Rachunek
Prawdopodobieństwa Anna Janicka
wykład III, 3.11.2020
NIEZALEŻNOŚĆ ZDARZEŃ,
SCHEMAT BERNOULLIEGO, TW. POISSONA ZMIENNE LOSOWE – WSTĘP
Plan na dzisiaj
10. Niezależność zdarzeń
▪ Niezależność 3+ zdarzeń 11. Schemat Bernoulliego
▪ Tw. Poissona
12. Jednowymiarowe zmienne losowe
▪ Definicja zmiennej losowej
▪ Przykłady zmiennych losowych
▪ Definicja rozkładu zmiennej losowej
▪ Opis rozkładu dla zmiennej dyskretnej
10. Niezależność zdarzeń
1. Definicja zdarzeń niezależnych
2. Przykłady zdarzeń niezależnych
a. wyniki rzutu kostką
b. kolory/figury kart w talii
10. Niezależność zdarzeń – cd.
3. Niezależność 3+ zdarzeń
4. Przykłady:
Definicja nie może być prostsza!
Niezależność a niezależność parami.
10. Niezależność zdarzeń
5. Twierdzenie 7 (warunki niezależności)
11. Schemat Bernoulliego
1. Definicja Schematu Bernoulliego
◼ schemat skończony lub nieskończony
11. Schemat Bernoulliego – cd.
2. Przykłady
◼ rzut monetą
◼ rzut kostką
◼ losowanie z urny
3. Prawdopodobieństwo w Sch. B.
◼ prawdopodobieństwo k sukcesów w n próbach
11. Schemat Bernoulliego – cd. (2)
n=10
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
p=0,1 p=0,25 p=0,5 p=0,75 p=0,9
11. Schemat Bernoulliego – cd. (3)
n=11
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
p=1/6 p=0,3 p=0,5 p=0,7 p=5/6
11. Schemat Bernoulliego – cd. (4)
4. Przykłady
5. Najbardziej prawdopodobna liczba
sukcesów w Schemacie Bernoulliego 6. Nieskończony ciąg prób – przykład
7. Twierdzenie Poissona
11. Schemat Bernoulliego – cd. (5)
8. Tw. oszacowanie błędu w tw. Poissona
9. Przykłady zastosowań tw. Poissona (dobre i niezbyt dobre)
11. Schemat Bernoulliego – cd. (6)
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n=10, p=0,3 n=30, p=0,1 n=60, p=0,05 n=100, p=0,03 n=300, p=0,01 lambda=3
12. Jednowymiarowe zmienne losowe
1. Motywacja: funkcje od wyniku losowania 2. Definicja zmiennej losowej
3. Przykłady zmiennych losowych
◼ liczba wyrzuconych orłów, reszek
◼ suma wyrzuconych oczek
◼ odległość punktu od liczby całkowitej
12. Jednowymiarowe zmienne losowe – cd. (1)
4. Działania na/funkcje zmiennych losowych 5. Przykłady opisu zmiennych losowych
◼ orły, reszki
◼ odległość punktu z koła od środka
6. Definicja Rozkładu zmiennej losowej
Różne zmienne mogą mieć ten sam rozkład Ozn. X ~
Zapominamy o ...
12. Jednowymiarowe zmienne losowe – cd. (2)
7. Przykłady rozkładów zmiennych losowych
◼ rzut kostką
◼ rozkład dyskretny
◼ Schemat Bernoulliego
◼ rozkład geometryczny
◼ rozkład Poissona
◼ rozkład ciągły: rozkład jednostajny na odcinku
◼ inny przykład rozkładu ciągłego
