Fizyka 1- Mechanika

Zygmunt Szefliński

Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl

http://www.fuw.edu.pl/~szef/

Fizyka 1- Mechanika

Wykład 9

30 listopada 2017

Moment bezwładności - koło

Krążek wokół osi symetrii:

Względem osi równoległej na obwodzie koła z Tw. Steinera:

2 2

2

0

2

3

2 MR MR

M R

I   

. Steinera I I Mh

Tw





rdr R dm

M  

 

   2

 

2 2 4

2

2

0 4 3

2

R

r M dr

r r

dm I

R









 

^  ^

Przykład: kolaps gwiazdy

Gwiazda o promieniu R

= 2.3 x 10

m rotuje z

prędkością kątową 

= 2,4 x 10

rad/s (T  726 godz.).

Jaka będzie prędkość kątowa 

po kolapsie do gwiazdy neutronowej o promieniu R

= 20.0 km ?

Moment bezwładności kuli jednorodnej

i f i i f f

L  L  I   I 

30.XI.2017 Wykład 9

2

5

2 Mr I 

s obr s

rad s

m rad m

R R MR

MR I

I

i f

i i

f i i

f i f

/ 50

/ 320

/ 10

4 , 10 2

0 , 2

10 3

,

2

4 8

2

2 5

2

2 5

2







 



 







 

 





 



 

 







 



 











Tarcie toczne

Toczące się ciało odkształca zawsze powierzchnię po której się toczy.

Poza tarciem statycznym i kinetycznym (poślizgowym) mamy tarcie toczne:

r i N T

  



Współczynnik tarcia tocznego μ

jest zwykle bardzo mały

Przykładowo:

• drewno + drewno, μ

=0,0005m

• stal hartowana + stal, μ

=0,00001m

(wymiar długości!)

Prawa ruchu –walec na równi

30.XI.2017 Wykład 9

Dla symetrycznej bryły (walec, obręcz, kula)



   

 r a r

x

Ruch postępowy (wzdłuż równi)

T Q

ma  sin  

Ruch obrotowy (względem środka masy)

r T I

r T

I      

Eliminując siłę tarcia, T

1

sin

sin

mr I

a g

r ma Ia

r mg ma I

 













 

Walec na równi – z tw. Steinera

Zagadnienie można rozwiązać inaczej, korzystając z chwilowej osi obrotu i twierdzenia Steinera

Równanie ruchu obrotowego względem chwilowej osi obrotu (linia styku bryły z równią):

r mg

I

  sin  

Otrzymujemy:

I

r r mg

a

sin 



  

mr

I I

 

Z tw. Steinera

1

sin

mr I

a g

  

2 2

sin

r m I

g a mr



  

Prawa ruchu - uściślenie

30.XI.2017 Wykład 9

Rozważając zagadnienie jednostajnie przyspieszonego ruchu obrotowego zakładaliśmy że moment siły jest stały i nie zależy od I. Jednak ciężarek też porusza się ruchem przyspieszonym.

ciężarek:

rotor

N r

I

N mg

N Q

ma















Q- ciężar ciężarka, N- naprężenie nici Eliminujac: N=m(g-a):

 

 

2

'

2

2

I mgr mr

I mgr mgr

mr I

mgr mr

I r

g m r

I

 

































Bezwładność ciężarka efektywnie zwiększa moment bezwładności rotora:

I’ = I+mr2. Nigdy nie uzyskamy przyspieszenia katowego większego niż



r- promień brązowego krążka

Prawa ruchu

 2 sin

1 g a 

rura

walec sin  3

2 g a 

Walec: 1/3 szybciej !

2 2

sin

r m I

g a mr



  

1

sin

mr I

a g

  

Prawa ruchu – wahadło fizyczne

30.XI.2017 Wykład 9

Równanie małych drgań bryły sztywnej, wokół osi obrotu O przechodzącej w odległości l od środka ciężkości S:



 mgl sin I

 

  ^{ mgl }

dt ml d

I 

 



 



2 2

2

 

 

 I ml mgl dt

d

   

g T l

l

g ml

I

mgl

ml I

2

2

2 1

2

1

 

 

  



 ¹



z

l

l  

I₀ z tw. Steinera

Prawa ruchu – wahadło fizyczne

Równanie małych drgań wokół osi obrotu O:





 sin

sin

O

Mgd mg

I   

 ^Md

^

^md



^{   M }

^{ gd }

Częstość drgań:

M m d

g m

M

m M

d g

12

1

3 1 2

1

  







długość zredukowana wahadła:





m M

m M

z

d d

l 1

2 1 3

1

 



długość zredukowana wahadła równa jest d dla m<<M:

Wahadło zegara ściennego:

Rotacja praca i moc

Siła F działająca przy przesunięciu liniowym x generuje pracę:

W = F  _x.

Podobnie moment siły

M

generuje pracę:

W = M  _.

Włożona praca zmienia się w energię.

Moc:

Wykład 9 30.XI.2017



 _  _{ }



 M wektorowo P M

dt M d

dt P dW

Analogicznie do mocy

w ruchu postępowym

P  F  v

Energia ruchu obrotowego

Energia kinetyczna układu ciał:

2

2

* CM

k k

E Mv E  

Dla bryły sztywnej:

Energia “wewnętrzna” to energia kinetyczna ruchu obrotowego.

Policzmy energię ruchu obrotowego:

  ^{r m}   ^{r I L}

m v

m

E

i

i i

i

i i

i

i

k

   

2 1 2

1 2

1 2

1 2

1

*

       

Dla ciała toczącego się bez poślizgu:

v   r

  ^



 

  







1

2 2

1

Mr I I Mv

Mv

E



- efektywna masa bezwładna

przy niezmienionej masie grawitacyjnej

 

 

   1

Mr

M I

Walec na równi –z.zach. energii

30.XI.2017 Wykład 9

Prędkość jaką uzyska ciało staczające się bez poślizgu z równi o wysokości h.

Z zasady zachowania energii:

1

1 2 2

1

2 2

mr I

v gh mr

mv I

mgh    



 

  



Przyspieszenie liczymy z prędkości:

 

l v l

v v t

a v

t t

t v

t l

a v

2 2

2

2 2























 ¹

 ^{1 sin}

2 2 2

2

mr I mr

I

g l

gh l

a v

 

 

 

Koło Maxwella –z.zach. energii

Koło o promieniu R “toczy się” po osi o promieniu r.

Jak w przypadku równi pochyłej

Przyspieszenie liniowe wielokrotnie mniejsze od przyspieszenia w spadku swobodnym...

Energia potencjalna zamienia się głównie na energię ruchu obrotowego.

2 2

2 1

; 1

1

sin

2 2

mR I

tarcza mR

I obrecz

g a g

mr I mr

I





 

  

r g R

a gr 





Dla obręczy:

Ale =90⁰

Prawa ruchu - wyjaśnienie

30.XI.2017 Wykład 9

Dwa klocki na równi poruszają się bez tarcia, są połączone nieważka nicią przerzuconą przez ważki bloczek o momencie bezwładności I.

Powierzchnia równi to więzy, które ograniczają ruch klocków do kierunku równoległego do powierzchni równi.

Możemy zredukować problem do ruchu jednowymiarowego.

W przypadku ważkiego bloczka, jeśli układ nie jest w równowadze, siły

naprężenia mogą być różne!

2

1

N

N  N

N

Bąk - równowaga

const I

L   

Bak wirujący wokół pionowej osi jest w równowadze.

Momenty działających sił są równe zero (względem S i O)

 moment pędu jest stały

 orientacja osi obrotu jest stała (bąk symetryczny)

Jak w przypadku żyroskopu...

Czy jest to równowaga trwała?

Bąk – moment sił

30.XI.2017 Wykład 9

Gdyby bąk nie wirował (L=0) to ustawienie pionowe byłoby stanem równowagi nietrwałej.

Wychylenie z tego położenia powodowałoby powstanie wypadkowego momentu sił oraz niezerowej siły

wypadkowej, które powodowałyby wywrócenie bąka.

Moment siły ciężkości względem punktu podparcia O:

 sin mgR

M

g m R

M







R – odległość środka ciężkości od punktu podparcia

 - kąt odchylenia osi od pionu

Moment siły M skierowany jest prostopadle

do osi bąka...

Bąk - precesja

W przypadku gdy bąk wiruje, przyłożony moment siły powoduje

zmianę całkowitego momentu pędu:

dt L M  d

Wektor momentu pędu pokrywa się z osią obrotu

R L 

natomiast wektor momentu siły jest do niej prostopadły

R M

g R

m

M    

wartość momentu pędu nie ulega zmianie

 0 dt dL

kierunek momentu pędu zmienia się  precesja

Bąk – częstość - precesji

30.XI.2017 Wykład 9

W przedziale czasu t moment pędu zmieni się o:

Spowoduje to obrót poziomej składowej L o kąt

 częstość z jaką wektor L będzie zakreślał stożek:

 częstość precesji

t Rmg

t M

L       

 sin 

L t t mgR

L Rmg L

L    

 

 



 

sin sin sin

L mgR

p

t 



  



Częstość precesji maleje ze wzrostem momentu pędu

(częstości ruchu wirowego bąka)

Żyroskop – efekt żyroskopowy

Zasada zachowania momentu pędu Jeśli poprzez specjalne zamocowanie

zapewnimy znikanie momentów sił to kierunek momentu pędu pozostanie stały niezależnie od działających sił zewnętrznych i ruchu

postępowego

 efekt żyroskopowy

Momenty działających sił są równe zero  moment pędu jest stały

 orientacja osi obrotu jest stała

const I

L   

Rozkręcony żyroskop utrzymuje orientację swojej osi obrotu w przestrzeni.

Żyroskop - równowaga

30.XI.2017 Wykład 9

“Waga”: ciężar żyroskopu jest zrównoważony przez odpowiednio dobrane ciężarki.

Jeśli żyroskop jest w równowadze przy to będzie także w równowadze dla

Jak zachowa się żyroskop gdy zwiększymy lub zmniejszymy “przeciwwagę” ?

 0 L

 0

L

Żyroskop - precesja

zwiększone obciążenie zmniejszone obciążenie

zgodnie z ruchem wskazówek zegara przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (patrząc z góry)

Częstość precesji proporcjonalna do dodanej/brakującej masy

L mgr

p





Żyroskop

30.XI.2017 Wykład 9

Paradoks ?

Nie-wirujący bąk wychylony z położenia równowagi

lub nie-zrównoważony żyroskop wywracają się Natomiast jeśli to bąk i żyroskop podlegają precesji

 nigdy się nie wywrócą (zaniedbując siły tarcia).

Czy jest to słuszne dla dowolnie małych wartości ? Z doświadczenia wiemy, że nie !

Wirujący bąk wywraca się zanim prędkość kątowa jego ruchu wirowego spadnie do zera.

Nasze rozważania precesji nie były ścisłe

 dla małych momentów pędu musimy uwzględnić dodatkowe efekty...

 0

 L

 0 L

 0 L

L

Żyroskop - precesja

Niech moment pędu zrównoważonego żyroskopu wynosi .

Co się dzieje gdy zdejmiemy jeden ciężarek ?

Wartość całkowitego momentu pędu nie ulega zmianie, gdyż moment siły ciężkości jest prostopadły do .

L

L

Obrót żyroskopu z częstością względem pionowej osi

 moment pędu .

Aby całkowity moment pędu nie uległ zmianie, oś żyroskopu musi się nachylić o kąt:



p

p I

L 



L

mrgI L

I L

L





 



Duże L    0 (L

można pominąć) Małe L  bąk wywraca się.

L mgr

p





Żyroskop - nutacje

30.XI.2017 Wykład 9

Idealna precesja, gdy koniec ramienia żyroskopu porusza się ruchem

jednostajnym po okręgu, zachodzi tylko przy szczególnym wyborze warunków początkowych.

W ogólnym przypadku na precesję

nakładają się oscylacje ramienia żyroskopu wokół

położenia “stacjonarnej precesji”

 nutacje.

Charakter tych dodatkowych oscylacji zależy od warunków początkowch.

Zazwyczaj są mało widoczne i zanikają w czasie (tłumienie).

Ich amplituda rośnie dla małych wartości L