Przykład 16.3
a) Wyznacz energię mechaniczną E oscylatora liniowego z przy- kładu 16.1 (warunki początkowe: położenie klocka x = 11 cm, prędkość v = 0; stała sprężystości k równa jest 65 N/m).
ROZWIĄZANIE:
Energia mechaniczna E (suma energii kinetycznej Ek = mv2/2 klocka i energii potencjalnej Ep = kx2/2 sprężyny) jest stała podczas ruchu oscylatora. Zatem energię E możemy wyzna- czyć w dowolnym punkcie. Ponieważ mamy dane warunki począt- kowe dla oscylatora: x = 11 cm i v = 0, wyznaczmy dla nich energię E. Otrzymujemy
E= Ek+ Ep=12mv2+12kx2= 0 +12(65 N/m)(0,11 m)2
= 0,393 J ≈ 0,39 J. (odpowiedź)
b) Wyznacz energię potencjalną Epi energię kinetyczną Ek oscy- latora, gdy klocek znajduje się w punkcie x = xm/2 oraz gdy znajduje się w punkcie x = −xm/2.
ROZWIĄZANIE:
Znając położenie klocka, możemy łatwo wyznaczyć energię potencjalną sprężyny Ep= kx2/2. Dla x= xm/2 mamy
Ep= 12kx2=12k(12xm)2= (12)(14)kx2m.
Możemy podstawić do tego wzoru wartości k i xmlub sko- rzystać z tego, że całkowita energia mechaniczna, którą obliczy- liśmy w części (a), wynosi kxm2/2. Otrzymujemy w ten sposób
Ep= 14(12kxm2)
= 14E=14(0,393 J)= 0,098 J. (odpowiedź) Podobnie jak w części (a) skorzystamy ze wzoru E = Ep+ Ek i otrzymamy
Ek = E − Ep= 0,393 J − 0,098 J ≈ 0,3 J. (odpowiedź) Powtarzając te obliczenia dla x = −xm/2, otrzymamy taki sam wynik — zgodnie z symetrią rysunku 16.6b względem prostej x= 0.
16.5. Wahadło torsyjne
Na rysunku 16.7 przedstawiono wahadło torsyjne (skrętne). Jest to też oscyla- tor harmoniczny, w którym jednak sprężystość nie jest związana ze ściskaniem i rozciąganiem sprężyny, lecz ze skręcaniem zamocowanego na jednym końcu cienkiego pręta.
Rys. 16.7. Wahadło torsyjne to ką- towy odpowiednik liniowego oscylatora harmonicznego z rysunku 16.5. Krążek oscyluje w płaszczyźnie poziomej, linia odniesienia wykonuje drgania z ampli- tudą zmian kąta θm. Skręcenie drutu jest źródłem energii potencjalnej — analo- gicznie do rozciągania sprężyny — i po- woduje powstanie momentu siły dążą- cego do przywrócenia stanu początko- wego
Jeżeli obrócimy zawieszony na drucie krążek z rysunku 16.7 o pewien kąt θ w stosunku do położenia spoczynkowego (w którym linia odniesienia ma po- łożenie θ = 0) i puścimy swobodnie, zacznie on drgać wokół położenia spo- czynkowego, wykonując ruch harmoniczny. Obrót krążka o kąt θ w dowolnym kierunku powoduje powstanie momentu siły przywracającego stan równowagi, danego wzorem
M= −κθ. (16.22)
Symbolem κ (grecka litera kappa) oznaczono stałą, nazywaną momentem kierującym, która zależy od długości, średnicy i materiału, z jakiego wyko- nano drut.
Porównanie wzorów (16.22) i (16.10) prowadzi do wniosku, że wyrażenie (16.22) jest analogiczne do prawa Hooke’a. W konsekwencji możemy przekształ- cić wzór (16.13) na okres drgań w liniowym ruchu harmonicznym na wzór na okres drgań wahadła torsyjnego. W tym celu stałą sprężystości k we wzorze (16.13) należy zastąpić jej odpowiednikiem — stałą κ ze wzoru (16.22) i po- dobnie masę m we wzorze (16.13) — jej odpowiednikiem, czyli momentem bezwładności I drgającego krążka. Otrzymujemy w ten sposób poprawny wzór na okres drgań wahadła torsyjnego
T = 2π rI
κ (wahadło torsyjne). (16.23)
102 16. Drgania
