LISTA 32 Zadanie 1.
Liczby naturalne parzyste od 2 do 100 zapisujemy kolejno jedna za drugą, tworząc liczbę naturalną 𝑎. Czy liczba 𝑎 jest kwadratem pewnej liczby naturalnej? Wskazówka: zbadaj podzielność sumy cyfr.
Zadanie 2.
Określi, dla jakich wartości parametru 𝑘 równanie 𝑥2+ (𝑘 + 1)𝑥 + 0,5(𝑘 + 5) = 0 ma dwa różne pierwiastki dodatnie.
Zadanie 3.
Trapez o ramionach długości 6 i 10 jest opisany na okręgu. Odcinek łączący środki ramion trapezu dzieli trapez na dwie części, których pola pozostają w stosunku 3 ∶ 5. Oblicz długości podstaw trapezu.
Zadanie 4.
Wyznacz wszystkie liczby całkowite, dla których wartość wyrażenia 3𝑥(9𝑥3+2𝑥2−4)(𝑥+1)2−3𝑥−2 jest liczbą dodatnią.
Zadanie 5.
Wykaż, że wśród rozwiązań |𝑥 + 2| − |𝑥 − 4| = 6 istnieje takie, które jest liczbą niewymierną.
Zadanie 6.
Na trapezie opisano okrąg, którego średnica jest jedną z podstaw trapezu. Przekątna trapezu ma długość 12, a długość okręgu wynosi 13𝜋. Oblicz pole trapezu.
Zadanie 7.
Reszty z dzielenia wielomianu 𝑊(𝑥) przez (𝑥 − 1), (𝑥 + 1), (𝑥 + 2) są odpowiednio równe 1,
−1, 3. Znajdź resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 + 2).
Zadanie 8.
Dla jakich wartości parametru 𝑚 suma kwadratów dwóch różnych pierwiastków równania 𝑥2+ (𝑚 − 5)𝑥 + 𝑚 − 7 = 0 jest najmniejsza?
Zadanie 9.
Suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 60.
Wysokość jest o 2 większa od długości boku podstawy. Przez przekątną ściany bocznej i środek krawędzi bocznej, niezawierającej się w tej ścianie, poprowadzono płaszczyznę. Oblicz pole otrzymanego w ten sposób przekroju.
Zadanie 10.
Wykaż, że cos(𝛼 + 𝛽) ∙ cos(𝛼 − 𝛽) ≤ 1 .
