yn tworzą układ fundamentalny rozwiązań tego równania? Drugie zadanie będzie podobne do któregoś z niżej podanych: [A] [1] Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach

(1)

Na egzaminie z matematyki inżynierskiej (semestr drugi, ”zdalny”) pierwsze z pytań będzie jednym z poniższej listy:

(1) Jak dodajemy macierze?

(2) Co to jest macierz transponowana?

(3) Jak liczymy wyznaczniki macierzy trzeciego stopnia?

(4) Na czym polega metoda Cramera rozwiązywania układów równań?

(5) Podaj definicję iloczynu skalarnego wektorów.

(6) Jak liczymy iloczyn skalarny wektorów?

(7) Jaki jest związek między prostopadłością wektorów, a ich iloczynem skalarnym?

(8) Jak liczymy iloczyn wektorowy wektorów?

(9) Jaki jest związek między polem trójkąta, a długością iloczynu wektorowego wek- torów rozpinających ten trójkąt?

(10) Podaj równanie ogólne płaszczyzny.

(11) Podaj równanie kierunkowe prostej.

(12) Podaj definicję pochodnej cząstkowej funkcji f (x, y) względem zmiennej x.

(13) Podaj definicję pochodnej cząstkowej funkcji f (x, y) względem zmiennej y.

(14) Podaj definicję minimum lokalnego funkcji dwóch zmiennych.

(15) Podaj definicję maksimum lokalnego funkcji dwóch zmiennych.

(16) Jak liczymy całki podwójne?

(17) Jak liczymy całki potrójne?

(18) Jak wygląda równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych i jak je rozwiązu- jemy?

(19) Co podstawiamy w równaniu y⁰ = _x^y, aby otrzymać równanie o zmiennych rozdzielonych?

(20) Co podstawiamy w równaniu y⁰ = f (ax + by + c), aby otrzymać równanie o zmiennych rozdzielonych?

(21) Jak wygląda równanie charakterystyczne dla równania różniczkowego liniowego jednorodnego n-tego rzędu o stałych współczynnikach postaci a_ny⁽ⁿ⁾+a_n−1y⁽ⁿ⁻¹⁾+

· · · + a₁y⁰+ a₀y = 0?

(22) Jak wygląda rozwiązanie równania różniczkowego liniowego jednorodnego n-tego rzędu o stałych współczynnikach, jeżeli wiemy, że funkcje y1, . . . , yn tworzą układ fundamentalny rozwiązań tego równania?

Drugie zadanie będzie podobne do któregoś z niżej podanych:

[A] [1] Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach (3, 2, 4), (5, 2, 5), (4, 3, 6).

[2] Oblicz objętość czworościanu o wierzchołkach (3, 2, 4), (5, 2, 5), (4, 3, 6), (4, 4, 4) oraz oblicz długość wysokości tego czworościanu opuszczonej z dowol- nego wierzchołka (tego czworościanu).

[3] Czy prosta ^x₁ = ^y₂ = ^z+2₁ i płaszczyzna x + 2y − 5z + 9 = 0 s¸a równoległe?

[4] Czy prosta ^x₁ = ^y₂ = ^z+2₁ i płaszczyzna 2x + 4y + 2z + 1 = 0 s¸a prostopadłe?

[5] Znajdź punkty przecięcia prostej ^x−1₋₁ = ^y−1₋₁ = ^z₂ z elipsoidą ^x₂²+^y₂²+^z₄² = 1.

[6] Znajdź punkty przecięcia prostej ^x−2₋₄ = ^y−1₂ = ^z₂ z hiperboloidą

x²

8 +^y₂² −^z₁² = 1.

(2)

[7] Znajdź rzut punktu (4, 1, −3) na płaszczyznę x − y + 2z − 3 = 0.

[8] Dla jakiego m płaszczyzny 2x−my +z +2019 = 0 oraz x+y −mz −2019 = 0 są prostopadłe?

[9] Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P (1, 2, 3) i prostopa- dłej do prostej ^x−2₂ = ^y−1₁ = ^z+6₋₁

[10] Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P (0, −2, 1) i równo- ległej do prostej ^x−2₂ = ^y−1₁ = ^z+6₋₁.

Prawdopodobne odpowiedzi:

[1]: ¹₂√

14 [2]: v = ⁷₆, wysokość z (4, 4, 4) to h = ¹₂√

14 [3]: tak

[4]: tak [5]: (1, 1, 0), (0, 0, 2) [6]: prosta leży na hiperboloidzie (zawiera się) [7]: (5, 0, −1) [8]: m = 1 [9]: 2x + y − z − 1 = 0

[10]: na przykład: x + 2y + 4z = 0

[B] (i) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = x¹⁰+ 10x + y⁸− 8y + 1.

(ii) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = y⁷+ 7xy + x⁷. (iii) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = y⁷− 7xy + x⁷.

(iv) Znajdź wartość najwi¸ekszą i najmniejszą funkcji f (x, y) = x²− y² w zbiorze D : x² + y² ¬ 100, y 8.

(v) Znajdź wartość najwi¸ekszą i najmniejszą funkcji f (x, y) = 3x−y³ w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (2, 0), (2, 2).

(vi) Znajdź wartość najwi¸ekszą i najmniejszą funkcji f (x, y) = x²− y² w prosto- kącie o wierzchołkach (−1, −1), (−1, 2), (1, −1), (1, 2).

(vii) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = x − y przy wa- runku x²+ y² = 8 dla x 0.

(viii) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = 2x + 3y przy warunku x²+ y² = 13.

(ix) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = 4x + y przy warunku 4x²+ y² = 5.

(x) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = x + y przy wa- runku x⁴+ y⁴ = 2.

(i): minimum w punkcie (−1, 1)

(ii): maksimum w punkcie (−1, −1); w punkcie (0, 0) nie ma ekstremum (iii): minimum w (1, 1); w punkcie (0, 0) nie ma ekstremum

(iv): wartością największą funkcji jest −28, a najmniejszą −100 (v): wartością największą funkcji jest 6, a najmniejszą −2 (vi): wartością największą funkcji jest 1, a najmniejszą −4 (vii): wartością największą jest 4, a najmniejszą −2√

2 (viii): wartością największą jest 13, a najmniejszą −13 (ix): wartością największą jest 5, a najmniejszą −5 (x): wartością największą jest 2, a najmniejszą −2

(3)

[C] Oblicz:

[α] ^RR_D2ydxdy, gdzie D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (1, 0), (1, 1);

[β] ^RR_Dxdxdy, gdzie D to obszar ograniczony krzywymi y = 1 − x², y = 0;

[γ] ^RR_Dx²dxdy, gdzie D to obszar ograniczony krzywymi y = 1 − x², y = 0;

[δ] ^RR_Dxdxdy, gdzie D to trapez o wierzchołkach (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 2);

[] ^RR_Dydxdy, gdzie D to obszar ograniczony krzywymi y =√

−x, y = −x;

[ζ] ^RR_D(x²+ y²)dxdy, gdzie D to koło x²+ y² ¬ 1;

[η] ^RR_D(x²+ y²)⁻¹dxdy, gdzie D : 1 ¬ x²+ y² ¬ 4, y 0;

[ϑ] ^RR_D(x²+ y²)⁻¹dxdy, gdzie D : 1 ¬ x²+ y² ¬ 4, x ¬ 0;

[ι] ^RR_Dxdxdy, gdzie D : x²+ y² ¬ 4;

[κ] ^RR_D√

x²+ y²dxdy, gdzie D : x²+ y² ¬ 9, y − x 0, y + x 0.

[α]: 1/3, [β]: 0, [γ]: 4/15, [δ]: 5/6, []: 1/12, [ζ]: π/2, [η]: π, [ϑ]: π, [ι]: 0, [κ]: 9π/2.

[D [i] Oblicz ^RRR_B7xz⁶dxdydz, gdzie B to pięciościan o wierzchołkach (0, 0, 0), (2, 0, 0), (2, 2, 0), (0, 0, 1), (2, 0, 1), (2, 2, 1).

[ii] Oblicz ^RRR_Bxdxdydz, gdzie B to sześciościan o wierzchołkach (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 2), (0, 1, 1), (1, 1, 2).

[iii] Oblicz ^RRR_B2zdxdydz, gdzie B to pięciościan o wierzchołkach (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1).

[iv] Oblicz ^RRR_B7(x²+ y² + z²)²dxdydz, gdzie B : x²+ y²+ z² ¬ 1, z 0, x ¬ 0, y 0.

[v] Oblicz ^RRR_B(x²+ y²+ z²)⁻¹dxdydz, gdzie B : 1 ¬ x²+ y²+ z² ¬ 4.

[vi] Rozwiąż równanie (1 + e^x)e^−x· y⁰ = 1 + y². [vii] Rozwiąż równanie (1 + e^2x)e^−x· y⁰ = 1 + y². [viii] Rozwiąż równanie (sin y + cos y)e^x· y⁰ = 1.

[ix] Rozwiąż równanie _ex+x^y²⁰+x³ = _1+y¹ 2 z warunkiem początkowym y(0) = 0.

[x] Rozwiąż równanie y⁰ = (2+sin x)·y² z warunkiem początkowym y(0) = −1.

[i]: ⁸₃, [ii]: ⁵₆, [iii]: ¹₃, [iv]: ^π₂, [v]: 4π,

[vi]: arctgy = ln(1 + e^x) + C, [vii]: arctgy = arctge^x+ C,

[viii]: − cos y + sin y = −e^−x+ C, [ix]: y + ¹₃y³ = e^x+ ¹₃x³+ ¹₄x⁴− 1, [x]: y = _{2x−cos x+2}⁻¹ .

Trzecie zadanie będzie losowo wybranym pytaniem dotyczącym materiału przerabia- nego na wykładach do szeregów włącznie (także kryteria zbieżności szeregów liczbowych i rozwijanie funkcji w szereg potęgowy).