Badania Operacyjne Egzamin - zestaw przykładowy
Zadanie 1. Niech dane b ˛edzie podstawowe zadanie programowania liniowego
J(u) =< c, u >→ min .
u∈ U = {u ∈ Rn; u ≥ 0, Au ≤ b}. (1)
Opisa´c zadanie kanoniczne, rozwi ˛azywaniem którego mo˙zemy zast ˛api´c rozwi ˛azywanie powy˙zszego zadania. Opisa´c zwi ˛azek mi ˛edzy rozwi ˛azaniami tych zada´n (dwie implikacje)
Zadanie 2. Niech dane b ˛edzie nast ˛epuj ˛ace zadanie:
J(u) =< c, u >→ min .
u∈ U = {u ∈ Rn; u ≥ 0, Au = b} (2)
gdzie A ∈ Rr×n, b ∈ Rr, r = rankA, r < n. Niech dany b ˛edzie tak˙ze punkt wierzchołkowy v = (v1, ..., vn) zbioru U z baz ˛a zło˙zon ˛a z pierwszych r kolumn macierzy A i niech dana b ˛edzie tablica sympleksowa dla tego punktu postaci
u1 ... un u1 γ1,1 ... γ1,n v1 ... ... ... ... ...
ur γr,1 ... γr,n vr
∆1 ... ∆n J(v)
Opisa´c trzy przypadki, jakie wyró˙znia si ˛e w opisie metody sympleksowej oraz sposób wyboru indeksów k, s okre´slaj ˛acych element rozwi ˛azuj ˛acy takiej tablicy.
Zadanie 3. Udowodni´c nast ˛epuj ˛ace twierdzenie: je´sli zbiór U jest niepusty i funkcjonał J jest ograniczony z dołu na zbiorze U, to zadanie (2) ma rozwi ˛azanie.
Wsk. Skorzysta´c z twierdzenia o istnieniu punktów wierzchołkowych niepustego zbioru U, wyst ˛epuj ˛acego w zadaniu (2).
Zadanie 4. Sformułowa´c zadanie programowania nieliniowego z ograniczeniami typu równo´sci i nierówno´sci, a nast ˛epnie poda´c zasad ˛e mno˙zników Lagrange’a dla takiego zada- nia.
1
