Fizyka 1- Mechanika

Zygmunt Szefliński

Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl

http://www.fuw.edu.pl/~szef/

Fizyka 1- Mechanika

Wykład 1

5.X.2017

Streszczenie

Materiał wykładu

• Kinematyka punktu materialnego

• Prawa Newtona

• Zasady zachowania

• Mechanika bryły sztywnej

• Grawitacja i Prawa Keplera

• Podstawy Szczególnej Teorii Względności

• Zagadnienia mające znaczenie w dalszych studiach Fizyki Medycznej i

Neuroinformatyki

Inne elamenty

• Pokazy

• Ćwiczenia rachunkowe

Co to jest fizyka ?

Fizyka zajmuje się badaniem najbardziej

fundamentalnych i uniwersalnych właściwości materii i zjawisk w otaczającym nas świecie.

“Nasza wiedza o świecie fizycznym dzieli się na dwie kategorie:

prawa przyrody i warunki początkowe. Fizyka w pewnym sensie nie interesuje się warunkami początkowymi, pozostawiając je badaniom astronomów, geologów, geografów, i tak dalej.”

Eugene Wigner Staramy się znaleźć prawidłowości niezależne od “warunków

początkowych”...

Te same prawa pozwalają czasami wyjaśnić zupełnie

różne zjawiska...

Fizyka, a prawa przyrody

Fizyka: badanie i poznawanie podstawowych praw przyrody.

● Takie prawa często zapisujemy za

pomocą równań matematyki. (np., F = m a)

● Wiekszość wielkości fizycznych ma jednostki, które muszą być zgodne w obydwu stronach równania.

● Nawet proste prawa mogą być trudne w

interpretacji.

Czym zajmuje się fizyka ?

Notacja naukowa

Ułatwia zapisywanie bardzo dużych i bardzo małych liczb:

• prędkość światła: c  300 000 000 m/s = 3·10⁸ m/s

• rozmiar protonu: r  0.000 000 000 000 001 m = 10^-15 m

• masa Ziemi: m_Z  5 972 000 000 000 000 000 000 000 kg = 5.972·10²⁴ kg Wykładnik potęgi 10 określa nam “rząd wielkości”

Różnica o rząd wielkości to dużo, 2-3 rzędy to bardzo dużo, 10 rzędów to

“przepaść”

ziarnko piasku -10^-3m Ziemia -1,310⁷m ( ×10¹⁰ )

Układ okresowy

Rozmiary atomów

Po podzieleniu objętości molowej przez stałą Avogadro uzyskamy objętość zajmowaną przez pojedynczy atom.

Rozmiar liniowy takiej objętości to pierwiastek trzeciego stopnia z objętości. Tak więc atomy gazu są oddalone od siebie:

Weźmy dla przykładu atom glinu, Al (wybieram Al , ponieważ jest to metal z dobrze upakowanymi atomami, o masie atomowej glinu bliskiej 27

i gęstości =2,7g/cm³).

3 24

3 23

23 3 3

0

1 , 7 10 17 10

/ 10 6

10

10 cm cm

mol cm

N V cm

A





 



 





m cm

cm V

a 



17  10

 2 , 5  10

 2 , 5  10

Czym zajmuje się fizyka ?

Budowa materii

kwark proton jądro atom cząsteczka kryształ elektron neutron atomowe

<10^-18 m 10^-15 m 10^-14 m 10^-10 m 10^-9 m 10^-2 m

Cztery rzędy wielkości - ilustracja

10

m 10

~

15

m 10

~

2

m 10

~

2

m 10

~

Teoria i doświadczenie

Przykład:

Linie węgla w widmie kwazara PKS

1232+0815:

Przesunięcie linii widmowych (efekt Dopplera): 3.34₀

prędkość oddalania v5/6 c  250 000 km/s

odległość od Ziemi (z prawa Hubbla) d  10²⁶ m

światło wysłane ok. 12 miliardów lat temu (wszechświat 13,6 mld. lat)

Teoria i doświadczenie

Doświadczenie

Skoro chcemy opisać otaczający nas świat (a nie jakąś rzeczywistość

wirtualną) to oznacza, że niezbędnym elementem i punktem wyjścia wszystkich naszych rozważań powinno być doświadczenie.

Doświadczenie dostarcza nam danych, na podstawie których staramy się tworzyć modele opisujące rzeczywistość.

Teoria

Następnie od opisu zjawiska (model opisowy) staramy się przejść do wyjaśnienia jego mechanizmu - tworzymy model przyczynowy (“teorię”) Przykład:

ruch planet  prawa Keplera  prawo grawitacji Newtona promieniowanie atomów  model Bohra  mechanika kwantowa

Rodzaje pomiarów

Pomiary ilościowe

Pomiary, których wynik wyrażamy poprzez podanie wartości liczbowej i jednostki.

Przykłady:

• długość stołu  5.73 m 573 cm

• masa ciała  88 kg 8,810³

• czas trwania wykładu  45 min. 2700 s

• natężenie prądu  150 mA 0,15 A

Wartość liczbowa wielkości fizycznej zależy od jednostki, w

której jest wyrażona. Wynik pomiaru porównujemy z przyjętą dla danej wielkości fizycznej jednostką. Porównywać możemy jedynie wielkości tego samego rodzaju.

 ważne jest jednoznaczne zdefiniowanie jednostek

Układ jednostek SI

SI - Systéme Internationale

Międzynarodowy układ jednostek wprowadzony w 1960 roku.

Długość metr [m]

Masa kilogram [kg]

Czas sekunda [s]

Natężenie prądu elektrycznego amper [A]

Temperatura termodynamiczna kelwin [K]

Ilość substancji mol [mol]

Światłość kandela [cd]

Jednostki

Poza kilkoma wyjątkami, wszystkie wielkości fizyczne mają jednostki. Przykłady:

Masa - kilogramy (kg)

Prędkość - metry na sekundę (m/s) Ciśnienie - paskale (P)

Energia - dżule (J) Potencjał - volty (V)

To dziwne, ale jednostki prawie wszystkich wielkości można wyrazić jako kombinacje jednostek masy,

długości i czasu tj. kg, m, i s. Niektóre wielkości fizyczne

(np. współczynnik załamania) są liczbami bezwymiarowymi

i nie mają jednostek.

Jednostka czasu: sekunda (s)

Sekunda była do 1960 roku zdefiniowana jako (1/60)(1/60)(1/24) średniego dnia słonecznego czyli [s]=1/86400 [dnia].

Obecnie 1 s to 9 192 631 770 okresom drgań promieniowania radiowego emitowanego przez atom ¹³³Cs przy przejściu między dwoma poziomami nadsubtelnymi. (¹³³Cs)=9 192 631 770 Hz

Wiek XIII Zegar wodny Zegar cezowy

Jednostka długości w SI: metr (m)

Metr był zdefiniowany oryginalnie jako 1/10,000,000 odległości od równika

Ziemskiego do bieguna północnego wzdłuż południka przechodzącego przez Paryż. Od 1960 to odległość między znakami na wzorcu platynowo-irydowym umieszczonym w

Severes pod Paryżem.

Od 1983, 1 metr jest zdefiniowany jako odległość, którą przebywa światło w czasie 1/299 792 458 s.

Tym samym prędkość światła została zdefiniowana jako c =299792458 m/s (dokładnie !)

Wybrana wartość zgodna z wcześniejszymi pomiarami

Jednostka masy w SI: kilogram (kg)

Kilogram był oryginalnie zdefi- niowany jako masa 1 litra wody w temperaturze 4^oC.

Obecnie, 1 kilogram to masa standardowego kilograma z

wypolerowanego cylindra platynowo-

irydowego przechowywanego w Sèveres.

(To jedyna jednostka SI definiowana przez wyprodukowany obiekt.)

Pytanie: spróbuj w rozmowie

telefonicznej z „Obcym” określić jak duży jest kilogram?

Odpowiedź: Mniej więcej.

Liczba Avagadro atomów ¹²C (6.02214199… x 10²³) ma masę

dokładnie 12.00000000000… gram.

Układ jednostek SI

Yotta 10

Y zetta 10

Z exa 10

E peta 10

P tera 10

T giga 10

G mega 10

M kilo 10

k hekto 10

h deka 10 da

decy 10−1 d centy 10−2 c mili 10−3 m mikro 10−6 μ nano 10−9 n piko 10−12 p femto 10−15 f atto 10−18 a zepto 10−21 z yokto 10−24 y

Jednostki pochodne

np. 1 nm = 10−9 m = 0.000 000 001 m

Prawidłowe równanie fizyki musi być zgodne wymiarowo – każda strona równania musi mieć ten sam wymiar.

Wg tabeli:

Odległość = prędkość × czas Prędkość = przyspieszenie × czas

Energia = masa × (prędkość)

Analiza wymiarowa (1)

Wielkość Wymiar Odległość [L]

Pole [L² ]

Objętość [L³ ] Prędkość [L]/[T]

Przyspieszenie [L]/[T²]

Energia [M] [L² ]/[T²] Wymiary wybranych wielkości

fizycznych

Analiza wymiarowa (2)

Okres (T) wahadła zależy jedynie od długości wahadła d (L) i

przyspieszenia ziemskiego g (L/T ² ).

Która z formuł może być prawdziwa?

T  2  d

T  2  d T  2  (dg)

Przykład ^:

L L T

L

T T

 

 

  

2

2 4

4

Analiza wymiarowa(3)

L L T

T T

2





Pamiętaj, okres T wyrażamy w jednostkach czasu (T), d jest długoscią (L) a g jest przyspieszeniem (L/T

).

Obie strony muszą mieć identyczny wymiar

  ²

2 dg T  

(a) (b) (c)

g T  2  d

Sprawdź (a). Sprawdź (b). Sprawdź (c).

T T

T L

L

2





T  2  d

Modele w fizyce

Doświadczenie dostarcza nam danych, które staramy się opisać tworząc modele

Model opisowy

a. pomiary  wybór parametrów istotnych dla rozważanego zagadnienia

b. które warunki początkowe można pominąć, a które nie c. szukanie zależności funkcyjnej (często ją zgadujemy -

doświadczenie i intuicja)

d. dopasowanie parametrów funkcji e. porównanie z wynikami pomiarów

f. jeśli zgodność jest niezadawalająca, cofamy się o jeden lub kilka kroków

Model przyczynowy

a. staramy się wniknąć w przyczyny, mechanizm fizyczny danego procesu.

b. z ogólnych praw staramy się wyznaczyć przewidywania i porównać z wynikami.

Modele w fizyce

Model opisowy

a. T zależy tylko od długości wahadła l

b. nie zależy od masy kulki, koloru nici itp...

c. wyniki dobrze opisuje zależność

d. dopasowanie

e. analiza wymiarowa

l A T 

A l T ~

m A  1 , 99  0 , 07 s

Przykład: wahadło matematyczne

!

Modele w fizyce

Model opisowy

a. T zależy tylko od długości wahadła l

b. nie zależy od masy kulki, koloru nici itp...

c. wyniki dobrze opisuje zależność

d. dopasowanie

e. analiza wymiarowa

l A T 

l

m A  1 , 99  0 , 07 s

Model przyczynowy

a. ruch pod wpływem siły ciężkości

b. przybliżenie małych wychyleń c. równanie różniczkowe

Przykład: wahadło matematyczne

l A T 

g T  2  l

m s g 2 , 03 2  

!

Skalary i wektory

m

r

r

r Skalar: wielkość opisana

liczbą z jednostkami Wektor: wielkość

opisana liczbą z

jednostkami (długość) i opisem kierunku

Jak dotrzeć do

budynku: wiedzieć jak daleko (0.5 km) i w

jakim kierunku.

2D - składowe kartezjańskie i biegunowe wektora



cos A

A



sin 

A A



2 2

y

x

A

A A  



x

y

Składowe wektora

Długość, kąt i składowe wektora można obliczyć stosując prostą trygonometrię:

x

cos

A  A  A

 A sin 

2 2

x y

A  A  A tan

A

/ A

 

Konwencja:

kąt  mierzymy przeciwnie do ruchu wskazówek

zegara od osi +x

Składowe wektora

r

r

m r  1 , 6

30

 

x y

m r

r m

r

r

0 , 8

2 6 , 30 1

sin 3

8 , 2 0

6 3 , 1 30

cos

   

 



m r

r

r 



 0 , 64  3  0 , 64  0 , 64  4  0 , 8  2  1 , 6 Składowe wektora

A długość wektora

Składowe wektora

Znaki składowych wektora i zakres katów  :

1- ćwiartka

°

2 - ćwiartka

°°

3 – ćwiartka

°°

4 - ćwiartka

° °

Krótkie pytanie

Wektor ma ujemna składową x i dodatnią

składową y. Kat  mierzymy od dodatniej osi x w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Z jakiego zakresu pochodzi  _?

(a) 0     90

(b) 90     180 

(c) 180     270 

(d) 270     360 

Błędy pomiarowe

Rozkład Poissona

Z rozkładem Poissona mamy do czynienia wtedy, gdy w określonym

przedziale (czasu lub przestrzeni) liczymy zdarzenia od siebie niezależne.

Jest to sytuacja z jaką często mamy do czynienia.

Np. liczba rejestrowanych rozpadów Promieniotwórczych

Zestawienie wyników 1000 pomiarów Dla źródełka dającego średnio

5 rozpadów na sekundę (każdy pomiar: 1 sekunda) N – liczba zliczeń

w jednym pomiarze

Błędy pomiarowe

Rozkład Poissona

Zestawienie wyników

10000 pomiarów: Prawdopodobieństwo, że w kolejnym pomiarze

zarejestrujemy N zliczeń wynosi:

Rozkład Poissona

μ - wartość oczekiwana rozkładu, średnia liczba obserwowanych rozpadów

  N ! N e

p

N 





Błędy pomiarowe

Rozkład Poissona

W każdym pomiarze, mimo identycznych warunków początkowych, możemy otrzymać inny wynik.

Czasami są to wyniki bardzo różne od oczekiwanych.

Np. dla μ=5 możemy zmierzyć

• N = 0 rozpadów, z prawdopodobieństwem 0.7 %

• N = 10 rozpadów, z prawdopodobieństwem 3.2 %

Pomiar wielkości fizycznej opisanej rozkładem Poissona obarczony jest

“naturalną” niepewnością błędem statystyczną

Względna dokładność pomiaru rośnie wraz ze wzrostem μ.

Staramy sie (jeśli to możliwe) wydłużać czas pomiaru…

 

niepewność

Błędy pomiarowe

Rozkład Gaussa

Przykładowe wyniki pomiarów ilościowych (np. długości stołu)

W przypadku wielkości fizycznych przyjmujących wartości

rzeczywiste, wyniki pomiarów mają zazwyczaj rozkład normalny,

Błędy pomiarowe

Rozkład Gaussa

Rozkład Gaussa opisuje rozkład wyników pomiarów przy

założeniu, że fluktuacje są wynikiem wielu niezależnych zaburzeń.

Model: deska Galtona

Niepewność pomiaru

Rozkład Gaussa

μ - wartość oczekiwana rozkładu, średni wynik wielu pomiarów

- miara szerokości rozkładu niepewność pomiaru

średnie odchylenie kwadratowe:

 

2



  x 

  ^

^

2

2

2

1





 



x

e x

p

Niepewność pomiaru

Rozkład Gaussa

Niepewność pomiaru wielkości fizycznej mówi nam o oczekiwanej (średniej

kwadratowej) wartości „błędu”.

Możliwe są jednak wyniki pomiarów wielokrotnie przekraczające wartość niepewności.

Prawdopodobieństwo odchylenia większego niż:

±1  31.73 %

±2   4.55 %

±3   0.27 %

±4   0.0063 %

±5   0.000057%

Rozkład

prawdopodobieństwa

Błędy pomiarowe

Niepewności (błędy) przypadkowe (statystyczne)

Wynikają z fluktuacji (losowych zaburzeń) w przebiegu samego zjawiska, lub w procesie mierzenia. Nie wpływają na średni wynik pomiaru (wartość oczekiwaną).

Na ogół opisujemy je rozkładem Gaussa lub Poissona

Niepewności (błędy) systematyczne

Stałe przesunięcie wyników pomiarów (wartości oczekiwanej) w stosunku do wartości prawdziwej.

Błąd systematyczny może się pojawić w wyniku:

• złej kalibracji (wyskalowania) urządzenia

• przyjęcia złej metody pomiaru

• zaniedbania istotnych poprawek

Właściwa ocena błędów systematycznych jest jednym

z najtrudniejszych aspektów fizyki doświadczalnej...

Teoria i doświadczenie

Tworząc teorię często formułujemy pewne założenia nie wynikające wprost z doświadczenia, albo sprawdzone tylko w ograniczonym obszarze parametrów (!)

Kierujemy się kryteriami prostoty i elegancji modelu, staramy się dostrzec dodatkowe, głębsze symetrie rozważanego zagadnienia, czasami odwołujemy się także do “naturalności” modelu.

Jednak rozstrzygającym kryterium poprawności modelu jest doświadczenie!

Niestety, doświadczenie nigdy nie udowodni 100% poprawności teorii,

gdyż nigdy nie jesteśmy w stanie wykonać wszystkich możliwych pomiarów.

Może co najwyżej wskazać zakres jej stosowalności.

Uwaga! Pojedynczy pomiar może "obalić" teorię (ew. ograniczyć zakres jej stosowalności).

Musimy zawsze być przygotowani do rewizji poczynionych założeń! przykład:

symetria względem odbicia przestrzennego łamana w oddziaływaniach słabych

Teoria i doświadczenie

Analizując wyniki pomiarów, poszukując opisującego je modelu, trzeba dobrze zastanowić się nad wszystkimi założeniami.

Wielokrotnie już obalano najbardziej nawet utrwalone założenia.

Szczególna teoria względności jest jednym z przykładów.

Nawet najbardziej “oczywiste” założenia:

•przestrzeń jest trójwymiarowa

•przestrzeń jest płaska wcale nie muszą być spełnione!

W fizyce cząstek poszukuje się “dodatkowych wymiarów”^# Jak dobrze znamy “wymiar” świata w którym żyjemy?

Czy mogą być więcej niż 3 wymiary przestrzenne ?!

 NIE - jeśli pytamy o nieskończone wymiary  TAK - jeśli dopuścimy wymiary skończone

# Lisa Randall, Ukryte wymiary wszechswiata, Prószyński i S-ka,2011

Ogólna klasyfikacja zjawisk

Fizyka nierelatywistyczna (“klasyczna”)

Opisuje zachowanie obiektów makroskopowych poruszających się z

“umiarkowanymi” prędkościami. Fizyka “dnia codziennego”

Fizyka relatywistyczna

Wkracza wtedy, gdy prędkości względne stają się porównywalne z prędkością światła c=299 792 458 m/s  300 000 km/s.

Fizyka współczesna bardzo często wymaga stosowania podejścia relatywistycznego.

Bez uwzględnienia efektów relatywistycznych nie jest możliwe

pełne zrozumienie wielu “codziennych” zjawisk, np. oddziaływań

magnetycznych

Ogólna klasyfikacja zjawisk

Odejście od zasad fizyki klasycznej następuje też w przypadku obiektów mikroskopowych

Fizyka kwantowa

Wkracza gdy

energia  czas pęd  długość moment pędu

Stała Plancka jest niesłychanie mała.

Fizyka kwantowa potrzebna jest dopiero do opisu zachowania atomów, cząstek itp.

Dla wszelkich obiektów makroskopowych stosujemy fizykę klasyczną

s J

h   

 



10 626

, 6

~