(1)dr Krzysztof ›yjewski Repetytorium mat

dr Krzysztof ›yjewski Repetytorium mat. elementarnej; S-I⁰.in». 14 grudnia 2016

Funkcje wykªadnicze Informacje pomocnicze

Denicja 1. Funkcj¡ pot¦gow¡nazywamy funkcj¦ postaci y = x^a, gdzie a ∈ R.

Wªasno±ci pot¦g. Niech a, b ∈ R+ oraz n, m ∈ N, wówczas:

a) aⁿ· a^m = a^n+m, b) _a^amⁿ = a^n−m, c) aⁿ· bⁿ= (a · b)ⁿ, d) ^a_bnⁿ = ^a_b
n

,

e) (aⁿ)^m = a^n·m, f ) a⁰ = 1, dla a 6= 0,

g) a⁻ⁿ = _a¹n, h) ^a_b
n

= _a^b
n

, i) a^mn = ^m√

aⁿ.

Denicja 2. Funkcj¡ wykªadnicz¡ nazywamy funkcj¦ postaci y = a^x, gdzie a > 0, a 6= 1 oraz x ∈ R.

Wªasno±ci funkcji wykªadniczej:

• D_f = R, Wf = R+;

• jest to funkcja ró»nowarto±ciowa;

• jest malej¡ca dla a ∈ (0; 1) oraz rosn¡ca dla a > 1.

Zadania

1. Oblicz:

a) 27⁴³, b) ³⁶₄₉
¹₂

: ⁷₃
2

, c) ⁹

1

3·27^{− 1}3·√ 3

3¹⁴·81¹³·3¹²⁷ , d) 3√

27 · 9^−1,5· ¹₃
³₄

· ₈₁¹
−2

, e) h

1⁷₉
^4e₂ i−_4e¹

, f )



4⁻¹⁴ +

2³²−⁴₃

·h

4^−0,25− 2√ 2
⁻⁴₃i

, g)



3 − 5¹²¹₂ +

3 + 5¹²¹₂2

, h) h

9⁻¹⁴ + 3√ 3
⁻⁴₃i

·h

9⁻¹⁴ − 3√ 3
⁻⁴₃i

, i) h

3 · 2²³ −²₃ 

2⁵³ − 2⁻¹³i : 16⁵³, 2. Rozwi¡» równania:

a) 5^x = 125, b) (0, 7)^x = 1,

c) 4^x2+2 = 4^3x, d) 2^x−4· 8^3−2x= 4^3x−3, e) ₂₇¹ √

3
^x

= 27 · 9^3−2x, f ) 0, 125 · 4^2x−3 =^√

2 8

−x

, g) ²₅
x

: ₂₅⁴
2−x

= ¹²⁵₈ , h) 3^5x−4+ 3^5x= 82, i) 15 · 3^x−1+ 3^x+1+ 3^x = 27, j) 9^x− 4 · 3^x+ 3 = 0, k) 9

√x−2− 2 · 3^√x−2 = 3, l) 49^x+ 8 · 7^x+ 7 = 0, m) 81^x+3x = 9 · ³₂₇^x
_2x+5¹

, n) √

26 − 5
2x−5

= √

26 + 5
7x+3

, o) 4 +√

15
x

+ 4 −√ 15
x

= 62, p) 17^5−x = 3^3x−15,

q) 4^x+1− 6^x = 2 · 9^x+1, r) 3 · 16^x+ 36^x = 2 · 81^x,

1

dr Krzysztof ›yjewski Repetytorium mat. elementarnej; S-I⁰.in». 14 grudnia 2016

3. Rozwi¡» nierówno±ci:

a) 5^3x< 125^2x−1, b) ³₇
x²+6

≥ ⁷₃
5x

, c) 4 √

8
x−3

≤

2√ 2 32

1−x

, d) ³₇
x²+6

≥ ⁷₃
5x

, e) ¹₃
−2|x−3|

≤ 81, f ) 5

−3x2+x

x2−9 > ₁₂₅¹ , g) ₆₄¹ ≤ 4^x1−1 < 1, h) 2^2x+4− 4^x ≥ 15, i) 2^2x+1− 3 · 2^x+1 ≤ −4, j) 4^x+0,5− 5 · 2^x > −2, 4. W wyniku jakich przeksztaªce« z wykresu funkcji f(x) = 3^x powstaªy funkcje:

a) g(x) = 3^x+4+ 2, b) g(x) = ¹₃
x

− 2, c) g(x) = −₂₇¹3^x+ 1, d) g(x) = ¹₃
^|x−2|

+ 4.

5. Dla jakich warto±ci parametru m równanie

|9^x− 1| = m + 4 posiada dwa ró»ne rozwi¡zania?

6. Wyznacz te warto±ci parametru m, dla których funkcja f (x) = 3^{x2+mx−(m+2)} nie przyjmuje warto±ci mniejszych od ¹₃.

7. Dla jakich warto±ci x wyra»enie ₂^x₊₂^1−x przyjmuje warto±ci z przedziaªu ₆₅⁴,²₅

?

2