5.2 Dyfeomorfizmy konforemne
Definicja 5.2.1. Dyfeomorfizm f : D → E pomiędzy obszarami w En nazy- wamy dyfeomorfizmem konforemnym, jeżeli istnieje funkcja λ : D → R+taka, że dla dowolnego punktu p ∈ D i dowolnych wektorów v, w ∈ Rn spełniony jest warunek.
hdfp(v), dfp(w)i = λ(p)hv, wi.
Zbiór wszystkich dyfeomorfizmów konforemnych obszaru D na siebie ozna- czamy przez Conf (D).
Przykład 5.2.2. Warunek konforemności oznacza, że różniczka odwzorowa- nia konforemnego zachowuje kąt pomiędzy wektorami.
Inwersja ιx0,r jest dyfeomorfizmem konforemnym obszaru En \ {x0} na siebie (lub sfery Sn na siebie).
W przestrzeni En, n 2, przyjmijmy oznaczenia Bn = {x ∈ En ; kxk < 1} (kula jednostkowa)
Πn,+ = {x ∈ En ; xn> 0} (górna półprzestrzeń)
Twierdzenie 5.2.3. Każdy dyfeomorfizm pomiędzy obszarami w E2 = C jest funkcją holomorficzną lub antyholomorficzną (tzn. taką, której złożenie ze sprzężeniem zespolonym jest funkcją holomorficzną).
Wniosek 5.2.4. 1.
Conf (C) = {az + b ; a, ∈ C, a 6= 0} ∪ {az + b ; a, b ∈ C, a 6= 0}
2.
Conf B2=
z 7→ eiβ z − α
1 − αz ; α ∈ B2, β ∈ R
∪
z 7→ eiβ z − α
1 − αz ; α ∈ B2, β ∈ R
3.
Conf Π2,+=
(
z 7→ az + b
cz + d ; a, b, c, d ∈ R, ad − bc = 1
)
∪
(
z 7→ az + b
cz + d ; a, b, c, d ∈ R, ad − bc = 1
)
Twierdzenie 5.2.5. (Liouville’a) Każdy dyfeomorfizm konforemny pomię- dzy obszarami w En, n 3, jest postaci
x 7→ λ Aι(x) + b,
gdzie λ > 0, A ∈ O(n), zaś ι jest tożsamością lub inwersją.
Wniosek 5.2.6. Dla n 3
1. Conf (En) = {x 7→ λ A + b ; λ > 0, A ∈ O(n)}
2. Conf (Bn) składa się z przekształceń postaci x 7→ Aι(x),
gdzie A ∈ O(n), zaś ι jest tożsamością lub inwersją względem sfery ortogonalnej do sfery ∂Bn.
3. Conf (Πn,+) składa się z przekształceń postaci λ
"
A θ θ 1
#
ι +
"
b 0
#
,
gdzie λ > 0, A ∈ O(n − 1), b ∈ Rn−1, zaś ι jest tożsamością lub inwersją względem sfery o środku na hiperpłaszczyźnie Rn−1× {0}.
Rozdział 6
Geometria hiperboliczna
6.1 Funkcje hiperboliczne
Definicja 6.1.1. 1. Sinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję sinh : R → R daną wzorem
sinh x = ex− e−x
2 , x ∈ R.
2. Cosinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję cosh : R → R daną wzo- rem
cosh x = ex+ e−x
2 , x ∈ R.
3. Tangesem hiperbolicznym nazywamy funkcję tgh : R → R daną wzorem tgh x = ex− e−x
ex+ e−x, x ∈ R.
Stwierdzenie 6.1.2. 1. Pochodne funkcji hiperbolicznych wyrażają się wzorami:
sinh0 = cosh, cosh0 = sinh, tgh0 = 1 cosh2.
2. Funkcje sinh, cosh |[0,+∞), tgh są rosnące, a w przedziale (0, +∞) przyj- mują tylko wartości dodatnie.
Stwierdzenie 6.1.3. Dla dowolnych x, y ∈ R 1. sinh(x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y, 2. cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y,
3. cosh2x − sinh2x = 1.
4. tgh x = cosh xsinh x
Stwierdzenie 6.1.4. 1. Funkcją odwrotną do funkcji cosh |[0,+∞)jest funk- cja ach : [1, +∞) → [0, +∞) dana wzorem
ach x = ln(x +√
x2− 1), x ∈ [1, +∞).
2. Funkcją odwrotną do funkcji tgh jest funkcja ath : (−1, 1) → (−∞, +∞) dana wzorem
ath x = ln
s1 + x
1 − x, x ∈ (−1, 1).
6.2 Czasoprzestrzeń i przestrzeń hiperboliczna
Definicja 6.2.1. Formę dwuliniową h.|.i w przestrzeni liniowej Rn+1, gdzie n 2, daną wzorem
hx|yi = x1y1+ . . . + xnyn− xn+1yn+1,
x = (x1, . . . , xn, xn+1), y = (y1, . . . , yn, yn+1) ∈ Rn+1 nazywamy formą Lorentza.
Przestrzeń Rn+1 wraz z formą Lorentza nazywamy n–wymiarową cza- soprzestrzenią i oznaczamy przez Rn,1. Elementy tej przestrzeni będziemy zapisywać w postaci x = (˜x, xn+1), gdzie ˜x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn.
Możemy wówczas pisać
hx|yi = h˜x, ˜yi − xn+1yn+1. Definicja 6.2.2. Wektor x ∈ Rn,1 nazywamy
1. wektorem przestrzennym, gdy hx|xi > 0, 2. wektorem czasowym, gdy hx|xi < 0, 3. wektorem świetlnym, gdy hx|xi = 0.
Definicja 6.2.3. Zbiór
Hn= {x ∈ Rn,1 ; hx|xi = −1, xn+1> 0}
z określoną niżej metryką nazywamy n–wymiarową przestrzenią hiperboliczną.
