Ekonometria Praca domowa nr 2 Termin oddania: 11 stycznia 2019 r.; podczas ćwicze ń Jakub Mućk

(1)

Ekonometria Praca domowa nr 2

Termin oddania: 11 stycznia 2019 r.; podczas ćwicze ń Jakub Mućk

Kryteria formalne: rozwi ˛azanie pracy domowej, które zawiera odpowied´z na poni ˙zsze polecenia, nie powinno przekraczać dwóch kartek A4. Prosz˛e zał ˛aczyć odpowiednie wydruki z programu gretl, do których Pa ństwo b˛ed ˛a si˛e odwoływać przy udzielaniu odpowiedzi na zadanie pierwsze. Zadanie ostatnie nie jest obligatoryjne. Bardzo prosz˛e o zszycie Pa ństwa odpowiedzi.

Zadanie 1. Plik solvency.gdt zawiera dane jednostkowe o spłacalno´sci kredytów. Zmienne wchodz ˛ace w skład zbioru danych przedstawia poni ˙zsza tabela.

Tabela 1: Opis zmiennych Zmienna Opis

solvency zmienna binarna przyjmuj ˛aca warto´s´c 1 je ˙zeli klient spłacił kredyt oraz 0 w p.p.

age wiek klienta (w latach) assets maj ˛atek klienta (w tys. PLN)

urban zmienna binarna przyjmuj ˛aca warto´s´c 1 je ˙zeli klient jest mieszka w mie´scie oraz 0 w p.p.

history zmienna binarna przyjmuj ˛aca warto´s´c 1 je ˙zeli klient korzystał ju ˙z wcze´sniej z usług finansowych oraz 0 w p.p.

sq_age kwadrat zmiennej age.

(i) Oszacuj parametry modelu logitowego, w którym tłumaczone jest prawdopodobie ´nstwo spłaty kredytu.

Wykorzystaj pozostałe zmienne (age, assets, urban, history oraz sq_age) jako zmienne obja´sniaj ˛ace.

Które oszacowania parametrów s ˛a statystycznie istotne?

(ii) Korzystaj ˛ac z ilorazu szans zinterpretuj oszacowanie parametru przy zmiennej urban.

(iii) Zinterpretuj oszacowane efekty kra ´ncowe dla zmiennych assets i history.

(iv) Zinterpretuj wynik testu ilorazu wiarygodno´sci.

(v) Zinterpretuj zliczeniowy R².

(vi) Czy zale ˙zno´s´c mi˛edzy wiekiem klienta a prawdopodobie ´nstwem spłaty kredytu jest monotoniczna? Uza- sadnij odpowied´z powołuj ˛ac si˛e na wyniki odpowiednich testów i oszacowania parametrów.

(vii) Na podstawie uzyskanych oszacowa ´n oblicz efekty kra ´ncowe dla wszystkich zmiennych w zale ˙zno´sci od wieku klienta. Przyjmij, ˙ze assets= 1, a warto´sci zmiennych binarnych (urban i history) s ˛a równe 0.

Zilustruj otrzymane efekty kra ´ncowe przy pomocy wykresów.

Zadanie 2. Rozwa ˙z nast˛epuj ˛ace zadanie programowania liniowego:

f (x1, x2) = 10x1+ 15x2→ max (1)

p.w.

2x1+ x2 ≥ 6 (2)

x1+ 2x2 ≥ 5 (3)

3x₁+ x₂ ≤ 15 (4)

5x1+ 10x2 ≤ 50 (5)

(i) Rozwi ˛a ˙z metod ˛a graficzn ˛a powy ˙zsze zadanie programowania liniowego.

(ii) Wyznacz analitycznie zakres zmienno´sci współczynników funkcji celu, dla których nie zmieni si˛e rozwi ˛azanie optymalne.

(iii) Wyznacz analitycznie zakres zmienno´sci wyrazów wolnych dla ka ˙zdego z warunków ograniczaj ˛acych, dla których nie zmieni si˛e struktura bazowa rozwi ˛azania optymalnego.

1

(2)

Zadanie 3. Przedsi˛ebiorstwo Druidzi nie lubi ˛a deszczu sprzedaje trzy mieszanki soków: Nektar Biedronki, Ambro- zj˛e Hipopotama oraz Syrop Pasibrzucha. Powy ˙zsze produkty składaj ˛a si˛e z odpowiedniej mieszanki soków: jabł- kowego, czere´sniowego oraz bananowego. Poni ˙zsze tabele zawiera informacje zarówno o cenach produktów i popycie na nie, jak równie ˙z o dost˛epno´sci składników i ich koszcie. W kolejnej tabeli zawarto z kolei informacje o minimalnym oraz maksymalnym udziale składników w ka ˙zdym produkcie.

Informacje o produktach Informacje o składnikach

Cena Popyt Koszt Dost˛epna Ilos´c

[za litr] [w litrach] [za litr] [w litrach]

Nektar Biedronki 15 2000 Jabłkowy 4 4000

Ambrozja Hipopotama 17 3000 Czere´sniowy 10 4000

Syrop Pasibrzucha 19 4000 Bananowy 12 4000

Minimalny udział Maksymalny udział

Jabłkowy Czere´sniowy Bananowy Jabłkowy Czere´sniowy Bananowy

Nektar Biedronki 0.1 0.1 0.1 0.75 0.5 0.75

Ambrozja Hipopotama 0.1 0.2 0.2 0.6 0.4 0.4

Syrop Pasibrzucha 0.2 0.1 0.4 0.5 0.75 0.5

(i) Zapisz zadanie programowania liniowego, które pozwoli wyznaczy´c najwi˛ekszy zysk firmie Druidzi nie lubi ˛a deszczu na podstawie dost˛epnych informacji. Zdefiniuj zmienne decyzyjne, funkcj˛e celu, kryterium optymalizacji oraz warunki ograniczaj ˛ace.

(ii) Rozwi ˛a ˙z powy ˙zsze zadanie przy pomocy dodatku MS Solver. Podaj rozwi ˛azanie optymalne oraz warto´s´c funkcji celu.

(iii) Przedyskutuj wpływ ewentualnych zmian popytu na warto´s´c funkcji celu.

(iv) Przedyskutuj wpływ ewentualnych zmian w dost˛epnej iloci produktów na warto´s´c funkcji celu.

Zadanie 4. [Opcjonalne] Firma Czekoladowa kraina produkuje i sprzedaje produkty czekoladowe. Wykrozysty- wana przez Czekoladow ˛a krain˛e technologia produkcji pozwala na produkcj˛e czekoladowych kompozytów. Kom- pozyty mog ˛a być sprzedawane pod ró ˙zn ˛a postaci ˛a. I tak, w pierwszym kwartale Czekoladowa kraina sprzedaje Czekoladowe Serca, w drugim kwartale Czekoladowe Zaj ˛ace, w trzecim kwartale Czekoladowe Wianki, a w czwar- tym kwartale Czekoladowe Mikołaje. Ponadto, firma mo ˙ze magazynować wytworzone kompozyty czekoladowe pomi˛edzy kwartałami. Wiadomo równie ˙z, ˙ze na pocz ˛atku roku liczba dost˛epnym (w magazynie) kompozytów wynosi 200 i na koniec planowanego okresu liczba magazynowanych kompozytów powinna być nie mniejsza od tej wielko´sci. Szczegółowe informacje o kosztach, popycie, cenie sprzeda ˙zy oraz mocach produkcyjnych zawarto w poni ˙zszej tabeli:

Informacje o produktach Informacje o kosztach produkcji

Cena Popyt Moce produkcyjne Koszt produkcji Koszt magazynowania

(za szt.) (w szt.) (w szt.) (za szt.) (za szt.)

Czekoladowe Serca 12 700 Kwartał I 700 3 0.1

Czekoladowe Zaj ˛ace 15 800 Kwartał II 500 4 0.125

Czekoladowe Wianki 9 600 Kwartał III 900 3 0.15

Czekoladowe Mikołaje 20 1000 Kwartał IV 700 6 0.2

(i) Zapisz zadanie programowania liniowego, które pozwoli wyznaczy´c najwi˛ekszy zysk firmie Czekoladowa Kraina na podstawie dost˛epnych informacji. Zdefiniuj zmienne decyzyjne, funkcj˛e celu, kryterium optymalizacji oraz warunki ograniczaj ˛ace.

(ii) Rozwi ˛a ˙z powy ˙zsze zadanie przy pomocy dodatku MS Solver. Podaj rozwi ˛azanie optymalne oraz warto´s´c funkcji celu.

(iii) O ile mog ˛a si˛e zmieni´c ceny produktów, aby optymalny plan produkcji pozostał bez zmian? Odpowied´z uzasadnij.

(iv) Przedyskutuj wpływ ewentualnych zmian popytu na warto´s´c funkcji celu. W którym kwartale jest on najwi˛ekszy, a w którym najmniejszy. Odpowied´z uzasadnij.

2