9. Funkcje wielu zmiennych - całkowanie

(1)

9. Funkcje wielu zmiennych - całkowanie

Grzegorz Kosiorowski

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

(2)

1 Definicje

2 Obliczanie całek wielokrotnych: całki iterowane

(3)

Wstęp

Skoro wiemy już jak liczyć pochodne funkcji wielu zmiennych, nadszedł czas na całki.

W tym rozdziale będę rozważać tylko całki podwójne z funkcji dwu zmiennych. W razie potrzeby, podejście to łatwo można uogólnić na całki n-krotne z funkcji n zmiennych. Całki takie mają wiele zastosowań - szczególnie w statystyce i ekonometrii. Zatem, generalnie rozważać będziemy funkcję f : R² ⊃ D_f → R zmiennych x i y . Konstrukcja będzie bardzo podobna do konstrukcji definicji całki Riemanna jednej zmiennej rzeczywistej - tylko

oczywiście obiekty jednowymiarowe (jak odcinek) zastąpimy dwuwymiarowymi (jak obszar na płaszczyźnie).

(4)

Wstęp

Skoro wiemy już jak liczyć pochodne funkcji wielu zmiennych, nadszedł czas na całki. W tym rozdziale będę rozważać tylko całki podwójne z funkcji dwu zmiennych. W razie potrzeby, podejście to łatwo można uogólnić na całki n-krotne z funkcji n zmiennych.

Całki takie mają wiele zastosowań - szczególnie w statystyce i ekonometrii. Zatem, generalnie rozważać będziemy funkcję f : R² ⊃ D_f → R zmiennych x i y . Konstrukcja będzie bardzo podobna do konstrukcji definicji całki Riemanna jednej zmiennej rzeczywistej - tylko

(5)

Wstęp

Skoro wiemy już jak liczyć pochodne funkcji wielu zmiennych, nadszedł czas na całki. W tym rozdziale będę rozważać tylko całki podwójne z funkcji dwu zmiennych. W razie potrzeby, podejście to łatwo można uogólnić na całki n-krotne z funkcji n zmiennych. Całki takie mają wiele zastosowań - szczególnie w statystyce i ekonometrii.

Zatem, generalnie rozważać będziemy funkcję f : R² ⊃ D_f → R zmiennych x i y . Konstrukcja będzie bardzo podobna do konstrukcji definicji całki Riemanna jednej zmiennej rzeczywistej - tylko

(6)

Wstęp

Skoro wiemy już jak liczyć pochodne funkcji wielu zmiennych, nadszedł czas na całki. W tym rozdziale będę rozważać tylko całki podwójne z funkcji dwu zmiennych. W razie potrzeby, podejście to łatwo można uogólnić na całki n-krotne z funkcji n zmiennych. Całki takie mają wiele zastosowań - szczególnie w statystyce i ekonometrii.

Zatem, generalnie rozważać będziemy funkcję f : R² ⊃ D_f → R zmiennych x i y . Konstrukcja będzie bardzo podobna do konstrukcji definicji całki Riemanna jednej zmiennej rzeczywistej - tylko

(7)

Obszar regularny

Ze względu na to, że omawiamy tylko definicję Riemanna, całkę wielokrotną zdefiniujemy tylko dla pewnych podzbiorów R², zwanych regularnymi.

Nie jest to zbyt ograniczające założenie, gdyż typowe w zastosowaniach obszary da się przedstawić jako sumę obszarów regularnych.

Obszar regularny

Ograniczony obszar D ⊂ R² nazywamy regularnym, gdy jego brzeg (należący do tego obszaru) jest sumą skończonej liczby łuków krzywych danych równaniami postaci y = y (x ) dla x ∈ [a, b] lub x = x (y ) dla y ∈ [c, d ] (a, b, c, d ∈ R), przy czym łuki te mogą redukować się do punktów (tj. może być a = b lub c = d ).

(8)

Obszar regularny

Ze względu na to, że omawiamy tylko definicję Riemanna, całkę wielokrotną zdefiniujemy tylko dla pewnych podzbiorów R², zwanych regularnymi. Nie jest to zbyt ograniczające założenie, gdyż typowe w zastosowaniach obszary da się przedstawić jako sumę obszarów regularnych.

Obszar regularny

Ograniczony obszar D ⊂ R² nazywamy regularnym, gdy jego brzeg (należący do tego obszaru) jest sumą skończonej liczby łuków krzywych danych równaniami postaci y = y (x ) dla x ∈ [a, b] lub x = x (y ) dla y ∈ [c, d ] (a, b, c, d ∈ R), przy czym łuki te mogą redukować się do punktów (tj. może być a = b lub c = d ).

(9)

Obszar regularny - przykład

Na przykład poniższy trójkąt ABC jest obszarem regularnym, ograniczonym łukami krzywych: y = 0 dla x ∈ [−1, 2], y = 2x + 2 dla x ∈ [−1, 0] (lub x = ¹₂y − 1 dla y ∈ [0, 2]) oraz y = 2 − x dla x ∈ [0, 2] (lub x = 2 − y dla y ∈ [0, 2]).

Przykładem obszaru, który nie jest regularny jest zbiór wszystkich par liczb wymiernych (czyli Q × Q).

(10)

Obszar regularny - przykład

Na przykład poniższy trójkąt ABC jest obszarem regularnym, ograniczonym łukami krzywych: y = 0 dla x ∈ [−1, 2], y = 2x + 2 dla x ∈ [−1, 0] (lub x = ¹₂y − 1 dla y ∈ [0, 2]) oraz y = 2 − x dla x ∈ [0, 2] (lub x = 2 − y dla y ∈ [0, 2]).

Przykładem obszaru, który nie jest regularny jest zbiór wszystkich par

(11)

Podział obszaru regularnego

Dla danego obszaru regularnego D ⊂ R² definiujemy:

Podział obszaru regularnego

Przez Pn= (D0, D1, . . . , Dn) oznaczamy podział obszaru D na n domkniętych obszarów regularnych D₁, D₂, . . . , D_n o polach |D_i| (i = 1, . . . , n) taki, że D_i, D_j dla i 6= j nie mają wspólnych punktów wewnętrznych (mogą się stykać co najwyżej brzegami) oraz

D₁∪ D₂∪ . . . D_n = D.

(12)

Podział obszaru regularnego - przykład

Na przykład poniższy obszar regularny:

(13)

Podział obszaru regularnego - przykład

... ma na przykład takie podziały:

(14)

Średnica podziału i normalny ciąg podziałów

Jak widać, jest to prosta analogia do podziału odcinka z części 7 wykładu. Analogicznie więc możemy zdefiniować średnicę podziału i normalny ciąg podziałów.

Średnica podziału i normalny ciąg podziałów

Liczbę δ_n= maxi ∈{1,...n}δD_i, gdzie δD_i oznacza średnicę zbioru D_i, czyli maksymalną odległość między punktami tego zbioru, nazywamy średnicą podziału P_n.

Ciąg podziałów (P_n)_n∈N obszaru regularnego D nazywamy normalnym, jeśli lim_n→∞δ_n= 0.

(15)

Całka podwójna - definicja

Całka podwójna

Niech f będzie funkcją określoną w obszarze regularnym D o

ograniczonym zbiorze wartości. Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów (P_n)_n∈N obszaru D, niezależnie od wyboru punktów wewnętrznych (x_i, y_i) ∈ D_i w każdym podobszarze każdego podziału, granica lim_n→∞^Pⁿ_{i =1}f (x_i, y_i)|D_i| istnieje i jest równa S to S

nazywamy całką podwójną (w sensie Riemanna) z funkcji f na obszarze D i oznaczamy symbolem

ZZ

D

f (x , y ) dx dy .

Jeśli całka podwójna z funkcji f istnieje i jest skończona na obszarze D to funkcję f nazywamy całkowalną.

(16)

Całka podwójna - idea

Jak widać, idea jest podobna do całki pojedynczej. Suma, którą przybliżamy naszą całkę, różni się tylko tym, że wartość funkcji f mnożymy nie przez długość odcinka, lecz przez pole obszaru. Tak więc właściwą ilustracją będzie nie prostokąt nad danym

podprzedziałem (jak na powyższym rysunku), lecz „słup” nad odpowiednim obszarem D_i (rysunek w tym przypadku byłby dość

(17)

Całka podwójna - idea

Następnie, tak jak w przypadku jednowymiarowym sumowaliśmy pola prostokątów, tak w dwuwymiarowym, sumujemy (z uwzględnieniem znaków) objętości tych „słupów”. Kiedy będziemy rozważać coraz drobniejsze podziały danego obszaru, otrzymamy ostatecznie objętość pod wykresem danej funkcji (tak jak w wypadku jednowymiarowym

(18)

Całka podwójna - interpretacja

Całka podwójna i objętość bryły

Objętość obszaru przestrzennego ograniczonego wykresem ciągłej i nieujemnej funkcji f określonej na obszarze regularnym D od góry, oraz płaszczyzną Oxy od dołu jest równa całce podwójnej z funkcji f po obszarze D.

(19)

Interpretacja - przykład

Na przykład, jeśli D jest kołem o środku 0 i promieniu 2, to figura pod wykresem funkcji f (x , y ) = 3 nad D jest walcem, więc też objętość pod tym wykresem jest objętością walca, czyli:

ZZ

3 dx dy = 12π.

(20)

Całkowalność funkcji wielu zmiennych

Na podstawie definicji trudno jednak wyznaczać wartość całki podwójnej. Do tego będziemy potrzebować dodatkowego narzędzia:

całki iterowanej.

Zanim przejdziemy do obliczeń, musimy odpowiedzieć na pytanie - czy wszystkie „sensowne” funkcje są całkowalne w sensie całki dwóch zmiennych.

Całkowalność funkcji ciągłych

Jeśli D ⊂ Rⁿ jest obszarem regularnym, a f : D → R jest funkcją ciągłą, to^RR_Df (x , y ) dx dy istnieje.

(21)

Całkowalność funkcji wielu zmiennych

całki iterowanej. Zanim przejdziemy do obliczeń, musimy odpowiedzieć na pytanie - czy wszystkie „sensowne” funkcje są całkowalne w sensie całki dwóch zmiennych.

Całkowalność funkcji ciągłych

(22)

Całkowalność funkcji wielu zmiennych

całki iterowanej. Zanim przejdziemy do obliczeń, musimy odpowiedzieć na pytanie - czy wszystkie „sensowne” funkcje są całkowalne w sensie całki dwóch zmiennych.

Całkowalność funkcji ciągłych

(23)

Całkowalność „po kawałkach”

W wypadku funkcji jednej zmiennej, kiedy tylko było to wygodne, mogliśmy podzielić przedział całkowania na podprzedziały, obliczyć całki po każdym podprzedziale i zsumować wyniki.

Podobnie możemy zrobić z obszarem całkowania dla funkcji wielu (w szczególności dwóch) zmiennych.

Całkowalność po sumie obszarów

Jeśli obszar regularny D jest sumą regularnych obszarów D₁ i D₂ o rozłącznych wnętrzach to:

Z Z

D

f (x , y ) dx dy =

ZZ

D1

f (x , y ) dx dy +

ZZ

D2

f (x , y ) dx dy ,

oczywiście, o ile f jest całkowalna w każdym z tych obszarów. Twierdzenie to można rozszerzyć na przypadek sumy dowolnej, skończonej liczby obszarów.

(24)

Całkowalność „po kawałkach”

W wypadku funkcji jednej zmiennej, kiedy tylko było to wygodne, mogliśmy podzielić przedział całkowania na podprzedziały, obliczyć całki po każdym podprzedziale i zsumować wyniki. Podobnie możemy zrobić z obszarem całkowania dla funkcji wielu (w szczególności dwóch) zmiennych.

Całkowalność po sumie obszarów

Jeśli obszar regularny D jest sumą regularnych obszarów D₁ i D₂ o rozłącznych wnętrzach to:

ZZ

D

f (x , y ) dx dy =

Z Z

D1

f (x , y ) dx dy +

Z Z

D2

f (x , y ) dx dy ,

oczywiście, o ile f jest całkowalna w każdym z tych obszarów.

Twierdzenie to można rozszerzyć na przypadek sumy dowolnej, skończonej liczby obszarów.

(25)

Obszary normalne

Przejdziemy teraz do praktycznego obliczania całek wielokrotnych.

Metodę, którą przedstawię, można zastosować do tzw. obszarów normalnych.

Obszar normalny

Ograniczony obszar D ⊂ R² nazywamy normalnym względem osi OX, jeśli daje się zapisać w postaci

D = {(x , y ) : a ¬ x ¬ b, ϕ₁(x ) ¬ y ¬ ϕ₂(x )}, gdzie ϕ₁, ϕ₂ są funkcjami ciągłymi na [a, b].

Ograniczony obszar D ⊂ R² nazywamy normalnym względem osi OY, jeśli daje się zapisać w postaci

D = {(x , y ) : a ¬ y ¬ b, ϕ₁(y ) ¬ x ¬ ϕ₂(y )}, gdzie ϕ₁, ϕ₂ są funkcjami ciągłymi na [a, b].

(26)

Obszary normalne - komentarz

Za chwilę istotne będzie wyznaczanie przedziałów [a, b] z tej definicji dla zadanego obszaru. Jak to zrobić?

Jeśli D jest normalny względem OX , to przedziałem [a, b] jest rzut obszaru D na oś OX , czyli zbiór takich x , że dla pewnego y

(x , y ) ∈ D (można powiedzieć, że jest to dziedzina relacji D). Na tym przedziale y = ϕ₁(x ) ogranicza obszar D od dołu, a y = ϕ₂(x ) - od góry.

Jeśli D jest normalny względem OY , to przedziałem [a, b] jest rzut obszaru D na oś OY , czyli zbiór takich y , że dla pewnego x

(x , y ) ∈ D (można powiedzieć, że jest to przeciwdziedzina relacji D). Na tym przedziale x = ϕ₁(y ) ogranicza obszar D od lewej, a

y = ϕ₂(x ) - od prawej.

Ilustracje na kolejnym slajdzie.

(27)

Obszary normalne - komentarz

(x , y ) ∈ D (można powiedzieć, że jest to przeciwdziedzina relacji D). Na tym przedziale x = ϕ₁(y ) ogranicza obszar D od lewej, a

y = ϕ₂(x ) - od prawej.

(28)

Obszary normalne - komentarz

(x , y ) ∈ D (można powiedzieć, że jest to przeciwdziedzina relacji D).

Na tym przedziale x = ϕ₁(y ) ogranicza obszar D od lewej, a y = ϕ₂(x ) - od prawej.

(29)

Obszary normalne - przykłady

Obszar normalny względem osi OX.

Obszar normalny względem osi OY.

(30)

Obszary normalne - przykłady

Oczywiście, każdy obszar normalny względem osi OX lub OY jest obszarem regularnym.

Jednakże, np. poniższy obszar regularny nie jest obszarem normalnym.

(31)

Obszary normalne - przykłady

Oczywiście, każdy obszar normalny względem osi OX lub OY jest obszarem regularnym. Jednakże, np. poniższy obszar regularny nie jest obszarem normalnym.

(32)

Obszary regularne i normalne - zależność

Wydaje się zatem, że umiejętność obliczania całek tylko po obszarach normalnych mogłaby być dość ograniczająca.

Na szczęście, zachodzi:

O rozkładzie obszaru regularnego

Każdy domknięty obszar regularny jest sumą skończonej liczby takich obszarów normalnych względem jednej z osi, które nie mają

wspólnych punktów wewnętrznych.

Dzięki temu, a także dzięki twierdzeniu o całkowaniu po sumie obszarów, możemy liczyć całki po dowolnym obszarze regularnym.

(33)

Obszary regularne i normalne - zależność

Wydaje się zatem, że umiejętność obliczania całek tylko po obszarach normalnych mogłaby być dość ograniczająca. Na szczęście, zachodzi:

O rozkładzie obszaru regularnego

(34)

Obszary regularne i normalne - zależność

Wydaje się zatem, że umiejętność obliczania całek tylko po obszarach normalnych mogłaby być dość ograniczająca. Na szczęście, zachodzi:

O rozkładzie obszaru regularnego

(35)

Podział na obszary normalne - przykłady

Zbiór regularny z poprzedniego przykładu można podzielić następująco.

Zbiory D₁, D₃ i D₄ są normalne względem osi OX, a pozostałe względem osi OY.

Oczywiście, istnieje więcej niż jeden taki rozkład.

(36)

Podział na obszary normalne - przykłady

Zbiór regularny z poprzedniego przykładu można podzielić następująco.

Zbiory D₁, D₃ i D₄ są normalne względem osi OX, a pozostałe względem osi OY. Oczywiście, istnieje więcej niż jeden taki rozkład.

(37)

Twierdzenie o całce iterowanej

Całki podwójne liczymy za pomocą następującego twierdzenia:

Twierdzenie o całce iterowanej

Jeśli funkcja f jest ciągła na obszarze D normalnym względem osi OX i D = {(x , y ) : a ¬ x ¬ b, ϕ₁(x ) ¬ y ¬ ϕ₂(x )}, to

ZZ

D

f (x , y ) dx dy =

Z b a

"

Z ϕ2(x ) ϕ1(x )

f (x , y )dy

#

dx .

Jeśli funkcja f jest ciągła na obszarze D normalnym względem osi OY i D = {(x , y ) : a ¬ y ¬ b, ϕ1(y ) ¬ x ¬ ϕ2(y )}, to

ZZ

D

f (x , y ) dx dy =

Z b a

"

Z ϕ2(y ) ϕ1(y )

f (x , y )dx

#

dy .

(38)

Twierdzenie o całce iterowanej

Jeśli funkcja f jest ciągła na obszarze D normalnym względem osi OX i D = {(x , y ) : a ¬ x ¬ b, ϕ₁(x ) ¬ y ¬ ϕ₂(x )}, to

ZZ

D

f (x , y ) dx dy =

Z b a

"

Z ϕ2(x ) ϕ1(x )

f (x , y )dy

#

dx .

Jeśli funkcja f jest ciągła na obszarze D normalnym względem osi OY i D = {(x , y ) : a ¬ y ¬ b, ϕ₁(y ) ¬ x ¬ ϕ₂(y )}, to

ZZ

D

f (x , y ) dx dy =

Z b a

"

Z ϕ2(y ) ϕ1(y )

f (x , y )dx

#

dy .

Jak widać, obliczanie całki wielokrotnej można zamienić na obliczanie dwóch całek oznaczonych jednej zmiennej, z czego jednej z nich z

(39)

Całki wielokrotne - przykład 1

Zadanie, egzamin 2015, II termin

Obliczyć całkę podwójną z funkcji f (x ) = ^y_x po zbiorze ograniczonym krzywymi o równaniach y = 1, x = 1, y = ln x .

Najpierw musimy zidentyfikować zbiór, po którym będziemy

całkować. Oczywiście, krzywe o równaniach y = 1 i x = 1 przecinają się w punkcie

(1, 1). Krzywe o równaniach y = 1 i y = ln x przecinają się w punkcie (e, 1), a krzywe o równaniach x = 1 i y = ln x

przecinają się w punkcie (1, 0).

(40)

Całki wielokrotne - przykład 1

Zadanie, egzamin 2015, II termin

całkować. Oczywiście, krzywe o równaniach y = 1 i x = 1 przecinają się w punkcie (1, 1). Krzywe o równaniach y = 1 i y = ln x przecinają się w punkcie

(e, 1), a krzywe o równaniach x = 1 i y = ln x przecinają się w punkcie (1, 0).

(41)

Całki wielokrotne - przykład 1

Zadanie, egzamin 2015, II termin

całkować. Oczywiście, krzywe o równaniach y = 1 i x = 1 przecinają się w punkcie (1, 1). Krzywe o równaniach y = 1 i y = ln x przecinają się w punkcie (e, 1), a krzywe o równaniach x = 1 i y = ln x

przecinają się w punkcie

(1, 0).

(42)

Całki wielokrotne - przykład 1

Zadanie, egzamin 2015, II termin

całkować. Oczywiście, krzywe o równaniach y = 1 i x = 1 przecinają się w punkcie (1, 1). Krzywe o równaniach y = 1 i y = ln x przecinają się w punkcie (e, 1), a krzywe o równaniach x = 1 i y = ln x

przecinają się w punkcie (1, 0).

(43)

Całki wielokrotne - przykład 1

Zadanie, egzamin 2015, II termin

Ostatecznie zbiorem, po którym całkę mamy obliczyć jest zbiór D z poniższego rysunku:

(44)

Całki wielokrotne - przykład 1

Zauważmy, że ten zbiór jest normalny względem osi OX dla przedziału [a, b] = [1, e], funkcji ograniczającej zbiór „od góry” ϕ₂(x ) = 1 oraz funkcji ograniczającej zbiór „od dołu” ϕ₁(x ) = ln x . Zatem zgodnie z twierdzeniem:

Z Z

D

y

x dx dy =

Z e 1

Z ₁

ln x

y xdy

dx .

(45)

Całki wielokrotne - przykład 1

Zauważmy, że ten zbiór jest normalny względem osi OX dla przedziału [a, b] = [1, e], funkcji ograniczającej zbiór „od góry”

ϕ₂(x ) =

1 oraz funkcji ograniczającej zbiór „od dołu” ϕ₁(x ) = ln x . Zatem zgodnie z twierdzeniem:

Z Z

D

y

x dx dy =

Z e 1

Z ₁

ln x

y xdy

dx .

(46)

Całki wielokrotne - przykład 1

ϕ₂(x ) = 1 oraz funkcji ograniczającej zbiór „od dołu” ϕ₁(x ) =

ln x . Zatem zgodnie z twierdzeniem:

Z Z

D

y

x dx dy =

Z e 1

Z ₁

ln x

y xdy

dx .

(47)

Całki wielokrotne - przykład 1

ϕ₂(x ) = 1 oraz funkcji ograniczającej zbiór „od dołu” ϕ₁(x ) = ln x .

Zatem zgodnie z twierdzeniem:

Z Z

D

y

x dx dy =

Z e 1

Z ₁

ln x

y xdy

dx .

(48)

Całki wielokrotne - przykład 1

ϕ₂(x ) = 1 oraz funkcji ograniczającej zbiór „od dołu” ϕ₁(x ) = ln x . Zatem zgodnie z twierdzeniem:

ZZ y

dx dy =

Z eZ ₁ y dy

dx .

(49)

Całki wielokrotne - przykład 1

ZZ

D

y

x dx dy =

Z e 1

Z 1 ln x

y xdy

dx .

Jako, że^R ^y_xdy = ¹_x ^R ydy = _2x^y² + C , to

Z e 1

Z 1 ln x

y xdy

dx =

Z e 1

"

y² 2x

#y =1

y =ln x

dx =

=

Z e 1

1

2x − ln²x 2x dx .

(50)

Całki wielokrotne - przykład 1

ZZ

D

y

x dx dy =

Z e 1

Z 1 ln x

y xdy

dx .

Jako, że^R ^y_xdy =

1 x

R ydy = _2x^y² + C , to

Z e 1

Z 1 ln x

y xdy

dx =

Z e 1

"

y² 2x

#y =1

y =ln x

dx =

=

Z e 1

1

2x − ln²x 2x dx .

(51)

Całki wielokrotne - przykład 1

ZZ

D

y

x dx dy =

Z e 1

Z 1 ln x

y xdy

dx .

Jako, że^R ^y_xdy = ¹_x ^R ydy =

y²

2x + C , to

Z e 1

Z 1 ln x

y xdy

dx =

Z e 1

"

y² 2x

#y =1

y =ln x

dx =

=

Z e 1

1

2x − ln²x 2x dx .

(52)

Całki wielokrotne - przykład 1

ZZ

D

y

x dx dy =

Z e 1

Z 1 ln x

y xdy

dx .

Z _e

1

Z ₁

ln x

y xdy

dx =

Z e 1

"

y² 2x

#y =1

y =ln x

dx =

=

Z e 1

1

2x − ln²x 2x dx .

(53)

Całki wielokrotne - przykład 1

ZZ

D

y

x dx dy =

Z e 1

Z 1 ln x

y xdy

dx .

Z _e

1

Z ₁

ln x

y xdy

dx =

Z _e

1

"

y² 2x

#y =1

y =ln x

dx =

=

Z e 1

1

2x − ln²x 2x dx .

(54)

Całki wielokrotne - przykład 1

ZZ

D

y

x dx dy =

Z e 1

Z 1 ln x

y xdy

dx .

Z _e

1

Z ₁

ln x

y xdy

dx =

Z _e

1

"

y² 2x

#y =1

y =ln x

dx =

=

Z e 1

1

2x − ln²x 2x dx .

(55)

Całki wielokrotne - przykład 1

Oczywiście,^R _2x¹ dx = ¹₂ln x + C , a

Z ln²x 2x dx =

t = ln x 1dt = ¹_xdx

=

Z t² 2dt =

= t³

6 + C = ln³x 6 + C . Stąd,

Z e 1

1

2x − ln²x 2x dx =

"

1

2ln x −ln³x 6

#x =e

x =1

(56)

Całki wielokrotne - przykład 1

Z ln²x 2x dx =

=

Z t² 2dt =

= t³

6 + C = ln³x 6 + C . Stąd,

Z e 1

1

"

1

2ln x −ln³x 6

#x =e

x =1

(57)

Całki wielokrotne - przykład 1

Z ln²x 2x dx =

=

Z t² 2dt =

= t³

6 + C = ln³x 6 + C . Stąd,

Z e 1

1

"

1

2ln x −ln³x 6

#x =e

x =1

(58)

Całki wielokrotne - przykład 1

Z ln²x 2x dx =

=

Z t² 2dt =

= t³

6 + C = ln³x 6 + C .

Stąd,

Z e 1

1

"

1

2ln x −ln³x 6

#x =e

x =1

(59)

Całki wielokrotne - przykład 1

Z ln²x 2x dx =

=

Z t² 2dt =

= t³

6 + C = ln³x 6 + C . Stąd,

Z e 1

1

"

1

2ln x −ln³x 6

#x =e

x =1

(60)

Całki wielokrotne - przykład 1

"

1

2ln x −ln³x 6

#x =e

x =1

=

(1 2 −1

6 − (0 − 0)) = 1 3. Zatem:

ZZ

D

y

x dx dy = 1 3.

(61)

Całki wielokrotne - przykład 1

"

1

2ln x −ln³x 6

#x =e

x =1

= (1 2 −1

6 − (0 − 0)) = 1 3. Zatem:

ZZ

D

y

x dx dy = 1 3.

(62)

Całki wielokrotne - przykład 1

Tę całkę można policzyć też w inny sposób. Ten zbiór jest też normalny względem osi OY. Wystarczy tylko przeliczyć y = ln x na x = e^y i otrzymamy teraz nowy rysunek

(63)

Całki wielokrotne - przykład 1

Tę całkę można policzyć też w inny sposób. Ten zbiór jest też normalny względem osi OY. Wystarczy tylko przeliczyć y = ln x na x = e^y i otrzymamy teraz nowy rysunek

(64)

Całki wielokrotne - przykład 1

Zauważmy, że ten zbiór jest normalny względem osi OY dla przedziału [a, b] = [0, 1], funkcji ograniczającej zbiór „od prawej” ϕ₂(y ) = e^y oraz funkcji ograniczającej zbiór „od lewej” ϕ₁(y ) = 1. Zatem zgodnie z twierdzeniem:

ZZ

D

y

x dx dy =

Z 1 0

" Z e^y

1

y xdx

#

dy .

(65)

Całki wielokrotne - przykład 1

Zauważmy, że ten zbiór jest normalny względem osi OY dla przedziału [a, b] = [0, 1], funkcji ograniczającej zbiór „od prawej”

ϕ₂(y ) =

e^y oraz funkcji ograniczającej zbiór „od lewej” ϕ₁(y ) = 1. Zatem zgodnie z twierdzeniem:

ZZ

D

y

x dx dy =

Z 1 0

" Z e^y

1

y xdx

#

dy .

(66)

Całki wielokrotne - przykład 1

ϕ₂(y ) = e^y oraz funkcji ograniczającej zbiór „od lewej” ϕ₁(y ) =

1. Zatem zgodnie z twierdzeniem:

ZZ

D

y

x dx dy =

Z 1 0

" Z e^y

1

y xdx

#

dy .

(67)

Całki wielokrotne - przykład 1

ϕ₂(y ) = e^y oraz funkcji ograniczającej zbiór „od lewej” ϕ₁(y ) = 1.

ZZ

D

y

x dx dy =

Z 1 0

" Z e^y

1

y xdx

#

dy .

(68)

Całki wielokrotne - przykład 1

ϕ₂(y ) = e^y oraz funkcji ograniczającej zbiór „od lewej” ϕ₁(y ) = 1.

ZZ y

x dx dy =

Z 1"

Z e^y y xdx

#

dy .

(69)

Całki wielokrotne - przykład 1

ZZ

D

y

x dx dy =

Z 1 0

"

Z e^y 1

y xdx

#

dy .

Jako, że^R ^y_xdx = y^R ¹_xdx = y ln x + C , to

Z 1 0

" Z e^y

1

y xdx

#

dy =

Z 1 0

[y ln x ]^{x =e}_{x =1}^y dy =

=

Z 1 0

y²dy =

"

y³ 3

#y =1

y =0

= 1 3. Czyli ostateczny wynik wychodzi taki sam.

(70)

Całki wielokrotne - przykład 1

ZZ

D

y

x dx dy =

Z 1 0

"

Z e^y 1

y xdx

#

dy .

Jako, że^R ^y_xdx =

y^R ¹_xdx = y ln x + C , to

Z 1 0

" Z e^y

1

y xdx

#

dy =

Z 1 0

[y ln x ]^{x =e}_{x =1}^y dy =

=

Z 1 0

y²dy =

"

y³ 3

#y =1

y =0

(71)

Całki wielokrotne - przykład 1

ZZ

D

y

x dx dy =

Z 1 0

"

Z e^y 1

y xdx

#

dy .

Jako, że^R ^y_xdx = y^R ¹_xdx =

y ln x + C , to

Z 1 0

" Z e^y

1

y xdx

#

dy =

Z 1 0

[y ln x ]^{x =e}_{x =1}^y dy =

=

Z 1 0

y²dy =

"

y³ 3

#y =1

y =0

(72)

Całki wielokrotne - przykład 1

ZZ

D

y

x dx dy =

Z 1 0

"

Z e^y 1

y xdx

#

dy .

Z 1 0

"

Z e^y 1

y xdx

#

dy =

Z 1 0

[y ln x ]^{x =e}_{x =1}^y dy =

=

Z 1 0

y²dy =

"

y³ 3

#y =1

y =0

(73)

Całki wielokrotne - przykład 1

ZZ

D

y

x dx dy =

Z 1 0

"

Z e^y 1

y xdx

#

dy .

Z 1 0

"

Z e^y 1

y xdx

#

dy =

Z 1 0

[y ln x ]^{x =e}_{x =1}^y dy =

=

Z 1 0

y²dy =

"

y³ 3

#y =1

y =0

(74)

Całki wielokrotne - przykład 1

ZZ

D

y

x dx dy =

Z 1 0

"

Z e^y 1

y xdx

#

dy .

Z 1 0

"

Z e^y 1

y xdx

#

dy =

Z 1 0

[y ln x ]^{x =e}_{x =1}^y dy =

=

Z 1 0

y²dy =

"

y³ 3

#y =1

y =0

(75)

Całki wielokrotne - przykład 1

ZZ

D

y

x dx dy =

Z 1 0

"

Z e^y 1

y xdx

#

dy .

Z 1 0

"

Z e^y 1

y xdx

#

dy =

Z 1 0

[y ln x ]^{x =e}_{x =1}^y dy =

=

Z 1 0

y²dy =

"

y³ 3

#y =1

y =0

=

1 3. Czyli ostateczny wynik wychodzi taki sam.

(76)

Całki wielokrotne - przykład 1

ZZ

D

y

x dx dy =

Z 1 0

"

Z e^y 1

y xdx

#

dy .

Z 1 0

"

Z e^y 1

y xdx

#

dy =

Z 1 0

[y ln x ]^{x =e}_{x =1}^y dy =

=

Z 1 0

y²dy =

"

y³ 3

#y =1

y =0

(77)

Całki wielokrotne - przykład 2

Zadanie

Obliczyć całkę podwójną z z funkcji f (x , y ) = x + xy po obszarze będącym trójkątem o wierzchołkach (1, −1), (2, 2) i (0, 2).

Zbiorem, po którym całkę mamy obliczyć jest zbiór D z poniższego rysunku:

(78)

Całki wielokrotne - przykład 2

Zadanie

Łatwiej jest rozpatrywać ten zbiór jako normalny względem osi OY, ale ze względów dydaktycznych rozważymy jak obliczyć tę całkę po sumie dwóch zbiorów normalnych względem OX.

Będą to oczywiście zbiory D₁ i D₂ z poniższego rysunku:

(79)

Całki wielokrotne - przykład 2

Zadanie

Łatwiej jest rozpatrywać ten zbiór jako normalny względem osi OY, ale ze względów dydaktycznych rozważymy jak obliczyć tę całkę po sumie dwóch zbiorów normalnych względem OX. Będą to oczywiście zbiory D₁ i D₂ z poniższego rysunku:

(80)

Całki wielokrotne - przykład 2

Taki podział jest podyktowany faktem, że łatwo opisać pojedynczym wzorem funkcje ograniczające od dołu i od góry te obszary.

Oczywiście zachodzi:

ZZ

D

x + xy dx dy =

Z Z

D1

x + xy dx dy +

ZZ

D2

x + xy dx dy ,

(81)

Całki wielokrotne - przykład 2

Taki podział jest podyktowany faktem, że łatwo opisać pojedynczym wzorem funkcje ograniczające od dołu i od góry te obszary.

Oczywiście zachodzi:

ZZ

x + xy dx dy =

Z Z

x + xy dx dy +

ZZ

x + xy dx dy ,

(82)

Całki wielokrotne - przykład 2

Obliczamy^RR_D

1x + xydx dy .

Jest to obszar normalny względem osi OX, dla [a, b] = [0, 1], ograniczony z dołu przez y = −3x + 2, a z góry przez y = 2. Zatem

ZZ

D1

x + xydx dy =

Z 1 0

Z ₂

−3x+2x + xydy

dx

(83)

Całki wielokrotne - przykład 2

Obliczamy^RR_D

1x + xydx dy . Jest to obszar normalny względem osi OX, dla [a, b] = [0, 1], ograniczony z dołu przez y = −3x + 2, a z góry przez y = 2. Zatem

ZZ

D1

x + xydx dy =

Z 1 0

Z ₂

−3x+2x + xydy

dx

(84)

Całki wielokrotne - przykład 2

Z 1 0

Z ₂

−3x+2

x + xydy

dx

=

Z 1 0

xy + 1 2xy²

y =2 y =−3x +2

dx =

Z 1 0

2x + 2x − (−3x²+ 2x + 9

2x³− 6x²+ 2x )dx =

=

Z 1 0

9x²−9

2x³dx =

3x³ −9 8x⁴

x =1 x =0

= 3 − 9

8− 0 + 0 = 15 8 .

(85)

Całki wielokrotne - przykład 2

Z 1 0

Z ₂

−3x+2

x + xydy

dx =

Z 1 0

xy + 1 2xy²

y =2 y =−3x +2

dx =

Z 1 0

2x + 2x − (−3x²+ 2x + 9

2x³− 6x²+ 2x )dx =

=

Z 1 0

9x²−9

2x³dx =

3x³ −9 8x⁴

x =1 x =0

= 3 − 9

8− 0 + 0 = 15 8 .

(86)

Całki wielokrotne - przykład 2

Z 1 0

Z ₂

−3x+2

x + xydy

dx =

Z 1 0

xy + 1 2xy²

y =2 y =−3x +2

dx =

Z 1 0

2x + 2x − (−3x²+ 2x + 9

2x³− 6x² + 2x )dx =

=

Z 1 0

9x²−9

2x³dx =

3x³ −9 8x⁴

x =1 x =0

= 3 − 9

8− 0 + 0 = 15 8 .

(87)

Całki wielokrotne - przykład 2

Z 1 0

Z ₂

−3x+2

x + xydy

dx =

Z 1 0

xy + 1 2xy²

y =2 y =−3x +2

dx =

Z 1 0

2x + 2x − (−3x²+ 2x + 9

2x³− 6x² + 2x )dx =

=

Z 1 0

9x²−9

2x³dx =

3x³− 9 8x⁴

x =1 x =0

=

3 − 9

8− 0 + 0 = 15 8 .

(88)

Całki wielokrotne - przykład 2

Z 1 0

Z ₂

−3x+2

x + xydy

dx =

Z 1 0

xy + 1 2xy²

y =2 y =−3x +2

dx =

Z 1 0

2x + 2x − (−3x²+ 2x + 9

2x³− 6x² + 2x )dx =

=

Z 1 0

9x²−9

2x³dx =

3x³− 9 8x⁴

x =1 x =0

= 3 − 9

8 − 0 + 0 = 15 8 .

(89)

Całki wielokrotne - przykład 2

Obliczamy^RR_D

2x + xydx dy .

Jest to obszar normalny względem osi OX, dla [a, b] = [1, 2], ograniczony z dołu przez y = 3x − 4, a z góry przez y = 2. Zatem

ZZ

D2

x + xydx dy =

Z 2 1

Z ₂

3x −4

x + xydy

dx

(90)

Całki wielokrotne - przykład 2

Obliczamy^RR_D

2x + xydx dy . Jest to obszar normalny względem osi OX, dla [a, b] = [1, 2], ograniczony z dołu przez y = 3x − 4, a z góry przez y = 2. Zatem

ZZ

D2

x + xydx dy =

Z 2 1

Z ₂

3x −4

x + xydy

dx

(91)

Całki wielokrotne - przykład 2

Z 2 1

Z ₂

3x −4

x + xydy

dx

=

Z 2 1

xy + 1 2xy²

y =2 y =3x −4

dx =

=

Z 2 1

2x + 2x − (3x²− 4x + 9

2x³− 12x²+ 8x )dx =

=

Z 2 1

9x²− 9

2x³dx =

3x³− 9 8x⁴

x =2 x =1

= (24 − 18) − (3 −9

8) = 33 8 .

(92)

Całki wielokrotne - przykład 2

Z 2 1

Z ₂

3x −4

x + xydy

dx =

Z 2 1

xy + 1 2xy²

y =2 y =3x −4

dx =

=

Z 2 1

2x + 2x − (3x²− 4x + 9

2x³− 12x²+ 8x )dx =

=

Z 2 1

9x²− 9

2x³dx =

3x³− 9 8x⁴

x =2 x =1

= (24 − 18) − (3 −9

8) = 33 8 .