Wielkości fizyczne wykorzystywane do opisu ruchu jednostajnego po okręgu
Wprowadzenie Przeczytaj
Grafika interaktywna Sprawdź się
Dla nauczyciela
Czy to nie ciekawe?
Z ruchem po okręgu spotykasz się na co dzień. Po okręgu poruszają się końce wskazówek zegara, samochód na rondzie, ale także dowolny punkt leżący na krawędzi obrotowego talerza kuchenki mikrofalowej. Każdy z tych ruchów można opisać w podobny sposób, definiując pewne wielkości, takie jak prędkość liniowa, okres i częstotliwość.
Rys. A. Przykładowe zegary analogowe
Po okręgu poruszają się końce wskazówki godzinowej i minutowej zegarka analogowego.
Twoje cele
Dzięki temu e‑materiałowi:
dowiesz się, jakie wielkości opisują ruch po okręgu;
poznasz definicję okresu i częstotliwości oraz związek między nimi;
poznasz związek tych wielkości z prędkością liniową w ruchu jednostajnym po okręgu;
zastosujesz wielkości takie jak okres i częstotliwość oraz prędkość liniową do opisu ruchu jednostajnego po okręgu w konkretnych sytuacjach.
0106 Wielkości fizyczne wykorzystywane do opisu ruchu
jednostajnego po okręgu
Przeczytaj
Warto przeczytać
Ruch jednostajny po okręgu to szczególny przypadek płaskiego ruchu krzywoliniowego.
Podczas ruchu punktu materialnego po okręgu torem jest oczywiście okrąg. Jeśli dodatkowo w jednakowych odstępach czasu punkt będzie przebywał taką samą drogę (zakreślał łuk o tej samej długości), to wówczas wartość prędkości będzie stała →v = const
i będziemy mieli do czynienia z ruchem jednostajnym po okręgu. W ruchu po okręgu, a także w ruchu obrotowym, do określenia wielkości fizycznej, jaką jest prędkość, dodaje się często przymiotnik „liniowa”, aby podkreślić różnice między tą wielkością a prędkością kątową, również podawaną przy opisie tego ruchu.
Prędkość →v
jest wektorem stycznym do okręgu, po którym porusza się punkt materialny P. Zwrot wektora prędkości jest zgodny z kierunkiem ruchu punktu P (Rys. 1.).
Rys. 1. Punkt P porusza się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Wektor prędkości jest styczny do toru, czyli prostopadły do promienia okręgu
W przypadku ruchu jednostajnego po okręgu, pomimo tego że wartość prędkości pozostaje stała, jej kierunek zmienia się w sposób ciągły (Rys. 2.).
Rys. 2. Punkt materialny porusza się ruchem jednostajnym po okręgu przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Wartość prędkości pozostaje stała →vB = →vA
, ale kierunek wektora ulega zmianie
Dla ruchu jednostajnego po okręgu możemy zdefiniować okres ruchu.
Okres T
to czas jednego obiegu, czyli czas, po którym punkt ponownie znajdzie się w tym samym miejscu, wróci do położenia początkowego. Wyruszając z punktu K, wróci do niego po upływie jednego okresu (Rys. 3.).
Rys. 3. Punkt materialny poruszający się ruchem jednostajnym po okręgu przeciwnie do ruchu wskazówek zegara wróci do punktu K po upływie jednego okresu
Jednostką okresu jest sekunda [T ] = 1 s.
Kolejną wielkością charakteryzującą ruch jednostajny po okręgu jest częstotliwość f , czyli liczba obiegów wykonanych w jednostce czasu, najczęściej w ciągu 1 sekundy:
f =
1 T
Częstotliwość jest odwrotnością okresu. Jednostką częstotliwości jest herc:
f = 1 Hz =
1 s
Znając definicje okresu i częstotliwości, możemy zapisać związek między nimi a wartością prędkości
| |
| | | |
[]
liniowej. Wartość prędkości liniowej w ruchu jednostajnym po okręgu definiujemy jako stosunek długości Δs
zakreślonego przez punkt łuku AB do czasu Δt , w którym to nastąpiło (Rys. 4.):
v =
Δ s Δ t
Rys. 4. Punkt materialny przebywa drogę Δs w czasie Δt
W szczególnym przypadku, gdy punkt zakreśla pełny okrąg, wartość prędkości możemy znaleźć, biorąc pod uwagę drogę, jaką punkt przebędzie w ciągu jednego okresu T
. Wówczas: Δs = 2πr i Δt = T
.
Otrzymujemy wzór, pozwalający obliczyć wartość prędkości, gdy znamy okres ruchu:
v =
2πr T
Korzystając ze związku między okresem i częstotliwością, możemy napisać:
v = 2πrf
Słowniczek
Punkt materialny
(ang.: point particle or ideal particle) ciało obdarzone masą, którego rozmiary w danym zagadnieniu możemy zaniedbać. Wówczas położenie ciała opisujemy jako położenie punktu geometrycznego.
Tor ruchu
(ang.: trajectory) krzywa, po której porusza się punkt materialny.
Prędkość chwilowa
(ang.: instantaneous velocity) stosunek zmiany wektora położenia do czasu, w którym ta zmiana nastąpiła, przy założeniu, że czas jest bardzo mały (dąży do zera).
Grafika interaktywna
Wielkości fizyczne wykorzystywane do opisu ruchu jednostajnego po okręgu
Na rysunku przedstawione zostały dwie osie: oś czasu i oś częstotliwości, zwrócone przeciwnie. Oś czasu ma zwrot w prawo, oś częstotliwości – w lewo. Pomiędzy osiami znajdują się obszary aktywne.
Klikając na nie, możesz obejrzeć przykłady ruchu po okręgu. Twoim zadaniem będzie obliczenie prędkości liniowych tych obiektów na podstawie podanych wartości.
1. DUŻA PŁYTA GRAMOFONOWA (PŁYTA DŁUGOGRAJĄCA) Obraca się, wykonując 33⅓ obrotów na minutę
Średnica płyty: 30 cm
2. TALERZ OBROTOWY W KUCHENCE MIKROFALOWEJ Średnica talerza: 31,5 cm Częstotliwość obrotu talerza: 0,1 Hz
3. SATURN Okres obrotu Saturna wokół osi: T = 10 h 40 min
Promień równikowy Saturna (nie biorąc pod uwagę pierścienia): r = 60268 km
4. KSIĘŻYC Okres obiegu Księżyca wokół Ziemi: T = 27 dni 7 h 3 min
Średnia odległość Księżyca od środka Ziemi (promień orbity): r = 384,4‧10 km3
1 2 3 4
Polecenie 1
Prędkość, z jaką porusza się Księżyc, to:
1,5 km/s 1 km/s 2 m/s 1 m/s Polecenie 2
Prędkość liniowa, z jaką porusza się punkt znajdujący się na równiku Saturna, to:
2 m/s 10 m/s 1,6 km/s 9,8 km/s Polecenie 3
Prędkość liniowa, z jaką porusza się okruszek znajdujący się na brzegu talerza kuchenki mikrofalowej, to:
2 m/s 0,1 m/s 1,6 km/s 3 cm/s Polecenie 4
Igła gramofonu porusza się względem punktu znajdującego się na brzegu płyty z prędkością o wartości wynoszącej w przybliżeniu:
1,04 m/s 62,4 m/min 0,52 m/s 38 cm/s
Sprawdź się
Ćwiczenie 1
Zaobserwuj, w jaki sposób porusza się koniec sekundowej wskazówki zegara. Znajdź okres jego ruchu oraz częstotliwość.
Odpowiedź: Koniec wskazówki sekundowej: okres T = ... s; częstotliwość f = 1/... Hz. Ćwiczenie 2
Punkt materialny porusza się po okręgu ruchem jednostajnym. Wiedząc, że punkt wykonuje 5 obiegów w ciągu sekundy, znajdź okres tego ruchu.
Odpowiedź: T = ... s. Ćwiczenie 3
Cząstka porusza się ruchem jednostajnym po okręgu o promieniu 20 cm, wykonując 600 obrotów na minutę. Wskaż stwierdzenia prawdziwe:
(Wskazówka: Pamiętaj, aby wyrazić wszystkie wielkości w układzie SI.) okres ruchu cząstki wynosi 0,1 s
częstotliwość f = 10 Hz
wartość prędkości liniowej cząstki v = 4π
m s
częstotliwość f = 600 Hz Ćwiczenie 4
Zakładając, że wartość prędkości liniowej cząstki poruszającej się po okręgu jest stała, określ, jak zmieni się okres ruchu, jeśli promień okręgu zmaleje trzykrotnie.
trzykrotnie, dwukrotnie, czterokrotnie Odpowiedź: Okres zmaleje ...
Ćwiczenie 5
Jednoznaczną wartość okresu i częstotliwości możemy przypisać:
każdemu ruchowi krzywoliniowemu tylko ruchowi jednostajnemu po okręgu tylko ruchowi prostoliniowemu
każdemu ruchowi po okręgu Ćwiczenie 6
Punkt materialny porusza się po okręgu o promieniu R. Jak zmieni się okres ruchu tego punktu, jeśli prędkość liniowa punktu wzrośnie 4 razy?
Odpowiedź: Okres zmaleje ... razy.
Ćwiczenie 7
Średnica płyty CD wynosi 12 cm. W ciągu sekundy płyta wykonuje od 3 do 6 obrotów. Oblicz minimalną i maksymalną prędkość liniową punktów znajdujących się na brzegu tej płyty. Wynik podaj
z dokładnością do dwóch cyfr po przecinku.
Odpowiedź: vmin≈ ... m/s, vmax≈ ... m/s.
Ćwiczenie 8
Średnia odległość Ziemi od Słońca wynosi około 1, 5 ⋅ 108 km. Oblicz średnią wartość prędkości Ziemi w jej ruchu orbitalnym dookoła Słońca, zakładając, że jej orbita jest okręgiem. Wynik podaj
w zaokrągleniu do liczby całkowitej.
Odpowiedź: ... km/s.
Ćwiczenie 9
Cząstka porusza się ruchem jednostajnym po okręgu o promieniu R. Który z wykresów poprawnie przedstawia zależność okresu od prędkości?
a b c d
Dla nauczyciela
Imię i nazwisko autora: Magdalena Seroczyńska
Przedmiot: Fizyka
Temat zajęć: Wielkości fizyczne wykorzystywane do opisu ruchu jednostajnego po okręgu.
Grupa docelowa: III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres podstawowy i rozszerzony
Podstawa programowa:
Cele kształcenia - wymagania ogólne
I. Wykorzystanie pojęć i wielkości fizycznych do opisu zjawisk oraz wskazywanie ich przykładów w otaczającej rzeczywistości.
II. Rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem praw i zależności fizycznych.
Zakres podstawowy
Treści nauczania - wymagania szczegółowe I. Wymagania przekrojowe. Uczeń:
1) przedstawia jednostki wielkości fizycznych, opisuje ich związki z jednostkami podstawowymi; przelicza wielokrotności
i podwielokrotności;
4) przeprowadza obliczenia liczbowe posługując się kalkulatorem;
6) tworzy teksty, tabele, diagramy lub wykresy, rysunki schematyczne lub blokowe dla zilustrowania zjawisk bądź problemu; właściwie skaluje, oznacza i dobiera zakresy osi;
II. Mechanika. Uczeń:
4) opisuje ruch jednostajny po okręgu posługując się pojęciami okresu, częstotliwości i prędkości liniowej wraz z ich jednostkami;
Zakres rozszerzony
Treści nauczania - wymagania szczegółowe I. Wymagania przekrojowe. Uczeń:
1) przedstawia jednostki wielkości fizycznych, opisuje ich związki z jednostkami podstawowymi; przelicza wielokrotności
i podwielokrotności;
4) przeprowadza obliczenia liczbowe posługując się kalkulatorem;
6) tworzy teksty, tabele, diagramy lub wykresy, rysunki schematyczne lub blokowe dla zilustrowania zjawisk bądź problemu; właściwie skaluje, oznacza i dobiera zakresy osi;
II. Mechanika. Uczeń:
8) opisuje ruch jednostajny po okręgu, posługując się pojęciami: okresu, częstotliwości, prędkości liniowej oraz przemieszczenia kątowego, prędkości kątowej i przyspieszenia dośrodkowego wraz z ich jednostkami.
Kształtowane
kompetencje kluczowe:
Zalecenia Parlamentu Europejskiego i Rady UE z 2018 r:
kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji, kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii,
kompetencje cyfrowe,
kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.
Uczeń:
1. zastosuje wielkości takie jak okres i częstotliwość do opisu ruchu
Cele operacyjne:
1. zastosuje wielkości takie jak okres i częstotliwość do opisu ruchu jednostajnego po okręgu w konkretnych sytuacjach;
2. przeanalizuje ruch jednostajny po okręgu;
3. zdobędzie umiejętności rozpoznawania elementów składowych ruchu po okręgu, a także powiązań i relacji między okresem, częstotliwością i prędkością liniową;
4. rozwinie umiejętność analizy informacji związanych z ruchem jednostajnym po okręgu w celu jego opisu.
Strategie nauczania: Strategia Kształcenia Wyprzedzającego Metody nauczania dyskusja i wykład informacyjny
Formy zajęć: praca w parach i w grupach czteroosobowych Środki dydaktyczne:
- tablica,
- kolorowe mazaki,
- komputery (jeden na parę).
Materiały pomocnicze: grafika interaktywna z niniejszego e‑materiału PRZEBIEG LEKCJI
Rozpoznanie przez nauczyciela wiedzy wyjściowej uczniów związanej z pojęciem okresowych zmian np. w przyrodzie (pory roku, fazy Księżyca) oraz nawiązanie do tej wiedzy.
Faza realizacyjna:
- Nauczyciel w oparciu o przykłady zmian okresowych, podane przez uczniów, formułuje definicję okresu i częstotliwości.
- Uczniowie zastanawiają się nad jednostkami okresu i częstotliwości.
- Uczniowie pod kierunkiem nauczyciela zastanawiają się, w jaki sposób wykorzystać poznane pojęcia okresu i częstotliwości do opisu ruchu jednostajnego po okręgu.
- Uczniowie w parach analizują grafikę interaktywną zawartą w e‑materiale.
- Uczniowie na forum klasy prezentują uzyskane wyniki.
- Uczniowie w parach (innych niż poprzednio) zastanawiają się nad innymi przykładami ruchu jednostajnego po okręgu oraz metodami pomiaru okresu i częstotliwości tych ruchów. Prezentacja pomysłów na forum klasy.
- Nauczyciel zapisuje podane przez uczniów przykłady na tablicy.
- Nauczyciel dokonuje podziału klasy na czteroosobowe grupy i poleca uczniom wykonanie wykresów ilustrujących zależności:
- T(v), f(v), T(f) przy zachowaniu stałego promienia okręgu;
- T(r), f(r) przy zachowaniu stałej wartości prędkości liniowej;
- v(r), f(r) przy zachowaniu stałego okresu.
Faza podsumowująca:
Przedstawiciele grup prezentują na tablicy otrzymane wykresy.
Praca domowa:
Nauczyciel zadaje do wykonania zadania domowe zawarte w e‑materiale.
Wskazówki metodyczne opisujące różne
zastosowania danego multimedium:
Grafikę interaktywną uczniowie mogą wykorzystać po lekcji w celu powtórzenia i utrwalenia wiadomości.
