dr Krzysztof ›yjewski Repetytorium mat. elementarnej; S-I 0 .in». 5 grudnia 2017

dr Krzysztof ›yjewski Repetytorium mat. elementarnej; S-I ⁰ .in». 5 grudnia 2017

Zadania przygotowuj¡ce do kolokwium nr 1

1. Zbadaj ograniczono±¢ z góry, z doªu, ograniczono±¢ zbioru A =  _n ⁴ⁿ

+1 ; n ∈ N

. Ponadto znajd¹ kres górny i dolny oraz sprawd¹ czy wyst¦puje element najmniejszy, najwi¦kszy.

2. Korzystaj¡c z denicji zbadaj monotoniczno±¢ podanych funkcji na podanym zbiorze:

(a) f (x) = _1+x ¹

dla x ∈ [0, +∞), (b) f(x) = x ² − 2x dla x ∈ (−∞, 1].

3. Które z podanych funkcji f : X → Y s¡ na (suriekcja), a które s¡ typu w? Czy jest w±ród nich bijekcja?

(a) f (x) = x + ¹ _x gdzie X = (0, +∞), Y = (2, +∞), (b) f(x) = sin x gdzie X = [−π, π), Y = [−1, 1].

4. Zbadaj parzysto±¢ podanych funkcji:

(a) f (x) = ^{cos x} _x

− x|x| (b) f (x) = cos ³ x + tg x.

5. Okre±li¢ zªo»enie funkcji (o ile to mo»liwe) f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f, g ◦ g gdy:

f (x) = √

x − 1, g(x) = x ² + 1.

6. Wyznacz wzór funkcji odwrotnej do funkcji:

(a) f (x) = 4e ^3x−1 + 5 (b) f (x) = 5 arctg(log ₂ (3x)) − 1.

7. Rozwi¡» równania z warto±ci¡ bezwzgl¦dn¡:

(a) |x − 1| + |x| = 2 (b) p(2x + 2) ² + 3x = |x| + 2 (c) ||x + 1| − 3| = 2.

8. Rozwi¡» nierówno±ci z warto±ci¡ bezwzgl¦dn¡:

(a) |x − 2| − |x| < 4 (b) 2 √

x ² + 2x + 1 ≥ x + 4.

9. Dla jakich warto±ci parametru m równanie x ² +(4−2m)x+m+10 = 0 posiada dwa pierwiastki tych samych znaków?

10. Dla jakich warto±ci parametru m równanie x ² − (2m − 1)x + m ² − 4 = 0 posiada dwa ró»ne pierwiastki mniejsze od 4?

11. Wykonaj dzielenie wielomianów:

(a) (2x ³ − 3x ² − 5x + 6) : (x − 2) (b) (2x ⁴ + 3x ³ − 6x ² + 8x − 8) : (x ² + 2x − 3).

12. Wska» liczby wymierne mog¡ce by¢ pierwiastkami równania: 8x ³ − 12x ² − 20x + 30 = 0.

13. Rozwi¡» równania wielomianowe:

(a) 3x ³ − 2x ² − 6x + 4 = 0 (b) 4x ⁴ − 8x ³ + x ² + 6x − 3 = 0 (c) 2x ⁶ − x ³ = 1 (d) 10x ³ − x ² − 7x − 2 = 0.

14. Rozwi¡» nierówno±ci wielomianowe

(a) 2x ³ (x + 3) ² (x − 1)(4 − x) ⁵ ≤ 0 (b) 2x ⁴ − 3x ² + 1 > 0 (c) 2x ³ + x ² − 8x − 4 ≥ 0.

15. Wykonaj podane dziaªania i sprowad¹ do prostszej postaci:

(a) _x

(x−1)(x+2) ^3x−1

− x(x+2)(x+1) ^4x−3

(b) _x ^2x−10

+x−6 : ^10x _x

+2x−3

^−2x

16. Rozwi¡» równania i nierówno±ci z wyra»e« wymiernych:

(a) ^8x−2 _1−x

+ ^2x+1 _x−1 = 0 (b) _2x+1 ^5x − 2 ≤ ^x−2 _x+5 (c) _x

+4x ^3x

+2x+8 − _x

+6x+8 ² = 0 (d) _x

−x−2 ⁵ + _4−x ³

> 0 17. Zaproponuj rozkªad na uªamki proste:

(a) _(x+3)(x−2) ^3x

⁺¹

x

(b) _x(x−4) ^3x

(x

⁺¹

+2x+3) (c) _x(x−4)

(x

^3x+1 +2x+3)

(x

+1)

18. Rozªó» na uªamki proste:

(a) _x

−x ^5x−4

−2x (b) _x

^3x −5x

^−11x+5

+8x−4 (c) _x

−3x ^x

^+4x+5

+4x−12

1