dr Krzysztof Żyjewski Repetytorium mat. elementarnej; S-I

dr Krzysztof Żyjewski Repetytorium mat. elementarnej; S-I

.inż. 26 listopada 2016

Zadania przygotowujące do kolokwium nr 1

1. Zbadaj ograniczoność z góry, z dołu, ograniczoność zbioru A =

; n ∈ N

. Ponadto znajdź kres górny i dolny oraz sprawdź czy występuje element najmniejszy, największy.

2. Korzystając z definicji zbadaj monotoniczność podanych funkcji na podanym zbiorze:

(a) f (x) =

dla x ∈ [0, +∞), (b) f (x) = x

− 2x dla x ∈ (−∞, 1].

3. Które z podanych funkcji f : X → Y są ”na” (suriekcja), a które są typu ”w”? Czy jest wśród nich bijekcja?

(a) f (x) = x +

gdzie X = (0, +∞), Y = (2, +∞), (b) f (x) = sin gdzie X = [−π, π), Y = [−1, 1].

4. Zbadaj parzystość podanych funkcji:

(a) f (x) =

− x|x| (b) f (x) = cos

x + tg x.

5. Określić złożenie funkcji (o ile to możliwe) f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f, g ◦ g gdy:

f (x) = √

x − 1, g(x) = x

+ 1.

6. Wyznacz wzór funkcji odwrotnej do funkcji:

(a) f (x) = 4e

+ 5 (b) f (x) = 5 arctg(log

(3x)) − 1.

7. Rozwiąż równania z wartością bezwzględną:

(a) |x − 1| + |x| = 2 (b)

(2x + 2)

+ 3x = |x| + 2 (c) ||x + 1| − 3| = 2.

8. Rozwiąż nierówności z wartością bezwzględną:

(a) |x − 2| − |x| < 4 (b) 2 √

x

+ 2x + 1 ­ x + 4.

9. Dla jakich wartości parametru m równanie x

+(4−2m)x+m+10 = 0 posiada dwa pierwiastki tych samych znaków?

10. Wykonaj dzielenie wielomianów:

(a) (2x

− 3x

− 5x + 6) : (x − 2) (b) (2x

+ 3x

− 6x

+ 8x − 8) : (x

+ 2x − 3).

11. Wskaż liczby wymierne mogące być pierwiastkami równania: 8x

− 12x

− 20x + 30 = 0.

12. Rozwiąż równania wielomianowe:

(a) 3x

− 2x

− 6x + 4 = 0 (b) 4x

− 8x

+ x

+ 6x − 3 = 0 (c) 2x

− x

= 1 (d) 10x

− x

− 7x − 2 = 0.

13. Rozwiąż nierówności wielomianowe

(a) 2x

(x + 3)

(x − 1)(4 − x)

¬ 0 (b) 2x

− 3x

+ 1 > 0 (c) 2x

+ x

− 8x − 4 ­ 0.

14. Wykonaj podane działania i sprowadź do prostszej postaci:

(a)

−

(b)

:

15. Rozwiąż równania i nierówności z wyrażeń wymiernych:

(a)

+

= 0 (b)

− 2 ¬

(c)

−

= 0 (d)

+

> 0 16. Zaproponuj rozkład na ułamki proste:

(a)

(b)

(c)

1