Temat: Tożsamości trygonometryczne – zadania na dowodzenie.
Przypomnijmy:
sin
2α+ c os
2α=1 jedynka trygonometryczna tgα= sinα
cosα dla α ≠ π
2 + kπ , k −całkowite
Żeby sprawdzić, czy to równanie jest tożsamością (czyli równaniem prawdziwym) musimy wybrać jedną ze stron równania i tak ją przekształcić, aby otrzymać drugą stronę równania.
Od której stron równania zaczynamy? … niestety każdy przypadek jest inny, ale wybierajmy tę stronę, w której będziemy umieli wykonać działania (mnożenie, dzielenie…), może będzie w niej wzór skróconego mnożenia który też będziemy umieli rozpisać, ewentualnie zobaczymy tangensa (lub cotangensa) pod którego możemy podstawić wartość z poznanego wcześniej wzoru.
Zapoznajcie się z filmem
https://www.youtube.com/watch?v=jgSc_M6c66Y
Zad. 1 Sprawdź, czy tożsamością jest poniższa równość:
Którą stronę będziemy rozpisywać? Tg ani ctg nie mam więc w której ze stron równania będzie nam łatwo wykonać jakieś działania? W prawej! Wymnożymy nawias przez nawias.
Zaczynamy:
Odp.: Równanie jest tożsamością trygonometryczną.
Zad. 2 Sprawdź, czy tożsamością jest poniższa równość:
Którą stronę będziemy rozpisywać? Mam tangensa na który mamy specjalny wzór, więc zaczynamy od lewej strony!
Odp.: Równanie jest tożsamością trygonometryczną.
Zad3. Wykazać tożsamość:
a)
Od której strony zaczniemy przekształcać? Od lewej, bo widzę tam wzory skróconego mnożenia ( zamiast wzorów możemy wymnożyć dwa takie same nawiasy przez siebie):
sinx−cosx ¿
2=¿
sinx+cosx ¿
2+¿
L=¿
¿ sin
2x +2 ∙ sinx ∙ cosx+cos
2x +sin
2x−2∙ sinx ∙ cosx+cos
2x=2∙ sin
2x+2∙ cos
2x=¿
2 ( sin
2x +cos
2x ) =2∙ 1=2=P
c.k.d czyta się to „co kończy dowód”. Stawiamy to oznaczenie na końcu udowodnionego zadania
Odp.: Równanie jest tożsamością trygonometryczną
*** Nawias
sinx +cosx ¿
2¿
rozpisaliśmy korzystając ze wzorua+b ¿
2¿
, do którego za składnik a podkładany sinx a za składnik b cosx , natomiast nawiassinx−cosx ¿
2¿
rozpisaliśmy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia
a+b ¿
2¿
, do którego za składnik a podkładany sinx a za składnik b cosx.b) .
Zaczniemy od… lewej strony równania, bo widzę funkcję tangens zamiast której mogę podstawić wartość
