Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 1. Przestrzenie z miarą - zadania do samodzielnego rozwiązania

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 1. Przestrzenie z miarą - zadania do samodzielnego rozwiązania

Zad. 1.1 Rzucamy dwiema kostkami. Niech zdarzenie A polega na tym, że suma wyników jest równa 4, a B na tym, że przynajmniej na jednej kostce wypadła liczba parzysta.

Opisać zdarzenie A ∩ B.

Zad. 1.2 Urządzenie składa się z dwóch modułów pierwszego typu i trzech modułów dru- giego typu. Rozpatrujemy zdarzenia:

– A_k (k = 1, 2) – sprawny jest k-ty moduł pierwszego typu, – Bj (j = 1, 2, 3) – sprawny jest j-ty moduł drugiego typu.

Przyrząd działa, jeśli sprawny jest co najmniej jeden moduł pierwszego typu i nie mniej niż dwa moduły drugiego typu. Wyrazić zdarzenie C oznaczające, że urządzenie działa, przez zdarzenia Ak i Bj.

Zad. 1.3 Trzej strzelcy strzelają jednocześnie do celu. Cel zostaje zniszczony, jeśli jest co najmniej dwa razy trafiony. Przez A1, A2, A3 określamy odpowiednio zdarzenia polegające na trafieniu w cel przez I, II I III strzelca. Opisz za pomocą zdarzeń A₁, A₂, A₃, A⁰₁, A⁰₂ i A⁰₃ i odpowiednich działań zdarzenia:

1. strzelec I nie trafił i cel został zniszczony, 2. strzelec I trafił i cel nie został zniszczony, 3. strzelec I trafił i cel został zniszczony, 4. cel został trafiony, ale nie został zniszczony, 5. cel nie został zniszczony.

Zad. 1.4 Udowodnij, że jeśli A i B są algebrami (σ-algebrami), to A ∩ B jest także algebrą (σ-algebrą).

Zad. 1.5 Podaj przykład algebr (σ-algebr) A i B, dla których A ∪ B nie jest algebrą (σ-algebrą).

Zad. 1.6 W przestrzeni Ω wyróżnione są dwa zbiory A i B. Wyznacz σ({A, B}).

Zad. 1.7 Sprawdź, czy σ-algebry

σ({(2n, 2n + 1), n ∈ Z} ∪ {{n}, n ∈ Z}) i σ({[n, n + 1], n ∈ Z}) są równe.

Zad. 1.8 Niech µ będzie miarą na F . Niech A, B ∈ F , µ(B) = 0. Udowodnij, że µ(A ∪ B) = µ(A \ B) = µ(A).

Zad. 1.9 Niech P (A) = x, P (B) = x². Wiadomo, że oba zdarzenia się wykluczają, ale jedno z nich musi zajść. Oblicz x.

Zad. 1.10 Udowodnij, że jeśli C ⊃ A ∩ B, to

P (C) ­ P (A) + P (B) − 1.

Zad. 1.11 Dane są P (A) = ¹₈, P (B) = ⁷₈, A ∩ B = ∅. Uporządkuj rosnąco P (A ∪ B), P (A⁰∪ B), P (A ∪ B⁰).

Zad. 1.12 Wykaż, że

P (A4B) ¬ 1 − P (A ∩ B) ¬ 2 − P (A) − P (B).

Zad. 1.13 Niech na tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych będą dane dwie funkcje prawdopodobieństwa P₁ i P₂ oraz niech będzie dana para liczb a, b takich, że a ­ 0, b ­ 0 i a + b = 1. Udowodnij, że funkcja

P (A) = aP₁(A) + bP₂(A) jest prawdopodobieństwem.