Korzystaj¸ ac z twierdzenia o ci¸ agu monotonicznym i ograniczonym, prosz¸e uzasadnić zbieżność ci¸ agu o wyrazie a n

Analiza Matematyczna Zestaw D

Zadanie 1

Korzystaj¸ ac z twierdzenia o ci¸ agu monotonicznym i ograniczonym, prosz¸e uzasadnić zbieżność ci¸ agu o wyrazie a _n

a _n = 1 − ¹ ₃

1 − ₃ ¹

. . . 1 − ₃ ¹

.

Rozwi¸ azanie

Przypomnijmy twierdzenie o ci¸ agu monotonicznym i ograniczonym.

Każdy ci¸ ag monotoniczny i ograniczony ma granic¸e właściw¸ a, czyli jest zbieżny.

Zauważmy, że ci¸ ag (a _n ) jest malej¸ acy, bo ^a

_a

n

= 1 − ₃

¹
< 1 Pokażemy jeszcze, że ci¸ ag ten jest ograniczony z dołu przez liczb¸e 0.

a _n = 1 − ¹ ₃

1 = ₃ ¹

. . . 1 − ₃ ¹

> 1 − ¹ ₃
n

= ( ² ₃ ) ⁿ → 0, gdy n → ∞.

Co mieliśmy wykazać.

Zadanie 2

Prosz¸e sprawdzić, korzystaj¸ ac z definicji pochodnej funkcji w punkcie, czy istnieje po- chodna funkcji f w punkcie x 0 = 0, jeżeli

f (x) =

 _x

sin 3x

sin 5x dla 0 < |x| < ^π ₃

0 dla x = 0

Rozwi¸ azanie

Korzystaj¸ ac z definicji pochodnej prawostronnej funkcji w punkcie

f ₊ ⁰ (0) = lim

h→0

h

sin 3h sin 5h − 0

h = lim

h→0

h

sin 3h 3h sin 5h

5h

3h

5h = 0 · 1 1 · 3

5 = 0 Istnieje zatem pochodna funkcji w punkcie x = 0 i jest równa 0.

Zadanie 3

Prosz¸e obliczyć granic¸e

x→0 lim

ln (1 − 2x ³ ) 7x ³ Rozwi¸ azanie

x→0 lim

ln (1 − 2x ³ )

7x ³ = lim

x→0

−12

42 + 210x ⁴ = − 12 42 = − 2

7 Prosz¸e sprawdzić, stosuj¸ ac trzykrotnie reguł¸e markiza de’lHospitala.

1

Zadanie 4

Prosz¸e znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x ₀ , f (x ₀ )), jeśli f (x) = √

x ² − 1.

Rozwi¸ azanie

Równanie stycznej w punkcie (x ₀ , f (x ₀ )) y = f ⁰ (x ₀ )(x − x ₀ ) + f (x ₀ ).

f ⁰ (x) = ^2x

3

√

(x

−1)

, f ⁰ (3) = ² ₈ = ¹ ₄ , f (3) = 2.

St¸ ad

y = 1

4 (x − 3) + 2

2