3.12.2019, kl 2b Małe twierdzenie Fermata, funkcja Eulera Lemat (Odwrotnośc modulo m). Niech m ∈ N. Dla dowolnej liczby a ∈ Z względnie pierwszej z m istnieje b ∈ Z takie, że a · b ≡ 1(mod m). Ustalamy liczbę naturalną m i rozważamy relację równoważności

3.12.2019, kl 2b

Małe twierdzenie Fermata, funkcja Eulera

Lemat (Odwrotnośc modulo m). Niech m ∈ N. Dla dowolnej liczby a ∈ Z względnie pierwszej z m istnieje b ∈ Z takie, że

a · b ≡ 1(mod m).

Ustalamy liczbę naturalną m i rozważamy relację równoważności ≡_m na zbiorze liczb cał- kowitych Z: a ≡m b, jeśli m|a − b. Klasami abstrakcji tej relacji są ¯0, ¯1, . . . , m − 1, gdzie

k = k + Z = {k + q · m : q ∈ Z}.¯

Możemy pisać ¯k = ¯l, jeśli k ≡ l(mod m). Definiujemy zbiór reszt modulo m i zbiór reszt względnie pierwszych z m:

Z^m = {¯0, ¯1, . . . , m − 1}, Z^m ⊃ Z^∗m = {¯k : (k, m) = 1}.

W zbiorze Z^m dobrze określone są działania dodawania i mnożenia, zaś zbiór Z^∗m zamknięty jest ze względu na mnożenie, a ponadto każdy element zbioru Z^∗m ma element odwrotny. Innymi słowy, (Zm, ·, +, ¯0, ¯1) jest pierścieniem, zaś (Z^∗m, ¯1, ·) jest grupą.

Definicja (Funkcja Eulera ϕ : N → N).

ϕ(n) = #{k ∈ N : 1 ¬ k ¬ n, (k, n) = 1}

Mamy #Z^m = m, #Z^∗m = ϕ(m).

Twierdzenie (Twierdzenie Eulera). Jeżeli (a, n) = 1, to a^ϕ(m) ≡ 1(mod m).

Wniosek (Małe twierdzenie Fermata). Jeżeli p jest liczbą pierwszą, zaś p 6 |a, to a^p−1≡ 1(mod p).

Twierdzenie. (i) Jeżeli (m, n) = 1, to ϕ(mn) = ϕ(m) · ϕ(n).

(ii) Jeżeli p₁, p₂, . . . , p_k są wszystkimi dzielnikami pierwszymi liczby n, to ϕ(n) = n

k

Y

j=1

1 − 1 p_j

!

.

(iii) Chińskie twierdzenie o resztach. Niech m1, m2, . . . , mkbędą liczbami parami względnie pierwszymi i niech r₁, r₂, . . . , r_k∈ Z. Wówczas system kongruencji

x ≡ r₁(mod m₁), x ≡ r₂(mod m₂),

. . .

x ≡ rk(mod mk)

ma rozwiązanie i jest ono jedyne w zbiorze {0, 1, . . . , M − 1}, gdzie M =^Qk_j=1m_j.

Zadanie 1. Niech (a, 2001) = 1. Pokaż, że a²⁰⁰¹ i a mają te same trzy ostatnie cyfry w zapisie dziesiętnym.

Zadanie 2. Uzasadnij, że dla dowolnej liczby całkowitej a (a) 30|a²⁵− a, (b) 35|a⁶⁴− a⁴. Zadanie 3. Uzasadnij, że

(a) 2³⁴¹ ≡ 2(mod 341),

(b) a⁵⁶⁰ ≡ 1(mod 561) dla dowolnej liczby całkowitej a względnie pierwszej z 561.

Czy liczby 561, 341 są pierwsze?

Zadanie 4. Które z liczb 10, 14, 20 są wartościami funkcji Eulera ϕ?

Zadanie 5. Pokaż, że dla każdego m ∈ N jest tylko skończenie wiele liczb naturalny n takich, że ϕ(n) = m. Znajdź wszystkie n takie, że ϕ(n) = 10.

Zadanie 6. Wykaż, że każda liczba całkowita x spełnia co najmniej jedną z poniższych kon- gruencji:

(a) x ≡ 0(mod 2), (b) x ≡ 0(mod 3),

(c) x ≡ 1(mod 4), (d) x ≡ 3(mod 8),

(e) x ≡ 7(mod 12), (f) x ≡ 23(mod 24).

Zadanie 7. Niech n > 1. Uzasadnij, że liczba

nⁿⁿⁿ − nⁿⁿ jest podzielna przez 1989.

Zadanie 8. Udowodnij, że dla każdej liczby pierwszej p istnieje liczba n taka, że 2ⁿ+ 3ⁿ+ 6ⁿ≡ 1(mod p).

Zadanie 9. Liczba p jest pierwsza, a f ∈ Z[x] jest wielomianem stopnia m. Uzasadnij, że istnieje wielomian g ∈ Z[x] stopnia mniejszego niż p taki, że p|f (a) − g(a) dla dowolnej liczby całkowitej a.

Zadanie 10. Rozwiąż kongruencje:

(a) x¹⁷+ 6x¹⁴+ 2x⁵+ 1 ≡ 0(mod 5),

(b) x¹¹− x⁸+ x⁷− x⁵+ x³− 3x²− x + 3 ≡ 0(mod 7).

Zadanie 11. Liczba p jest pierwsza. Pokaż, że x² ≡ 1(mod p) wtedy i tylko wtedy, gdy x ≡

±1(mod p).

Zadanie 12. [Twierdzenie Wilsona] Liczba p jest pierwsza. Udowodnij, że (p − 1)! ≡ −1(mod p).

Zadanie 13. Liczba n jest parzysta. Udowodnij, że n²− 1|2^n!− 1.

Zadanie 14. Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych, które nie są warto- ściami funkcji Eulera ϕ.

2