1. Oblicz granice ciągów:

KOLOKWIUM 1 (POPRAWKOWE) Z AM1 ITN – 29.05.2007 (prof. Zabierowski)

1. Oblicz granice ciągów:

a) ^lim _{x  }  ^{n  n 2  7 n  3}  ^b) _x ^{n n}  ⁿ



 



 

 

 







 5

1 3 lim 1

2. Zbadaj zbieżności szeregów:

a)  ^





1 3 3

3 6

n n

n b)  ^

1

! 2

n n

n

n n

3. Oblicz granice ciągów:

a)   x

x

x 6 sin 3

lim 5

 0 b)

13 4

3 lim 5

0  2  



 x x x

x

x

4. Jakie wartości powinny mieć parametry a i b aby funkcja była ciągła:

  ^{x ax b}

f   dla x  2

  x  x ²  x  4

f dla ^{x  2}

   

2 2 sin



  x

x x b

f dla x  2

5. Oblicz pochodną funkcji:

  ^{x x}

^x

f 

^sin

ROZWIĄZANIA (100% poprawności)

1. Oblicz granice ciągów:

a) ^lim _{x  }  ^{n  n 2  7 n  3} 

  

2 7 3 7

3 lim 7

3 7

3 lim 7

3 7

3 7 3

lim 7

2 2

2 2 2

2

2  









 











 





























 n n n

n n

n n

n n n n

n n

n n n n n n

x x

x

b) ⁿ

n n

x 



 



 

 

 







 5

1 3 lim 1

n

n n n

n n n

n

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 





3 1 3 1 5

1 3 1 3

1

3 1 3 lim 1  



 







n n x

3 1 3 1 3

lim 1  



 



 

 

 







n

n n x

2. Zbadaj zbieżności szeregów:

a)  ^





1 3 3

3 6

n n

n

2 2 3 3

6 1 6 3 6 3

3 6

n n n n n

n     

2 2 3 3

6 1 6 3 6 3

3 6

n n n n n

n     

szereg ¹ ₂

n jesz zbieżny.

Na mocy kryterium porównawczego szereg  ^





1 3

3 3 6

n n

n jest zbieżny.

b)  ^

1

! 2

n n

n

n n

3. Oblicz granice ciągów:

a)   x

x

x 6 sin 3

lim 5

 0

  ^{3 lim 18 cos 5 lim 18 5 1 18 5}

sin 6 lim 5

0 0

0 

 

  

 x x

H

x x x

x

b) 4 13

3 lim 5

2

0   



 x x x

x

x

13 4

3 lim 5

2

0   



 x x x

x

x

4. Jakie wartości powinny mieć parametry a i b aby funkcja była ciągła:

  x ax b

f   dla x  2

  x  x ²  x  ⁴

f dla ^{x  2}

   

2 2 sin



  x

x x b

f dla x  2

    2  2 ²  2  4  4  2  4  2 f

     2   2

²

 2  4  4  2  4   2

f   _{2 2}

2 2 lim sin

2   









b

x x b

x

b a b

x

_

ax      



 2 2

lim 2

2 1 1

1 1

2 2 2

2 2































a a

a a

b a

5. Oblicz pochodną funkcji:

  x x

^x

f 

^sin

    ^



 



 



 x x x x

x x e

x ^{x x x x}

2 cos 1 ln 1 sin

' sin sin ' ln

sin