ZFSZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚL ISKIEJ Seria: A U TO MA TY KA z. 63
1982 Nr kol. 735
S t an is ła w PAWLIK Politechnika Śląska
M A KS YM AL NO -W YD AJ NOŚ CI OW A O P T Y M A L I Z A C J A PR ZY DZ IA ŁU W OBIEKCIE O ZŁ OZONEJ STRUKTURZE
S t r e s z c z e n i e . W referacie przeds ta wi on o problem przydziału pr a
co wn ik ów na stanowiska o złożonej strukturze połączeń. Z e p r e z e n t o wano metodę wy zn ac za ni a przydziału m a k s ym al iz uj ąc eg o wydalność z e s połu stanowisk pracy. W s ka za no niektóre możliwości zastosowania op i
sanego modelu optymelizecji.
\
1. WP RO WA DZ EN IE
W klasycznym za ga dnieniu przydziału dane jest n pr ac ow ni kó w oraz n stanowisk. Pr zy dzielenie pracownika i do stanowiska J związane Jest ze wspó łc zy nn ik ie m oceny prac y a 1j- Ka żdego pracownika można zatrudnić tyl
ko na Jednym stanowisku, 8 każde stanowisko winno być obsługiwane przez dokładnie jednego pracownika. Na le ży przydzielić or ac ow ni kć w na stan ow is
ka w sposób optymalny z uwagi ns postawione kryterium F, zależnego od w y stępujących w przydziale w s p ó ł c z y n n i k ó w B ij- R o zw ią za ni em tego oroblerau Jest pewna parnutacja ( P i' p2 p n ^ liczb ( l , 2 n) , w której każ
dej p^ pr zy po rz ąd ko wa na Jest jedna z wart oś ci J (j « 1 , 2 ... n). Per- mutacja ta ek st remalizuje funkcję celu F = F ^s ip l'a 2p 2 an ° n ^ ’
W zależności od interpretacji w s p ó ł c z y n n i k ó w oceny i po st aw io ne go kry
terium spotyka się w literaturze trzy typy zadań.
I tak, w przypadku gdy współc zy nn ik i e ^ oceniają kwalifikacje p r a
cownika w sposób binarny
to zadanie rozmieszczenia polega na znalezieniu rozwiązanie d o p u s z c z a l n e go. Efektywna metode opartą na twierdzeniu K ó n i a a - E a e r w a r y ’ego podaje W W tym problemie struktura obiektu Jest nieistotna.
2 nieco innym zadaniem można się sootkać. ody w s pó łc zy nn ik i oceny pra-
J, a poszukuje sie przydziału da ją ce go minimalną wartość łącznego kosztu pracy. Jest to zadanie progra mo wa ni a liniowego [2], w którym wyst ęp uj ą
1 - ody nracownlk i-ty może pracować na stBnowisku J
0 - w przypadku przeciwnym. (1)
zmienne
10P_________ S. Pawlik
1 - jeżeli pracownik i-ty 1est przy dz ie lo ny na stanowisko J ; V “ lI O - w przypadku przeciwnym.
r Należy mi nimalizować funkcję celu reprezentującą koszty
orzy soełnieniu wa ru nk ów
- na każdym stanowisku pracuje jeden oracownik
Z
i salnkażdy pracownik przydzielony Jest do jednego stanowiska
z
j-i X iJ- na oodstawie (2)
X ij
(2 )
F -2 2 Ci1XU (3)
1=1 j»l
x ij - 1, J ■ 1 , 2 nj (4)
1, i - 1 , 2 n; (5)
i = 1 , 2 n, j « 1 , 2 n (6)
Ró wnież w typ zaoaniu struktura powiazań stanowisk Jest nieistotna.
Na uwaqę zasługuje zagadnienie przydziału, w którym w s pó łc zy nn ik i a ^ oznaczaj? wy da jn oś ć pracy. Wtedy kryterium optymalizacji jest wydajność caieno. o b i e k t u . będącego zbiorem stanowisk, W tym nrzypsdku struktura po
wiązań stanowisk odgrywa podstawowa rolę. literaturze spotyka się meto
dy optymalizacji dla dwóch struktur połączeń stanowisk: równoległej i sze
regowej. W problemie ze struktura równoległa wydajność obiektu jest równe sumie wydajn oś ci stanowisk. Jest to zadanio identyczne z zadaniem mini
ma Ino-kosztowym przydziału. Zadanie dotyczące obiektu o szeregowym połą
czeniu stanowisk nosi nazwę problemu “wą sk ie go gardła". Tu maksymalizacje wy da jn oś ci całego obiektu Polega na ma ks ym al iz ac ji wy da jn oś ci najsłabsze-, go onniwa w szeregu stanowisk, a więc
F = min
i B iPi (7)
Ro zw ią za ni e tego zadania można uzyskać, posługując się al go ry tm em Grossa [i] ■ będ acym uo gó ln ie ni em w s po mn ia ne go algorytmu Konica lub też innymi algorytmami bazującymi na algorytmie Grossa ¡VJ ... [5].
Me k s -jmć; 1 no -wyd a j no ś c l o w a o o t y m a 1 i z e c j 8. 10 9
Opracowanie metody rozwiązanie ogólnego oroblemu orzycziału - dla o- biektu o złczonej strukturze, z ma ksymalizację wy da jn oś ci ’,ako kryterium - jost. celem tej Dr ący.
2. PROBLEM PODSTAWOWY ZAGADNIENIA PRZYDZIAŁU Z KRYT ER IU M MAKSYMAL NC -W YD AO - N0SC1OWYM
Rozważmy oroolen rozmieszczenia z maksym al iz ac ja wycajności. Dosłunu- Jęc się orzykłanem obiektu ookazaneao na rysunku 1. Obiekt zawiera 10 sts-
Rys. 1. Przykład obiektu o złożonej strukturze
nowisk. Punkty 1 . 2 , 3 4 . 5 ws kazuję miejsca przekazywania materiału p o d
dawanego obróbce - do ster-ps/iska pracy lub za stanowiska pracy. Możn e Je Interpretować jako meoazyoy. środki transportu lub stanowiska kontroli Jakości. Strzałki oznaczyią kiorunek orzepływu materiału. Należy za u w a żyć, że istnieje tu Jeden dooływ materiału do obiektu (odpowiadający licz
bie prze dm io tó w Drzed obróbkę do starczonych w Jednostce czasu) oraz jeden odpływ w y r o b ó w (oo obróbce). Obiekt można orzedstswić w postaci grafu skierowanego, w którym krawędzie odpowiadaję stanowiskom pracy, Jak na ry
sunku 2. Można tu zauważyć analogię wy da jn oś ci z przepływem w siad trans
portowej. Niech y ^ oznacza rzeczywista wy da jn oś ć pracy na stanowisku sl j » wy ni k8 ję cę z pr zepustowości stanowiska ograniczonej wy da jn oś ci ę p r a
cy na tym stanowisku oraz ze struktury oołęczeń stanowisk (możliwości do
pływu materiału). (Z powodu dwuindeksowej numeracji stanowisk w tablicach A « X = Indeks J elementów tych tablic od powiadający numerowi stanowisk trzeba zastępie dwuind ek so wy m w s k a źn ik ie m > 28!’ ir|deks i - dla odróżnienia - indeksem k).
110
!<. PawlikMuszę spełnione być naatępujęce warunki:
a) Bla każdej krawędzi skierowanej (stanowiska)
rU S' a k p
ij
b) Ola wierzchołka początkowego a, zwanego źródłem
Z y , t - 2 ' is
(8 )
(9)
Su mo wa ni e odbywa się w z g l ęd em ws zy st ki ch w i e r z c h o ł k ó w w grafie. Oeżeli z wi er zchołka p nie na żadnej krawędzi do wi er zchołka q oczywiste Jest, że y p q » 0 . W i e l ko ść z leat szukana wy da ln oś ci ę obiektu.
c) Dla wi er zc ho łk a końcowego t, zwanego ujściem
? y tł - ? v it - - d o )
d) Wszy st ki e pozostałe wi er zc ho łk i j, zwane Dcśrednini, spełniają rów
ność :
ij (1 1!
Wa runek (10) można wypr ow ad zi ć z w a r u n k ó w (“ 1 i (li). a więc nie Jest on niezależny.
Na pi sz my te wa ru nk i dla o m aw ie ne go orzykładu. Z m ie nn ym i sę wydajności rzeczywiste od po wiadajęee każdej z dz ie si ęc iu krawędzi. Mimo, żo z = y 12- + y 1 4 , to Jednak możemy uważać z Jako Jeszcze jednę zmiennę. IVs- iki (9) i (li) przyjmę naetępujęcę postać
Maksymalno-wydaJ nościowa optymalizac ja .
111
' Z + y 12 - y 13 + y 14 = 0 - y 12 ł y23 ł y 25 = 0 Y 13 “ Y23 " y 3
~ y 14 " y 34 + y 43 + y 45 “ y 54 c 0
z - y 2 5 ” y 3 5 “ y 4 5 + Y 5 4 = 0
'34 + y 35 - y43 = 0 Cl2)
W warunkach '8) do da tk ow ym i nięznanymi w i el ko śc ia mi są akp. A b y Je wy- znaczyć wpro wa dz a się dodatkowe zmienne decyzyjne x. .. zgodnie z defini-ij
ij cję fi) a sp eł niające r ó wn oc ze śn ie warunki ' 2) i (3) dla n»10.
Ostatecznie wa runki '8) przyjmuję postać
10 'i-i - Z
k = l
a KO,j X k 0 1 J < O
i-1 ,2 . .5 J - 1 . 2 ---- 5
r 13 )
Otrzymane za da ni e ma ks ym al iz ac ji w y da jn oś ci z przy spełnianiu w a r u nk ów ,l),’ ( 2 ) 1 (3 ), (12), (13) oraz oc zy wi st eg o warunku:
1J 1 = 1 , 2, .5; J-1.2, ( 14 )
Jeat zada ni em programowania liniowego c a ł k o w it ol ic zb ow ego mieszanego. Za
piszemy wa ru nk i (12) w nieco inny sposób wpro wa dz aj ąc ma cierz B oraz w e k tor kolumnowy Y:
Y “ [ Y 1 2 ,y13'Y 1 4 ,Y2 3 ' y2 5 ' y 3 4 'y 3 5 ’y 4 3 'y4 5 ' y 5 4 ,z] Y l 5 ^
1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1
-1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 - 1 0 1 1 - 1 0 0 0 0 0 - 1 0 0 - 1 0 1 1 - 1 0 0 0 0 0 -1 0 -1 0 -1 1 1
'16)
teraz '1 2) można zapisać macierzowo
B . Y = O (17 )
Widać, żo B Jest macierzą incydencji grafu skierowanego otrzymanego Przez dodanie krawędzi z wi er zchołka 5 do 1 w grafie z rys. 2, Zmienna y51 odpowiadająca nowej krawędzi dodatkowej Jest tożeamośclowó równa zmiennej
112
S. D awlik 2 reprezentujęcej wyda jn oś ć obiektu. Liczba wi ersza ma cierzy incydencji Jeet równa liczbie w i e r zc ho łk ów a liczba kolumn Jest równa liczbie krawędzi. W celu up ro sz cz en ia niewygodnej dwuindeksowej numeracji zmiennych y ^ , w dalszych rozważaniach zastępuje się zmienne y ^ zmiennymi w^ (1 = 1 , 2 ...L), tzn. y 12 = w Ł itd. , a L Jest liczbę wszystkich krawędzi grafu oprócz krawędzi dodatkowej, którę oznacza się przez +
Można teraz przedstawić ogólnę postać zadania przydziału:
Dany Joet obiekt o L stanowiskach pracy. Strukturę obiektu przedstawia graf op isany macierzę incydencji S
B = [bklJ : k = 1 , 2 K, '18)
1 = 1 , 2 L+l ,
gdzie: K liczba wi er zc h o ł k ó w grafu;
oraz macierz w y da jn oś ci A:
A [° ij ]: 1 ■
L J J = 1 . 2 L
'19)
A b y znaleźć przydział p r a c ow ni kó w maks ym al iz uj ęc y wi el ko ść produkcji ca łego obiektu, na le ży rozwięzać zadanie pr og ramowania liniowego z funk
cję celu : '
i ograniczeniami:
F = w l + 1 — """ max
L + l
Z b klW l - O. k = 1 . 2 K;
1=1
'20'
■21)
- . 4 B a,,x, , ^ O, 11*11 1 = 1 . 2 L; (22) 1=1
x n = 1. 1 = 1,2.... ,L; '23
'll = 1, 1 .2 , '24;
Maksyma Ino-wydalnościowa ontv m a 1 l z a c 1 a .., 113
0 :< wj . 1 = 1 , 2 L+l .
0 i całkowite, 1 = 1 , 2 ... L;
X - 1 , 2 ...L
\
3. "OZSZERZENIE ZAKRESU ZASTOSOWAŃ
Dotychczas zakładano, że graf re pr ez en tu ję cy strukturę po łę cz eń posiać da jedno źródło i Jedno ujście. Op isane podejście można ' Zastos ow ać rów- ^ nież dla obiektu o wielu źródłach s., ,s2 ,. .. ,sp i wielu ujściach t^.tg».«
,.,tp oraz Jeżeli ma teriał może być p r z e ka zy wa ny z każdego źródła do 'każdego ujścia. Na le ży wtedy wprowa dz ić źródło zastępcze s o po m o c n i
czych kr aw ędziach skierowanych do s1 > s2 ,...,Sp oraz zastępcze ujście t z pomocniczymi krawędziami skierowanymi od 1)0 *• Zakłada się przy tym, że krawędzie p o mo cn ic ze reprezentuję stanowiska o dowolnie dużej wy da jn oś ci , nie wy ma ga ję ce obsł ug iw an ie przez pracowników.
Z akładano także, że dolne ogra ni cz en ie na wydajność stanowiska re pr e
zentowanego przez krawędź Jest równe zeru, a górna wynika z wydajn oś ci przydzielonego pracownika. W pr aktyce można spotkać się r sytuację, « której dla wy br a n e g o stanowiska s.^ (lub grupy stanowisk) narzuca się graniczne wydajności: mak3ymalnę d Ł oraz niewlę ks zę od ni^J wydajność oinimelnę c^, '’liczby rzeczywiste dodatnie). W t e d y za danie optyma li za cj i należy uz up eł ni ć w a ru nk ie m (warunkami):
c i ^ " i ^
d i(2 6 )
P o pr ze dn io p r z y jm ow an o także, że ograniczenia wy da j n o ś c i o w e dotyczę wy
łącznie stanowisk pracy repr ez en to wa ny ch przez kraw ęd zi e grafu. P o do bn ie
■ożna nałożyć ogra ni cz en ia na punkt wę z ł o w y fjeden lub więcej), przedsta- wlajęcy sobę możliw oś ci transportowe, pr ze pustowość stanowiska kontroli Itp. Od po w i a d a j ę c y mu w i e r zc ho łe k n o do puszczalnych przepust ow oś cl ac h granicznych c(n) i dfn) można zastępie przez dwa w i e r zc ho łk i n' 1 n"
oraz krawędź mi ęd zy nimi o żędanych pr ze pu st ow oś cl ac h granicznych.
Proponowana metoda pozwala również uwzględnić istotne w procesach z nawrotami te chnologicznymi - zależności ilościowe w y da jn oś ci pomi ęd zy w y branymi st an owiskami opisane równaniami l i ni ow ym i- po przez do łę cz en le ich Jako w a r u n k ó w u z up eł ni aj ęc yc h do zadania optymalizacji.
4. UWAGI
Istotnę własno śc ię prezentowanej metody Jest liczba zmiennych zadanie optymalizacji z L stanowiskami równ.t L t L + 1. D e dn ak postać macle- 2 rzy w s p ó łc zy nn ik ów og ra ni cz eń liniowych pczwala w sposób p r og ra mo wy no
114 S. Pawlik
zn aczne zredukowania tBblicy synpleksów. Niemniej celowe jest dalsze po
szukiwanie bardziej efektywnych metod. Bowiem w y z n ac za ni e optymalnego przydziału pr ac ow ni kó w nie jest Jedynę możliwościę zastosowania tego za
gadnienia. Uz as ad ni on e aa również za st os ow an ia do prac pr ojektowania zło
żonych ob ie kt ów przemysłu maszynowego, takich jak:
- zespoły linii montażowych, w których można wy różnić linie montażu pod
zespołów, montażu głównego i t p . ;
- zakład wy tł ac za ni a blach karoseryjnych obejmujęcy ze społy nożyc do cię
cia blach, linie pras, oddziały pomocnicze, np. regeneracji tłoczniki*
i inno;
- zakład ku źniczy za wi er aj ęc y zbiór mł otów hy dr au li cz ny ch związanych ze sobę złożony strukturę procesu z nawrotami technologicznymi;
- i inne.
W takich przy pa dk ac h pr ob le me m Jast dobór ur zędzeń o właści wy ch para
metrach ek sp lo at ac yj ny ch i ilości pozwalaj ęcej na rytmicznę produkcję ns żędanym poziomie wydajności. W t e d y w za daniu przydz ia łu zmienne ss zmiennymi decyzyjnymi, ok reślaJęcymi opty ma ln y dobór urzędzeń.
LITERATURA
flj Ford L.R. ,. Fulkerson D.R. : Pr ze pł yw y w sieciach. PWN. W a r s za wa 1969.
[2] Korbut A.A. . Finkelszt ej n 3.0. : Pr og ra mo wa ni e dyskretne. P W N , Warsza
wa 1974.
[3] Ga rf in ke l R.S. , Nemh au se r G . L . : Pr og ra mo wa ni e całkowitoliczbowe. PM,
Wa rszawa 1978. ' '' *
[4] Garfinkel R.S. : An improved al go ri th m for t h e bottleneck a s s i g n e m e n t problem. Op er at io ns Research, 19, 1971.
[5] Słomiński L. : Bottleneck assignement problem. An efficient algorith», IX Inst. Symp. on Mathem. Programm Budapest 1976.
[6] Pawlik S. : A l g o r y t m rozdziełu 1 obsługi zadań na linii montażowej.
I Krajowa Ko nf er en cj a A D P P , Porę bk a- Ko zu bn ik 1978.
Recenzent: doc. dr hab. inż. 3e rz y KLAMłd
W p ł y n ę ł o do Re dakcji 15.05.82 r.
Ma k a y m a l n o - w y d a l n o é c Iowa optymallzacla.
115 MAKCHHAJIbHO-IIPO)I3BOAHTEJIbCTBEHHAfI 0IITHMAJIH3A1XHH HA3HAMEHHH
B OEbEKTE CO CJlOKHOil CTPYKTyPOÜ
P e 3 10m e
B
pa doi e n p e a c i a B x e H a npodJtewa n a a H a y e H H H p a C o y H X no p a O o m i M uecTaw,HMe-
»ihhx CAOjKHyio c i p y K T y p y odiueHKH. IlpeAJioxeH u e T o n onpe^ejienuK H a 3 Ha'ieHHit, u a - K C H M H 3Hpy»mHtt n p O H 3BOAHTeBBKOOTl> rpyniIN p a 6 o*IHX M e O T , y K a 3a H U HeKOTOphie B03- MoxiiocTH n p w u e H e H H a onncaKHott K o r e a n QiiTHMaJiHaanHH.
MAXIMUM EFFICI EN CY O P TI MI ZA TI ON OF AS SI GN EM EN T IN A COMPLEX STRUCTURE PLANT
S u m m a r y
W e present a problem of worker aeelgnement to stations wi th a complex structure of connections. We show a method of ^saignement m a xi mi zi ng the efficiency of the whol e structure. W e indicate some possib il it ie s of ap
plication of the opti mi za ti on model presented.
