Lista nr 5 Biotechnologia, sem.II, studia stacjonarne, 2015/16

Lista nr 5 Biotechnologia, sem.II, studia stacjonarne, 2015/16

Ca lka podw´ ojna

1. Obliczy´ c ca lk e podw´ _, ojn a w prostok _, acie D = {−4 ≤ x ≤ −1; −3 ≤ y ≤ −1}: _, a)

Z Z

D

1

(x + y) ² dx dy, b) Z Z

D

√ 1

xy dx dy.

2. Obliczy´ c ca lk e podw´ _, ojn a w obszarze ograniczonym liniami, kt´ _, orych r´ ownania podano obok ca lki:

a) Z Z

D

(x + y) dx dy; x = 0, y = 0, x + y = 1; b) Z Z

D

e ^x+y dx dy; x + y = 1, x − y = −1, y = 0;

c) Z Z

D

(x + y + 1) ² dx dy; x = 0, x + y = 1, x − y = 1; d) Z Z

D

xy dx dy; y = x ² , y = 0, x = 1;

e) Z Z

D

(x + 1) dx dy; xy = 1, x = 1, x = 2, y = 0; f) Z Z

D

dx dy; y = x ² , y = 4 − x ² ;

g) Z Z

D

x dx dy; y = 1

x dla x > 0, y = x, y = 0, x = 2; h) Z Z

D

x dx dy; y = x ² dla x ≥ 0, y = 1

4 x ² dla x ≥ 0, y = 1.

3. Obliczy´ c pole ograniczone liniami:

a) xy = 4, y = x, x = 4; b) y = x ² , 4y = x ² , y = 4; c) y = x ² , 4y = x ² , x = ±2;

d) y ² = 4 + x, x + 3y = 0; e) y = ln x, x − y = 1, y = −1.

4. Wprowadzaj ac wsp´ _, o lrz edne biegunowe, obliczy´ _, c:

a) Z Z

D

e ^−x

^−y

dx dy gdzie D jest obszarem ograniczonym lini a x _, ² + y ² = 2,

b) Z Z

D

dx dy

x ² + y ² − 1 gdzie D jest obszarem ograniczonym liniami x ² + y ² = 9, x ² + y ² = 25, c)

Z Z

D

xy dx dy, gdzie D jest obszarem ograniczonym liniami x ≥ 0, 1 ≤ x ² + y ² ≤ 2,

d) Z Z

D

y dx dy gdzie D jest obszarem ograniczonym liniami x ² + y ² = 4, x ² + y ² = 1, y = x, y = 0, (x ≥ 0, y ≥ 0).