3dï)rcôbcrid)t
Kopernikańska w Toruniu
über
b(rê Ätgltdjc Äaifjiilifdjc $Հաւաքաա
in
Ճ о it i tj
in bent 3d)HÍjitl)ťi՝ 1853—54, mit гоеіфеш
8U ber offentligen $rüfuna am 14 91ußii|t
. unb
ău ben ®ebíttêfeieríid)fetten am 15. Չ1 tt g ti fl b. Ջ»
ergebenft cínlabct
bet Birector beč ®çmnafiumS Dr. £. Ihüggctnann.
3)ie íinicn unb fünfte ber gleichen ÿoten^en bei Greifen, (ingeit՝mibt auf ba5 »oUflänbigc æierfeit. æon JJ. 'Se ie էյ, orbentl. genrer am ֆ. ЯЬпідІ. ©pmnafium.
Nг о. XXXIII.
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©ebrueft ín ber ЗЗифЬгпЛгеі bei g. 3- farieb.
W TORUNIU
Bie
dinien uni) ÿnnftc
űiigeiDíinbt
auf bas uollftaubige ^forfeit
ber
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3. ճ i e էյ,
огГетШфет Seí;rer am Äönigl. ©șmnaftum ju Sonii?.
& D Ո է
©ctrucft in ter Sudjbntáeret bet g. §. ֊£> ar í ф.
1854.
■
§• 1.
ՋՉ՚ճՈՈ bíe ©eraren M, M unb PO (gig. 1.) auf einanber fenfrccbt ftefyen, fo ift für jebcn jaunit P beč jßerpenbifelö P 0
p 02 = PM,2 — 0M,2 unb PO2 = PM2 — OM2, folglich
2.
Siní? baßer tie fünfte M, unb M unb ble (große u gegeben, unb man foli ben geo?
tttetrifeßen Զրէ beč fünftes P fittben, für méláién P M,2 — PM2 = u2
ift: fo kommt es nur barattf an, ben fpunft O ;u fruten. $ieju aber ift PM,2 — P M2 = O M,2 — ОМ2, unb baßer OM,2 — O M2 = u2,
woraus man fteßt, baß OM(, OM unb u bie ©eiten eines rechtwinkligen ©reieckS finb, unb
¿toar 0M unb u bie ¿atßeten beffelben.
©aller erriete man in M (gig. 2.) auf M,M baS ÿerpcnbifel MN = u, »erbinbeN mit M, unb erriete im Mittelpunkte K ber M, N baS fPerpenbifel K O: fo ift ber ©cßnittpunft O biefeS ÿcrpcnbifelS mit ber (geraten M,M ber ffufpunft teč gefugten geometrifeßen ©rteč.
Um baßer biefen felbjl չս fittben, errteßte man in 0 auf M, M bie ©entrechte PO, fo ift bieč ber gefueßte geotnetrifeße Շրէ; benn jießt man NO, fo ift naeß ber Äonftruktion
PM,2 — OM,2 = PM2 — OM2, ober PM,2 — PM2 — 0M|2 — OM2.
t>. Ș. 1. ber llntcrfdjieb bcr Dualrate ber Sibftänlc aller fünfte P beö ÿerpenbtfelé P 0 son
¿toci fejten fünften M, uno M ift eine unoeränlerlidje ©roße, nämlic^ діеіф bent Untcrfduelc ber Dualrate ber SIbflänbc leč gufpunftco 0 son ben feftcn fünften M, unb M.
„Datier ift ber geontctrifcȘc Drt eines ÿunfteS P, für юеіфеп ber 11 n?
terfdjiel ber Dualrate ber Slbftänbe son &n>eí fejten fünften M, unb M eine gegebene (Brbjje u2 ift, eine ©erabe PO, bie auf ber ©eralen, юеіфе bíe fejten fünfte M, unb M serbinbet, f e n f r e фt fteljt."
ON = OM|, bal;er
u2 = О № -ом։ = ОМ,։ — ОМ2, Sßetl aber für jebcit «punit P beg «pcrpcnbiMd PО
ОМ,2 — ОМ2 — PM2 — PM2, fo ift für jcben «punît P beg «Perpenbifcïg PO aud)
PM2 — P M2 = u2, uttb babér P O ber gefügte geometrifd)e Drt.
Sa bie betbcn (Beraben KO unb M, M ftd) nur in einem «puntte 0 fcfneibctt, unb in bem fünfte 0 auf M, M nur ein «Perpenbífel in'ógtíd) ift: fo gicbt eg außer PO feine ¿incite Sinie, теіфе ber aufgeftellten Sebíngung genügt.
2. „Saber gicbt eg feinen ¿weiten geometrifeben Drt, ber bie aufge*
ft elfte SBebittgung erfüllt; unb feber «punît, теіфег bie obige Sebingung er«
füllt, liegt in ber gefunbenen Drtõjíní e PO.“
Յոր 95eftimmun g ber Sage bed ^united О ifi, wenn u < M, M, 4 M( N M > 4 M M, N, unb ba
4 M M, N = 4 M, N O, fo ift 4 M, N M > 4 M, N O.
b. b- Búr u < M, M füllt N O ¿wifdjen M, N unb M N, alfo ber «punît O ¿wífeben M, unb M.
%eil aber NО > MO unb N O = M( o, fo ift audj M, O > M O. b. b- Ser«punît O liegt nüï)er nad) M aid nad) M, b in.
9htr für u = O füllt NM, mit Mt M ¿ufammen, unb bann wirb O ber Wlittclpunft son M, M.
SSenn u == M| M, fo ift
4 Mt N M = 4 M M, N, unb ba 4 M M,N= 4 M, N O, fo ift aud) 4 M,NM= 4 M,N O.
b. b. Bür u — M, M füllt ber ÿunft O mit M ¿ufammen.
$5enn u > M,M, fo iß
4 M, N M< 4 MM, N, unb ba 4 MM, N = 4 M, NO, fo ift 4 M, NM< 4 M, N O.
b. b> 3ÜT u > M, M füllt ber «punît O über M finaud, in bie Verlängerung son M, M- 3. „Somit fällt ber ÿitnft O, für u = 0, in bie «Witte ¿wifefen Mi unb M; mäefft u, fo rüeft 0 näber nacf M fin, big, für u = M, M, ber «punît O mit M jufammenfällt; wirb enblicf u > m,m, fo fällt О über M finaud, in bie Verlängerung non M,M.“
§• 3.
Slud ben öorfergebenbcn (£ntwtďelungen ergiebt fid) fofort bie Soiling folgender
«
5
Aufgabe. Ձո einer ©bene ftnb grvci fefłc .Greife M, unb M (%. 3.) gegeben: man feli ben geometrifdjen Ort cined fpunfted P unter ber Sßcbingttng finben, baß ber Unterfdßeb ber Duabrate ber Slbftänbc b cá fpunïted P eon ben SDlittclptinften M, unb M ber Greife gleid) ift bem Unterfdßebe ber Duabrate ber Stabten, baß alfo
PM,2 —PM2 = R,2 — R2.
íbonftr. 2)tan betreibe mit bent größeren Stabillá R, Greife um bie fünfte H unb I, in rocld)en bie ßentrallinic M, M bon Reineren jlreid fdjncibet; bett ©dmittpunft N biefer Greife
»erbinbe man mit M, unb M, erriete im îPttttclnunfte K ber M, N baá fperpenbifcl K O unb erriete enblíd) in O bie Senfrcd)te PO: fo ift P O ber gefugte geometrifeße Օրէ
Ջего eiá. Œd ift
L M : M N = M N : M Q, b. Հ.
R, — R : M N = M N : R, + R, ober M N2 = (R, + R) (R, — R) = R,2 — R2. 2ßeil aber nad) 1.
M N2 = O M,2 —OM2 =PM/ — P M2, fo ift P M,2 — P M2 = R,2 — R2, ro. 5. b. ro.
2)a btc beiben mit R, um H unb I betriebenen greife für alic SBertße eon R, unb R fid) fd)iteibcn, fo ift bie Aufgabe ftetS möglid). ferner folgt aud 2.,
4. „baß eb nur eine einzige Sinie PO giebt, toeld)e ber Aufgabe ge»
nügt; unb baß feber ÿitnft, ber bie aiifgcftellte SBcbingung erfüllt, in ber OÍtdlíníe P О liegt."
5. „SBenn bie beiben Greife M, unb M (Rfg. 4.) fid) feßneiben, fo iß ißre gentetnfd)aftlid)e Sefantc P, P ber in ber eorl)ergel;cnbcn Aufgabe ge#
fud)te qeometrifeße Ort." Denn cd ift
PM,2 — PM2 = R,2 — R2, P, M,2 — P|M2 = R,2 — R2, O M,2 — O M2 = R,2 — R2.
u. f֊ ro.
6. „SBenn bie beiben Greife M, unb M (Rig. 5.) fid) berühren, fo ift ff)re gemefnfdtaftltdje tangente ber in ber oorl)crgcl)cnbcn Slufgabe eerlangte geontetrifd)c Ort." Denn cd ift
P M|2 — PM2=OM,2 — o M2- — R,2 — R2.
7. „SBenn fid) btc beiben Greife roeber fd)nctbcn nod; berühren, fo fann tie Ortdlinie PO feinen ber beiben greife treffen, fonbern liegt ganj außer#
halb beiber Greife."
Denn angenommen, bie gebaute ©rtdlinie gehe burd) ben fpunft N berÄreidlinic M, (Rig. 6.), fo roäre
NM,2 — NM2 = Ri2 — R2; roeil aber
NM,2 = R,2, fo roäre auch
N M2 = R2 unb
NM = R.
b. Հ. Der «punft N läge aud) in ber «Peripherie beb Äreifed M unb roäre baßer beiben jfrei#
2
6
fen gemetnfdtafttid), n՝aő ber 5tnnaí;me tt)íbcrfprid)t, hilf bie beiben Greife քՓ weber fenéiben поф berühren folien, alfo feinen fßunft gemein ftabcn fönncn.
Ü)ie Dorftebenbe S3etrad;tung gilt unmittelbar and) für ben gall, baß ber eine Strcib innerhalb beb anbcrn liegt.
SÖenn ber eine Afreté M ($ig. 6.) ganj außerhalb beb anbern M, liegt, fo ift M,M- — (M,G + G H + H M)2
== (R, 4՜ U + R.)2
=R,2 +R2 + 2R| R + 2(R| + R) U + U2, Ьофег M| M2 > R,2 +R2 > R|2 — R2.
Seßen mir fcęt
R,2 — R2 = u2, fo iff M,M2 > u2, b. f).
M, M > u.
8. Unter tiefer Sebingung aber liegt nad) 3. ber Sdjnittpunft ber gebauten Շ՚րէՏ- línie pi'ifdicn м, unb M; unb ba паф 7. bíe £?rtbliníe feinen ber greife treffen fann, fo fallt bícfclbe згоіі'фсп bio beiben Streife.
§• 4.
а. Sicht man »on einem beliebigen fünfte P (gig. 7.) ber ©rtblinie P О паф ben Streifen M( nub M bic Tangenten P A unb P B, fo ift
P M, 2 --PM2 = R|2 --R2, P Ml* ֊- R,2 =PM2 — R2 3Beí( über
P M(2 --R,2 =P A2 unb P M2 --R2 = PB2, fo ijl
PA2 = PB2 unb PA =PB.
9. ,/Díc au8 einem beliebigen fünfte ber OrtSlinie PO паф en ßrew fen gezogenen Zangenteil finb einanber gíеіф."
SB ernt umgekehrt
P Л = P B, fo ifk апф PА2 = PB2.
SBeil aber
P A2 = P M(2 — R|2 imb p в2 = P M2 — R2, fo ift and) P M,2 ֊ R.2 =p m2 — R2, ober P M,2 — P M2 = R|2 — R2.
Deshalb aber liegt паф 4. ber fJJunit P in ber Crtblinie Р 0.
10. „Seber ÿitnft, yon гоеіфem bie Tangenten паф ben greifen м unb M giełd; finb, liegt in ber Drtőliníc PO."
b. SB ernt քւՓ bie beiben greife іфпсіЬеп, unb man oerbinbet einen țpunlt P (gtg. 8.) ber gernefnfфaftltфen Seime mit ben Mittelpunkten M, unb M, еггіфіеі bann auf P M, unb
7
PM tn P bte fpcrpenbifel AC unb B D: fo ftnb bied bic fícinften unter allen (Seinen, пчіфе burd) ben ÿunft P тёдііф ftnb. — Da nun
P M,3 — P M2 = R,2 — R2, ober R,2 ֊P M2 — R2 — P M2; ferner R,2 —P M,3 == P A2 ttnb
R2 — P M2 ==P B2: fo ift PA2 — PB2, b. ý.
AC — B D.
11. „SBBenn fid; gtuet greife fenéiben, fo ftnb bie burd; einen belie#
bigén ÿunït ber genteinfd^aftíidten ©ebne in beiben greifen gezogenen Hein#
ft en ©ebnen eínanber діеіф."
Umgefebrt überzeugt man fid; ícidtt,
12. „baß feber ÿuitft, für гссіфеп bie Heinften ©ebnen ¡treier fid;
fcbneibettben greife etnanber діеіф finb, in bet детеіп(фаШіфеп ©ebne ber Greife liegt."
c. giebt man burdj ben fßunft P (gig. 7.) ber Drtëlinie P O ¿toei beliebige ©efan#
ten P D unb PF nad; ben greifen, fo ift
P c . P D = P A2 unb PE . PF = PB2;
tveil aber nad) 9.
PA2 = PB2, fo ift
PC. PD = PE.PF.
Umgefebrt, trenn
PC. PD = PE . PF, fo ift auch PA2 = PB2.
Daher liegt паф 10. ber ÿitnft P in ber DrtSlinie PO.
d. 3W man ferner burd; ben fpitnft P (gig. 8.) ber Crtêltnte PO չէր ei beliebige
©el)tten E F unb GH, fo ift
P A i P E = P F : PՓ babér PA . PC = PA2 = PE . PF;
ebenfo
PB:PG = PH:PD, Ьйфег PB . PD = PB2 == PG . PH;
weil aber паф 11.
PA2 = PB2, fo ift PE.PF±=PG.PH.
Umgefebrt, trenn
PE . PF = PG í PH, fo ift aud) PA2 = PB2 unb
PA = PB.
Daher liegt паф 12. ber fpunft P in ber Drtëlinie P О.
e. Sßenn man Ьигф einen ÿunft P (gig. 7.) паф einem greife M( beliebige ©e#
f anten P D, PH u. f. W. չէօէէ, fo ift
8
, PC. PD — PG.PH=PK.PL — u. f. го.
Sbettfo für febett ÿunft innerhalb beg Sretfeő. Dies für alle burd) P geȘettbe Sefanten un»
»eranbcrltçhe fProbuft hfifft „bie potens beS Äreifеё M, tu ®ejug auf ben ÿunft P."
-Çtenad) lönnen wir bie ŽRefultate ber (Entwitfelungen unter c. unb d. in folgenben gäben
auSfpredjen: ° f
13. „2) í e potensen zweier greife M, unb M finb in SBetua auf feben ÿunït tßr er Örtëlinie PO einanber gl eid)." Umgef efjrt :
14. „SBenn bie fPotcnjen zweier Greife in S3ejug auf einen fpunf t ein»
anber gleich finb, fo liegt biefer ÿunft in berDrtëlinie PO bér beiben greife."
2)eëroegen ^eißt nufere £)rtëlinie PO „bie Sinie ber gleichen ÿotenjen ber Greife Mf unb M." 3n %e*ug auf bie fünfte, welche außerhalb bcr Greife liegen, ^eißt bie Drtëlinie PO auch „bie Sinie bet gleichen Sangenten ber greife M, unb M."
§♦ 5.
S3 on bref beliebigen greifen M, M„ M„ (gig. 9.), bie in einer (Ebene liegen, babén )e jwei eine Sinie gleicher ÿotcnjen. (ES fei
L O bie Sinie gleicher ÿot. ber greife M unb M„
L| O| ŕ ŕ » » # Ճ M unb M||, LU°II ŕ ŕ ŕ * » » M, unb M„.
Sdjnetben ft d, nun L, O, unb Llt OM in bem fünfte P, unb man ließt bon P beliebige Se»
lantén PB, PB, unb PBH burd) bie Greife: fo ift nacß 13.
P A . PB = PA,,. PB,| unb P A| . PBI=P A,, . P B,,, baßer audj PA . PB = PA, . PB,.
b* ß. Ser ÿunft P, in weld;cm fid; L, O, unb LH O„ fconciben, liegt nad; 14. aud;in LO.
15. „Sie brei Síníen bergleichen potensen, wel d;e ju irgenb bref Greifen einer (Ebene gehören, fenéiben fid) in einem funíte."
16. „gür jebe brei Sefanten, welche burd) P gefeit, ift P A . P В =5 P A, .PB, == P Ан . P Bu;
unb biefe SBebíngung fann außer P fein anbercr ÿunft erfüllen."
3)aë Seßterc ergießt Пф unmittelbar aug 14. @g iß natürlich gleichgültig, ob ber ÿtmft P außerhalb ober innerhalb ber Greife liegt 3n Folge biefer (Eigenßßaft heißt P „ber %unft ber gleichen ÿotenjen ber brei Greife."
§. 6.
Sie 9le|ultate ber bisherigen (Entwicfelungcn finb äuperß fruddbar, unb её ergeben ftd) barauë, als unmittelbare Folgerungen, Säße, welche oft auf bett erflen Slid in feinem 3ufam»
utenhange ju flehen fdeinen. 3IÍS Seifpielc nur folgenbe:
а. „SBenn brei Greife in einer (Ebene einanber fchneiben, fo treffen bie
— 9
bref ©cfantcn, тоe ï d; c je jmci Greifen gemein fint, in einem fünfte ju*
[am men."
b. „ՋՉcnn von tret Greifen in einer (Ebene jeter tie beiben (intern berührt, fo [dinéiben fid) bie trei Sangenten, го e íd; c je jroeí greifen gemein [int, in einem ÿitnftc."
c. „ ՉԶ e ո ո man turej) einen $ u nf t ber Sinie ter діеіфеп Ruténjén
¿тоei er Greife beliebige ©etanten burd) bie Greife ¿i eilt, f° liegen bie vier ÿunfte, in тоеіфеп bie ©et an ten bie 5i reife fd;ncibcit, in einer britten Ärcid#
línie."
d. „Die bref y crpcnbifcl, rocI cb c ni an in ben Wîittelpunf ten auf ben
©citen cined Dreícdd err id) tet, f d; n eiben fid; in cinem ÿunite."
Die ©äße а. unb b. fínt fpejielíe galle yon 15. Daf tie fünfte C, D, E unb F (gig. 7.) in einer jh'cídlíníc liegen, roić ber ©aß c. behauptet, folgt unmittelbar taraud, baf;
nad; 13.
PC . PD = PE . PF.
Um ben ©aß d. ¿u beTOelfen, beute man fid; um bie (Eden bed Drcicdd beliebige aber cinanbcr gl cid; e greife befeßrteben, bereu Starien R, Ri unb R,, fiiib : fo ift
R2 — R,2 = R2 — Rn2 = R,2 — RH2 = u2 = 0.
Unter biefer Sebingung aber geßen tic bref Stuten ber діеіфеп jßotenjeii nad; 3. burd) ble SSÎittelpunfte ber gentrallínien, b. b. burd; tie SPiíttclpunfte ber ©citen bed Dreicdd; nad; 15.
[dinéiben fie fid; aber in einem fünfte.
§. 7.
3ntcrcffant unb für nuferen ^rocd bienlid; ift ber fpejielle gall, wenn bie tret greife 31, Mr unb 31,, (gig. 10.) fid) in einem ÿimfte P [фпeiben, roäljrcnb il;rc Slittclpunftc M, 31j unb M|| mit bem детеіп[фа[Шфеп ©d;ițittpunfte ľ in einer rícrtcii ftreidlíníe liegen. 9)îan
¿íetic tie bref Sinieli ber діеіфеп [Potenzen ľ P,, PP,,, P Pni; ¿icíie ferner M 31,, MM,, unb ՅԷ Mu ; verbinbe cnblid; P mit M, mit 31, unb mit 31,,. 28irb aldbann nod; P,,, mit P,, unb Pni mit P, oerbunben, fo ift
a. 4 PM,,31 = 4 P31, M, aid ÿcriplienctoinfcl auf bcinfclbcn Sogen. (Ed ift aber
b. 4 P31,i M = 4 P M„ O, = 4 РРщРц/
ni eil 4 F AI,, 0, bie Hälfte bed ¿entríwiufcld ift, о er mit 4 PP1HP„ auf bcmfelben Sogen fiebt. Sbenfo ift
c- 4 PM, 31 = 4 PM, 0=4 P P|n P,,
weil 4 PM, О bie Hälfte bed ¿cntriroínfeld ift, ber mit 4 PP„,P, auf bemfelbcn Sogen [telit. Sind ben ®lcid;ungcn a„ b. unb c. aber folgt, baß
d- 4 PP„,P„ = 4 РРщРг
b. Է. Die Geraben Рщ Pu unb P,„ P, bilben mit P P,„ діеіфе Sñtnfel. 33eil aber bie fünfte p„ unb P, auf térfélben «Seite ber Geraten pp,„ liegen, unb չս діеіфеп 9)crípí;erictoinfeln
3
10
gleite Sogen gehören: fo gcljt, in golge ber ®l eidjung d., bie Verlängerung оon РИ|pn burd) P,, unb bie bref ÿunfte Рщ, Рц, Р, liegen in einer ©erűben. Vßir íjaben baher folgenben Saß:
17. „Sßenn fid) breí Kreife in einem fünfte fenéiben, unb ber gemein#
fdjaftlidje Schnittpunkt mit ihren Mittelpunkten in einer gierten Kreislinie liegt: fo liegen bie bref übrigen Schnittpunkte jener Kreife in einer geraben ginie."
Veljtncn wir umgekehrt an, baß bie brei Punkte Рщ., Pu unb P, in einer ©eraben liegen, mäbrenb fid) bie Kreife M, M, unb Mn in P fdjneibcn: fo ift
4 РРщРіі — 4 P Pui PI*
Vieil aber
4P P,;l P;1 = 4 PM;1 O, = 4 PM,,M unb
4PРщ P, = 4 P M j О = 4 PM|M, foift aud) 4 P Mu M = 4 P M M.
b. h- funkte P, M, M, unb M11 liegen in einer Kreislinie, unb mir können fagcn:
18. „VSenn fiel) brei Kreife in einem funkte fdinéiben, mäbrenb bie brei übrigen Sdjnittpuukte in einer ©ereiben liegen: fo liegen bie Mittel;
punkte unb ber gcmcinfdjaftlidje Schnittpunkt in einer gierten Kreislinie."
Sinb ferner O, 0¡, 0N bie Schnittpunkte ber gentrallinien mit ben entfpredjenben Çí;
nien ber gteidjen potensen, fo ift
PO = O P„ P O, = O, PH, P O„ = O|,P„„ folglich p o : P P, = P O, : Pp„ = P 0M : PPIN = 1:2.
5Senn bal)er bie Punkte Phl, Рц, P, in einer ©erabenliegen, fo liegen auch bie funkte 0„, 0, unb 0 in einer ©eraben.Sa aberP0||z PO, unb PO fenfredjt fteijen auf ben Seiten beS DreiedS M M, M(|, fo haben mir aus 17. unmittelbar folgenben Saß:
19. „Sßcitn manum ein Dreieck einen Kreis befdjreibt unb aitS einem beliebigen funkte ber Kreislinie ÿerpenbikcl fällt auf bie SeitenbeS Drei, ccfS: fo liegen bie gußpunkte biefer ÿcrpenbikcl in einer ©eraben." ©benfo er;
halten mir aus 18. folgenben Saß:
20. „®enn bie Perpenbikcl, meldje man auf ben Seiten eineS Dreiecks errichtet, fid) in einem fünfte fdjncibcu, mäljrcno iijre gußpunftc in einer ©J rabén liegen: fo liegt ihr Schnittpunkt in ber bem Dreieck umfehriebenen Kreislinie.
Sßährenb im Vorljcrgebcnbcn bie Säße 19. unb 20. aus 17. unb 18. abgeleitet ftnb, läßt ft<h ebenfo leicht ber umgekehrte SBeg einfchlagen, inbem man 17. unb 18. auß 19. uno 20. ableitet. Vßeil nämlich
4 M. О, P = 4 Mji O(P == 900, fo liegen bie Punkte M,„ 0„, 0,, P in einer Kreislinie, unb cS ift
a- 4 P 0H0| = 4 P M,, О;,
als ÿeripherieminkel auf bemfelben Sogen. Sßenn aber bie fünfte P, M, M, unb M„ auf
einer Kreislinie liegen, fo ift " '
11
ß. 4 PM„O| = 4 РМцМ= 4 P M, M;
rocii ferner aud; bic fünfte P, O, M, uni) OH auf einer Ambitnie liegen, intem 4 P O , M, = 4 P О M, = 90°: fo íft
у. 4 P M, M = 4 P M,0=4 PO||O.
5íub ten @Icid)ungen ß- unt y. folgt, taft
ճ. 4 PO , О, = 4 POi О.
է. ß. Die ©eraben 0„ O, unt0Ա0 bitten mit PO,, glcidje Sinfcl. Sßcil aber 0, unt 0 auf ter#
felben Seite von PO,, liegen, roeil ferner tiefünfte Ou, M , 0, P in einer Areiglinieliegen, unt rocii ju gleichen pcripljericwinfcln glcícíje Sogen geboren: fo gef>t in golge ter ©leid)ung Ժ. tie Verlängerung von 0,, O, bureß O, unt tic trei fünfte О,,, O, unt О liegen in einer (geraten, meldtos ter unter 19. auSgefproeßene Saß í ft. (fbenfo lcid)t läßt ft eß ter Saß 20. berocifen.
Sann aber ßat eg feine Scßwicrigfcit, aug 19. unt 20. tie Säße 17. unt 18. abjuleíten.
§ 8.
SQcßmcn wir einen vierten Areib M1V (gig. 11.) ßinju, ter tie trei greife beb vorßer»
geb ent en paragraphs in ihrem gcmcínfd)aftlíd)cn Sdjnittpunfte P feßneibet, unt tcffen Vîittel»
punit glcicßfallg in ter Arciolínie M liegt: fo liegen nad) 17.
tie punfte p,, P,,, P,,, in einer (geraten unt aud) = ŕ p,, p՛, pu ŕ ŕ «
ŕ # ՓԴ » p՛ , p, pH « < »
՛ f * » P'", P", P,» » ՛ ».
Von tiefen fcd)g pun f ten liegen baßer je trei in einer (geraten, unt cë werten baburdj vier (gerate а, b, c, d beftímmt, tie ft d) in fed)b punften fdmeibcn. „Vier ©erate, tie fieß in fed)g punften feßneiten, beißen cín v o 11ft än b i g c ë Vícrfcit." Dab vollftäntíge Vícrfcít bat fcd)b ßdcn A,B, C, D, E, F (gig. 12.) unt trei Diagonalen AF, BD, CE; ferner enthalt tag voUftänbige Vierfeit vier Dreicrfc AED, ABC, FCD unt F B E.
Sctradjtcn wir jeßt (gig. 11.) tag vollftäntige Vicrfeit alg gegeben, fo fint tic Greife M„ M,,, M,,,, MIV ten vier Dreierfen tejfelben umfdtrieben. Der Areib MM ift tem Dreierf P|P"Piii, unt ter Areib Мш tem Dreierf P'" РцР,,, umfd)ríeben. Daher liegt ter punit P"
auf terPeripherie teg Arcifeg M,, unt innerhalb teg Arcifeb M,,,, antrerfeítg ter punit P,, auf ter Peripherie tcS Arcifeb Мщ unt innerhalb teg Areífeb M,,. Degßalb aber feßneiben fieß tie .Streife Mu unt Mm unt haben außer bem Punfte Pm noeß einen ¡weiten punît P gemeinfeßaft»
lid), gällt man nun von P auf tic Seiten а, b, c, d teg vollftänbigcn Vicrfcitg Pcrp entí fei PA, PB, PC, PD: fo liegt nad) 19. fotooßl В mit A unt D, alë aud) C mit A unt D ín einer (geraten; weil aber burd) A unb D nur cine ©crabe mbglid) ift, fo liegen alle vier punfte A, B, C, D in einer unb berfelben ©crabcn.
Senn aber bic punfte A, B, C in einer ©crabcn liegen, unb tie perpenbifel AP, BP, CP fieß in einem punfte P feßneiben: fo liegt nad) 20. ter punft P in ber bem Dreierf P, P' P,, umfcßricbcncn Areiblinie, unb eg gebt fomit and) ber Arcig M, turd) ten punît P.
Cêbenfo geßt tie Areiglinie Mlv burd) ben punit P, weil B, C, I) in einer ©crabcn liegen, unb bie perpenbifel BP, CP, DP im punfte P jufammentreffen. Die vier Areifc haben ba>
her einen gcmeinfcßaftlicßen Scßnittpunft P.
