GRUPA 1
Zadania (VIII) z mechaniki kwantowej na ±rod¦, 16-go kwietnia 2014.
0. Wszystkie zadania z poprzednich ¢wicze«, w szczególno±ci:
0.1 Zbada¢ granic¦ E → U+ rozpraszania cz¡stek na progu po- tencjaªu E > U. Jak zachowuj¡ si¦ wspóªczynniki odbicia (R) i przepuszczenia (T) w tej granicy? Rozpatrzy¢ oba przypadki tzn.
cz¡stek padaj¡cych z lewej i prawej strony progu. Zinterpretowa¢
wyniki.
0.2 Pokaza¢ bezpo±rednim rachunkiem, omawianym na ¢wiczeniach,
»e energi¦ wªasn¡ stanu zwi¡zanego w studni Diraca, mo»na odzy- ska¢ z odpowiedniej granicy warunku kwantowania energii w studni prostok¡tnej.
1. Rozwi¡za¢ problem rozproszenia cz¡stki swobodnej na barierze potencjaªu o wysoko±ci U i szeroko±ci L. Obliczy¢ wspóªczynniki przepuszczenia, (I) → (III), i odbicia, (I) → (I), gdy E>U oraz dla E < U.
V (x) =
0, x < 0 (I)
U, (U > 0) 0 < x < L (II)
0, L < x (III)
(1) Czy wygodniej byªoby umie±ci¢ barier¦ symetrycznie wzgl¦dem po- cz¡tku ukªadu?
2. Udowodni¢, »e operator trójwymiarowego przesuni¦cia o wektor
~a ma posta¢
U (~a) = exp
i
¯ h~a.~ˆp
(2)
Wsk. Geometryczne przesuni¦cie o ~a jest zªo»eniem trzech przesu- ni¦¢ wzdªu» trzech osi ukªadu. Poda¢ te» alternatywne wyprowa- dzenie.
3. Parzysto±¢ π stanu kwantowego opisywanego przez funkcj¦ fa- low¡ f(x) jest zde niowana jako warto±¢ wªasna operatora parzy- sto±ci ˆP : ˆP f (x) = πf (x). Jaka jest parzysto±¢ stanów opisy- wanych przez parzyst¡/nieparzyst¡/dowoln¡ funkcj¦ falow¡? Wsk.
P f (x) ≡ f (−x)ˆ
4. Rozwi¡za¢ problem odbicia cz¡stki swobodnej od niesko«czonej
±ciany potencjaªu. Jakie warunki zszycia nale»y narzuci¢ w tym
1
przypadku? Uzasadni¢ to rozwa»aj¡c odpowiedni¡ granic¦ rozpro- szenia na sko«czonym progu potencjaªu.
J. Wosiek.
2
