LISTA 41 Zadanie 1.
Uzasadnij, że iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych dzieli się przez 6 lub przy dzieleniu przez 18 daje resztę 2.
Zadanie 2.
Wykaż, że jeżeli 𝑎, 𝑏, 𝑐 są liczbami dodatnimi takimi, że 𝑎 ≠ 1, 𝑏 ≠ 1, 𝑐 ≠ 1 oraz 𝑎𝑏 ≠ 1, to zachodzi równość log𝑎𝑏𝑐 = log𝑎𝑐∙log𝑏𝑐
log𝑎𝑐+log𝑏𝑐 . Zadanie 3.
Ze zbioru {1, 2, 3, … , 𝑛} losujemy kolejno dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że pierwsza z nich będzie mniejsza od pewnej ustalonej liczby 𝑘 (1 < 𝑘 < 𝑛), a druga większa od 𝑘.
Zadanie 4.
Na płaszczyźnie dane są cztery punkty: 𝐴 = (1, 2), 𝐵 = (5, 4), 𝐶 = (3, 6) i 𝐷 = (0, 8). Przez punkt 𝐷 poprowadzono prostą 𝑙 prostopadłą do prostej 𝐴𝐵. Znajdź na prostej 𝑙 taki punkt 𝐸, aby pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 było równe polu trójkąta 𝐴𝐵𝐸.
Zadanie 5.
Długości boków trapezu ostrokątnego twarzą ciąg geometryczny. Ramię, które jest najkrótszym bokiem trapezu, ma długość 1. Krótsza podstawa trapezu jest krótsza od drugiego z ramion. Oblicz długość dłuższej podstawy trapezu.
Zadanie 6.
Dany jest sześcian 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o krawędzi długości 𝑎. Punkt 𝐾 jest środkiem ściany 𝐷𝐻𝐺𝐶, a punkt 𝑀 – środkiem ściany 𝐸𝐹𝐺𝐻. Znajdź długość odcinka 𝐴𝐾 oraz oblicz cosinus kąta zawartego między odcinkami 𝐴𝐾 i 𝐴𝑀.
Zadanie 7.
Wyznacz liczbę rozwiązań równanie 𝑎2+ ||𝑥 + 1| − 1| = 1 w zależności od parametru 𝑎.
Zadanie 8.
Motocyklista zaplanował, że przejedzie całą trasę ze średnią prędkością 45 𝑘𝑚/ℎ. W połowie drogi zatrzymał się na 10 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡. Aby nadrobić stracony czas musiał zwiększyć prędkość o 15 𝑘𝑚/ℎ. Jaką drogę pokonał motocyklista?
Zadanie 9.
Dla jakich wartości parametru 𝑚 dziedziną funkcji 𝑓(𝑥) = log2[(𝑚 − 2)𝑥2− 3𝑥 + 𝑚𝑥 + 1]
jest zbiór liczb rzeczywistych?
Zadanie 10.
Znajdź najmniejsze dodatnie rozwiązanie równania 𝑐𝑜𝑠𝜋
3∙ 𝑠𝑖𝑛4𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝜋
3∙ 𝑐𝑜𝑠4𝑥 =√3
2 .
