Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. Wykład 12 12. CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIEZORIENTOWANA

(1)

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem.

Wykład 12 12. CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIEZORIENTOWANA

12.1. Elementy analizy wektorowej.

12.2. Luki na płaszczyźnie i w przestrzeni.

12.3. Definicje i własności całek krzywoliniowych niezorientowanych.

12.4. Niektóre zastosowania całek krzywoliniowych niezorientowanych.

12.1. Elementy analizy wektorowej

12A1Definicja(funkcja wektorowa jednej zmiennej)

Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie :r I  ⁿ lub

1 2

( )r t ( ( ),x t x t( ),...,x t_n( )),t I [ , ],  gdzieI oznacza przedział na prostej. Funkcje wektorowe na płaszczyźnie ²(lub w przestrzeni ³)będziemy też zapisywać w postaci

( ) ( ( ), ( ))

r t  x t y t (odpowiednio ( )r t ( ( ), ( ), ( ))x t y t z t ).

12A2Definicja(pochodna funkcji wektorowej)

Funkcja wektorowa r t( )( ( ),x t x t₁ ₂( ),...,x t_n( )),tI, jest różniczkowalna (analogicznie całkowalna) w przedziale I , jeżeli jej współrzędne są różniczkowalne (całkowalne) w tym przedziale. Wtedy pochodną oraz całkę funkcji wektorowej określamy wzorem

1

( ) ( ) ( ( ),..., _n( )), dr t r t x t x t

dt      r t dt( ) x t dt₁( ) ,..., x t dt_n( )

  

  

 

  

 

  

^.

Interpretacja geometryczna: dla n2,3 wektor r t( ) jest wektorem stycznym do wykresu funkcji w punkcie r t ( ).

12A3Uwaga(własności pochodnych i całek funkcji wektorowej)

Podstawowe własności pochodnych i całek funkcji liczbowych zachodzą i dla funkcji wektorowych, w szczególności, zachodzą wzory na pochodne i całki kombinacji liniowych funkcji wektorowych, na pochodne funkcji wektorowych złożonych, na pochodne iloczynu skalarnego:



^{u t}^{( )} ^{v t}^{( )}



^ ^^{u t}^^{( )} ^{v t}^{( )}^^{u t}^{( )} ^{v t}^^{( )} oraz iloczynu wektorowego:



^{u t}^{( )}^^{v t}^{( )}



^ ^^{u t}^^{( )}^^{v t}^{( )}^^{u t}^{( )}^^{v t}^^{( ).}

12.2. Luki na płaszczyźnie i w przestrzeni

12A4Definicja(łuki na płaszczyźnie i w przestrzeni)

Niech funkcja r I:  ² lub r I:  ³, gdzie I  , będzie ciągła i lokalnie różnowartościowa na I . Wtedy łukiem L nazywamy zbiór{ ( ) :r t tI}. Funkcję

(2)

wektorową r, opisujące łuk , nazywamy jego parametryzacją, w szczególności, łuk  opisuje się w sposób parametryczny wzorem : r r t t( ), I;

lub ( ),

: ;

( ), x x t

t I y y t

 

    ( na płaszczyźnie) oraz

( ),

: ( ), ;

( ), x x t

y y t t I z z t

 

   

 

(w przestrzeni).

Jeżeli funkcja r jest różniczkowalna w sposób ciągły na przedziale I oraz dla każdego I spełniony jest warunek '( )r t 0,to mówimy, że łuk  jest gładki. Mówimy, że łuk jest kawałkami gładki, jeżeli można go podzielić na skończoną liczbę łuków gładkich.

Jeżeli funkcja r będąca parametryzacją łuku  spełnia równość ( )r  r( ), gdzie [ , ]   , to mówimy, że łuk ten jest zamknięty. W przeciwnym przypadku mówimy, że łuk jest niezamknięty

12A+B5 Przykłady (przedstawienie łuków na płaszczyźnie i w przestrzeni):

5.1. Łukami na płaszczyźnie są wykresy funkcji ciągłych postaci a)  :y y x( ), gdzie a x b;b): xx y( ), gdzie c y d.

5.2. Łukami w przestrzeni są części wspólne ciągłych powierzchni walcowych

a) ( ),

: ( ),

y y x z z x

 

   gdzie a x b; b) ( ),

: ( ),

x x y z z y

 

   gdzie c y d;

(3)

c) ( ),

: ( ),

x x z y y z

 

   gdzie a x b.

12A+B6 Przykłady (równania parametryczne ważniejszych łuków):

6.1. Odcinek na płaszczyźnie o końcach A( ,x y₁ ₁), B( ,x y₂ ₂) :

1 2 1

( ) ,

: ( ) ,

x x x x t

y y y y t

  

     gdzie t[0,1];

6.2. Okrąg o środku S ( ,x y₀ ₀) i promieniu R: ⁰

0

cos ,

: sin ,

x x R t

y y R t

 

    , gdzie

[0,2 ];

t 

6.3.Elipsa o środku S ( ,x y₀ ₀) i półosiach i :a b ⁰

0

cos ,

: sin ,

x x a t

y y b t

 

    gdzie

[0,2 ];

t 

6.4. Odcinek w przestrzeni o końcach A( ,x y z₁ ₁, ),₁ B( ,x y z₂ ₂, ₂) :

1 2 1

( ) ,

: ( ) ,

( ) ,

x x x x t

y y y y t

z z z z t

  



    

   



gdzie t[0,1];

(4)

6.5. Linia śrubowa o skoku h , nawinięta na walec (xx₀)²(yy₀)² R²:

0 0

cos ,

: sin ,

2 ,

x x R t

y y R t

z ht



  

   

 



gdzie t .

12A+B7Definicja (długość łuku)

Długością łuku  { ( ) :r t t[ , ]}  nazywamy kres górny długości łamanych wpisanych w ten łuk

1

1 0 1

0

sup{ : , ( ) gdzie }

n

i i i i n

i

PP n P r t  t t t 







 



      

12A+B8 Twierdzenie (wzór na długość łuku)

Niech  {( ( ), ( )) :x t y t   t } ² będzie łukiem gładkim na płaszczyźnie. Wtedy długość tego łuku wyraża się wzorem

2 2

( ( ))x t ( ( ))y t dt





 

 





Niech  {( ( ), ( ), ( )) :x t y t z t   t } ³ będzie łukiem gładkim w przestrzeni. Wtedy długość tego łuku wyraża się wzorem

(5)

2 2 2

( ( ))x t ( ( ))y t ( ( ))z t dt





  

 



 

Jeżeli łuk gładki  jest wykresem funkcji y y x( ), gdzie a x b, to jego długość wyraża się wzorem

1 ( ( ))2 .

b

a

y x dx

 





12A+B9Przykład.Obliczyć długości łuków o wskazanych parametryzacjach:

( sin ), 3

a) : [0,2 ]; b) : , [0,1].

(1 cos ),

x a t t

t y x x

y^a ^ t 

       

12.3. Definicje i własności całek krzywoliniowych niezorientowanych

12A+B10Uwaga (oznaczenia w definicji całki krzywoliniowej niezorientowanej) Niech  {( ( ), ( )) :x t y t   t } będzie łukiem gładkim na płaszczyźnie.

Wprowadzamy oznaczenie

 P{ , ,t t₀ ₁ , }t_n , gdzie    t₀ t₁  t_n  - podział odcinka [ , ]  na n odcinków

   t_k t_k t_k_₁ - długość k-tego odcinka podziału P

 ( )P max{t_k :1 k n}- średnica podziału P

  { , ,t t₀^ ₁^ , }t_n^ , gdzie t_k^[t_k_₁, ]t_k dla 1 k n - zbiór punktów pośrednich podziału P

 A_k (( ( ), ( ))x t_k y t_k punkty podziału łuku 

 A_k^ (( ( ), ( ))x t_k^ y t_k^ punkty pośrednie na łuku A A_k_₁ _k

 l_k długość łuku A A_k_₁ _k

12A+B11Definicja (całka krzywoliniowa niezorientowana nieskierowana) Niech f będzie funkcją ograniczoną na łuku gładkim . Całkę krzywoliniową niezorientowaną(nieskierowaną) z funkcji f po łuku  definiujemy wzorem

(6)

( ) 0 1

( , ) lim ( , )

def n

k k k

P k

f dl f x y dl f x y l



 

 

 

 





 

o ile granica istnieje i nie zależy od sposoby podziału P , ani od sposobu wyboru punktów pośrednich .

Analogicznie definiujemy całkę f dl f x y z dl( , , )

 







krzywoliniową

niezorientowaną z funkcji f  f x y z( , , )po łuku w przestrzeni.

12A+B12 Uwaga (addytywność: całka krzywoliniowa po łuku kawałkami gładkim)

Niech  będzie łukiem złożonym z łuków gładkich  ₁, ₂, ,_n oraz niech f będzie funkcją ograniczona na łuku . Całkę krzywoliniową niezorientowaną z funkcji f po łuku  definiujemy wzorem

1 2 n

fdl fdl fdl fdl

   

   

   

o ile całki po prawej stronie równości istnieją.

12A13Twierdzenia (o liniowości całki)

Jeżeli istnieją całki krzywoliniowe nieskierowane z funkcji f i gpo kawałkami gładkim łuku , to

1) (f g dl) fdl gdl,

  

  

  

²⁾ ^cfdl ^{c fdl}

 







^{, gdzie}^c^ ^.

Całkę krzywoliniową obliczamy sprowadzając do całki pojedynczej.

12A14Twierdzenia(o zamianie całki krzywoliniowej na całkę pojedynczą) Niech f będzie funkcją ciągłą na łuku gładkim . Wtedy

2 2

( , ) ( ( ), ( )) ( ( )) ( ( )) , , f x y dl f x t y t x t y t dt





 



 

  

 

na płaszczyźnie, gdzie ( ),

: [ , ];

( ), x x t

y^ y t t  

    oraz

2 2 2

( , , ) ( ( ), ( ), ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) , , f x y z dl f x t y t z t x t y t z t dt





 



  

   

 

w przestrzeni, gdzie

( ),

: ( ), [ , ].

( ), x x t y y t t z z t

 

 

   

 

.

Jeżeli funkcja f jest ciągła na łuku :y y x( ), gdzie a x b, to ( , ) ( , ( )) 1 ( ( ))2 , .

b

a

f x y dl f x y x y x dx a b



   

 

12A+B15Uwaga(całka krzywoliniowa we współrzędnych biegunowych)

Niech łuk  jest określony we współrzędnych biegunowych: : ^{cos ,} . sin ,

x r y r

   



 

    

(7)

Obliczając x_^ r^cos rsin , y_^ r^sin rcos oraz w korzystając z 12A14 dla t , dochodzimy do całki krzywoliniowej we współrzędnych biegunowych:

2 2

( , ) ( cos , sin ) ( ) , .

f x y dl f r r r r d







    



   

 

12A16Przykład. Obliczyć podane całki krzywoliniowe po wskazanych łukach:

2 2

a) (x y dl) ,



 



: brzeg trójkąta o wierzchołkach (1,0), (0,1), (0,0);

2 2 2

b) x y z dl, :



  



okrąg o równaniu x² y² 4, z2;

c) dl,





^{gdzie łuk}^jest określony we współrzędnych biegunowych,  :r e⁸^, 0  . Rozwiązanie a).

a) jest łukiem złożonym z łuków gładkich   ₁, ₂, ₃, gdzie

1 jest stroną trójkąta o wierzchołkach (0,0), (1,0) i równaniu y y x( )0,x[0,1];

2 jest stroną trójkąta o wierzchołkach (0,0), (0,1) i równaniu xx y( )0, y[0,1];

3 jest stroną trójkąta o wierzchołkach (1,0), (0,1) i równaniu y y x( ) 1 x x, [0,1].

Wtedy

1

1 3

2 2 2 2

0

1 1

( , ) ( , ( )) 1 ( ( )) ( 0 ) 1 (0) ;

0

3 3

b

a

f x y dl f x y x y x dx x dx x



       

  

2

1 3

2 2 2 2

0

1 1

( , ) ( ( ), ) 1 ( ( )) (0 ) 1 (0) ;

0

3 3

d

c

f x y dl f x y y x y dy y dy y



         

  

3

1 1

2 2 2 2

0 0

( , ) ( , ( )) 1 ( ( )) ( (1 ) ) 1 ( 1) 2 (2 1)

b

a

f x y dl f x y x y x dx x x dx x dx



          

   



²



¹

2 0.

x x 0 Stąd

1 2 3

2 2 1 1

( ) 0 0.

3 3

x y dl fdl fdl fdl

   

       

   

Rozwiązanie b).

Korzystamy z parametryzacji

2cos ,

: 2sin , [0, 2 ], 2

x t

y t t

z



 

   

 



łuku :

2 2 2 2 2 2

( , , ) ( ( ), ( ), ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))

f x y z dl f x t y t z t x t y t z t dt x y z dl





 

  

      

  

2 2

2 2 2 2 2 2

0 0

(2cos ) (2sin ) 2 ( 2sin ) (2cos ) (0) 8 4 4 2 2

t t t t dt dt t 0

  

         

 

8 2 .



Rozwiązanie c).

(8)

Obliczając r_ 2e²^, na podstawie 12A+B15 mamy:

2 2 2 2 2 2

0

( cos , sin ) ( ) ( ) (2 )

f dl f r r r r d e e d

 

 





   



     

  

2

2 2

0

5 5( 1)

5 .

2 0 2

e d e e

 

  

   ^



12.4. Niektóre zastosowania całek krzywoliniowych niezorientowanych

12A+B17Fakt(zastosowaniaw geometrii)

17.1. Długość łuku  na płaszczyźnie lub w przestrzeni wyraża się wzorem .

dl



 



17.2. Pole  powierzchni  bocznej walca o tworzących przechodzących przez łuk   ² w punkcie ( , )x y równolegle do osi Oz i mających długość ( , )f x y 0 wyraża się wzorem f x y dl( , ) .



 



12A+B18 Fakt (zastosowania w fizyce) 18.1. Zastosowania na płaszczyźnie:

a) masa łuku materialnego   ² o gęstości liniowej masy wyraża się wzorem ( , ) ;

M M_  x y dl



 



b) momenty statyczne względem osi układu współrzędnych łuku materialnego

  2o gęstości liniowej masy  wyrażają się wzorami

( , ) , ( , ) ;

x y

MS y x y dl MS x x y dl

 









c) współrzędne środka masy łuku materialnego   ² o gęstości liniowej masy  wyrażają się wzorami _C MS^y , _C MS^x.

x y

M M

 

18.2. Zastosowania w przestrzeni:

a) masa łuku materialnego   ² o gęstości liniowej masy  wyraża się wzorem ( , , ) ;

M M_  x y z dl



 



b) momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych łuku materialnego   ²o gęstości liniowej masy  wyrażają się wzorami

( , , ) , ( , , ) , ( , , ) ;

xy xz yz

MS z x y z dl MS y x y z dl MS x x y z dl

  













a) współrzędne środka masy łuku materialnego   ² o gęstości liniowej masy  wyrażają się wzorami _C MS^yz, _C MS^xz , _C MS^xy.

x y z

M M M

  

(9)

12A+B19 Przykład. Obliczyć współrzędne środka masy odcinka   AB

materialnego o końcach (0,0,0),A B(1,1,1) i o gęstości liniowej masy ( , , )x y z xyzw punkcie ( , , )x y z tego odcinka.

Rozwiązanie. Korzystamy z parametryzacji 12A+B6.4

,

, [0,1], ,

x t y t t z t

 

  

 



łuku AB .

Wtedy

1

3 4

0

3 1 3

1 1 1 ;

4 0 4

M xyzdl t dt t











   

1 1

2 4 5 2 4

0 0

3 1 3 3

3 , 3 ,

0

5 5 5

xy xz

MS xyz dl t dt t S xy zdl t dt

 









  









1

2 4

0

3 3;

yz 5

MS x yzdl t dt













3 3 4 4 4

: , , .

5 4 5 5 5

yz xz xy

C C C

MS MS MS

x y z

M M M

      

12A+B20Uwaga

Gdy łuk jest domknięty, to całkę krzywoliniową po tym łuku czasami oznaczamy symbolem fdl.





Praca domowa

1.Obliczyć długość łuków o wskazanych parametryzacjach:

*

cos , 1 ,

a) : [0,1]; b) : sin , [0, 2 ]; c) : ln , [1, ].

1 ,

,

x t

t y t t y x x e

x t

z t



 

   

           

2.Obliczyć podane całkę krzywoliniową

2 2

1 dl

x y

  



po wskazanych łukach:

a) - odcinek łączący punkty (0,0), (1, 2);

b) - brzeg trójkąta o wierzchołkach (1,0), (0,1), (1,1);

c) -kwadrat o wierzchołkach (0,0), (1,0), (0,1), (1,1).

3. Obliczyć współrzędne środka masy łuku materialnego , gdzie- okrąg o środku (0,2) i promieniu R=2, jeżeli gęstość liniowa masy w punkcie ( , )x y tego okręgu jest równa

( , )x y y.

  