1. W prostok atnym uk ladzie wsp´

(1)

Lista nr 3 Biotechnologia, sem.II, studia stacjonarne, 2015/16

Funkcje wielu zmiennych. Pochodne cz astkowe

_,

1. W prostok atnym uk ladzie wsp´

_,

o lrz ednych narysowa´

_,

c powierzchnie, kt´ orych r´ ownania s a podane poni˙zej:

_,

a) z = p

x

²

+ y

²

, b) z = p

4 − x

²

− y

²

, c) z = 2 − p

x

²

+ y

²

, d) z = 4 − x

²

− y

²

, e) x = p

y

²

+ z

²

, f) y = − √

4 − x

²

− z

²

, g) (x − 1)

²

+ (z − 3)

²

= 1, h) z = (x − 2)

²

+ (y − 3)

²

+ 4.

2. W prostok atnym uk ladzie wsp´

_,

o lrz ednych zaznaczy´

_,

c obszary w przestrzeni R

³

ograniczone powierzchniami:

a) x

²

+ y

²

= 4, z = 0 i z = 12 − 3x − 4y b) x

²

+ y

²

= 4, z = 0 i z = 4 − x

²

− y

²

c) x

²

+ y

²

= 4, z = 0 i z = 8 − p

x

²

+ y

²

d) z = x

²

+ y

²

i z = 4 − x

²

− y

²

e) z = x

²

+ y

²

i z = p

4 − x

²

− y

²

f) z = x

²

+ y

²

i z = 8 − p x

²

+ y

²

g) z = x

²

+ y

²

, x

²

+ y

²

= 1 i z = 0 h) x

²

+ y

²

+ z

²

= 9 i z

²

= x

²

+ y

²

. 3. Obliczy´ c wszystkie pochodne cz astkowe pierwszego rz

_,

edu poni˙zszych funkcji:

_,

a) f (x, y) = x

²

y

⁵

, b) f (x, y) = sin(x

²

+ y), c) f (x, y) = x 1 − 2y , d) f (x, y) = x

p x

²

+ y

²

, e) f (x, y) = e

^sin^x^y

, f) f (x, y) = ln(x cos(y)), g) f (x, y) = ln(x + p

x

²

+ y

²

), h) f (x, y, z) = xy

²

z

³

− y sin x, i) f (x, y, z) = z

⁴

(5xy

²

− 3yz

²

)

²⁰

4. Obliczy´ c:

a) ∂f

∂x (1, 5), je´ sli f (x, y) = x

²

y

³

, b) ∂f

∂y (0, 2), je´ sli f (x, y) = y

²

+ √

1 − x

²

.