Der Bauingenieur : Zeitschrift für das gesamte Bauwesen, Jg. 9, Heft 10

DER BAUINGENIEUR

9. Jahrgang 9. Marz 1928 Heft 10

Z U R B E R E C H N U N G S Y M M E T R I S C H E R , S T A T I S C H U N B E S T I M M T E R G E B I L D E .

Y o n A. l le r h c i g , Charlottenburg.

V o r b e m e r k u n g .

D ie E la stizita tsg leich u n g cn der statisch iiberzahligen GroBen X ; haben eine zur H au p td ia g o n a le sym m etrische N ennerdeterm inante, denn es gilt der M axw ellsclie S atz <

5

rs = (Ssr.

Sind mm die statisch un bestim m ten G ebilde sym m etrisch, dann erscheinen in der N ennerdeterm in an te noch w eitere Sym m etrieeigenschaften, die m an zu r A u flo su n g der G leichungen m it E rfo lg b enu tzen kann. M an h a t zw ar fur gew isse Sym m e- trien, z, B . wenn eine S ym m etrieach se vo rh an den ist, die b e­

kannte S u bstitu tion , daB m an aus P aaren sym m etrisch zur Achse liegender statisch Uberzahliger X ; und X . neue statisch

0

ber- zahlige Y j und Y t durch die G leichungen Y | = X ; + X £ und Y t = X ; — X s b ild et. D an n zerfa llt das S j'ste m vo n n G le i­

chungen in zw ei unabhangigc S y stem e v o n je ” G leichungen.

Doch glaube ich, daB auch in diesem F a lle die R ech n u n g m it H ilfe d er A b leitu n gen der N ennerdeterm in an ten einfacher ist.

E iniges, w as in folgenden Zeilen besprochen w ird, h abe ich schon seit Jahren in den Yorlesu ngen gebrach t.

§ i . E b e n e G e b i l d e m it e i n e r S y m m e t r i e a c h s e . W erden die n statisch U berzahligen X ; sym m etrisch zur A chse gew ah lt, dann w ird .die N ennerdeterm in an te auch zur N ebendiagonale sym m etrisch, es ist zu n ach st <

5

rs = <

5

sr und ferner <

5

rs = — s 4:

^d

(n — r + i) “

^{<5^n}

— r -f i)

^{(n —}

s +

1

)* D ie Ele- m ente au f den D iagon alen kom m en d op p elt, die iibrigen vierfach vor. E s g ib t bei geradem n im ganzen v = - — —

4

yersfchiedene W erte ó, bei ungeradem n v = ^-n -j , die m it C; bezeichn et w erden sollen. M it R iick sićh t au f die w eiteren Rechnungen. soli die B ezifferu n g der c; nach nebenstehendeni G rundsatz (Tabelle i) erfolgen, nam lich so, daB sich zw ei K en n ziffern , die sym m etrisch zu den senkrechten und w agerechten A chsen des D eterm in an ten ąu ad rates stehen, zur Z ah l v erganzen. N un w ird die D eterm in an te durch A d d itio n der Zeilen und S u b trak tio n der Spalten um- geform t. E s w erden zur ersten Zeile die n te Zeile, zur zw eiten die n — i t e Zeile usf. addiert, d. h. bei geraden n

i • n "ł~ 3

j .

n die — —- te zur

₂

ten Zeile, bei ungraden.

sth lieB lich die n + i te Zeile zu r -

11 — ten Zeile, der R e st der Zeilen bleibt un verandert. In alinlicher W eise w ird in der so en tstandencn D eterm in an te yon der n ten S p alte die erste, vo n der (n — i) t e n S p alte die zw eite usf., so w e it cs m oglich ist, abgezogen, der R e st der Spalten b le ib t un veran d ert. D ann en tsteh t eine D eterm in an te, die bei geradem n im oberen rechten V iertel- ą u ad rat, bei ungeradem n im oberen rechten R e ch te ck aus

n — i „ ,. , n + i

Zeilen lau ter N ullen entK

8

.lt. D ie D eterm inante zerfallt bei geradem n in zw ei D eterm in an ten

S palten und — - —

von der Ó rdnung

n +- i

, bei ungeradem n in eine vo n der Ó rdnung und eine von der Ó rdn un g In der T eildetcrm i- nante erscheinen bei geradem n in der oberen s ta tt der Ele- m ente C; die Sum m en Cj-J- cJ1_ i = Sj und in der unteren die D ifferen zen c ; — c^— i — s? ; bei ungeradem n stehen in der oberen T eild eterm in an te auBer den s; in der — ~ --te n S p alte und Zeile die u n verand erten c, in der unteren T eild eterm in an te nur die si (Tabelle 2).

Sind die T cild ctcrm in an tcn vo n der vie rte n Ó rdnung, dann en tw ick e lt m an sie leich t nach den 6 U n terd eterm inan ten zw eite r Ó rdnung zw eier Zeilen n ach der b ek an n ten L a - placesclien R e gel. Man kann also b ei einem 8fach statisch unbestim m ten G ebilde leich t die N en n erd eterm in an te' der E lastizitatsgleich u n gcn au sged riickt durch die S| und s; an- schreiben. S elb st bei hóherem n ist das m oglich, da man sich ja nur einnial die E n tw ick lu n g in B u ch stab en b ezeich n u n g anzuschreiben und bei der A n w en dung nur die Zahlen einzu- setzen b ra u ch t. W eiter unten w erden die R echn ungen an- ged eu tet.

Z u n ach st soli gezeig tW erd en , daB die U n terdeterm inan ten (n — 1) ter Ó rdnung durch partielle D ifferen tiatio n der D e te r­

m inanten 11 te r Ó rdnung N nach den E lem enten c ; gefunden wrerden, daB also auch die B erech n u n g der Z ah lerd eterm i- nanten Z-. in den U n bekann ten X , Zi

_N

in geschlossenen

T a b e l l e 1.

11 = 8, v — 20. 7, v = 16. T a b e l l e 2.

1 2 3 4 5 ⁶ 7 ⁸

1 1 s 8 ' 10 10* 12 *5 19

2

*

^{2 6 9 11 14 18}

15

3

8 6

^{3 7 13 17 14 12}

4

¹⁰

9

₇ 4 ¹⁶ i.V 11

10*

5

^{10* 11} 13

I y

_{4 7 9} 10

6

12 14 17 13

7

³

⁶

⁸

7

i 15 !

^{18 14 I I 9 6 2}

5 8

_{19 15} 12 10* 10

8 5

¹

1 ² 3 ^{4 5 6}

7

1 1 4

6

10 ; 10* 12 15

2

2

.

3 9 | 11

14 ¹²

3 6 5

3 8 | 13 11 10*

4

¹⁰ 9 ;

s 7 1 8 9

¹⁰

5

^{10* u} 13

8 1 3 5 6 6

12 M ¹¹

9 j ⁵

²

⁴

7 15

^{12 10* 10}

6 4

¹

In die R aste r sind nur die K e n n ­ ziffern der C: eingetragen.

1 2 3 4 5 — 4 ] 6 — 3 7 - 2 8 1

1 + 8 S l

Só

^{s 8} s 10 0 | 0

0 0

2 + 7 s 5 So _{s a Sg}

0

|

0.

0

0

3+ 6 s 8 s 6 % S j

0

I

0

0

■,

0

4 + 5 S jij s 9 S7 s 4

0 j 0

⁰ ₀

5 C IO * C l i c i s C-16 •S.1 j S7 Ś 9

6 CJ3 _{C i i ClT C J}3 «7 % Ś® •s 8

7

C l 5 c 18 c 14 C11 s 9

I

s a s 2

8

_{c 19 c 15 c 12 C IO *}

s10. 1 s8 Śj S1

162 H E R T W IG , B E R E C H N U N G S Y M M E T R IS C H E R .S T A T IS C H U N B E ST IM M T ER G E B ILD E . DER BAUINGENIEUR 1028 HEFT 10.

F o r m e ln m o g lic h is t . S in d d ie E l e m c n t e e in e r D e t e r m in a n t o D n t e r O r d n u n g a lle v c r s c h ie d e n , s o k o m m t e in E l e m e n t , z . B . a rs, in d e r E n t w i c k l u n g d e r D e t e r m i n a n t e n a c h d e n a rs d e r s te n S p a l t e o d e r r t e n Z e ile n u r in d e m P r o d u k t a r5 A rs v o r , in d e m A rs d ie d e m E l e m e n t a rs z u g e o r d n e t e U n t e r d e t e r m in a n t e ( n — i ) t e r O r d n u n g i s t ; d a h e r is t ^ 0 D = A . B e t r a c h t e n w ir

O 3-rs

D a is F u n k t i o n d e r r u n a b h a n g ig e n V e r a n d e r lic h e n a x b is a r , so i s t d a s t o t a l e D i f f e r e n t i a l :

d D

B e i g le ic h e n a ;

i i

a , d a ; = d a , is t

Ą , -

d a, .

d D d a

n a c h d e n Cj, c k , c, u n d c m, b e i d e n S ikim d e n g le ic h e n a b s o - lu t e n W e r t a b e r e n t g e g e n g e s e t z t e s V o r z e ic h e n . D ie p a r t i e lle A b l e i t u n g d e r D e t e r m i n a n t e l a C t s ic h n u n le ic h t a n s c h r e ib e n in e in e r F o r m , d ie a u c h f i i r d ie R e c h n u n g g e e ig n e t is t . E s k o m m e n v e r s c h ie d e n e F o r m e n v o r , j e n a c h d e m , o b n a c h e in e m z w e if a c h e n o d e r e in e m v i e r f a c h e n E l e m e n t d i f f e r e n t i e r t w i r d :

0 I )

g c — (S;U7T S2 S W79 SG + S U7;W Su) Djjg

+ (S.MT7 S2 ---S cł7g S0 + S G7;59 S,,) D , , , 0 D : (SiM79 85 — S s)7]0 S2 -(- S j628 Sj — S jg ijj S7 -)- 2 Sgixj|o S.,) D jg

+ (Sf,i79 S5 — S 847|0 So + S rjG28.S.| — S 59310 S7 + 2 pfeloio S(j) D u . 9 Cg

E n t h a l t e in e D e t e r m i n a n t e r g le ic h e E l e m e n t e a , d a n n i s t d ie A b l e i t u n g d e r D e t e r m i n a n t e n a c h d ie s e m E l e m e n t a g le ic h d e r S u m m ę d e r d e n g le ic h e n E l e m e n t e n z u g e o r d n e t e n U n t e r - d e t e r m in a n t e n . S in d n u n s o le h e z u r g le ic h e n E l e m e n t e n a;

g e h o r ig e U n t e r d e t e r m i n a n t e n A ; a u s S y m m e t r i e g r i i n d e n g le ic h , s o is t

0 D - - — = r A .A 3 a

I n d e r d o p p e l t s y m m e t r is c h e n D e t e r m i n a n t e k o m m e n , w ie o b e n n a c h g e w ie s e n w u r d e , z w e if a c h u n d v i e r f a c h a u f t r e t e n d e E l e m e n t e v o r . D i e S y m m e t r i e d e r E l e m e n t e z e i g t s o fo r t , d a B d ie z u g le ic h e n E l e m e n t e n g e h o r ig e n U n t e r d e t e r m i n a n t e n a u s g le ic h e n E l e m e n t e n in g le ic h e r O r d n u n g m i t g le ic h e n V o r - z e ic h e n b e s t e h e n . D a h e r s in d s ie g le ic h . D u r c h D i f f e r e n t i a t i o n d e r D e t e r m i n a n t e D g e w i n n t m a n a ls o a lle U n t e r d e t e r m i - n ia n t e n z w e i f a c h o d e r v i e r f a c l i .

D ie d o p p e l s y m m e t r i s c h e D e t e r m i n a n t e d e r E l e m e n t e c, g e h t n a c h d e r o b e n a n g e g e b e n e n U m f o r m u n g iib e r in d ic u m s t e h e n d e T a b . 2, u n d w e n n

Si — C| -|- Ci’.— i j Si — Ci — Cy— i j Sikim —1 Si *k ” SI Sm > Siklm — Si Sk S] Sm is t , l a u t e t d ie F o r m e l f iir D s : D g = D u D JS.

I)s = (S|.1V| S:M77—Si^jjj S(jt79 + Simns S

i

;

t

39 + Saau Sgpm

— S.VJ_,1() S8?J10 + Sfiscm Sgicio)

> r ( $ 1255 ^ :M 7 7 — s | ( B g * 0 4 7 9 + ^ lflio r, S s)710

— S 59210 S s7:uo + SfflGIO S,<iBG!o) • D ie D j§ u n d D ss s in d d i e ' K l a m m e r a u s d r i i c k e a u s d e n S u n d S . N u n k o n n e n l e i c h t d ie f iir d ie A b l e i t u n g n o t w e n d ig e n H ilf s g r o B e n a n g e g e b e n w e r d e n :

3 Si __ 3 Si ^ =: i f iir /: = i

9 ch ~ 3 cy — „ i — O fiir a lle s o n s t ig e n /;:

D ie p a r t ie lle n A b l e i t u n g e n n a c h z w e i z u g e o r d n e t e n E l e m e n t e n C;

u n d c ,, _ i b e s t e h e n a u s d e n g le ic h e n z w e i K la m m e r a u s d r i i c k e n , g~— is t g le ic h d e r S u m m ę , i s t g le ic h d e r D iff e r e n z d e r A u s d r i i c k e .

B e i d e r Z a h le n r e c h n u n g r e c h n e t m a n a ls o d ie W e r t e s a u s , f e r n e r d ie S u n d d ie D 14 u n d D 68, d a n n k a n n m a n s c h n e ll d ie p a r t i e l l e n A b l e i t u n g e n b e s t im m e n .

B e i u n g e r a d e m n i s t d ie R e c h n u n g n i c h t g a n z s o s y m m e - t r is c h in d e n S u n d s, d e n n b e i d e r U m f o r m u n g d e r D e t e r m i ­ n a n t o d u r c h A d d i t i o n u n d S u b t r a k t i o n d e r Z e ile n u n d S p a l t e n b l e i b t d ie m i t t l e r e S p a l t e u n d Z e ile u n v e r a n d e r t .

T a b e 11 e 3.

1 2

3

^{4 5 — 3 i}

6 — 2-

!

^{7 — 1}

i + 7 Sl S-i SG

Cio

^{O O 0}

2 + 6

_{s.i s 2 So c9} 0 O 0

1 Xn \ +f r<r'<

Só

^{- S3}

c8 0

0 0

4 c10

C9 Cs

1 • 2

C7

^{O O O}

5

cio*

C1L C13

'/a.Cs

^s3

S5

6

_C12

clł C11 % c y

_s2

7

C

,5

C12 Cio*

1 -•

c 10

^To "si s i

3 Si 3 C/i 3 S i k l m

3 Ci

3 Siklm 3 o i

3 Si { — 1 f iir /< = >

3 eV — « ' — o fiir a lle a n d e r e n //.

, 3jS ik lm 9 c k -

0 Sikhr 0 Cm d Siki 11

9<:k 3 Siki,,

3 Cm

3 Sikln 3 o,

3 S ik u 3

ci

3

Sjblm

3

c.

D ie m i t t le r e Z e ile u n d S p a l t e b e s t e h t a u s d e n u n v e r iin d e r t e n u n d v e r d o p p e l t e n z e n t r is c h e n E l e m e n t e n d e r D e t e r m i n a n t e . U m d ie s e D e t e r m i n a n t e ' im o b e r e n T e i l w ie d e r s y m m e t r is c l i z u m a c lie n , is t d ie v i e r t e S p a l t e u n d d a d u r c h d ie g a n z e D e t e r ­ m in a n t e m it y

2

m u l t i p l i z i e r t 1 .

U m d ie fr t ih e r e n ' B e z c ie h u n g e n b e ib e h a lt e n z u k o n n e n ; n e n n e n w ir

“ r? = s 7 , C8 =r ss , c 9 =: s 9 u n d c10 = s ł0 ,

D 7 — (S1244 S:)78S — S i 546 Só7f,9 + S19410 S 69510 — S4526 S 67810 + S49210 SńfSJiO — Sr,9510 ? 6951o) (S1244 S3 — S1546 S5 + $4526 Sfi) '= D u D57.

B e i d e r D i f f e r e n t i a t i o n is t a u f d e n a n d e r e n B a u d e r s7 b is s 10 z u a c h t e n . D ie W e r t e f iir X ; n e h m e n im B e i s p i e l f iir u — S f o lg e n d e F o r m a n , z . B . :

- 2 R|;

4 3 e j

3 D f5m3 3 D , 3 D --- ^ 4 3^ ^ _4 3 c 10

- » S i k i i

s i ’ 3 c, - * ■ 2 s. .

D ie A b l e i t u n g e n d e r S n a c h d e n Cy — i, Cj> k , Cy — 1 u n d c v — m h a b e n b e i d e n S ikIra d e n g le ic h e n W e r t w ie d ie A b le i t u n g e n

t 3 D . Óm: 3 D , 01^_ 1 ^

2 9 0 ^ ^ 4 3 c.,5 4 9 c '|.rr 4 3 C|o*i ‘ I n d e r K la m m e r k a n n m a n a u c h n a c h d e n (<5m, -f- (<5m i+ • ■ ■ o r d n e n , w e n n m a n d ie o b ig e B e m e r k u n g iib e r

1 M an k an n a u ch d ie Z eile 4 + 4 bild en u n d c ; + c , = s7 usf.

nennen.

DEK BAUINGENIEUK

1928 HEFT 10. HERTWIG, BERECHNUNG SYMMETRISCHER, S T A T ISC H UNBESTIMMTER GEBILDE. 163

•mr. mt

die partiellen A b leitu n gen nach einander zugeordneten Ele- mentcn C; und cv_ ; beachtet.

‘ > • i

B eisp iel: S tab lan ge X y =

1

b zw . h.

In A b b . i und 2 ist das System und das H a u p tsystem m it den X ; angegeben, in T a b . 4 a das R aste r der N cnner- d eterm in an te m it den von N u li verschiedenen V erschiebungen,

die n ach der R egel der T a b . 1 m it C;

bezeichnet werden.

Ist ein E lem en t

(5

—• o, so muB es tro tzd em eine B e ­ zeichnung C| erlial- ten, da n ach diesem C; auch differentiert w erden muB, um die dem E lem en t N u li zugeordnete U nter-- d eterm in an te zu fin- den. E benso miissen E lem ente, die, ab- gesehen yo n der durch die Sym - m etrie geforderten G leichheit, zu fallig bei der Z ahlenrechnung gleich w erden, m it verschiedenen c, bezeichnet w erden. T a b . 4 b ze ig t die um geform te m it f 2

m u ltip lizierte D eterm in an te D . D ie D eterm in an te en th alt 9 verschiedene Cj, nach denen D partiell zu differentieren ist.

A b b . 1.

x z -

A

£

^{- t -}

A m?.

A b b . 2.

T a b e l l e 4 a. T a b e l l e 4 b.

1 2 3

4 5

I <5n <5,0 0 <5u 4 : 2 <5*22 <5* <524 <5,4

3 0 ^23 (5 03 0

4 (5u s.2i s>> <5|2

5 <5h 0 (5i2 <5ti

1

j

2

3

^{4 - 2} 5— 1

>+5

Sl i *:S

0 0

2+ 4 S3 j s2 C

5 0

0

3

^,

|

Cfi j P5

1

y

c4

⁰

0

4 cu* i c7 s2

i i

5 C8 c6*

_{% %}

D = 2 [s

1

(s, S.J - s

3

s3) - ~ s

5

(s, s:, — s

3sa)

+ Se ( s:i s5 — s 2 s«)] [ s i s > — s;i SJ o d e r

D = 2 [s4 S 1233 — s5 S )856 + sg §8535] [SJS33] = D 13 D 45;

S D

g-^— — 2 (s4

s2

— Śj

S-,)

D ,-

-j- S2 D ,3 ; 3

D

. = 2 ( 2 s4 S

3

+ s5 s6 + s5

Se)

D 45 — 2

83

D M usw.

i

ordnun g im T eilą u ad rat 4 en tsp richt den in 2. D ic ganze D eterm in an te b esteh t also aus 4 T eiląu ad raten , die doppelt sym m etrisch in sich sind und d op p elt sym m etrisch zu den beiden H au p td iago n alen liegen. D urch dic

gleiche A d d itio n und S u b tra k tio n der Zeilen und S palten , w ie im vo rigen P aragraph en, kann m an in den T eiląu ad raten je ein V iertel m it E lem enten N u li besetzen (Abb. 5 a).

In dieser um geform ten D eterm in an te kann m an die Zeilen und Sp alten so um stellen, daB ein V iertelq u a d ra t des ganzen Q uadrates nur

N ullen en th alt. D ie T eik ju ad rate a u f der H auptdiagonalen w erden, w ie man sofort einsieht, w ieder in sich d op p elt sym -

A bb . 3.

P~f~,---1

- ?

n Ą '

n f 1

^

A bb. 4.

m etrisch, das obere b esteh t aus den Sum m en s je zw eier zu- geordneter c, das un tere aus den D ifferenzen s. A u f diese in sich d o p p elt sym -

m etrischen T e ilą u a - t^i^j drate kan n m an w ieder die A d d itio n und S u b tra k tio n der Zeilen und Spalten anw enden, so daB w ieder V iertelq u a - d rate m it N ullen entstehen, und die gan ze D eterm in an te

durch ein P ro d u k t von vie r D eterm in an ten der O rdnung l-11- darstellb ar ist (A bb. 5 b ) . D ie O perationen w erden

4

u nten m it geeigneten B ezeiclinun gen du rch gefiih rt. Ist 11 gerade, so ist die A n zah l der verschiedencn E lem ente in den T eilq u ad raten 1, 2, 3 und 4 je

\ \W O 0

t \

$$

.V 0 O

■

\s sjy n K

Abb.

5

a.

A bb . 5b.

„ - J L / J L _l_ A

.1

- n

! 2 \ 2 / 4 16

D ie G esam tzah l der verschiedenen E lem en te ist n (n 4- 4)

3 c 4

Man berech net zahlenm aB ig die c, s, S, D 13 und D 15 und se tz t sie in N und seine A b leitu n ge n ein.

§

2

. E b e n e G e b i l d e m i t z w e i S y m m e t r i e a c h s e n . D ic H a lfte der statisch O berzah ligen ist b ei geradent n sym m etrisch zu einer A chse, die (

5

rs, die zu ihnen gehoren, m iissen in dem T eilq u ad rat, und zw ar dem ersten Y ie rte l- ą u a d ra t der ganzen D eterm in an te, angeord net sein, w ie die (

5

,.s eines cin facli sym m etrischen G ebildes, also ais d op p elt sym m etrisch e D eterm in an te. D ie zw eite H a lfte der statisch Ó berzah ligen liegt sym m etrisch zur ersten H a lfte in bezug a u f die zw eite Sym m etrieachse. Ih re (

5

rs m iissen also in dem d ritten H a u p tte ilq u a d rat (Nr. 3, A b b . 3) ebenso angeordnet sein wie im ersten. D ie

<5

in dem zw eiten T e ilq u ad rat sind ebenfalls d op p elt sym m etrisch angeordnet, denn bei den B e- zifferungen des B eispieles eines I

²

fach statisch unbestim m ten Gebildes der A b b . 4 ist (

5

rs« = && » ~ = 8

u". ■

D ie An-

8

E s g ib t E lem ente, die vierm al, und solche, die a ch tm al vor- kom m en.

D ie U n terd eterm inan ten (n — i ) t e r O rdnung gew inn t man w ieder durch partielle A b le itu n g der D eterm in an te D nach den E lem en ten c ais vie rfach e bzw . ach tfach e D eterm inanto, denn die zu gleichen E lem enten gehorigen U n terd eterm i­

n an ten sind aus denselben G riinden w ie bei den D eterm i­

nanten des vorigen P aragrap h en gleich.

N un w ollen w ir die Yerschiebun gen

<5

in ahnlicher A rt wic

im vorigen P aragraph en beziffern (T ab. 5a), und zw ar in den

T eilq u ad raten 1 und 3 der O rdnung ~ genau w ie bei der doppelt

sym m etrischen D eterm in an te m it der Z ah l >>i = -

verschiedener E lem en te. D ie K en n ziffern der zugeordneten

E lem en te c erganzen sich zu vv In den Q uadraten 2 und 4

erh alten die c K en n ziffern , die sich m it den K en n ziffern in

den Q u ad raten 1 und 3 zu r Zahl v2 = 2 vx erganzen.

164

HERTWIG, BERECHNUNG SYM M ETR

1

SCHER, S T A T IS C H UNBESTIM M TER GEBILDE.

T a b e l l e J a . T a b e l l e j b .

d e r b a u i n g e n i e u r 1028 HEFT 10.

1 2

I2 —

3

3-4 5 6 7 — 6 8 —.5

14 - 4

i+ 5

3

+

3

*

0 0

7 + n 9 + 9*

^{0 0}

2 + 3 3ł3*

^{2 + 4 0}

^‘

⁰

9 + 9*

^{8 + 1 0 0 0}

3 3*

⁴

.

2 — 4

3—.V' 9*

¹⁰ 8

- ■ 10J9 — 9*

4 5 3* ‘3-3*

1 -5

u 9* 9 — 9* 7 — 11 * 5 + 8 7 + n 9 + 9*1 0 0

_{' + 5}

3 + 3*

⁰

⁰

6

+ 79 + 9*

^{8 + 1 0 0}

⁰

3

+

3

*

²

+

4 0 0

7 9* 10 is — lojg — 9*

₃

*. -

4 2 — 4 3—3*

8 11

9

* |9 — 9*

⁷

—u 5 3* 3 — 3*

1

—5

A n vo rsteh en der D eterm in an tę ach ter O rdnurig sollen die U m form ungen gezeigt werden. In dem R a ste r sind nur die K eń n ziffe rn der C; eingetragen, vx

=S

6, r2 = 12.

E s en th a lt drei verschiedene W erte c2, c2, c3 uńd ihre zu i>i zugeordneten c5, c4 und c3 und ferner drei W erte c 7, cs, c 9 und ihre zugeordneten cn , c 10 und c 9, die sich m it den vorher- gehenden zu

^r

2

— 1 2

erganzen.

D ie U m form ung ist in den R a ste rn (Tabellen 5 b - — 5d) ausgeftihrt, zu n ach st die A d d ition , S u b tra k tio n und U m - stellu n g der Zeilen und Spalten.

T a b e l l e 5 c.

1 2 6

5 3 — 4

2

-- 3 7 - -

6

8-5 i+ 4 i+5 3 + 3*9+9* 7+ ii

^{0 0 0 0}

2 + 3 3+3*

2

+

4

S+io 9 + 9*

^{0 0 0 0}

O ! + 9+9*

^{8 + 1 0}

2 + 4 3+3" ‘

^{0 0 0 0}

5

+

8 7

+

¹¹

9 + 9* 3 + 3* i+ 5

⁰

0

0

⁰

4

5 3* 9*

¹¹

1—5 3 — 3* 9-9*

^{*7— 11}

3

3* 4

¹⁰

9* 3—3* 2-4

^{8 — 10}

9 — 9*

7

9*

¹⁰

4 3* 9-9*

^{8 — 10}

2-4

8 I I

9* 3* 5

⁷

—

11

9 — 9*3 — 3*

- 5

sow eit, daB ein V ie rte l des Q u ad rates nur N ullen en th a lt. D ann kann an den Q uadraten der H aupt- diagonalc noch ein m al die U m form u ng d e r . d op pelt sym m etrischen M atrizen erfolgen, und es en tstelit das R a ste r 5 d.

'In den M atrizen der H au p td iagon ale stehen Sunim en und D ifferenzen der zugeordneten c ; und cv—i vo n folgender F o r m :

srt = (c.r + c iv _ r) + (c. 4- cv, - t) in der ersten, Tśrt = (cr + c V| — r) ~ (ct + Cji, _ t) in der zw eiten,

~srt ==, (cr — c»., _ r) + (ct — Cy1 — t) in der d ritten ,

■§rt = (cr — c,), — r) — (c. — Cj>,l^t) in der yierten M atrix.

D ie c r und c t sind in bezug a u f v 2 zugeordnet,

c l — c V i — V , + r = r .

M it den oben gegebencn A b k iirzu n gen h a t dann die D e te r­

m inantę die Form (T ab. 5e):

T a b e l l e 5 e.

1 2 6

—

2

5— 1

3 — 4 ^{2 - 3} 7 - 6

- 2 + 3 8

—

5

—3+ 4

1

+4+5+8

s n

*39

^{0 0 0 0 0 0}

2+3+6

+7

s39 s28

^{0 0 0 0 0 0}

6 4 - 7

Cfl+Cy*

_c8+

Cjc

%8

s39

^{0 0 0 0}

5 +

8 c 2

+ cn C4 + C<j* s39 *17

^{0 0 0 0}

4+s: cr> + °ii c3 + Cg*

⁰

O

_{Sl7 **39} 0 0

3 +

7

C3*+C;)t IC

4

+ClQ

0 0

s39 •S2S

^{0 0}

7 Cs*

C10

c.i—c

10

c^-cg* Cg ‘Cg*

_{c 8— c 10}

S

?8 s39

8 Cu Cg*

C 3* C g *

cr>' cn C

7

-C

11

Cg— Cg*

_s39

Ś i 7

T a b e l l e 5 d.

1 2 6 — 2

5 — 1

3 - 4 2 — 3 7 — 6 — 2 + 3 8 — 5 — 3 + 4

I +

4

+

5

+ S ( i +

5

)+ (

7

+ l l ) (

3

+

3

*) + (9 f 9*) 0 0 0 0 0 0

2

+

3+6+7

f

3

+

3

*)+

(9 +9*>[

(2+ 4 )+ (8 + io )

0

^{0 0 0} 0

0 __

6 +

7

9 + 9*

8 + 1 0 " (2+4)— (8+10) (3+3*)—

(

9

+

9

*)

^{0 0}

0 0

5 + 8 7

+ 11

9 + 9* (3+3*)—(9+9*;

(1+5)— (7 + u )

0 0

*

^{0 0}

4

+ 8

5

+ n

3

*

+9*

⁰

0

( 1 - 5 ) +

(7

- 1

1

)

S

( 3 - 3 * ) +

(

9

-

9

*)

^{0 0}

3

+

7 3

* +

9* 4

+ i o 0 0 (3— 3 * ) +

(

9

-

9

*)

u — 4 ) + ( 8 - 1 0 ) °

0

7 9*

^{10 4 — 10} 3 * —9

*

₉

-

9

* ^{8 — 10} (2— 4) —. (8—

10)

(

3

-

3

*)- (9-9*)

8 11

9*

rO * 1 0

*

₅

-

u 7 — 11 9

-

9

*

(

3

—

3

*)—

(9-9*) (i~5)-(7—ii)

DEK JiAUINGENIEUH

1028 HEFT 10. SIEBERT, BAUWERKE DER NEUEN HAMBURGER UNTERGRUNDBAHNLINIE.

165

S e tzt man

S17S28

t - s39 s3, = S„ usf.,

dann ist eine D eterm in an tę a ch te f O rdniing:

D ie A b leitu n gen der s, s, s kónnen + i oder — i sein. ' D ie p artiellen A b leitu n gen der S sind leich t zu bilden, z. B .:

0

S 12:3:1

_{: S5S}

usf., D — Sj233 Si233 S1233 S1233 .

E in A u sd ru ck S lkhn h a n g t ab vo n de*n c ;, c k, c , c m und den vięr W erteu c Vl_ i , usf., die zu den c ; in bezug au f vy zugeordnet sind, ferner vo n den w eiteren a ch t W erteil c, die in B e zu g au f r2 zu geord net sind. S123;> im obigen B eispiel h an g t vo n den 12 W erten c, ab, die in der D eterm in an tę tiber- h au p t vorkom m en. E s ist

9

Srt \ — 1 fUr n — t, t, i'!— r, vL— t oder = r, t'l + r, — r, 2 — r.

9

Cu i = ó ftir alle anderen /<.

8 Cl Z - ^{9 Cl}

und schlieBlich die A b leitu n gen vo n D :

S S S s.-g -f- S S S Spg “ f- S S S s-^g -}- S S S s^g, 0

D

9

c t

0

D

\ S S S s:ar|- S S S Syj + S S S ss9

4

- S S S s:;,, usf.

0 C j

B e i den A b leitu n gen nach den zugeordneten E lem enten m iissen die Yorzeichen

S - ~ b ea ch tet werden.

8 c f,

(F o rtsetzu n g folgt.)

B E M E R K E N S W E R T E B A U W E R K E D E R N E U E N H A M B U R G E R U N T E R G R U N D B A H N L I N I E Von Dr.-Ing. Bernhard tśiebert, Hamburg.

D ie im B a u befind lich e neue H am bu rger U ntergrundbah n linie K ellinghusenstraO e— Jungfernstieg w ird einige beachtens- w erte B au w e rk e aufw eisen, vo n denen zu n aclist das sogenannte E in fa h rb a u w erk gesch ild ert w erden soli. D as E in fah rb au w erk lie g t neben der H a ltestelle E ppendorferbaum der R inglinie und le ite t die neue L in ie aus ihrem kurzeń hochliegenden T eil in die U n tergru nd b ah nstreckc iiber. D ie neue Linie lost sich von der R in glinie zw ischen dereń H altestellen K ellin gh u sen straB e— E pp en d orferbau m los und sen k t sich nach O berschreitu ng des Isebeck k an als in die E rd e, um in einer scharfen K u rv e die IsestraB e zu kreuzen, die StraBe E p p end orferbau m zu un terfahren und m it einer G egenkurve in den Z u g der R o th en bau m ch au ssee einżuschw enken. D ie H am bu rger H o clibah n A k tie n g esellsch aft h a tte urspriinglich eine bau- und betriebstech n isch w esentlich giinstigere Linien- fiih ru n g vorgeschlagen, die vo rsah , vo n der H altestelle K ellinghusenstraG e u n m ittelb ar in ge- rad er L in ie durch die O derfelderstraB e in die R o th en b a u m ­ chaussee zu ge- langen ( A b b .i) . In - dessen w urde dieser Y o rsch la g yom H am ­ burger S t a a t - aus

stad teb au lich en G riinden abgelehnt, so daB nur die oben- genan nte L inicnfiih- ru n g m óglich w ar.

D ie nahere L age des Einfahrbauw erks w ird w ie fo lgt ge- ken nzeichn et (Ab- b ik lu n g 2):

N achdem die neue L in ie den Isebeck- kanal a u f einerbeson- deren neuen B ru ck e in ■ einem G efalle yo n 1 : 40 u berschritten h at, sen k t śie sich zw ischen der au f einem D am m liegenden H altestelle E p p en d orferbau m der R inglinie und dem H auserblock in der IsestraB e in dem zu lassig starksten- G efalle von 1 : 20 in die E rd e, zugleich in die zu lassig sta rk ste K u rv e vo n 90-m -H albm esser iibergehend, die n otw en d ig ist, um u n ter den StraB en zug E ppendorferbaum zu gelangen. B eim K reu zen der IsestraBe v e rla u ft die L in ie bereits in einer solchen Tiefe, daB der T w n e } vó llig unter dem StraSen- pflaster liegt.

D as S tiick zw ischen der Ise b e ck k an alb ru ck e und der IsestraBe w ird ais E in fa h rb a u w erk b ezeich n et. D er D urch- fiihrun g dieses B au w erk es stellten sich n ich t unerh ebliche S ch w ierigkeiten entgegen. A u f der O stseite ste h t ein B ło ck vo n sechsgeschossigen W ohnhausern, die sich siim tlich in schleclitem B au zu stan d e befanden und an dessen vo r- springe~nder Siidw estecke die T u n nelw and bis a u f w en ige Z entim eter h eran riickt. A u f der anderen Seite un tersehn eidet die neue Linie au f gróBerer L an ge das eine Gleis der R inglinie, das naturgem aB im B etrieb bleiben m uBte. U berdies lieBen die angestellteri B oden untersuchun gen einen w enig giinstigen

B au gru n d e rw a rte n : sie wiesen s ta rk w echselnde Schichten auf, u n ter denen sich sehr weicher, w asserh altiger T on und Moor befanden.

A u f G rund dieser V erh altn isse w urde dic nachstehend beschriebene B au au sfiih ru n g gew ah lt, w elche dadurch gekenn- zeich n et w urde, daB die H auser vollkom m en u n an ge tastet blieben.

D as E in fa h rb a u w erk w urde in drei B a u a b sch n itte ein- ge te ilt (A bb. 3). B au a b sch n itt I ste llt gegeniiber der sonst iiblichen B au w eise von U n tergrundbah nlinien gru n dsatzlich keine A n d eru ng d a r: E s w urden beiderseits der B au gru b e I-T rager eingeram m t, w elche bei der A u ssch ach tu n g die Seiten- bohlen aufnahm en und durch R u n d h ó lzer gegfeneinander ab- gesteift w urden. E in e B eson derheit dieses B au ab sch n ittes lag nur darin, daB die eine Seite von dem hofyen D am m der R in g ­ linie eingenom m en w urde, w odurch an dieser Seite langere und.

starkere I-E isen (I P 28) eingeram m t und entsprechende Aus-

steifungen ein gebrach t w erden m uBten. D ieser B au a b sch n itt,

j>

WohnhausbfocJr

Wohrrhousb/ock

JsesłroB e

ibschnitt}

nach Ke/linghusenstra/fe l l l t l

I l M I I I

Eppendorferbaum Anker

Bahnsieig

_Bahnsteig

166

SIEBERT, BAUW ERKE DER NEUEN H AM BURGER UNTERGRUNDBAHNL1N1E.

''‘'w ^ iie f t ^ o 11'1 ’’

der den tiefsten T e il des Bauw erke^ um faBte, w urde zuerst fiir sich iii A n griff genom m en, indem man auBer den Seitenw anden auch eine obere und un tere Q uerabschluBw and in der gleichen W eise ein bau te. B e i dcm B odenaush ub ste lltc sich heraus, daB die G rundw asservcrh altnisse an dieser Stelle giinstiger

haiłesieiic

A b b . 4.

w aren ais m an erw arte t h a tte , so daB das G rundw asser m it einer D iap h ragm ap u m p e leich t geh alten w erden konnte. D ic seinerzeit durch B oh ru ng erm ittelte w eiche T on sch ich t nahm nur eine geringe F lach ę der B augrubensohle ein und konnte, durch besondere D rainage en tw assert, gu t iiberbau t w erden.

W esentlich schw ieriger ge sta ltete sich die B au au sfiih ru ng

in den A b sch n itten I I und I I I (Abb. 4— 7). D a das Tunnel- bauw erk durch die sp atere B elastu n g des D am m es einschliefilich Y e rk eh rslast n ich t lotrechte, sondern schrag nach unten ge- rich te te K r a fte aufzunehm en h at, w urde der Q uerschnitt des T unnels in diesen beiden A b sch n itten ais ein R ahm en a u s­

gebildet, der, je nach dem ve rfu g b aren R aum , versch ie- i den sta rk e Seitem vande auf-

w eist. Im B a u a b sch n itt II liegt der T u n n cl gan z d ich t an der H ausecke, so daB hier die starke W and an der D am m seite angeordnet w u rd e; im B a u a b sch n itt I I I ist die A n ord nu n g um - gekeh rt, hier ve rliiu ft der T iin n el in verhaltniśinaB ig groflerer E n tfe rn u n g von den H ausern.

A u f der • Liinge dieser beiden A b sch n itte m ufite das B etrieb sgleis der R inglinie u n tersch n itten w erden. E s w urde daher zu n ach st dieses G leis durch eine besondere K o n stru k tio n abgefangen .

au f der G leisseite zw ischen den Schienen ste- henden sen krech ten R am m - (I P 26 und 28) der B au g ru b en begren zu n g w u r­

den z. T . (I P 28) dazu b e­

n u tzt, um jew eils ais A uf- lager eines starken U nter- aus I P 24 zu dienen, an der H ausseite gleich- falls a u f einem R am m trag cr ru h te . D iese so geschaffenen J oche, im ganzen 7 S tiick in je 6,5 m A b stan d , nahraen zw ei L an gstrage r I P 24 auf, genau u n ter jeder Schiene cin g eb au t w urden und au f das Gleis m it seinen Sch w ellen lag. D as R am m en 13— 14 m langen T rager zw ischen den Schienen w urde in den nachtlich en B etrieb s- pausen vo n jew eils etw a

3 S td ./N ach t durchgefiihrt.

E s w urden in jed er N ach t zw ei T rager geram m t, so daB in 12 N achten diese A rb e it erled igt w urde. A u ch das E in b au en der Q uer- und L an g stra ge r, sow ie das A u f- legen des Gleises w urde in den n ach tlich en B etrieb s- pausen d u rch g efiih rt. A u f diese W eise h a tte m an bei dem nun folgenden A u sh u b und der A b ste ifu n g der B au - grube nur noch den D ru ck der unter dem B ah n ste ig b efin d ­ lichen E rd e aufzunehm en.

Zunachst w urden nach dem B au a b sch n itt I die A rb eiten im B au a b sch n itt I I I in A n g riff genom m en (A bb. 4, 6). D ie an sich schon starke, den H ausern zu gekeh rte T u nnelw and w urde so d ick ausgebildet, daB sie den D ru ck der w ahrend der B au ze it notw endigen A b ste ifu n g der gegeniiberliegenden B augruben w an d aufzunehm en in der L a g e w ar. E s w urde

A bb . 5.

SIEBERT, BAUW ERKE DER NEUEN HAM BURGER UNTERGRUNDBAHNLIN1E.

167

dam m ged riickt, au f jeder Seite des D annnes von kraftigen U -E isenzangen um faB t und du rch schw ere M uttern gesichert.

D ie statisch e U n tersu ch u ng ergab, daB zw ei L agen von je 12 S tiick R undeisen in 1,60 m E n tfe rn u n g n ótig w aren, w obei die obere L a g e eine A n k erstark e vo n 57 m m , die untere von 70 mm K erndurchm esser aufw ies. D ie A n kerlange b etru g 17,5 in. E s gelan g im allgem einen, die R un deisen anker durch einfaches V o rw artsd riicken m ittels zw eier W inden durch den D am m h in durch zu pressen. Yersu che, die A n k er gleich zeitig sch rau b en fo n n ig zu drehen, gelangen n ich t so gu t. In der oberen L a g e w ichen die A n k e r indessen ziem lich sta rk aus, w as a u f eine Sch icht schw erer Steinbrocken im Innern des D am m es zu riickzu fiih ren w ar, die die A n k er ab len k te. Zur E rzielu n g des rechnungsm aBigen, gleichm aBig verteilten passiven E rd d ru ck s an der A u fla g e rp la tte w ar es daher nótig, einige w eitere A n k er in den durch die A b w eich u n g entstandenen L iicken du rch zu d riicken . D ie un tere A n k erlage konn te gleich- m aBiger ein gebrach t w erden. N ach E inbringen und An- spannen der A n k er w urde jew eils w eiter au sgesch ach tet, so daB schlieBlich die B au gru b e an dieser S telle vó llig fiir den E in b au des eigentlichen T u n nelbau w erks frei w ar.

A u ch in den B au a b sch n itte n II und I I I m achten die B au gru n d verh altn isse keine w esentlichen S ch w ierigkeit en. D a der A u sh u b der B au gru b e tiefer fu h rte ais die F u nd am en te des H auses an der E ck e reich ten, so w urde eine besondere Sicherun g ftir die H au secke getroffen . A is der A u sh u b bis

L an gsseiten u m gebó rtelt sind, ahnlich w ie ein SchloB einer eisernen S p un dw an d. B eim E inram m en dieser B leclie b esteh t der Y o rte il, daB sie vcrh altn ism aB ig geringen W id erstand im B od en fin d e n u n d den B o d en nicht, w ie bei eisernen Spund- wanden, m it in die T iefe ziehen. D erartig e B leclie in Langen vo n 3 m w urden bis zu 2 m unter H au sfu n d am ent eingeram m t, an ihrem K o p fe ab g este ift und danach erst der R e st des Aus- hubes an der H au secke d u rch gefiih rt.

F erner m uBte im B au a b sch n itt I I I m it R iick s ich t au f eine M oorschicht m it dem A u sh u b tiefer gegangen w erden, ais es das B a u w e rk eigentlich erforderte.

D em E in bau des eigentlichen T u n nelb au w erks, der keine bem erkensw erten S ch w ierigkeiten aufw ies, stan d danach nichts m ehr im W ege. D er A usbau der A n k e r im B a u a b sch n itt II geschah stufenw eise, nachdem dic T u n nelw and e entsprechend h och gefiilirt w aren (s. A b b . 5). D ie S ch ragsteifen im B a u ­ a b sch n itt I I I konnten erst herausgenom m en werden, nachdem die D ecke trag fa h ig w ar (s. A b b . 4).

Zu bem erken ist noch, daB die H au secke gegen Sch all dadurch ge sch iitzt w urde, daB m an die T u n nelw and zur H aus- seite hin m it 10 cm starken Z ellen b eton platten beldeidete und den verbleibenden H ohlraum bis zum H ause m it sog. Schallkies a u sfiillte. D ieser K ies b esteh t aus den K órnu n gen:

o — 2,5 mm = 2 4 % G ew ichtsteile

2, 5 — 4 ,o „ = 1 3 %

4,0— 30,0 „ = 63%

daher zu n ach st in der D am m bósch u n g an der betreffenden Stelle w ic b ei einem Sielbau ein S ch litz hergestellt und der B eto n k ó rp cr dieser ostlichen Seitenw and u n ter Yerw end u n g von hochw ertigem Zem ent, M arkę „ D y c k e rh o ff d o p p el", ge- sch iitte t. N ach sieben tagiger E rh a rtu n g w urde m it der Aus- steifu n g und der w eiteren A u ssch ach tu n g der eigentlichen B au g ru b e begonnen, w obei die schragen und w agerechten Steifen nacheinander ein gebau t w urden.

A m schw ierigsten ge sta ltete sich die D u rch fiih ru ng der A rb e it im B au a b sch n itt II (s. A b b . 5 b is 7). H ier lie g t das T u n n clb au w erk śo dich t an dem W ohnhaus, daB a u f dieser Seite kein P la tz ftir die H erstellu ng einer starken W and, wie bei B a u a b sch n itt I I I , tibrigbleibt, D ah er cntschloB man sich, die dam m seitige B au gru b en w an d des A b sch n ittes I I durch eine schw ere riick w a rtig e V eran keru n g zu halten . E s wurden auf der jen scitig cn D am m bóschung 13 S tiick T rager I 26 vo n je 8 m L an ge eingeram m t, die zusam m en m it ihrer A u sboh lung dic A n k e rp la tte bildeten (Abb. 7). A lsdann wurden, dem B a u fo rtsc h ritt entsprechend, R undeisenanker durch den B ahn-

a u f 70 cm iiber U n terk a n te H au sfu n d am ent durch gefiih rt war, w urde dic E ck e des H auses m it sogenannten L angschen Siel- blechen vo rsich tig u m ram m t. Diese Sielbleche stellen ein in H am b u rg beim Sielbau gebrauchliches B au h ilfsm ittel dar, ais E rsa tz vo n eisernen oder liólzerncn Spundw anden. E s sind leicht gew ólbte, 6— 10 m m starkę, 50 cm breite, je nach V er- w endungszw eck verschieden, bis zu 5 111 lange Bleclie, dereń

A bb . 6. A b b . 7.

168

ORSZAG, BESTIMMUNG DER RISSEENTFERNUNG IN FAHRBAHNPLATTEN. DKR BAU1NUENIKUU 1D2S HEFT 10.

D er B an w urde vo n der F a . Philipp H olzm ann A ktien- gesellscliaft, F ra n k fu rt a. M., Zw eigniederlassung H am burg, ais G en eralunternehm er au sgefiih rt. D ie E isenkon stru ktion des T u n n elb au w erks w urde vo n der F a . C arl S paeter G. m. b. H., H am b u rg, geliefert und a u fge stellt. B em erkensw ert ist, daB infolge der schlechten Z u gan glich keit der B au stelle der Erd- au sh u b w ie au ch das E inbrin gen des B eton s verm ittels einer D e m a g -K a tz e b ew erk stclligt w urde, die an einem I-T rager

iiber der B au g ru b e hing und die gan ze B au gru b e a u f diese W eise b estrich .

D er B au d au erte im ganzen rund 8 M onate.

B eim B au a b sch n itt I w urde die A rb e it am 7. Jan u ar 1927 m it der R am m u n g begonnen und E n d e M ai been det. D ie entsprechenden D aten fiir die A b sch n itte II und I I I sind 7. M arz und 30. Juli. D ara u f folgten die O berfiillu ngsarbeiten und der A usbau der G leisabfangung.

B E S T I M M U N G D E R R I S S E E N T F E R N U N G IN F A H R B A H N P L A T T E N U N T E R B E R I I C K S I C H T I G U N G V O N E I N Z E L L A S T E N .

Yon Dipl.-Ing. Paul Orszrfg, Oraclea, Rum&nien.

Schw inden und T em p eraturerniedrigun g verursachen in der B eto n u n terflach e eine R eibung, die sich zw ar im B ew egungs- zustaride befindet, jedoch w egen der unbedeutenden G eschwin- d igk eit m it dem K oeffizienten 0.74-0.8 in B e tra c h t zu ziehen ist.

D ie auftreten den R eib u n gsk rafte konnen n ich t u berall gleich- maBig angenom m en wrerden (vgl. „ D ie K raftw ag en straB e"

von D r.-In g . R u d o lf Schenk, C harlottenburg, S. 95), sondern sind in erster A n naherun g vo m freien E nd e der F ah rb ah n an linear veranderlich aufzufassen. D iese freien E nden existieren auch in der L an gsrich tu ng, węnn auch n icht sichtbar, so doch ais F lach en n atiirlicher Schw ache, die man an Stelle einer je- w eiligen A rbeitsfu ge, die gelegentlich der U nterbrechun g beim B etonieren en tsteh t, sich vo rzustellen h a t. D ieser A nnahm e entsprcchend, kónnte die der R e ib u n gsk raft entgegenstehende E ig en festig k eit des B etons (M ischung 1 : 8 bis 1 : 9) etw a au f 8 kg/cm 2 gesetzt werden. Jedoch ist die H erstellung des B eton- unterbaues, besonders, wenn er noch einen Stam p fasp lialtb elag zu tragen h at, n icht selten eine p l a s t i s c h e m it ca. 10 % W asser- zusatz, die eine 50 % ige H erabsetzu n g der Z u gfestigk eit bed in gt.

D ie B urchartzschen und O. G rafschen Versuche ergeben, falls 1/15 der D ru ck festigk eit bzw . 50 % h iervo n, also 1/30 derselben ais Z u gfestigk eit angenom m en w ird, bei dem M ischungsverhaltnis 1 : 8 eine Z u gfestigkeit vo n 130 1 = 4,33 kg/cm 2. N ich t oft genug kann a u f die plastische, also n ich t erdfeuchte und n i c h t g e s t a m p f t c H erstellung der B eton u n terlage verw iesen werden, die eine bis je tz t n ich t geniigend b eru cksich tigte U rsache der be.i K a lte dich ter auftretenden R isse in B eton u n terlagen und in A sp h altd ecken bildet, die einen hoheren Sch m elzp u n kt ais 45 0 K ram er-Sarnów , also einen E rstarru n gsp u n k t vo n etw a

— 5 0 bis — i o ° besitzen.

Ohne B eriicksich tigu n g von E in ze lla s te n : W ird die frag- liche R isseentfernung m it

1

in M eter, die P la tte n b re ite m it a = 100 cm , die P latten d icke m it b in cm , die D icke des darau f liegenden A sphaltbelages = 5 cm , tg cp = 0,7, yneton

= 0,0022 kg/cm 3, die Z u g festig k eit = 4,33 kg/cm 2 ange­

nomm en, dann ergib t sich, ein lineares A nw achsen der R ci- b u n g skraft vo rau sgesetzt (vgl. P rof. D r. B redtschneider, Technisches G em eindeblatt 1922, V . und A sp h a lt und Teer- industriezeitung 1923, N r. 1, S. 4,5)

0,7 - io o 2 (b + 5) 0,0022

l 2

100 b • 4,33

=]/0;

⁴³³

^b

1

800 b

7 ( n b + 55) 1 = 8,84 m bzw . 9,12 m.

D ie hier angenom m ene, gróBere Z u gfestigk eit veru rsach t einen U n tcrschied der R isseentfernungen vo n 3 6 % .

E s ist nun der EinfluB vo n E in zellasten u n ter B eriick- sich tigu n g verschiedener B oden ziffern und Z u g festigkeiten zu untersuchen.

D ic E lastizitatsth eo rie der Scheiben und P la tte n , w ie sie A . F o p p l (Vorlesungen V , 21) beschreibt, ergib t ais in der P la tte veru rsach te R ad ialsp an n u n g in der E n tfe rn u n g x vo n der A n g riffsste lle :

—

2 (m

m E h / d 2 z , 1 d z - --- -— m ---H (ni2 —1 1) 1 \ d x 2 x d x

H ier bedeuten: m — Poissonsche Z ah l; fiir B eton zwischen 6,4 — 8,9, daher m it 8 angenom men,

E = 140 000 kg/cm 2r h = P latte n d icke = 20 cm,

1

= dic nur \on dem M ateriał und der P latten d icke ab- hangige L an ge =

4 4

I/.

^{1 2 k h 3}

1

64 14 0 000

_—

²⁰

„

63 1 2 - 3 :

75

c m - k = B e ttu n g s ziffe r: hier angenom m en zu

1 kg/cm 2

...

3

kg/cm 0,33 cm

(vergleiche Schleicher, „ Z u r Theorie des B au g ru n d cs", B a u ­ ingenieur 1926, H e ft 49),

P = 3000 kg, T riebradd ru ck eines Sch w erlastautos.

Zur A u sdeu tu n g der „ z " nótigen K o n stan ten sind n ach H e r t z fiir eine P la tte m it R = 00, eine hier zutreffende A nnahm e, d a es sich um eine im V erh altn is zur D ick c unendliche L an ge h andelt,

P

g kl»" d ’C von den R anclbedingungen un abhangige K o n stan tę 3000

---=■ -.== 0,000 094 6,

•

jj

• 3 • 753

7 ( n b + 55)

D ie m eist gebrauchlichen A bm essungen sind b = 15 cm und b = 20 cm ; diese ergeben

1

= 6,50 m b zw . 6,70 ni ais R isse­

entfernung. W ird jedoch die Z u gfestigk eit des B eton s zu 8 kg/cm 2 angenom m en, dann erhalten w ir aus

Cj =

ji

C , = 0,000 29S,

C t

1

= 0,0223 die E in sen kung unter dem G ew ich t an der Stelle r = o,

C j = — 1,115 9 , C| = — 0,000 105 5. C 3 setzen w ir = o, so daB die M oglich keit einer partikularen L osu n g fu r z, F 3 (x), dic bei r = o, also an der K raftan griffstelle den unm óglichen W e rt von co ergibt, ausgesch altet w ird.

E s b le ib t dem nach:

— 0,000 105 5 ( x 2 --- z = 0,000 298 t

64 / ’ V 576

H- 0,000 094 6 lg x ^x 0,000 004 65 x 4 — 0,000 105 5 x 2

x 6 \

5 7 6 7

z = 0,000 298

+ O, OOO OOO 2

X 6

-f- o. 000094 6 x 2 lg X --- 0,000 000 164 X6 lg X

DER BAUINGENIEUR

1928 HEFT 10. ORSZAG, BESTIMMUNG DER RISSEENTFERNUNG IN FAHRBAHNPLATTEN.

169

und n ach W eglassen der unbedeutenden G lieder:

cl z

' = — 0 ,0 0 0 o i 8 6 x 3— o ,o o o 1 1 6 4 x - f 0 ,0 0 0 1 8 9 2 x l g x .

d x

d" z

d X 2

• 0,0000558 x 2 + 0,000072 8 -j- 0,000 1892 Ig x .

D ies ergibt, die G lieder m it x 3 bzw . x 2 auBer ach t lassend:

8 • 140 oco • 20 r

a = --- 1---r--- 8 ■

0,0 000728— 0,000 1 164 2 (64 — 1) • 75 L

- flfg - j- (8 • 00001892 + 0,000189 2)J E s w ird eine L a stv e rte ilu n g unter dem R a d a u f r = — ■

2

20 cm

r 13,33

— I 3>33 cm angenom m en, also x = - - — -■ — = 0,178 gesetzt, m it lg 0,178 = -— 1,726 crr = 5,83 kg/cm 2.

D arn ach w ird dic m ogliche, au ftreten d e R isseentfernung infolge v o n Schw inden, T em p eraturerniedrigun g und lokalen E in zelb elastu n gen an der angenom m enen R iB stelle bei voller A u sn u tzu n g der B eton zu gfestiglceit von 8 kg/cm 2 einer 20 cni- B eton fah rstraB end ecke, M iscliung x. : 8, berechnet aus

M it den R eibungssp annungen zusanlm en w ird die mini- m ałe R isse en tfern u n g:

12 2 2 , ,

0,7 — - + 6 ,9 2 = 8 , 2 io o

d avon 1 = 3,75 m.

A u s der G leich u n g: 0,077

1

' +

6

>

9

2 — 1,002 lg k = 8 er­

gib t sich

1 = K

i j

, ! lg k + 14,05,

eine K u rv e , die dic R isseentfernungen fiir B eton zu gsp an n u n g

=

8 kg/cm 2 und verschiedene ,,k "-W e rte d arstellt.

V ergleich e K u rv e 2, A b b . 2.

In der W irk lic h k e it kann m an aber m it S ich erh eit eine Z u g festig k eit von 8 kg/cm 2 seiten annehm en. E s sollcn daher

67*

l 2 i o o 2 0 , 7--- --- - • 2 0

2 2 0 • I O O IOOOO

1

= 5,33 m (statt 9,12 m ohne B eriicksich tigu n g der E in zellast).

E s w are noch zu untersuchen, w elchen EinfluB die E r- lióhun g der B o d en ziffer von 3 kg/cm 3 a u f 4, 5, 6 usw . kg ver- n rsach t; W erte, die ebenfalls bei gu t vo rb ereite tem U n tergrund vorkom m en konnen.

Zu diesem Z w ecke w urde die angegebene Spannungs- gleich u n g fur dic B od en ziffer ,,k " verallgem einert w ie fo lg t:

A b b . 1.

(1) = y : ⁹⁵

IC

1 1 9

_ K y 3 ~

i o 6 — 98,7 K

1 1 9

0,96 ■ i o G K

133

1 ; y 3 0,96 • i o 6 K

^■A

.

V« _IJ 4 . K ~ '(*

io«

Cs = T T .1,1 159 • C4. = - IC 'U — -

0 ,9 6 • 10® IO Q

y = 98,7 K 1/4 ; X

^{1 3 .3 3}

93,7 K

^{— 'U}

Z — c 2 X2 + C4 X2 ]

z ' = (2 C 2 + C4) x + 2 c . , x l g x ; z " = ( 2 C j + 3 C 4) + 2 C 4 l g X .

a ‘ - [ s (2 cż

+ 3

c4) + (2 c 2 + c 4) + l g x (8 • 2 c4 + 2 c 4) ] .

98,7 K

nachstehcn d die R isseen tfernun gen bei B eton sorten , die ais O b ergan gsfalle zw ischen S tam p fb eto n und plastisch em B eton au fgefaB t w erden konnen, erm itte lt w erden.

F u r ab^ — 7 kg/cm 2 w ird

1

= | 13,1 lg k -(- 1 K u r v e (3) a ljz — 6 kg/cm 2 „

1

= | / 13,1 lg k — 12 K u r v e (4)

ffhy -

5 kg/cm 2 „

1

= | / 13,1 lg k — 25 K u r v e (5) 1800 0,002492 -f- 0,003 100 + lg x • 0,002 23)

1800 (— 0,00385 + 0,00223 l g \ / K ) -.

D ie L a s t P = 3000 k g w ird ab sich tlich so groB gew ah lt, da in W irk lich k e it die ersten R isse b ei v o rziig lich gu ten D ecken du rch noch schw erere E in zellasten , D a m p fw alze n rad e r und dergleichen, . ve ru rsa ch t w erden.

D ie obigen K u rv e n lassen so fo rt erkennen, w ie w iclitig einm al die vo n den A m erikan ern „S u b g ra d e S p e cificatio n " ge- n annte V o rb ereitu n g des U n tergru nd es zu r E rh a ltu n g einer hóheren B od en ziffer ist. A n d rerseits w ird aus dem V orher- gehenden ersichtlich, daB B eton fah rstraB en, die keine D eh- nungsfugen ais K o n stru k tio n steil beim B a u erh alten und von R issen doch sp aterh in freibleiben sollen, u n bedin gt aus best- gestam p ftem M ateriał m it groBer Z u g festig k eit h ergestellt w erden m iissen.

D ie H erstellu ng plastischer, n i c h t g e s t a m p f t e r B eton- 1 ergib t ar — 6,92 ais M axim um der m óglichen Span- u n terlagen fur A sp h altfah rstraB en , dic m ehr ais 10 % W asser- ff = 6,92 — 1,002 lg K .

D iese G leichung bed eu tet eine tran- szendente K u rv e , und zw ar dic m it 6,92 E in h eiten vo m K oo rdinaten- ursprung verschobene „ L o g i s t i k " .

Y ergleich e A b b ild u n g 1.

K

; 3 g i b t a r = 5.33

4 5.53

5 5.31

6 5 >12

7 4,97

8 4 ,8 4

9 4 .72

IO

4 ,6 1

II

_{4 >5 2}

nungen, die u n ter dem R a d d ru ck vo n 3000 k g entstehen konnen. zu satz haben, sollte u n bedin gt verm ieden w erden.

verk!eidung t-~Wqfserdichfer

Uberzug

'ftuBsóhtę

Einstwethac Sfahlscfiofe

[kó/taf

\Kanal

\l?5crtl

¹

auOeiserne

^Ablęifuria *

.Tunnel-Fahrbahfij

Jupnei-fąhrbohrt

170

KURZE TECHNISCHE BERICHTE.

“ “ i M n ™ 1'1

KURZE T E C H N IS C H E BERICHTE.

Stollenbau in Lehmboden in Detroit.

D er im B a u steh en d e W asse rle itu n g sto llcn v o n 16 k m L a n g e in D e tro it (M ichigan) is t ein T e il einer neuen W asserv erso rg u n g sa n lag e au s d em D ę tro jtflu B fu r 2,5 M ili. ni3 ta g lic h . E r b e s te lit a u s einem 2,8 k m la n g cn B a u lo s v o n 4,2 m W e ite und fiin f Losen v o n 3,6 m W eitc,

lie g t m it 24 b is 33 m T ie fe u n ter a llen an d eren L e itu n g e n , die bis je t z t nur T5 m T ie fe erreichen, g e h t d u rch L eh m b o d en v ersch ied en er F e stig ­

k e it m it w en ig S an d n estern u nd K ie sę ln . Je- d es B a u lo s w ird

v o n einem S c h a c h t unge- fa h r in h a lb e r L a n g e v o rg etrie - ben u n d d u rch 20 cm w e ite B o h rló c h e r in 300 111 A b sta n d , die - in erster L in ie fiir die E in h a lt u n g jd e r R ic h tu n g be- stim m t sind , m it elek trisch er

K r a ft und F ris c h lu ft y e r- so rg t. D e r V or- tr ie b g e sch ieh t . teils v o n H a n d m it 5,5 m d u rch- s c h n ittlic h e m T a g e ś fo rts cliritt, te ils m itte ls S ch neidem asch inen , die bis 6,4 m ta g lic h ,im D u rch sc h n itt a b er au ch n u r 5.5 m ta g lic h leisten . F iir die A u szim m eru n g g e n u g t

in der K e g e l ein d reiteilig er R a h m en (A b b . i) , b ei u n g iin stigen V erh & ltn issen sind B e to n u n te rte ile m it S ta h lrip p e n u nd B o h len o d er S ta h lb le c h -V e rsc h a lu n g n o tig (A b b. 2), d ie a n b eson ders sch lech ten S te llen m it ein- b e to n ie rt w erd en . F iir d ie B e to n a u sk le id u n g w erd en 3,6 b is 5,4 m la n g e S tre ck e n n iit S ta h lra h m en a u sg e rtiste t (A b b. 3) u nd u n ten n asser, n ach oben im m er tro c k e n e re r B eto n e in g e fu llt u nd m it D ru ck lu fth & m m ern fe s t- g e sta m p ft u n d d u rch B e k lo p fe n d er V er- k le id u n g fe s tg e ru ttc lt. E in S p ritz b e w u rf 1 : 1 v o n 0,8 bis 0,4 m3/m, m it 5 A tm . D ru c k a u fg e b ra c h t, und ein Z e m e n tp u tz ver- v o llsta n d ig e n die D ich tu n g . (N ach E n g i- n eerin g N ew s-R ecord v o m 15 . D ez. 1927, S. 948— 954 m it 12 A b b .). N .

Der Holland-Strafientunnel unter dem HudsonfluB.

Zu d er A b lia n d lu n g iib e r den H o lla n d - S tra B e n tu n n e l u n ter dem H u d son flu B im

„ B a u in g e n ie u r " 1927, S. 928, b rin g en w ir noch zw ei lehrreich e Z eich n un gen a u s E n - gin eerin g v o m 25. N o v , 1927, S. 669, d ie den B au d er L u ftu n g s sc h a c h te a m F lu B u fe r

der N e w Y o r k e r S eite zeigen (A b b. I u. 2). D ie L an d S cliach te a u f beiden F lu B seiten und die U ferscliach te a u f d er N e w je rsey e r

S eite sind v o n derselben B a u a rt. N.

Die ErschlieBung Patagoniens durch moderne FernstraBen.

A u g e n b lick lic h w erd en im Z u sam m en arb eiten d er chi- lenischen und a rgen tin isćlien S ta a tso rg a n e b ed eu ten d e Pro- je k te en v o g en , d ie d e r O ber- h o h e it d ieser L a n d e r u nter- stehen d en D is trik te P a ta g o n ie n s in groB ziigiger W eise d u rch um - fassen d e E n tw ic k lu n g a lle r in reicliem M aBe vorh an d en en p ro- d u k tiv e n M itte l erfolg reich in den W irtsclia ftsm ec h a n ism u s ih re rL iin d e re in z u g lie d e rn , n ich t z u le t z t d u rch eine a u sgiebige V e rso rg u n g d ieser G eb ietste ile m it « ein em sy ste m a tisch en N e tz w e rk m o d ern er V e rk e h rs- straB en .

N o ch v o r w en igen Jahren w a r m an a llg em ein von dem gerin gen N u tz w e r t d ieser sud- am erik an isch en Liin d creien iib erzeu g t. E u ro p aisch en B e- g riffen g ilt P a ta g o n ie n h a u p t- sa c h lic h a ls W u s te , diirre S te p p c o d er w egloses, u n fru clitb a re s H o ch g e b irg sla n d . B ish e r h a tte diese A u ffa ssu n g im allgem einen v ie l Z u treffen d es, denn d er chilen ische l e i l P a ta g o n ie n s b e ste lit in d e r I-Iauptsache aus dem sch n eeb ed eck ten sterilen B er g m a ssiv d e r A n d en au slliu fer. A uB erdem erstre ck e n sich u b e r groBe F lach en L a n d es g e w a ltig e W a ld zu g e, d ie a u g e n b lic k lich v o llig u n e rfo rsch t u nd u n w egsam sind . D ag eg en sin d d ie Liind ereien A rg en tin isch -P a ta g o n ie n s n och zu w e ita u s groB tem T e ile diirres S tep p en la n d .

Im L a u fe d e r le tz te n Jahre is t m an sich a b e r d o cli bew u B t gew orden , w e lch e zu m T e il iiberaus liohen W e r te aus d iesem v o m a llgem ein en W irtsch a ftsin tere sse - s t a r k v ern a clilassig ten G eb iete bei ra tio n e lle r B eh an d lu n g u nd A u sn u tzu n g d er seh r u n terschiedlichen w irtsc h a ftlic h e n M óg lich k eiten lierauszuh olen sin d . Z u n Ł ch st begannen chilen ische K o lo n iste n im G o u ve rn en ie n t M ag alh aen s sich d e r A u f- z u ch t von S ch afen zu w id m en , d ie erstau n lich ra sch a u fb liilite , sich d a b ei s t a r k au sd eh n te u nd d u rch w eg vorzl'igliche E r tr a g e a b w a rf.

D ie S c h a fz u c h t g ew a n n seh r rasch iib er d ic ch ilen ischen G ren zen h in au s B o d en a u f den arg en tin isćlien T errito rie n P a ta g o n ie n s. So- w o h l im D is t r ik t v o n S a n ta C ru z w ie im R eg ie ru n g sb ez irk G h u bu t is t heu te d ie S ch a fin d u strie eines d e r trag fiih ig sten W irtsch aftsm o m e n te A rg en tin ien s. Infolg ed essen sind diese G egen den h eu te besonders in den V o rd erg ru n d d er Interessen zu r In te n siv ie ru n g des Y e rk e h rs g e riic k t. D ie E n e rg ie d e r S ch a ffa rm e r h a t a u c h b e re its m it v o rtre ff- lich en E rfo lg e n zu m A n b a u v o n Z erealien g e fiih rt. A uB erd em w ird j e t z t neben d e r S clia fh a ltu n g a u ch in groB zu g iger F o rm R in d er- u sw .-z u c h t ge trieb en . N a c h <len le tz te n sta tistisch e n E ro rte ru n g en is t d er V ie h b e sta n d P a ta g o n ie n s m ittle h v e ile a u f r4 M illionen T iere e in sch liefilich 3 M illionen d e r ch ilen ischen G eb iete g estieg en . D ie

-ząnm

A bb . 1. A b b . 2.