µn jest rozk ladem Gaussa w Rd o warto´sci oczekiwanej mn i macierzy kowariancji Vn, n = 1, 2

ZADANIA Z PS1 – 4

1. µn jest rozk ladem Gaussa w R^d o warto´sci oczekiwanej mn i macierzy kowariancji Vn, n = 1, 2, . . .. Pokaza´c, ˙ze je´sli µ_n ⇒ µ (⇒ oznacza zbie ˙zno´s´c rozk lad´ow), to µ jest rozk ladem Gaussa o warto´sci oczekiwanej m = lim_n→∞m_n i macierzy kowariancji V = lim_n→∞V_n. 2. Udowodni´c, ˙ze dla ka ˙zdego H ∈ (0, 1) istnieje proces Gaussa B^H = (B_t^H)_t∈R+ o warto´sci

oczekiwanej 0 i o funkcji kowariancji

K(s, t) = 1

2 t^2H+ s^2H − |t − s|^2H
.

Wsk. Skorzysta´c ze wzoru (wyprowadzi´c go) t^p= c_pR∞ 0

1−cos(tx)

x^p+1 dx, t ≥ 0, 0 < p < 2.

B^H nazywa sie_,u lamkowym ruchem Browna z parametrem Hursta H.

3. Pokaza´c naste_,puja_,ce w lasno´sci procesu B^H z poprzedniego zadania:

a) stacjonarno´s´c przyrost´ow (rozk lad B_t^H− B^H_s zale ˙zy tylko od t − s dla t > s) b) ma modyfikacje_, cia_,g la_,;

c) (a^−HB_at^H)_t∈R+ jest znowu u lamkowym ruchem Browna z parametrem H (samopodobie´nstwo).

d) Dla H = 1/2 proces B^H (´sci´slej, jego cia_,g la modyfikacja) jest procesem Wienera.

4. (W_t)_t∈R+ jest procesem Wienera. Znale´z´c funkcje warto´sci oczekiwanych i kowariancji na- ste_,puja_,cych proces´ow Gaussa:

X_t = W_t− tW₁, t ∈ [0, 1] (most Browna),

Y_t = αe^−αtW_e^2αt, t ∈ R₊, α > 0 (proces Ornsteina-Uhlenbecka), Z_t= W_t+1− W_t, t ∈ R₊.

Pokaza´c, ˙ze procesy Y i Z sa_,stacjonarne.