(1)dr Krzysztof ›yjewski Repetytorium mat

dr Krzysztof ›yjewski Repetytorium mat. elementarnej; S-I⁰.in». 28 grudnia 2016

Funkcja logarytmiczna

Informacje pomocnicze

Denicja 1. Dla dowolnej liczby a > 0, a 6= 1 i liczby x > 0 logarytmem z x przy podstawie a nazywamy liczb¦ y = logax, tak¡ »e a^y = x. W przypadku, gdy a = 10 nazywam go logaryt- mem dziesi¦tnym i piszemy log x, natomiast w przypadku, gdy a = e nazywamy go logarytmem naturalnym i piszemy ln x.

Wªasno±ci funkcji logarytmicznej:

• D_f = R+, W_f = R;

• jest to funkcja ró»nowarto±ciowa;

• jest malej¡ca dla a ∈ (0; 1) oraz rosn¡ca dla a > 1.

Uwaga 1. Na podstawie denicji funkcji logarytmicznej wynika, »e funkcja f(x) = logax jest funkcj¡ odwrotn¡ do funkcji wykªadniczej (dla a nale»¡cych do tego samego przedziaªu) i odwrotnie.

Rysunek 1: Wykres funkcji wykªadniczej i logarytmicznej dla a ∈ (0, 1)

Rysunek 2: Wykres funkcji wykªadniczej i logarytmicznej dla a > 1

1

dr Krzysztof ›yjewski Repetytorium mat. elementarnej; S-I⁰.in». 28 grudnia 2016

Wzory i wªasno±ci logarytmów:

Niech a, b ∈ R+\ {1}, x, y ∈ R+, n ∈ N oraz f (x), g(x) > 0 wówczas:

a) log_a1 = 0, b) log_aa = 1, c) a^logax = x,

d) n · log_ax = log_axⁿ,

e) log_a(x · y) = log_ax + log_ay, f ) log_a ^x_y = log_ax − log_ay, g) log_ax = ^log_log^bx

ba,-wzór na zamian¦ podstawy logarytmu h) log_ab = _log¹

ba,

i) log_ax > log_ay ⇔ x < y o ile a ∈ (0, 1), j) log_af (x) > log_ag(x) ⇔ f (x) < g(x) o ile a ∈ (0, 1), k) log_ax < log_ay ⇔ x < y o ile a ∈ (1, +∞), l) log_af (x) < log_ag(x) ⇔ f (x) < g(x) o ile a ∈ (1, +∞),

Zadania

1. Oblicz:

a) log₂8, b) log₃ ¹₉,

c) log₈2, d) log_(0,3)0, 009,

e) log_0,71, f ) log₁₃13,

g) ln √7¹

e, h) 91^log9117,

i) log₂₅125, j) log¹

4 8√³ 2, k) log^√3

3

27√³

9, l) log₃^√4₃9√³

81,

m) 25^log57, n) 27^{− log32},

o) 8^{1+3 log23}, p) log₄(log 100) ,

q) log₃8 − 2 log₃2 + log₃ ⁹₂, r) log₄81 · log₃64,

s) log₂7 − log₂63 + log^√₂36, t) log₅22 − log₂₅121 − log^√₅√ 10, u) log₁₂₁6 · log₃₆₁₁¹, w) log₅16 · log₄27 · log₃25,

v) 5^{log4 51} · 36^{log2 61} . 2. Znajd¹ liczb¦ x:

a) log₂x = 6, b) log₃x = 0,

c) log¹

3 x = −2, d) log₁₂₅x = −²₃,

e) log_x81 = 4, f ) log_x9 = −2,

g) log_x^√27₃ = −⁸₃, h) log_x ^9·3

13

16·¹₃³

√

3⁻² = −4.

2

dr Krzysztof ›yjewski Repetytorium mat. elementarnej; S-I⁰.in». 28 grudnia 2016

3. Wyznacz dziedzin¦ funkcji:

a) f (x) = ln(4x + 20), b) f (x) = log_x+2^2x + log⁴

5(1 − 2x), c) f (x) = log_(x+1)8 + log_(x−2)(5 − x), d) f (x) = log₇ ¹₄ + log₂(x²− 5x + 4)
, e) f (x) = log_{x+2 x−2}⁸ − |x|
.

4. Rozwi¡» równania:

a) log₉2x = log₉(x²− 3), b) log x = log 13 − 4 log 2, c) log_0,1x = log_0,13 − 2, d) log₂x + log₂(x + 1) = 1, e) log₂(log₃x) = 0, f ) log₇ log₄ log²₃(x − 7)

= 0, g) log²₃x + log₃x²− log₃27 = 0, h) _log(x+1)^{log x} = −1,

i) log₃√

x − 5 + log₃√

2x − 3 = 1, j) log(2x + 14) + log(x + 12) = 3, k) log_(x−2)(x³− 14) = 3, l) 2 log₃x = log₉16,

m) log₁₆x + log₄x + log₂x = 7, n) x^{log x}= 100x,

o) x^{log x}+ 10x^{− log x}= 11, p) log₇3^2x+5− log₇9 = log₇(5 − 2 · 3^x+3).

5. Rozwi¡» nierówno±ci:

a) log₃(2x + 5) ≤ 2, b) log¹

3(2x + 5) > −3, c) log₃|4x − 1| < −1, d) log_x5 < 2,

e) log₃(2x + 5) ≤ 2, f ) log_{x 27}¹ > −3,

g) log_x^2x−1_x−1 > 1, h) log(x − 4) + log(x − 2) > 1, i) log²(x − 1) − 2 log(x − 1) > 0, j) log_0,3

log₅ ^x_x+4²⁻⁴

< 0, k) log₂(x²− 6x + 8) < 3, l) ¹₂
log₅(x²−3x+1)

< 1,

m) log_(x−3)(15 − 2x) ≤ 1, n) log_(2x−3)(3x²− 7x + 3) < 2, o) log₂x + log₄x < 3, p) log¹

3(x + 1) − log ¹

27(x + 1) > log¹

3 5.

6. W zale»no±ci od paraetru m zbadaj istnienie pierwiastków równania x²− 4x − log₂m = 0.

7. Wyznacz warto±c parametru m dla której funkcja log^m+1

m x jest malej¡ca.

8. Niech f(x) = |2 + log3(x + 1)|.W zale»no±ci od parametru m podaj ilo±¢ rozwi¡za« równania f (x) = m.

9. Niech logab = 3 oraz a, b > 0 i a 6= 1. Oblicz loga

√3

ab.

10. Niech logax = 3, log_bx = 4, log_cx = 5 =, gdzie a, b, c ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞) oraz x > 0. Oblicz log_abcx.

3