x ≤ tg(x ) (7)Funkcje trygonometryczne sin(α

Materia ly dla student´ow Wydzia lu Geografii Gospodarka Przestrzenna 2011

Andrzej Weber

http://www.mimuw.edu.pl/∼aweber/zadania/geo2011/

WK LAD VII

Geometria

Naturalna miara ka_,ta

 Okra_,g jednostkowy ma obw´od r´owny 2π.

 Mierzymy ka_,ty d lugo´scia_, luku, czyli w radianach 2π radian ˙ow ←→ 360^o

0.0174 radian ˙ow ←→ 1^o 1 radian ←→ 57.3^o

Naturalna miara ka_,ta

Tr´ojka_,t prostoka_,tny

Funkcje trygonometryczne

sin(x ) ≤ x ≤ tg(x )

Funkcje trygonometryczne

sin(α) = a

c, cos(α) = b c tg(α) = a

b, ctg(α) = b a sin²(α) + cos²(α) = 1 tg(α) = sin(α)

cos(α), ctg(α) = cos(α) sin(α)

Przybli˙zenia dla ma lych ka_,t´ow

sin(x ) ' x

np. sin(0.1) ' 0.0998334166 . . .

Lepsze przybli˙zenie sin(x ) ' x −¹₆x³ np. 0.1 −¹₆0.1³ ' 0.0998333333 . . .

cos(x ) = 1 −¹₂x²

np. cos(0.1) = 0.9950041653 . . . oraz 1 −¹₂0.1²= 0.995

Lepsze przybli˙zenie cos(x ) ' 1 −¹₂x²+₂₄¹x⁴ np. 1 −¹₂0.1²+₂₄¹ 0.1⁴' 0.9950041667 . . .

tg(x ) ' x

np. tg(0.1) ' 0.1003346721 . . .

Lepsze przybli˙zenie tg(x ) =' x +¹₃x³ np. 0.1 +¹₃0.1³ ' 0.1003333333 . . .

Uwaga: ka_,ty sa_,podane w mierze lukowej!

Wykresy funkcji trygonometrycznych

Arcusy – funkcje odwrotne dla ka_,t´ow od 0 do 90^o

0 : sin(0) = 0, arcsin(0) = 0, 30^o : sin(^π₆) = ¹₂, arcsin(¹₂) = ^π₆, 45^o : sin(^π₄) =

√2

2 , arcsin(

√2

2 ) = ^π₄, 60^o : sin(^π₃) =

√3

2 , arcsin(

√3

2 ) = ^π₃, 90^o : sin(^π₂) = 1, arcsin(1) = ^π₂ Analogicznie: funkcja odwrotna do tangensa to arctg (x ), do cosinusa arccos(x ).

Problem morze-wyspa: Chiny 264 r. n.e.

Pomiar wysoko´sci z odleg lo´sci

Pomiar wysoko´sci bez wchodzenia na drzewo

h = tg(α)(a + b) = tg(β)a ,

h = b

ctg(α) − ctg(β) .

Twierdzenie sinus´ow

a

sin(α) = b

sin(β) = c sin(γ)

Twierdzenie cosinus´ow

c² = a² + b² − 2 a b cos(γ)

Geometria Sferyczna

Wsp´o lrze_,dne geograficzne

θ ∈ [−π, π] ←→ [−180^o, 180^o] – d lugo´s´c geograficzna

φ ∈ [−^π₂,^π₂] ←→ [−90^o, 90^o] – szeroko´s´c geograficzna

Luk na sferze

 Luk mierzymy miara_, ka_,towa_,

 Je´sli sfera ma promie´n 6370km (jest to ´sredni promie´n Ziemi), wtedy

1^o ←→ 111km

1⁰ ←→ 1.852km = 1 mila morska

Tr´ojka_,t sferyczny

Sferyczne twierdzenie sinus´ow

sin(a)

sin(α) = sin(b)

sin(β) = sin(c) sin(γ)

Twierdzenie Albattaniego (cosinus´ow)

Muhammad ibn Jabir al-Harrani al-Battani (855–923)

cos(c) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) cos(γ)

Obliczanie odleg lo´sci na sferze

PRZYK LAD

Obliczy´c odleg lo´s´c z Gda´nska (N54^o21⁰ E18^o36⁰) do Pekinu (N40^o30⁰ E116^o30⁰)

W przeliczeniu na radiany: Gda´nsk (N0.95 E0.32), Pekin (N0.71 E2.03)

Rozwa˙zamy tr´ojka_,cie A=Gda´nsk, B=Pekin, C=biegun p´o lnocny.

b = ^π₂ − 0.95 = 0.62, a = ^π₂ − 0.71 = 0.86, γ = 2.03 − 0.32 = 1.71

Ze wzoru Albattaniego:

cos(c) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) cos(γ) = 0.47 c = arccos(c) = 1.09

Odleg lo´s´c = c · 6370km = 6912km

PYTANIA

 W jakim kierunku musimy wyruszy´c z Gda´nska?

 Jak bardzo zbli˙zymy sie_, do bieguna w trakcie podr´o˙zy?

Twierdzenie Gaussa-Bonetta (lub Girarda)

α + β + γ − π = Pole tr ˙ojka,ta r²

Odwzorowania wiernoka_,tne - Rzut stereograficzny

Odwzorowanie wiernoka_,tne - Mercatora

x = θ, y = loge

 1 + sin(φ) cos(φ)



Wiernopowierzchniowy rzut walcowy Galla-Petersa

Odwzorowania wiernoodleg lo´sciowe w kierunku po ludnik´ow