Funkcje wielu zmiennych cz.1

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I⁰.lic. 11 maja 2016

Funkcje wielu zmiennych cz.1

Zadania

1. Wyznacz dziedziny naturalne funkcji:

(a) f (x, y, z) = x²y³− z sin y; (b) f (x, y) =√

1 − x²+py² − 1;

(c) f (x, y) = ^x√^{2sin x+y3−1}

x²+y²−9 ; (d) f (x, y) = ln(4x + yx);

(e) f (x, y) = arcsin_x+y^x ; (f ) f (x, y, z) = ln(−1 − x²− y²+ z²).

2. Pokaza¢, »e dla funkcji f(x, y) = ^x−y_x+y granice iterowane lim

x→0



limy→0f (x, y)



= 1, lim

y→0



limx→0f (x, y)

=

−1, a nie istnieje granica lim

(x,y)→(0,0)

f (x, y).

3. Pokaza¢, »e dla funkcji f(x, y) = _x2y^2x+(x−y)^{2y2 2} granice iterowane lim

x→0



y→0limf (x, y)

 , lim

y→0



x→0limf (x, y)

 istniej¡ i s¡ równe, a nie istnieje granica lim

(x,y)→(0,0)f (x, y).

4. Pokaza¢, »e dla funkcji f(x, y) = (x+y) sin_x¹sin¹_y granice iterowane lim

x→0



y→0limf (x, y)

 , lim

y→0



x→0limf (x, y) nie istniej¡, a istnieje granica lim

(x,y)→(0,0)f (x, y).

5. Oblicz (o ile istniej¡) granice:

(a) lim

(x,y)→(∞,∞) x+y

x²−xy+y² (b) lim

(x,y)→(∞,∞) x²+y² x⁴+y⁴

(c) lim

(x,y)→(∞,a) 1 + ¹_x
x+y^x2

(d) lim

(x,y)→(0,0) x³ 2x²+y²

(e) lim

(x,y)→(0,0)

4 sin(xy)

2xy (f) lim

(x,y)→(0,0)

1−cos(x²+y²) (x²+y²)²

(g) lim

(x,y)→(0,0) x²−y²

x²+y² (h) lim

(x,y)→(0,0) xy² x²+y⁴

(i) lim

(x,y)→(0,0)(1 + x²+ y²)^x2+y21 (j) lim

(x,y)→(∞,∞) x²+y⁴ x⁴+y². 6. Znale¹¢ punkty nieci¡gªo±ci (o ile istniej¡) podanych funkcji:

(a) f(x, y) = ( _xy

x²+y² dla (x, y) 6= (0, 0)

0 dla (x, y) = (0, 0) (b) f(x, y) =

(p1 − x²− y² dla x²+ y² < 1

0 dla x²+ y² ≥ 1

(c) f(x, y) =

( _x3y³

x²+y² dla (x, y) 6= (0, 0)

0 dla (x, y) = (0, 0) (d) f(x, y) =

(px²+ y² dla x ≥ 0

2 dla x < 0

(e) f(x, y, z) =

(sin x+sin |y|+sin |z|

|x|+|y|+|z| dla (x, y, z) 6= (0, 0, 0) 1 dla (x, y, z) = (0, 0, 0)

1

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I⁰.lic. 11 maja 2016

7. Na podstawie denicji oblicz pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du podanych funkcji w punkcie (0, 0) :

(a) f (x, y) =

(x²+ y² dla xy = 0

0 dla xy 6= 0;; (b) f (x, y) = p2x^{3 3}− y³;

(c) f (x, y) =

( x²

x²+y²−1 dla (x, y) = (0, 0) 0 dla (x, y) 6= (0, 0).

8. Poka», »e funkcja f(x, y) = ( _xy

x²+y² dla (x, y) 6= (0, 0)

0 dla (x, y) = (0, 0) posiada pochodne cz¡stkowe pierw- szego rz¦du w ka»dym punkcie (x, y) ∈ R², ale nie jest ci¡gªa w punkcie (0, 0).

9. Oblicz pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du podanych funkcji (z wykorzystaniem reguª ró»- niczkowania):

(a) f (x, y) = x²y³− x sin y; (b) f (x, y, z) = x⁵y¹⁰− x³sin z + y²e^z; (c) f (x, y) = x^y; (d) f (x, y) = (ln x)^{sin y};

(e) f (x, y, z) = (2x + 3z)^yz; (f ) f (x, y, z) = xy^z; (g) f (x, y) = ln sin(x − 2y); (h) f (x, y) = (1 + xy)^y;

(i) f (x, y) = ye^x+xy; (j) f (x, y) = ln(x +px²+ y²);

(k) f (x, y) = (x + y) ln²(1 − x − y); (l) f (x, y) = _{5+2xy ln x}^{x ln y} ; (m) f (x, y) = e^3xarctg(xy); (n) f (x, y) = arcsin

qx²−y² x²+y²; (o) f (x, y) = (xy²+ 1) arctg²(y√

x); (p) f (x, y, z) =√

xy(4x + 3z)^√yz; 10. Oblicz pochodne cz¡stkowe drugiego rz¦du podanych funkcji:

(a) f (x, y) = ¹₂ln(x² + y²); (b) f (x, y) = arctg_1−xy^x+y ;

(c) f (x, y) = sin xy; (d) f (x, y) = x sin(x + y) + y cos(x + y);

(e) f (x, y, z) = e^xyz; (f ) f (x, y, z) =px²+ y²+ z².

2