ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTW A MATEMATYCZNEGO Seria III: MATEMATYKA STOSOWANA XV (1979)
KRzYSZTOF DOLIŃSKI (Warszawa)
Oszacowania rozkładu prawdopodobieństwa*
przekształcenia zmiennych losowych
(Praca przyjęta do druku 19.10.1977)
Wstęp. Ogólna metoda wyznaczania rozkładu prawdopodobieństwa dowolnego
przekształcenia zmiennych losowych jest dobrze znana i przedstawiana w każdym na ogół podręczniku rachunku prawdopodobieństwa. Jednakże jej praktyczne zastosowanie napotyka na znaczne trudności natury rachunkowej, szczególnie w przypadku nieliniowej postaci przekształcenia. Konieczne wielokrotne całko·
wania skomplikowanych wyrażeń podcałkowych okazują się na ogół analitycznie niewykonalne, a obliczenia numeryczne są bardzo czasochłonne dla maszyny cyfro·
wej i często nieopłacalne. Dlatego w praktyce poszukuje się prostszych, przybli-
żonych, lecz bardziej efektywnych niż bezpośrednie całkowanie, metod oblicze- niowych.
Najbardziej rozpowszechnione w zastosowaniach są: symulacja numeryczna wraz z metodą Monte Carlo i metoda wyznaczania lub szacowania momentów poszukiwanego rozkładu prawdopodobieństwa. Jednakże wspólnym mankamentem tych metod jest trudność w ocenie błędu otrzymanego przybliżenia.
Ocena błędu jest zawsze istotnym elementem obliczeń i nabiera szczególnego znaczenia przy szacowaniu niezawodności konstrukcji, gdzie zarówno projektant, jak i użytkownik zainteresowani są takimi wartościami prawdopodobieństwa awarii, które nawet pomimo przybliżonego charakteru obliczeń nie mogą budzić żadnych wątpliwości.
Przedstawiona w niniejszej pracy metoda pozwala wyznaczyć górną i dolną
granicę obszaru, w którym znajduje się rzeczywista dystrybuanta przekształcenia
zmiennych losowych. Przy rozważaniu problemów niezawodności pozwala to
określić przedział, w którym znajduje się prawdopodobieństwo awarii danej kon- strukcji. Wykorzystano tu klasyczną metodę poszukiwania rozkładu prawdopodo-
bieństwa przekształcenia zmiennych losowych zastępując przekształcenie, którego
rozkładu poszukujemy, dwoma innymi przekształceniami pomocniczymi. Wyka- zano, że funkcjami szacującymi poszukiwaną dystrybuantę mogą być dystrybuanty
• Problem Międzyresortowy I. 23.
7 Matematyka Stosowana 15 93
przekształceń pomocniczych pomniejszane lub powiększone o pewien stały składnik.
W wielu przypadkach, a w szczególności dla liniowych przekształceń pomocniczych, daje to znaczne uproszczenia w obliczeniach numerycznych, aż do ich całkowitej
eliminacji.
1. Dystrybuanta przekształcenia zmiennych losowych i jej oszacowania. Poszu- kujemy m-wymiarowej dystrybuanty wektora losowego Y = [Y1 , Y2 , „ ., Ym], którego składowe są pewnymi funkcjami n-wymiarowego wektora losowego X=
= [Xu X2 , „., Xn J, czyli (1.1)
Zakładamy, że znana jest n-wymiarowa funkcja gęstości rozkładu prawdopodo-
bieństwa /x(x1 , x2 , „., Xn) = fx(x) wektora losowego X. Dystrybuantę wektora losowego Y możemy zawsze wyrazić w postaci
(1.2) Fy(y) = P[X E (fI -:K) n {x: Y ~ y}]+P[X E :K n {x: Y ~ y}], gdzie :f( oznacza dowolny, mierzalny zbiór w przestrzeni fI realizacji wektora X, a P[A] prawdopodobieństwo zdarzenia A.
Wprowadźmy teraz pewne nowe przekształcenie wektora losowego X, a mia- nowicie
(1.3) dla j = 1, 2, . „, m,
dla j = m + 1, . „, n;
które spełniać będzie m nierówności
(1.4) 'Pi(x) ~ 'Pi(x) dla x E :K"', j = 1, 2, „., m, gdzie :f(" jest pewnym mierzalnym obszarem w fI.
Nierówności (1.4) implikują w oczywisty sposób inkluzję
(1.5) {x: Y~y}n:K"' • c {x: Y~y}n:K"',
która prowadzi do dolnego oszacowania dystrybuanty ( 1.2) przekształcenia (1.1) wektora losowego X
(1.6)
Aby wyznaczyć górne oszacowanie dystrybuanty przekształcenia <p, dobieramy pewne nowe przekształcenie wektora losowego X
(1.7) dla j = 1, 2, „., m,
dla j = m + 1, „., n, tak, aby spełniało ono m nierówności
(1.8) Oi(x) ~ 'Pi(x) dla x E .Yl0 , j = 1, 2, „., m, gdzie :Ko jest pewnym obszarem mierzalnym w fr.
Szacując od góry pierwszy składnik w (1.2) przez
(1.9) P[X e (fr -:Ko) n {x: Y ~ y}] ~ P[X e (fr -.YC8 )] = 1-P[X e Jf"0 ]
Rozkład prawdopodobieństwa przekształcenia zmiennych losowych 95 oraz uwzględ.niając wynikającą z (1.8) inkluzję
(1.10) {x: Y ~ y} n .:tro => {x: Y ~ y} n .:tro
otrzymujemy następującą nierówność, określającą górne , oszacowanie dystąr
buanty (1.2)
(1.11) Fy(y) ~ 1-P[X E .K6]+P[X E {x: Y ~ y} n .:tr6 ].
Uwzględniając otrzymane powyżej wyniki możemy sformułować następujące
twierdzenie:
Jeżeli przekształcenia 8 = [~1, 02 , •• „ O,,.], 'I' = [tp1 , tp2 , .'. .„ 'Pml oraz t/l = [1f'1 ,
1Jl2 , • „, 1/'ml wektora losowego X spełniają nierówności
Oi(x) ~ 'Pi(x) dla x e %6 , j = l, 2, „., m oraz
1/'i(x) ~ tp;(x) dla x e .t('P, I= 1,2, „., m,
to m-wymiarowa dystrybuanta Fy(y) wektora losowego Y = 'f'(X) może być osza~
cowana od dołu przez (1.6) i od góry przez (1.11).
* o
2. Wykorzystanie dystrybuant wektorów losowych Y i Y do szacowania rozkładu
prawdopodobieństwa Fy(y). Sformułowane w poprzednim punkcie twierdzenie daje,
dzięki bardzo słabemu założeniu, dużą swobodę w doborze funkcji aproksymujących
8i i 11'; oraz obszarów :K 6 i .:t{"'. Umożliwia to znaczne uproszczenie obliczeń przy zachowaniu dobrej zbieżności oszacowań dystrybuanty losowego wektora Y. Bar- dziej szczegółowa dyskusja na ten temat zawarta jest w [I].
Szacowanie dystrybuanty Fy staje się szczególnie proste, gdy znane są a priori
o • .
dystrybuanty Fy i Fy wektorów Yi Y. Ma to miejsce np. wtedy, gdy argumentami funkcji 'Pi są normalne niezależne zmienne losowe Xi, a funkcje aproksymujące
oj i 'Pi mogą być przyjęte w postaci kombinacji liniowych tych zmiennych, co gwaran- tuje normalność rozkładów prawdopodobieństwa Fr i Ff o łatwych do obliczenia
wartościach parametrów.
Wykorzystując więc dystrybuantę Fy. wektora losowego Y
(2.1) Fy(y) = P[X e {x: Y ~ y}]
i porównując ją z oszacowaniem (1.11) możemy napisać nierówność
(2.2)
Chcąc wykorzystać dystrybuantę F.y wektora losowego Y *
(2.3) F;(y) = P[X e {x: Y * ~ y}]
dla określenia dolnego oszacowania rozkładu Fy musimy porównać ją z oszaco- waniem (1.6). Łatwo zauważyć, że zawsze spełniona jest nierówność
(2.4) Fp(y)~ P[Xe {x: Y~y}n%"']+P[Xe(~-Jf""')], * z której otrzymujemy oszacowanie
(2.5) Fy(y) ~ F;(y)-1 +P[X e Jf'"'].
Powyżej przedstawiony sposób szacowania dystrybuanty funkcji zmiennych losowych został wykorzystany w [l] do oszacowania rozkładu prawdopodobieństwa nośności granicznej prefabrykowanej płyty żelbetowej stosowanej w budownictwie
uprzemysłowionym i do określenia jej niezawodności przy założeniu losowej wiel-
kości obciążeń. Nośność
p = 96a2M51 . __
b2(yb2Mox+ 12a2Mo1-h Y Mox)2'
gdzie
M0 , = A, ( Htx-
18 ~RJ. M0 , = A, ( H„ - 18 ~~J
H1x = H11-0,6; a, b-stałe wymiary płyty,
wyrażała się tam przez funkcję P = tp(Ax, A1 , Rw, H11 ) czterech niezależnych
zmiennych losowych Ax, A1 , Rw, H11 , z których trzy pierwsze miały rozkłady
normalne, a czwarta rozkład beta.
F(p) %
99.98 ,---,--,---,---,.--,----,.-...,---y--~~~~-
99·95111--r-t-1-r---1r.tr--t~~~ff-i
99·901=r=r~r~r-~r-~tnr~~~j
99.80 l-
99.50 t---+--t---+---+--+---+--H--+-ll~
99.0 98.0 97.0 96.0 95.0 90.0
2200 2400
'
2600 2800 3000 p[kG/m2]
Rys. 1. Oszacowania dystrybuanty nośności prefabrykowanej płyty żelbetowej. Po4 i Po6 - osza- cowania górne, P"'4 i P"'6 - oszacowania dolne (skala regularna i gaussowska)
Rozkład prawdopodobieństwa przekształcenia zmiennych losowych 97
Przyjmując liniowe funkcje ()4 i ()6 aproksymująca funkcję <p od dołu i dwie, także liniowe, 1JJ4 i 1JJ6 , aproksymujące od góry, każda w odpowiednim obszarze X'",H rx = ()4 , ()6 , 1JJ4 , 1JJ6 , wyznaczono, w sposób analityczny cztery dystrybuanty i wykorzystując zależności (2.2) i (2.5) otrzymano cztery oszacowania P« (p) rozkładu prawdopodobieństwa nośności granicznej rozpatrywanej płyty-rys. 1 i 2.
Niezawodność obliczamy na podstawie znanej zależności [2]
oo
(2.6) R = P[P > Q] = 1- ~fQ(p) · Fp(p)dp, o
gdzie Q oznacza losowe obciążenie o gęstości prawdopodobieństwa /Q(q) dzia- łające na płytę, której losowa nośność P (niezależna od Q) scharakteryzowana jest przez dystrybuantę Fp (p).
~'\ ,,, ,~ ,, '"'0"-''-''' •. I
I.O· IO··s ~~~0:_~. ~'\<:~ s'~~s_~ ~,~ '·, i l
1800 1900 2000 2100 2200 2300 p[kG/111 ' ]
Rys. 2. Oszacowania dystrybuanty nośności prefabrykowanej płyty żelbetowej i funkcje gęstości prawdopodobieństwa obciążenia, Po4 i Po6 - oszacowania górne; P"'4 i Pw6 - oszacowania dolne;
f/i,fJ-gęstości prawdopodobieństwa obciążenia dla współczynników zmienności, odpowiednio
V1 = 0,2, V2 = 0,13 (skala regularna i logarytmiczna)
Przyjmując rozkład gamma dla obciążenia Q i poprzednio wyznaczone osza- cowania Pa. (p) zamiast Fp (p) otrzymujemy dolną Rb i górną R" granicę niezawodności rozpatrywanej płyty
Rb= 1-3,736 · 10-5 < R < 1-8,381·10-6 = R"
dla współczynnika zmienności obciążenia v = <l_Q = 0,20 oraz Q
Rb= 1-6,425· 10-8 < R < 1-2,034· I0-10 = Rv
dla v = O, 13. W obu przypadkach oszacowania górne i dolne są podobnego rzędu,
co dla wielkości tak bardzo bliskich jedności należy uznać za rezultat w pełni za-
dowalający.
Prace cytowane
(l] K. D o I i ń s k i, Stochastyczna analiza konstrukcji plastycznych, Praca doktorska, Zeszyty IPPT PAN, nr 25 (1977).
[2] A. Fr e unden t ha I, Safety and probability of structura/ failure, ASCE Trans. 121 (1956).
