Kopernikaiiska 3<
*
6r<8bŕrid)t
über
Հ w Toruniu J
x^t/ÍPROGRÍí^^
Խտ ^atl)dlifd)ŕ (Stjmnnfittm
in ճոոէէյ
in bcm Sdjuljnbre 184Ջ-1846, mit roeidjem
յս î> e rv՝ ò f f e n t í i cb e n Prüfung am 81. 9lugufł ergeben ¡i ei n (abet
ber director bes ©^mnaftumS Dr. /. jfruggemann.
Bit 5W * unb Sieben Reifung ber Semntëfatf« 53om DberHrer öílcfotrt.
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©eírucft in ber íSuýbruďerei bet S. S. фяНф.
1846.
KSIĄŻNICA MIEJSKA L'A. KOPERNIKA
W TORUNIU
Fünf- und Siebzehn-Theihing
der
Lem n ískate
топ
Л. Wichert.
I
De Gleichung einer Lemniskate ist:
(л-2 + у2) 2 = a2 (r * — у2)...(О
wo a die halbe Axe derselben bezeichnet und die rechtwinkligen Koordinaten x end y aus dem beiden Theilen der Curve gemeinschaftlichen Punkte Л (siehe die Figur) gerechnet werden. Setzt man hier x2 Ц- у2 — z2 und «2 = 1, so dass к, die Chorde, in Theilen der halben Axe ausgedrückt ist, so wird die Gleichung:
s4 == X2 — y 2 = 2 X2 — Ճ2 = Ճ 2 — 2 y2 i 'l փ i/l — z ՛ 1
ferner x = z j — , у = z |/ — շ
ix = шаі j.յ = Ľáí У 2 (1 + Z2) У ճ (1 — Z2) und daraus das Differential eines Bogens :
d, = У Լ -Lvy + Çdyy = ÿ===
ein elliptisches Integral, aus dessen Natur Abel im zweiten und dritten Bande des
Ckelle sehen Journals für reine und angewandte Mathematik bewiesen hat, dass
man mit Hülfe des Lineals und Zirkels allein die Peripherie einer Lemniskate in
m gleiche Theile theilen kann, wo m die Form hat 2n oder 2" 4՜ Ն und wo die
letztere Zahl zu gleicher Zeit eine Primzahl sein muss.
Die dort aufgestellten allgemeinen Vorschriften sollen hier auf die Fünftheilung der Lemniskate angewendet werden, da der Weg, auf welchem man hiezu durch die Zerfällung der elliptischen Funktionen in imaginäre Theile gelangt, von grossem Interesse ist; für die Siebzehntheilung derselben Figur jedoch sollen die Werthe durch die Auflösung einer biquadratischen Gleichung angegeben werden, indem der
selbe Weg wie dort zu grosse Rechnungsschwierigkeiten darbieten würde.
Da in Folgendem die Abel sehen so sei, um sie mit den Legendre sehen und es wird dann:
Bezeichnungen festgehalten Werden sollen, zu vergleichen, z = sin Ժ und 1 = — X֊,
giebt z als Funktion von
d ՀՒ
V 1 — k2 sin 2 ip ժ ; so dass
und dieses = մ . . . (3)
z — (fi մ = sin ÿ- == sin am ժ
V 1 — s2 = Уժ = V 1 — у2 մ = cos 5- ՜ - cos am Ժ V1+« 2 —F ժ — У1 -j- (p2 ժ '= У 1 — к2 sin 2 Հ> = z/am ժ
- (4)
ist. Hieraus folgt unmittelbar, wenn man an die Stelle des 2 setzt z Ý— 1 oder z i
T (Ժ 0 = i (f Ժ, f(di) = F Ժ, und F (d i) — f ô .... (5)
՜ = -õ"> 50 ist fiiv <p — í —1 und für
V 1 — z4 ճ ճ
у to wird z — о.
cos am (« + Թ — Я am (<х -J-. ß) =
oder
К ach den Fundamentalformeln der Addition elliptischer Transcendenten : sin am (« ß) =± sín am a cos ani ß J am ß -|՜ sin am ß cos am a zl am a
1 — к' 2 sín2 am a sin 3 am ß.
cos am a cos am ß — sin am ct sin am ß z! am a zl am ß 1 — k2 sin2 am a sin2 am ß
zl ama zi am ß — Æ2 sin am a sin am ß cos am a cos am ß
1 — k2 sin2 am a sin2 am ß. '
ф(“ + 0) = /(ft+ (5) = F (ft -f ß) =
(Г a f ß F ß J- ą> ß f g Fa 1 4֊ <f- a y3 ß.
fß Ja — y « y ß F a Fß 1 -f- у 2 ft y2 /Ճ F ft F ß + y « <fß Ja J ß
1 + y2 ft y2 ß.
wird mit Rücksicht auf die Formeln (5) Գ (“ + ßг")
У («+ßt) F(« + /S
í')
— У'а У ß F ß 4՜ i <fßJ a Fa 1 — tf'1֊ a tf2 /î.
ja Fß —г ср a cpß Fa Fß 1 — <p2 a ср- ß.
__ F a f ß ֊|՜ г <p а ср ß J а F ß 1 — ср2 а ср- ß.
Diese Gleichungen zeigen, dass die Funktionen der imaginären Veränderlichen bekannt sind, wenn die der reellen es sind. Setzt man dann а — in Ժ und ß = p d, so geben dieselben Formeln (6) eine Methode cp (in Ժ) , j (in Ժ), F (րոմ), ср (p, ô), j (p Ժ) und F (p ô) durch die einfachen Funktionen cp ô, j ô, F ô auszu
drücken, wenn nur m und p ganze Zahlen sind ; und mit Hülfe der Gleichungen (7) kann man jede der Funktionen cp (in ֊f p i) Ժ, j (m -j- p г) Ժ, F (m փ p i) ժ durch die 3 Grössen cp Ժ, J Ժ und F Ժ, oder auch nur durch eine derselben z. B.
cp Ժ angeben.
Auch überzeugt man sich leicht, dass, wenn man in den Gleichungen (6) a — ß setzt und so resp. cp (2 a) cp (3 a) cp(4 «) . . . cp (m «) entwickelt, dieses rationale oder irrationale Funktionen von ср2 a sein werden, je nach dem m eine ungerade oder gerade Zahl ist, die noch in den Faktor ср a multiplizirt sind. Da die Gleichungen (7) mit ihnen gleichartig sind, so wird auch cp (m -j- p ՛) d = cp â , T .... (8), w o T eine rationale Funktion von cp2 Ժ ist.
Verändert man Ժ in dz, so verändert sich ср г Ժ in г cp J und es wird aus (8) t cp (m + p i) â = i cp ô Tl .... (9)
wo Tl dieselbe Funktion von — cp? d wie T von cp2 Ժ sein muss. Man muss also
2
T1 = T (10) haben, oder es kann die Funktion T nnr die Quadrate von gf մ enthalten d. h. eine rationale Funktion von g>4 մ sein.
Wenn wir das bisher Gesagte für y (2 4՜ 0 d entwickeln, so ist aus den For
meln (7), darin a = 2 Ժ und ß = â gesetzt,
Գ (2 + Л ժ = WftFå + ivif 2i_F2Ș 1 — cp2 Ժ țp 2 2 Ժ
»•••♦• (12)
2 г — ,r4
Ф (2 + г) մ = .r i (լ Lg./ýpi... (13) nach (6) aber ist <f2ö — -Հ- V (Լ
x 1 + ÿ4 о
■гол - /М-țpMFM 7 1 + ç>4 ժ
F2d = P4Ô) + ^Ô,PÔ 1 + </> 4 Ժ
und die Substitution dieser Ausdrücke in (11) giebt:
p (2 f.) j = y j
woraus, q ô = .r gesetzt und Zähler und Nenner mit 1 — (1 -f- 2 /) .r4 dividirt, folgt :
Eine ganz ähnliche Form erhält у (4 -|- ։) Ժ, die sich auch durch einen solchen imaginären Faktor vereinfachen lässt und dieselbe Relation der Coeffizienten in Zäh
ler und Nenner hat.
Es lässt sich aber jede Zahl von der Form 4 m + 1 in die Summe zweier Quadrate auflösen * ), so dass 4 m + 1 = «2 + ß2 gesetzt werden kann, oder 4 m + 1 = (« + ßi) (« — ß г"). Um zur Fünf- und Siebzehntheilung der Lern-
*) Legendre theor, d. nombr. pag. 178.
niskate zu gelangen, darf man also nur
da die beiden zweiten cp ■՛ entwickeln,
• 4 — г oder auch nur die beiden ersten,
Funktionen sich aus den ersten ergeben, wenn man darin für 4՜ i setzt — i.
2 i
(15)
Da ferner 4 m -|- 1 eine ungerade Zahl ist, also auch a?- 4՜ ß-j so muss c< -j- /S eben so eine sein, also in der Gleichung
y(« + /Si)d = yd. -֊^ ... (14):
müssen, wie oben bemerkt, U sowohl wie V rationale Funktionen von y4 Ժ sein.
Auch wird in (14) y (« + /3z')d = 0 werden für Ժ = ¿, da у и = 0;
weil aber für diese Annahme a> ---- M — nicht = 0 ist, so kann es nur U oder
«4֊ ßt
in (13) nur T sein d, h, die Wurzeln der Gleichung U—0 sind die Werthe für у —q^-ут. Man hat also aus (13), wo у ՜Հ՜Հ՞; ~ x Jst>
гг4 = 1 — 2 л12 = 4՜ /1
Es lässt sich aber auch beweisen, dass die zwei Wurzeln dieser Gleichung zngleich die Werthe der Ausdrücke und
dass die Gleichung (15) keine anderen Wurzeln haben kann, als und + <f -շ-p»
oder
Es ist nämlich ¡p (a ֊|՜ ß *) d — 0, wenn man (a-\- ß г) Ժ = (in -f- «) a oder Ճ = ՜է ,9—’ setzt; oder, da diese Werthe nur für die Fünf- und Siebzehn-
a + ßi
theilung der Transcendente gebraucht werden, wenn Ժ = 9 - ist, wo ct entweder 2 oder 4 bedeuten mag. Dann lässt sich immer
m + p. i
cc -j- г = Հր + * + * ' * ՛ ... (16) setzen, wo í und k' und p ganze Zahlen sind; und es wird dann
\m = p 4- «% — I л -7՝
Ь= * + * ' « i ...ԼԱ)
sein, woraus p = m — ap -]֊ («2 փ 1)
und l- als irgend eine unbestimmte ganze Zahl sich immer so bestimmen lässt, dass p positiv oder negativ immer kleiner als ֊֊- ist. Aber nach der be
kannten Periodizität der elliptischen Transcendenten, wie sie sich aus (6) leicht ab
leiten lässt, und nach den Gleichungen (5) ist:
*)
tl. h. wir dürfen für die
= <f {<0^7 ■ + * + *1։)»| =-I y í±^ni (19)
Einsetzung aller Werthe von f oo bis — со nur die Werthe der ganzen Zahlen für p von
oder vielmehr von -j- ungerade Zahl ist.
«2 + ß2 ֊ 1 2
«2 +ß2
2 bis —
c<2 + ß»2 brauchen, bis — da a1 -f- ß"1 immer eine
Die Werthe dieser Funktionen aber als die der Wurzeln der Gleichung sind auch unter sich verschieden, oder, da sie alle durch die Form:
ausgedrückt sind, es kann nie
(20)
sein ; denn man kann nach dem Frühem immer
j 4՜
setzen ; es müsste also
) Grelle Jour». В. ІГ. 109.
(22)
(23)
d. h.
also
± У ս՞֊ + ß2 -1
m f n
= ТТЛ + " ... <2,) sein, und dieses giebt, den zweiten Theil von (21) gleichnamig gemacht und die Zähler einander gleich gesetzt :
! ß in 4֊ na — 0 in -4- n
p = (— i) p1 4՜ am — ßn .
Da m und « willkürliche ganze Zahlen sind, so können wir sie so wählen, dass aus der ersten der Gleichungen (22)
n = — ß t ¡ in = at ,
folgt, wo t noch eine ganze Zahl sein muss.
Aus dieser Relation lässt sich
p = (-1)”։+V 4- (* 2 + 02) «
? ± ? ,
լ=
í“2 +
leicht ableiten, was unmöglich ist, da p und p1 immer kleiner als շ untl als ganze Zahlen angenommen wurden.
Es werden also diese verschiedenen Funktionen
тгл’ ± ’ ТТЛ’ ’ ТТЛ “• A“։U _____ ist, auch die Wurzeln von U — 0 sein, wenn nachgewiesen ist,
dass dieses keine gleichen Faktoren enthält.
Es war allgemein
P dz . ,
Ժ = I 7=: und z = (f0 J V i — Ճ»
d . (p ô = dz = dâ У 1 — a 4 oder d.(pô= * dõ.jã>Fà
3
Diese Gleichung substituiri in die Differential - Gleichung (19) und durch dd dividir! giebt:
Л (/ '. y (« + |5 Z) d) = rf (yd . Z7)
~ f à . F â , U -f—y ő.
Doch hat Г = 0 nur dann .gleiche Faktoren, wenn gleichzeitig U = 0 und Ժ Г
՜ 0 lst; es müsste also in diesem Falle
(a-j-fji) . / («ßг) ő.F(a-\-ßi) . Ț —— у / /9 /) d = 0 .... (24) sein. Da aber Ժ = -֊֊- gesetzt war und yw = 0 und/« = F« = f i :st, so muss aus (24) Г = 0 sein oder Г und gleiche Faktoren enthalten, die wir aber in — als nicht vorhanden voraussetzen dürfen; oder umgekehrt unter dieser Voraussetzung kann U keine gleichen Faktoren enthalten.
I m die Gleichung U — 0, deren Wurzeln die Werthe von
0) , 2« \«y-ß՞- -1 i
4 a-Vßi’ — (f a f ß i ’ * ’ • ± ff_____ ‘ձ_____ «.
.է «4֊ ß г I
sind, mit Hülfe der Gauss eschen Methode aufzulösen, sei s eine primitive Wurzel von «2 + / oder unserer Primzahlen 5 und 17; dann wird immer
“ Ճ
• = ± ««+ * .(«• 4-^) ... (25)
gesetzt werden können, wo, wenn I eine ganze Zahl bedeutet, auch eine solche ist und die verschiedenen Werthe + 1, + 2, .... bis + ~J_
haben kann, wenn man für m dieselben einsetzt.
Da nun auch
to
Գ
+
e2 to 2
to ■I
2
_.w—I
« + Ւ >
• • ± 9 {՛
± ч>
mit den
2
werde durch tpő der Ausdruck
. . . (26)
oder ч9-п — 1 = 0,
«Ч^-i 2
К2 +/?2—1
• <p f
— ’ ’ «4 - ß i ’ — Ч a [ii ’ — 'P a ß i allerdings in verschiedener Reihenfolge zusammen.
oder imaginäre Wurzel der Gleichung (Л a + ßi
a + ßi Va-Hy.
. + t (a-ßi) ы I
а 4՜ ß i f
y2 d + y2 (s Ժ) . ■» + y2 (í2 մ) . Վ2 . . . « y2 (í”՜1 — 1 bezeichnet, so dass die Gleichung
Es sei ferner & irgend eine reelle
«2 + /32 — 1
& “ —1=0
«2 + ß֊ — 1 wo n —--- ---
{± «“
{+
Գ {«m , m m x
1 < * = է
ist, so fallen die Weithe von
to , 2 Cd
« 4՜ ß І ’ --- « + ’ * von
ist, und, wenn . — մ wie früher gesetzt worden,
•> ± Գ ճ to ■ , ± Դ
4 4
гр â = iț? ô 4՜ <f ł (f ժ) . ժ 4՜ țr։ («3 ժ) . Հ>2 4֊ ....
4- y3 (ճ” —.... (27) als eine ganze rationale Funktion von g>3 Ժ entwickelt werden kann, die wir auch unter der Form schreiben können:
грд = x [у3 ժ];... (28)
so lässt sich leicht beweisen, dass immer
(ірд)п = (z [у * ($7"ժ)]) Ո ... (29) Setzt mau nämlich in den Ausdruck (27) tmԺ für Ô, so wird er:
V (Ла) = (Ла) +учЛ + іа).^ + у=(Л + ^а).^ + ..Л + <P2 (£"՜1ժ).^"՜,”-1+ (f (б"а). * "-"+ (зо)
....+ у» (£,, + ?,,-1ժ).0”֊1 J es ist aber y2 (s w + m Ժ) = y2 (£ ”'ժ), weil
«
*
= («2 + Л է- 1 und e” + W = (cr-Vß4l6m ֊ Л und deshalb können wir dem Ausdrucke (30) folgende Gestalt geben:
tp (iWd) = y2 d . ~7"y2(ed).y'~OT+1֊|֊y2(e2d),yí — ո։+2փ։> J у'(Л-'а).^"-і+у2(Ла) + у2(/" + і^.^ +
.... + y2 (տ” — 1ժ).^«—"1—1 j oder:
y (e’"d) = #֊”ł(y2(d) + у2 (ed) . -f- y2 (e2 d) . Հ^2 -f-...
y
*
(,"-^W-i) ... (31) da &n — 1 ist ;
d. h. ip (e M 6) — m (ip â)
und ipâ = & m . ip (sm d) ... (ջշ) Es ist aber ip (e’"d) dieselbe Funktion von y2 (e"'d) wie ip Ժ von y2 d, oder
V (Ла) = % [у2 («"»а)]
also nach (32) (a) = »wx [y» (ewd)]
und dieses zur я ten Potenz erhoben giebt
W" = (x [</ (/"d)])" ... (33)
Setzt man in diese Gleichung für m der Reihe nach die ganzen Zahlen 0, 1, 2, 3 .... n — 1, so erhält man n Gleichungen und durch deren Addition wird
n (ÿ d) = (z(çdd)) + [z(y2 (e d))J + [% (<p2 («2 d))J + . . .
(z Ѵфг (e'1 1 d)]) ... (34) wo das zweite Glied eine rationale und zu gleicher Zeit symmetrische Funktion von den Ausdrücken cp2 d, <p՞ (e d), f/)2 (e2 d), . ... <f2 (s d) ist, d. h. eine derartige Funktion sämmtlicher Wurzeln der Gleichung U — 0. Da sich dann so
wohl die Produkte wie die Summen der Potenzen der Wurzeln durch die gegebenen CoeíTizienten dieser Gleichung ausdrücken lassen, so ist (il> â') durch diese be
kannten Grössen gegeben und es sei demnach (</' մ) ՞ = v und гр մ — y v.
Wir wollen nun die n verschiedenen Wurzeln der Gleichung Հ> — 1 — О, von denen eine & = cos —— -f- isin ——— ist, mit 1, -O-, г)xA3, • • « •
;յ n 1 bezeichnen, da dieselben mit ihren Potenzen zusammenfallen, und die ver
schiedenen Werthe der Funktion ip Ժ, wenn wir successive darin die Wurzeln Ժ,
&1, ... 'S-” 1 setzen, mit )՞ր2, fu,... ausdrucken, so er
halten wir die Gleichungen :
յ/յղ = ժ-}- Հ?-. y2 (տժ) ֊b &1 •q>՜ Լէ՛1 ժ) + Հ>3 .țf’ (e3 մ) ...#" 4 țp * (e n 1d)j ]/i>2 = ժ + Ժ2 . y2 (e ժ) + -ծ՛4 . Հթ’ (б2 ժ) . у2 (ճ3 ժ) + . •. * I
(տ"-1Ժ)/W у'г3 = у2 ժ + . y1 (s d) 4- »6. y2 (í2 ժ) + յՉ-՞ . г/ (í3 ժ) 4- • • • I
^Յո-3, у: ((Ո-lJ)/
4
(35) /"n-l — . y2 (i Ժ) + #2n-2 . y * J)_|_j.3n_3,y« ( S3 մ),,.Հ
jnd ^(n-l)2y2 (£"֊1J). Í
— p — ^>2 մ + țp2 (í Ժ) -f- țp2 ($2 մ) + փ2 (б 3 ժ) + ... Ç)2 (í' ։ -ľj) / von denen die letzte als die Summe sämmtlicher Wurzeln der Gleichung U = О dem negativen Coeflizienten p des zweiten Gliedes in derselben gleich ist.
Hieraus erhält man die einzelnen Werthe von (Ժ), y« ($ մ), (£շ ժ) etc>
auf eine einfache Weise dadurch, dass man die Coeffizienten dieser Grössen in den verschiedenen Gleichungen = 1 macht und addirt, indem sowohl die Summe:
1 ֊I֊ & + + ¿s + ... Ք«-1
als auch die Summen der positiven wie negativen Potenzen dieser Grössen vermöge der Gleichung Ձ " — 1 =0 alle gleich 0 werden. Um y2 (e"'d)
durch Ь- т , die zweite durch -!)■
den müssen; dann verschwinden
zu erhalten, wird die erste dieser Gleichungen
”, die dritte durch &3 u. s. w. dividirt wer- durch die Addition sämmtliche Glieder auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens äusser (/"<)) Hnd es resultiert
• • • • (36) als diejenige Form, aus welcher die einzelnen Wurzeln sofort abgeleitet werden können, wenn man dem m dieWerthe 0, 1, 2, ... «-1 beilegt, und in der z.B.
der Coeflizient von. y2 (s /l Ճ ) sejn „ ;;г(]е.
, (l'—in) n
we“ ՛* =1, der immer =0 ist.
Es zeigt ferner die Gestalt der Gleichung (36), dass, wenn n von der Form ist 2^՜\ d. h.
rL+pr_l = շք * ֊ 1 oder = 2^+ 1
2 (t/, Ժ) =
die Wurzeln der Gleichung Z7 = О nur von Quadratwurzeln abhängen.
, y2
.... g)2 լ } abgeleitet, so erhält man die entsprechenden
( 2to i „ í (« — I) to լ .
ІТСУТН •••• ÿ Г«-¿H» wenn man ш le
seiben für 4՜ ։' setzt — г, und durch die Additionsformel der elliptischen Trans
cendentei! somit den Werth für to
a — ß г
Hat man so aus der Gleichung (36) die einzelnen Werthe von
**• life’
für <[- Í I
Diese vorstehende Theorie der Division elliptischer Funktionen hat an der Fiinf- theilung der Lemniskate ihr einfachstes Beispiel. Es ist für dieselbe « = 2, ß — 1, n = ———Ճ — = 2 und die Wurzeln der Gleichung tJ- "— 1 =0 sind hier -f- 1 und — 1.
Wir wollen nun </)2 = «2 und, da von «2 ß2 oder 5 die primi
tive Wurzel = 2 ist, = a,2 setzen, so wird nach (27) гр ò ֊ a2- —
гр 2.Ò — а,2
a2 (1 — а4) (1 + 0 2
а,2 (1 — 0) (1 + О) 2
und hieraus durch Substitution in die Gleichung (34)
(37)
für die erste Wurzel Չ = 1:
(38)
oder
2 (ib մ) 2 = П + «/) 4 («20 4՜ 12 «լ 6 + 30 ft12 — 36 ß» + 9 в4) \ [(1 + «4)(1 + И/4)] 4
I (l + «4)4(g>ai>+12«?»+30g>ia—36 а,» +Я„.4> • (39) [(1 + « 4 ) d + ß,4 )] 4 . ֊է
z
— JV
ein Ausdruck, in welchem Zähler und Nenner rationale und symmetrische Funktio
nen von ß2 und «,2 oder von den Wurzeln der Gleichung U' = 0 sind, die für unsern speziellen Fall schon als
7? — (1 — 21) = 0 angegeben war und für welche ferner
ß2 -f- ß,2 = 0
«2«,2 =- (1-2г) ist.
Ordnet man aber die Gleichung (39) und zwar zuerst den Zähler nach den symmetrischen Verbindungen von ß2 und a,2, so wird
2W (ipd) 2 = ßZofß/o 12 (йіб _f_ 30 (Й12 а, 12) 36 («" + «,') + 9 (ß4 + ß,4) + 4 ß4 ß,» ' E«16 + «,,fl + 12 («ւ2 + ß,12) + 30 (ß8 +ß,8) i
— 36 (ß4 + ß/) -f- 18] + 6 ß8 ß,s £ai2 4_ й/і2 І +12 (ß8 + ß,8) + 30 (ß4 + ß/) - 72 4- 9 (A 4-A^j I
4֊ 4 ß12 ßz12 [ß8 4֊ ß,8 4֊ 12 (ß4 4- ß,4) 4- 60/ ‘ ‘ (^1), -36(14--L)+9(14-^)] + g:"«,"[«4fß/
+ ^ + 36 (l + ^)_36¿ + ^) + 9 Ճ +
oder
2 IV (է// մ)2 == «2 0 + «,2 0 + (“16 + «,16) (12 + 4 a4 a,4) + (a12 + «,12) \ (30 + 57 a4 a,4 + 6 a8 a,8) + (a8 f «,8) (— 36
4-146 «4 a,4 + 36 «8 a,8 + 4 a1 а«,12) + (a4+«,4)^ . (42) (9 —90 a4«,4 —24 a8«,8 4-78 a42 a,42 4 «46a,46)l 4 72 «4 a,4 — 432я8 a,8 4 240 a43 «,42 4 24 a46 «,46 / Aus den Gleichungen (40) ergiebt sich dieser Ausdruck als Funktion von (a3 a,3) oder von a a, ; denn es ist
«4 4- a,4 — — 2 a2 cc,2 \ a8֊j-a,8 = 2 a4 a,4 I
«42 + «,42 =—2«6«,6 \ ... (43) a 16 4՜ a,i6 = 2 a8 a,8 i
«2°4-«,20 = — 2ai»c,i»;
und es verändert sich somit die Gleichung (42) in folgende:
2 N Լ-փ ժ)2 = -2«18 «,18 4-32«ւ6 a,16 — 168 ft14 «z14 4՜ 320 a12 «z 12
— 188 «,i° — 96 «s a/s 120 a6 a/ — 18 a2 «,2,
— — 2 a2 «z2 (a16 az16 — 16 «14 «z14 -j- 84 a12 a,12
— 160 «i» a,10 f 94 «8 «,8 + 48 «6 «z6 — 60 «֊» «,4 + 9) oder
bp Ժ)2 — — a2 a,2 C«8 a,8 — 8 ci6 к,6 —10 a4 a,4 — 3) 3
— (44)
Auf eine ganz analoge Weise erhält man aus (27) und (34) für die zweite den Ausdruck:
«4 («s + 6 ez4 — 3)2 a * (ß,e 4֊ 6 a,4 — Յ)2
d + « * r (i + «,4)4
(1 4_ K4)4 (a20 4- 12 «16 30 «12 — 36 «8 4- 9 «4) [(14-a4) d + «,4)]2
(1 4- «,4)4 (a,20 4- 12 a16 4- 30 «4 2 — 36 4- 9 «,4) [(I 4՞ “4) (1 4՜ «/4)]2
in dem sich eben so Zähler und Nenner als symmetrische und rationale Funktionen 5
. (45) Wurzel & = — 1
2 (y,d) *
oder
2(<М)2 =
von ce2 und a,2 oder den Wurzeln der Gleichung U == 0 darstellen lar sen. Es wird nämlich nach ähnlicher Weise geordnet die Gleichung (45) :
2IV(^, Ժ)2 = («20 + a,20) + («16 + cr, * 6) (4 a4 a,4 — $) + (« ** f a,12)' (14 4- 9 a4 a,4 + 6 ct6 a,8) f («" f «Հ) (- 20 f 156 a4 a,4 I -44 a8 a,8 f 4ct * 2tt, * 2) f («4 f ct,4) (25 փ 70«4 a,4 (46) + 4 a8 ct,8 — 2 a12 ct, * 2 + et * 6 et, * 6) f 200 ct4 ct,4
— 240ct8 a,8 + 112 ct * 2 ct, * 2 — Set * 6 ct, * 6 ) und, wenn man die Summen der Potenzen von ct2 und ct,2 aus den Gleichungen (43) substituiri :
2 N ty, մ)2 = — 2 а * 8 ct, * ? _8а* 4 й,і4 32 et * 2 ce,*2 — 28а * °а, * 0 4
* 64 а8 ce,8 — 168 ce6 ce,6 4~ 160 а4 a,4 — 50 а2 ce,’
oder
(ł,շ - - + 2^«.‘-8»ł «,■ + »>■., . . , (17) Für den Nenner AT leitet man aber:
N = [(1 4- «4) (1 4- «,4)]4 = (14- «4 4- «,4 + «4 а,4)4 i
= (1 — 2 ct՞ ct,2 4՜ t<4 °v4) 4 = (1 — «2 ct, 2 )8 j " ՝ ՝ ab, und es ist somit aus der Verbindung von (44), (47) und (48)
und hieraus :
a a, («8 «,e — 8 cf or,4 4՜ 10 or4 a,4 — 3) \ (1 -- Ot2 (Հհ2)4 f a or, (о:8 «,։+2а<о,1 — 8 «2 а,г 5) [
(1 — «2 «Հ3)4
փ' Դ1
( m } г « «, (I — « 2 а, 2 + 6 а4 «,4 — 4 а՞ а,6 + а8 а,8 )
I "2+7.1 — ( 1 - «’ ֊ «,'? ֊г а а, ( 2w ) 4г««, (I — «2 а,2—а4 «,4 + «՞ «/)
(2+71 ~ (1 — «2 «, * ) *
4г««, (1 + К/2) (1 ֊ «2 а,2)2
- (50)
Dieselben Werthe hätten wir eben so schon
(51) und л-2
ci1 օՀ den Werth Հ2 i — 1 setzt. Hierdurch wird gleich-
— ։Հ2։ — 1
wo man den zweiten dieser Ausdrücke in den Gleichungen (50) wieder findet, wenn man in tp2
zeitig den Relationen der elliptischen Transcendenten und den der Wurzeln einer Gleichung Genüge geleistet, und es ist endlich :
to
* 2+7 2 to Գ "2+7
aus der Gleichung ¿r4 = (1 — 2 г") ableiten können, sollte diese Auflösung derselben nicht als Beispiel der oben gegebenen Methode dienen; denn es ist daraus:
■r2 = y2 |-շ} = У 1 — 2i = i У 2г — 1
Verwandeln wir aber i in —г", so ergeben sich daraus die Gleichungen : 9 äZľ? = հ + i
<f> -77—7Ț = — « У1 + 2 «
(52)
Nach den Grundformeln (6) der elliptischen Funktionen aber ist:
oder, die Werthe aus (51) und (52) substituiri :
4 4
V 1 — 2 г У — 2Í + У 14-2» У 2 г
9 5 Г+У֊5---
Es ist jedoch V—2í = 1—i und У2í = 1 + Ъ so dass
2 ist, folgt :
i 1 — 2 Í
/з+j/XLU
4 2
9 ã""=THÃ5
2 l + j/5
гр — Ы — —*) V 1 — 2 г Ч~ (1 4՜ *) V 1 + 2 г
5 1 + УЗ-
und hieraus, weil
= |/b + ț/-i^
УТ+27 = j/]
’+^ (трг) für die ans (52) und (54) substituirten Werthe
<p~= —^7^27 — (í +1) V1 + 2 i
5 14-У5
Ganz auf dieselbe Weise giebt uns die Gleichung:
’ (Ír + т=т)______________
_ Գ ť1 ՜ ч* 4 (ճ7) + У
]/5f
Die beiden Ausdrücke für <p ~ und g>
. . (56)
die mit siebenstelligen Logarith
men berechnet resp. 0,52047 und 0,933522 geben, entsprechen auch der Relation der elliptischen Funktionen, dass
oder der halbe Bogen des Zweiges der Lemniskate für die positive halbe Axe und z die Cliorde dieses Bogens als Funktion derselben = 1, d. h. z = cp — = 1֊ dagegen für diesen ganzen Zweig war z — cp ա — 0. Es werden also für diesen Tlieil der Curve, wenn wir die halbe Axe a zurück substituirea, die Werthe dieser Chorden А B, A C, AD, A E, be
zeichnen wir sie resp. mit zlf z2f z3} zi, die der Funktionen <p <p
6
Ausdrücke, die, wie man leicht siebt, sich durch Zirkel und Lineal allein con
struirea lassen, da sie nur von Quadratwurzeln abhängen.
Nimmt man aber auch den Zweig für die negative halbe Axe (— a) hinzu, so ergeben sich aus der Periodizität der elliptischen Transcendenten so wie aus der Relation von (57) für die Fünftheilung der ganzen Figur die Chorden A C, AE, AI, AG und deren Wertlie als folgende :
und somit die vollständige Lösung der Aufgabe.
Für die Siebzehntheiliing derselben Curve geben die Formeln (7), darin « — 4 fj und ß = iö gesetzt :
•••• <60) Um diesen Ausdruck als Funktion von p Ժ zu entwickeln, benutzen wir die Gleichungen (12), nach welchen
* « -
ist; und hieraus wird, cp Ժ = x und <p4d = % gesetzt, da cp Ճ = г cp ô und epi (í Ժ) = r/>4 Ժ ist, zuerst :
« (t+.•) » - ±ո^ճԼճ^ւճՀճւճ1±ճ:.. (61)
Wenn aber cp 2d hier genannt wird, so dass
. = „a trrvr „ / — 12 {/12-¡-¡/iß
7Ť
ÍIUlLlV ÏU
. (63) . (62)
: Գ (4 + г^ Ժ (1 + у4)8 — *2 . 4շ/2 (1 —^4)
folgt, so erhalten wir durch die Substitution von
Г) =₽» v - (if у4)«
ist, woraus dann :
2 у V 1 —շ/4 (1 -ру4) У 1 — „г4 -р іх (1 — 6 у4 -р у8)
« “пт/ Հ ľi-r -- 1 (ХУ
den Endausdruck :
y (4 + г) մ =—
wo Z = 4 x (1 — .r4) (1 x“) [(1 л?4)4 4՜ 16 л-4 (1 — ¿r4)?]\
[1 —6-r4 4-.<| f г x [(14-.r4)8-6 (14-x»)d
16 x4 (1 —л-4)2 4- 28л-8 (1— л-4)4] \und N — [(1 4-x4)4 4- 16л-4 (1 — л-4)2]2 — 16л-4 (1 — л-4).|
(i — 6 л-4 4- л-«)2 (i 4- л-4)2. j
Auch hier hat, wie bei der Fünftheilung, der Ausdruck im Zähler und Nenner einen gemeinschaftlichen Faktor ; es ist nämlich
N = 1 + 24 .r4 + 524 ггs _ 1400 л՝12 4-886л-ів _ до8 л-20 -f 748 л-24
— 136 л-28 4-17 л-s2 oder
N — [1 24 л-4 4՜ 124 л-8 — 280 л-12 — 378 л-16 4-424л-2" 4. 380л-2»
— 40л-28 4-.г32] 4- [400л՛8 —1120.г12 4- 1264Л-1 б— 832л,2о 4-368 л-24 — 96 л՝28 4- 16 .г32]
= (1 + 12л-4 — 10л8 — 20л-12 4- л-іб)2 4- (20л-4 — 28л8 4- 12 л-12 — 4 л-i б)2 ;
und die Summe dieser Quadrate in die imaginären Faktoren zerfällt, giebt:
N ==[1 4֊ (12 4-20г)л-4 — (10 4-28 г) л-8 — (20 — 12¿)^12 4- (1— 4 í) л-i e] [1 4- (12 —20 г) л-4 — (10 —28 г) л-8
— (204-121՛) л-12 4- (14-41) л-i б]...(64)
Für Z aber findet man Z = ixZ,, und
Zf = * ( 1 — 4i) — (88 4՜ 56 г) ж4 4. (92 4~ 588 í)
— (872 4֊ 728 ։') л՝12 4֊ 1990 .r16 — (872 — 728 ,*) x20 + (92 — 588 г) л-24 — (88 — 56 г) л՝28 4֊ (1 4՜ 4 «) ¿ѵ32 z, = [1 — 4։ — (20—12։) ** — (10 + 28 г) * » փ (]շ փ 20։) * xa
+ * 16] [1 + (12 —20Í) * 4 —(10 —28։) * տ — (20+ 12։) * 12 + (1+4։) * 16] ... (65) und somit wird, nach der Division von (64) und (65) durch den gemeinschaft
lichen Faktor:
a, (4 _u л А — 4։՜—(20—12։') ** —(10+28։՜) * 8+(12+20։') * ւ2+.ր1 6]
1+(12+20։)
* ’ — (10+28։) * 8 -(20-12։>Ï2+(ÏZ74Î)7
ïïï։( 66) ein Ausdruck, der, abgesehen von dem Faktor * ։', in Zähler und Nenner symme
trisch ist in Beziehung auf ** und Հ-, wie wir es auch bei q> (2 + ։) ô fanden, ՜ und der, wenn man Ժ = ■֊—r setzt, wodurch գ (4 -j- ։) d —0 und æ = m
* г ‘ ' 4 -j- i
wird, die einzelnen Werthe von y« 9* -֊L^ etc. nach der oben an
gegebenen Methode nur durch grosse Rechnungsschwierigkeiten finden lässt.
Wir dürfen uns jedoch aus derselben nur an 2 «
4+7’
die 8 verschiedenen Wurzeln der Gleichung :
den Beweis erinnern, dass
■z՛ 16 H՜ (12 4՜20։') — (10-(-28 г) x8 — (20 — 12 г") .r 4 -f- (1 — 4г) = 0 . (67) sind, da sich deren Wurzeln durch die unmittelbare Auflösung derselben leichter finden lassen.
Wir können nämlich dieselbe auch unter die Form bringen;
[^16 + (124-20 t)-r1* ֊ (46 — 116 г) xs ֊|֊ (148 -f * 156 í") .r4 (77 — 36 í)]
í~ Ö6 — 144 ։) .r8 4- (168 4՜ Ш i) xi -J- (76 — 32,')] = O
oder
(.г-8 4-(6 4֊ 10 O .v * 4-9 — 2 г)2 ֊(6ť.t4H2’)2(l֊í։) = О und hieraus werden leicht die Faktoren abgeleitet:
л-8 4-(64-Юг‘+ 6ť /1 —4։)jr * 4-9 —2«4- (4 4֊ 2$ť 1-4» =01 .r8 4-(6 4- Юг — di fT—4'0 л-4 4՜ 9 — 2 г — (4 4՜ 2 ’) 1՜1 — 4 í = 01 ‘
Aus der ersten dieser Gleichungen folgt zur Bestimmung von .r:
■ Л-4 + 3 + 5 ; + 3 i Уf V — 34 + 68 ; — (34 — 16 ŕ) У 1 ֊ 4 i = о д.4 4_յ_|_5 ;_|_յ ; у 1 — 4 г' — |/ — 34 + 68 і - (34 - 16 і) У 1 —Ti — О
oder
4 \
ж<+34-5« + 3»У1— 4 г + У1 — 4 * (1 4г(2г — 1) У1—4«) = О| ((jg) д.4 _|_3_|_5j¿_3։|/ 1 _4І — У 1 — 4г (if 4г f (2։ — 1) УІ=4к) = új aus der zweiten dagegen :
.V1 -]-(3-{- 5г") — 3г" V 1 —4 г" + V 1—4 г" (г"(1+ 4г") + (2 + г") 1՜ 1 — 4 г") = 0| (7(У) л.< 4_ (3 + 5 г") — з і У1 — 4 і — у 1 — 4 І (г (If 4 г) f (2 f չ) V 1-4 г") = oj
Die 4 Gleichungen (69) und (70) geben dann die 8 verschiedenen Werthe von .r2 oder von y2 {jZpb tîȚîj’ * " ' * 9,3 ЬгрЬ' welche, wollte man die irrationalen Formen beibehalten, in demselben Maasse komplizirt wie die bei der Fiinftheilung einfach sind, wenngleich sie nur von Quadratwurzeln abhängen.
Die Berechnung mit siebenstelligen Logarithmen ergab für die 16 verschiedenen Wurzeln der Gleichung (67) folgende Werthe:
4________________ __________ _
•*■1 = ± v — 13,225917 — 20,307364 г' , .r.2 ֊+г'.г:, x3 = У — 0/271813 4՜ О,/04456 i , л՝4 — ¿։л՝3>
4
= ՜՛ V 0,094526 — 0,126507 i , л՝в = [Ա г .r., 4__________________ ______ _
— ֊Է v 1,403204 — 0,270585 i , .rs =Tt'xr.
7
Verwandelt man überall in diesen Ausdrücken das Zeichen von i, so erhält man die Wertlie von y2 » <քղ | ՜Հ~{} ' ' ' ť {’ und h,eiails mit Anwendung der Summenformel :
die verschiedenen Theile der halben Axe a als Chorden für die Siebzehntheile un
serer Curve, die wir mit wn w2, w3 . . . ws bezeichnen wollen, und bei denen die Möglichkeit einer geometrischen Construktion einleuchtend ist, da sie nur von Qua
dratwurzeln abhängen.
Der Gang der Rechnung wird am einfachsten, wenn man die Ausdrücke von (71) in die Form bringt;
4______ 4 _______
.r, == + / « + b i = + Y r (cos <f 4՜ І sin y) und (1 «) 4՜ b i = q (cos ip 4՜ ։ 81Ո
und auf eine analoge Weise die Indices ,, 2, 3 bei .r3, ,r6 und x7 anwendet.
Dann erhält man aus den zusammen gehörigen Werthen von .?• ; 2 Y r Y Q cos (-£- 4- y)
"i = + --- j _|_ --- --- a — + 0,4606045 a.
շ y v V e sin (-|- 4-
«2 = + --- 1՜4-՜» * --- « = + 0,7446965 a
2 Y r, Y e, cos Լճէ 4- ^֊)
«3 — ± --- г֊г---« = + 0,9479800«
շ Yr<Ye-si» (֊г 4- ф)
“4 — ±--- i "X՜՜---« = ± 0,8613340 «.
2 yr2V?2 շօՎՀ + Ș)
+ --- T—T--- a = լէ 0,9940963 a
«6
V
r2 V Չ
ճ sin+ ^
ț)
ï + r2 a = ± 0,3093421 a.
2 yr, Уе, COS (ÿ- f
± --- -Ï-T—:--- a = + 0,1540212 a 2 yr3 V(?3s!n(ÿ + %
+ --- 1--- i ľ--- a = + 0,6080997 «.
Von diesen Ausdrücken entsprechen auch w3 der allgemeinen Relation :
շ «T ý i — (wT)4
“6 ~ 1 + («r)4 etc.
wT, W6, «8» Ua> SO wie «X, «4, «2,
WT У 1 — (Wg)4 + "б У' 1 ~ (* т) * und “і ---ГТК)2 («т)2
Wir haben demnach in dem positiven Theile der halben Axe der Curve ит für die Theile
w լ
Ȋ - -
« 3 - “ w4
Wj • • —
*S ” - dagegen in der ganzen Curve ist:
1 und 16. des Bogens, 2 und 15. -
3 und 14. -
4 und 13. -
5 und 12. -
6 und 11. -
7 und 10. -
8 und 9. -
Conitz, im Juli 1846.
M
. = 0,3093421«; У
9 со= — 0,1540212 a;
17 17
2ы
■ = 0,6080997«;
ч>10«
« - 0,4606045 a;
17
17
Յա = 0,8613340«; Գ Uro == — 0,7446965 a;
17
17
4(о
• = 0,9940963 «; Գ 12« = — 0,9479800 a;
17
17
5(o
= 0,9479800«;
Ч13«
= — 0,9940963 a;
17
17
6(0
= 0,7446965«;
Ч> '14«
= — 0,8613340 a;
17
17
7(o
= 0,4606045 а ;
Ч15«
= — 0,6080997 a;
17
17
8(o
= 0,1540212 « ; Գ 16«
= — 0,3093421 a.
17
17
S
*
d)ithirtdjrid)tfit.
britet ^Xbfdjnitt.
ȘBHIgcmeiite gebrijetfâffnog»
%) r t m л.
dSrbiítaríuS : Sptofeffor Ջ í ո ծ ŕ игл n n.
A. S v ľ « d) c n.
ï. Ջ n: t f d) c Sprache. Die fünfte unb fedjéte фегіоЬе ber beutfdjen Íiííerafttr, nad) Äoberfhin. 8?erbc|Jerung ber Slnflaße un b Leitung ber freien Sortrage un b ber ^ribíitícmlre. 3« ber Äíaífe tourbe <3d)¡Her’á Sell gelefen unb erflárt. 2 St. £г. ^rofeffor ßinbemann.
II. 8 a t e i u i f d) e (Sprache. Cic. Brut. Die Ueberfefeuńg bcutfd), bie Erfldrting lateinifd). Eurforifd) tv űrben geíefen bie Sieben pro Marcello, pro Ligarlo, pro Dejotaro unb pro lege Manilla. Sorrectur ber freien lateinifd)en 21 r#
beiten; Extemporalien; @rammatif nad) Rümpft Syntax« ornata. QJriöat#
lecuire : Tacit։ Germania, ti Stiiubeii. ціп Sßinter Jpr, Dberleljrer Dr.
Sdjitlțș; im Sommer ýr. Dr. ȘpeterS.
1
«5ud?eé. 2 Oí. Sritgg emann.
Hl. @ried)ifche O p r a d) e. (Einführung in ben «plato; SIpoIogie unb Suthppbro.
«Schriftliche Hebungen; ©rammatif. фгімгІеПйге: £erobof. 4 Ot.
Srűggemann.
Hom. II. VI. bié IX. ind. Sie Ueberfegung beutfeh,. bie (šrílárutig laŕeb nifd). 2 Oí. фг, SPtof. Einbemann.
IV. granjófifdje ©pra d) e. Montesquieu : Considerations sur les causes de la grandeur etc. eon chap. 6 bié 14. Sie (Erflárung juin Shcil franjóftfdj.
©rammatif nad) (Eaéperé. Correcíur ber fd)riftlid)en Arbeiten. 2 Of. Յա Sßinter £ր. Oberlehrer Dr. ©cbulg; im Gommer Հ»ր. Տթրօք. Einbemann.
V. «Pol nifd) e G p r a d) e. Gelt Odern bie (Elemente ber polnifchen Gprad)lehre, nad) «Popliúéfi. 2 G t. ýerr G tep í; an.
VI. £ebraifd)e Oprad)e. 5)Jrofaifd)e un b poetifd)e Gtdďe aué bem Eefebud)e Pon ©efeniué; bie Ueberfegung ;um Shell beutfd), ;um Shell lateinifeh. gor«
menlef;re un b ©pntap nach @efenlué. 2 0í. ýr. ôíeligionélehrer Shamm.
B. gßiffenfWeiL
I. Dieíigionélehre. 1.) gúr bie fatholifdjen G ch ú! e r. Síeíigionžlehre beé 21. un b 91. S5unbeé. 2 G t. J?r. 9í.»E. Sham m. — 2.) gúr bie eoan«
g e l i f d) en ©chuler. Sie «llugéburgifd)e (ľonfeffion; bie Spegefe ber Slpoßel«
gefd)id)te beenbigt unb bie béé Síómerbriefeé angefangen. 2 ©f, ýr. ©и»
perintenbent Slnneďe.
II. ÇPhilofop[)ifd)e «Propábeutif. Smpirifd)e «Pfpd)ologie, nach $iunbe. 2©t.
•&r. «Prof. Ein bemann.
III. ȘOîathematif. Sie Sinfeéjinfen * unb Dîenfenredjnung, bie arithmetifchen«Pro»
greffîonen höherer Orbnung unb bie figurirten Wahlen, bie entroiďelung ber
guttftionen in Leihen mit befonberer Seriidfichtigung ber logarithmifcgen
unb допіотеегіГфсп gunftionen. SBieberßoIung ber trigonometrie unb bie Äegelfc^nifte. 4 (gէ. £ր. Dberkßrer SB ։ ф e r f. ^апЬЬІіфег: (Srunerťá Beßrbud) ber SDíatíjemaťif unb ber Beitfaben von SJiattßiaé. Singer тапфеп in ber Sd)uk bei (Sekgenßeit ber vorgetragenen Sá§e рф barbieteiiben Aufgaben Würben ben ©фпіегп ber 3 obern Glafien йПе 3 Жофеп поф ()аиёІіфе Arbeiten gefieDk unb Vom Beßrer corrigirt,
IV. @е(фіфее unb ©eograpßie. (ЗеГфіфіе bečSDîittelaïteré, паф <pú§. SBk«
berßolung her (Seograpßie. 2 St. £r. ißrof, Binbemann.
V. ipßpfif. O?atßematifd)e ©eograpßie unb bie Sîorbegriffe ber agronomie; bie
©tatif unb 50?ефапіЕ feßer iîSrper mit ber notßigen matßematifdjen S5e * grunbuug. 3m ÖBinter 2 St.; im Sommer 1 St. Jj>r. D.»B. SB i ф e r ŕ.
£апЬЬиф: Sluguß’é Síliftig au¿ gifd)er’¿ тефаш'Гфег Biiaturkßre.
VI. ïîaturgefd)id)te. SBieberßolung ber ЭіаіпгдеГфіфіе. Seit ßßern 1 St.
$r. 6>.«B. J? a u b.
SBa&renb bež Sommerßalbjaßreö unterhielt fid) ber Dirigent in befonbern Stunben mit ben Sdjúkrn her SPrima über Slnorbnung unb ©пгіфіипд beč аса * bemifdjen Stubiumź.
Веснин
iOrbűtartuö: im SSiitterfemefter ^err ¡Oberlehrer Dr.
im Sommet ^err ¡Oberlehrer £Sid)ert.
А. ©ргафеп.
I. ՏօսէքՓօ бргафе. Sißetorif паф Mullenberg; gorrectur ber Sluffa'çe unb Beitung ber freien Vorfrage. 3 St. 3m ÎBinter ýr. sprof. Bin bernai։ n;
Im Sommer £r. £).«B. £Віфегк
II. Bateinifcße S p Г a d) e. Liv. lib, V. Cic. oral, pro Arabia, in Catil. I. II.
Sie erfle Satilfn. Siebe würbe memorirt unb in (ргафііфег, wie in fad)«
Correcŕur ber pereiden unb ber bon Slbtțjeiluttg L gelieferten Eluffáge; @р»
temporalien; ©rammatd nad) Sumpt: bie gețjre vom ©ebraudje ber Sent»
pora u. f. ГО. bid jut syntaxis ornata. 6 ©f. $r. Զ. »g. Dr. ©cf)uițș;
im Sommer J)r. Dr. ®?oiéjíéét¡ig.
Virg. Aen. lib. IX. unb X. Sorter ein UeberbiicE uber beé Sidteré geben unb ©djrifteii. 2 ©f. Sruggemann.
III. ©riedjifd)e ©pracbe. Xenoph. Mem. lib. I. II. cap. 1. Œieber&ohmg be r unregelmäßigen geittvórter; ble We von ber Sßoribilbung unb ben фаг»
fdeín; ©pntoy §§. 122— 139. nad) Suttmann. (forrectur ber fd)ťiftlid)en Arbeiten; Setemporalien. 4 ©t, £ր. Dr. 9)íoié¡iééf¡ig; im Sommer фг. Dr. $enber,
Hom. Odyss. lib. IX. X. XI. 2 ©f. J?r. Փրօք. gin bemann.
IV. grai1¡Ófifd)e © P r a d) e. Histoire de Charles XII par Voltaire, liv. II.
©rammatd nad) Saéperé: ȘBieberțjolung béé SBid)tígfrcn aué bér gormen»
leÇre; bie unregelmäßigen Serba; ©patay; gorreétur ber fd)riftlid)en El r#
beiten. 2 Sr. J5r. O. »g. Dr. S d) u Ig; im Sommer JȘr. Փրօք. gin#
bemann.
V. фоІпіЕфе ©prade. Sie Elnfatigégrúnbe ber polnifdjen ©prădare «И Spoplińźfi. Seit D (Խո 2 ©f. £r. ©tepßan.
VI. J?ebrâifd)e ©prad)e. gormeníeljre ; Einleitung ¡um gefeit unb ¡um lieber#
fegen nad) ©efenitié. 2 ©t. -Çr. Ä.#g, $ßamm.
B. 5Biffenf(^af.kn.
r. ^eligionéießre. 1.) gur bie fatí)oíifden Sd)úler. SDíoral. 2 ©f.
£r. 9î.#g. S i; a mm. ֊ 2.) gôr bie e v an g e (i f фен ©фиіег. ®.
íprinta.
II. ®atf)ematif. SEieberțjolttng ber gețjre Vott ben ©Іеіфппдеп beé erßen ©rabeé
mit mehreren Unbekannten unb ben ©leidjungen beé jtveitett ©rabeé, bie
Kettenbrücke unb beten Slnwenbung bei ber Stuflófung unbefiiinmter ©lei»
ckungen bed criben Srabed. æieberbolutig ber Sebre von ben proportionen an gerablinigcn ebenen giguren unb am Kretfe uub ber Seredjnung földjét giguren; bie Stereometrie. 4 Sí. £r. £).«£. SBid)ert.
III. @efd)id)te unb SeograpȘie. @efd)id)te bér Díőmer, mid) Pű&. 2. St.
£r. Prof. Sinbemann. (Srunbrifj bér allgemeinen ©eograpbie; S5efcí)reibung bér europaifdjen Sánber. 1 St. J?r. Dr. Sen ber.
IV. pkpfit. Sie Sc^re von ber Elcctrijitát, bem ©alvanidmud, Píagiietidmud, Electromagnetismul unb ben 3nbuctionSerfd)einungcn; ErHárung ber meteo»
rologifdjen Phänomene unb einzelne Slbfdjnitte aud ber phkiW« ®eograpl)ie.
2. St. $r. £>.»£. SBid)erf.
$ ŕ Г tí'«.
¡OrbíiiemuS: «Çcrr (S^mxiejtabSerrer Dr. Neuber.
A. Sț) та феи.
I. Seutfd)c Sprad>e. SBiebcrÇolung ber Sebre vom Sațje, nad) ýoffmann’S kod)beutfd)cr Sdjuígrammatif; bie Sekte von ben allgemeinen Eigenfdjaften beS beutfdjen Stildj Hebungen im Seclamiren unb Eorrecfur bet alle bre¡
ȘB3od)cn gelieferten Sluffage. 3 St. 3m ^3 intet * ýr. S.»S. ՏՃ i ф e r t ; im Sommer Jjr. S. »8. ý a u b,
II. Sateinifcke S prad) e. Caes, commentt. de B. G. lib. V. — lib. VII. bid cap.
32. Ser Slnfang bed lib. III. bed B. C. 2St. ©rammatif nack Sumpt:
®icber()OÍnng ber Eafudleíjre; SBortbilbungdlebre; bie Sempora unb Síobi.
— Eorrecfur ber tvod)entlicken fd)tiftlid)en Sltbeiten, nack Siginger. VI.
EurfuS. 3 St. £r. ®.»S. Dr. Sen ber. Píemorirubungen : 2lud Caes, de B. G. lib. V. würben bie erflen 18 Eapitel auéroenbig gelernt unb չոր Einübung ber ©rammattf benugt. 1 St. 3m SSinter %rúggemann;
im Sommer £r. S.»8. Dr. Sen ber.
2
Ovid. Metamorph, lib. VIII. — lib. IX. v. 325. Sîemoriren auégetodfjlter eteden. M)re bon ber Ouantítdt uub bom Scrfe, befonberő bom фера * meter. 2 ©t. g m gßinfer £r. Dr. Oíoiéjiőőfjig; im Sommer Jpr.
©f epi) an.
III. @ried;ifd)e Sprache. Slug bem fefebiidje bon Sacobő bie ílefopifd)ctt ga, bein, bie Sínelboten bon Staatsmännern unb Königen; anő brr Sőíferfunbe Sír. 16 — 20.; bie SInefboten bon ľacebamoniern unb gemifdjfe gabeln bip Sr. 3. unb einige mptțjoiogifdje Srjaf)lungen. Sluä Xenoph. Anab. lib. I.
cap. 1 — 3. — ©rammatir nad) Smttmann : £Bieberholung beő ȘJenfumS ber Űuarta ; bie geitíbőrtcr auf ,«<• unb bie unregelmäßigen Serba. Porree«
tur ber rood
