NIERACHUNKOWE ZADANIA Z GAL-U
http://www.mimuw.edu.pl/∼ aweber/
Wersja 17.2.2017
1 Przestrze´ n sprze
,˙zona
1.1 Niech f (x, y, z) = 2x + y − 3z be,dzie funkcjona lem na R3. Zanale´z´c wsp´o lrze,dne f a) w bazie sprze,˙zonej do standardowej,
b) w bazie sprze˙zonej do (3, 0, 0), (0, 5, 0), (0, 0, 7), c) w bazie sprze˙zonej do (2, 0, 0), (1, 2, 0), (0, 1, 2).
1.2 Niech f, g : C2 → C be,da,funkcjona lami zadanymi wzorami f (x, y) = x + iy, g(x, y) = x − iy. Wykaza´c,
˙ze {f, g} stanowia,baze,(C2)∗. Znale´z´c taka,baze,α1, α2∈ C2, ˙ze {f, g} jest baza,sprze,˙zona,do {α1, α2}.
1.3 Niech n ∈ N. Badamy funkcjona ly liniowe z przestrzeni macierzy φ : Mn×n(R) → R. Opisa´c wszystkie funkcjona ly spe lniaja,ce to˙zsamo´s´c φ(AB) = φ(BA) dla dowolnych macierzy A, B ∈ Mn×n(R).
1.4 Wykaza´c, ˙ze funkcjona ly maja,takie same ja,dra wtedy i tylko wtedy gdy sa,proporcjonalne.
1.5 Niech dimV = n oraz niech f1, f2, . . . fn∈ V∗. Wykaza´c ˙ze f1, f2, . . . fnsa,liniowo niezale˙zne wtedi i tylko wtedy gdyTn
i=1ker(fi) = {0}.
2 Wyznaczniki
2.1 Liczby Bernouliego dane sa,wzorem
B
n= (−1)
n+1(2n)!
1
2!
1 0 0 . . . 0
1 3!
1
2!
1 0 . . . 0
1 4!
1 3!
1
2!
1 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . .
1 (2n+1)!
1 (2n)!
1 (2n−1)!
1
(2n−2)!
. . .
2!1.
Niech bi be,da,wsp´o lczynnikami rozwinie,cia Taylora x
ex− 1= 1 + b1x + b2x2+ b3x3+ . . . . Wykaza´c, ˙ze b1 = −12, b2n+1 = 0 dla n > 0, oraz b2n= (−1)(2n!)n+1Bn.
2.2 Udowodni´c
B
n= 1 2 (2n)!
1
3!
1 0 0 . . . 0
3 5!
1
3!
1 0 . . . 0
5 7!
1 5!
1
3!
1 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . .
2n−1 (2n+1)!
1 (2n−1)!
1 (2n−3)!
1
(2n−5)!
. . .
3!1.
2.3 Udowodni´c
B
n= 2
n(2n)!
1 4!
1
2!
0 0 . . . 0
2 6!
1 4!
1
2!
0 . . . 0
3 8!
1 6!
1 4!
1
2!
. . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . .
n (2n+2)!
1 (2n)!
1 (2n−2)!
1
(2n−4)!
. . .
4!1.
Wsk. Niech cn= b2n:
1 −1
2x + c1x2+ c2x4+ c3x6+ . . .
1 + x
2!+ x2 3! + x3
4! + . . .
= 1.
Przyr´owna´c wsp´o lczynniki przy pote,gach x do 0.
2.4 Niech A be,dzie macierza,rzeczywista,o m wierszach i n kolumnach, m ≥ n. Za l´o˙zmy, ˙ze A jest maksymal- nego rze,du. Udowodni´c, ˙ze det(ATA) 6= 0.
2.5 Niech Cl(n) be,dzie zbiorem funkcji wielomianowych na przestrzeni macierzy kwadratowych n × n, kt´ore przyjmuja, te same warto´sci na macierzach podobnych (tzw. funkcje klas). Oznaczmy przez Sym(x1, x2, . . . , xn) zbi´or wielomian´ow symetrycznych zmiennych x1, x2, . . . , xn. Niech D(x1, x2, . . . , xn) oznacza macierz diagonalna, o wyrazach x1, x2, . . . , xn. Wykaza´c, ˙ze przekszta lcenie
Cl(n) → Sym(x1, x2, . . . , xn) f 7→ f (D(x1, x2, . . . , xn)) jest izomorfizmem.
2.6 Dany cia,g liczb naturalnych k1 > k2 > · · · > kn, oraz cia,g parami r´o˙znych liczb rzeczywistych dodatnich x1, x2, . . . , xn. Udowodni´c, ˙ze znak wyznacznika macierzy
xk11 xk12 . . . xk1n xk21 xk22 . . . xk2n ... ... ... xkn1 xkn2 . . . xknn
nie zale˙zy od cia,gu ki. (Patrz zadania o funkcjach Schura.)
2.7 Niech A be,dzie kwadratowa, macierza, antysymetryczna, (tzn AT = −A) z wyrazami cakowitymi na przeka,tnej. Wykaza´c, ˙ze det(A) jest kwadratem.
3 Endomorfizmy
3.1 Cia,g Fibonacciego: F0= 0, F1 = 1, Fn+1= Fn+ Fn−1. Wyprowadzi´c wz´or na Fn.
3.2 Niech φ : V → V be,dzie endomorfizmem liniowych przestrzeni rzeczywistych. Wykaza´c, ˙ze je´sli λ ∈ C jest warto´cia,w lasna,, to λ te˙z jest warto´scia,w lasa,i dimVλ= dimVλ.
3.3 Zdiagonalizowa´c macierz a −b
b a
dla a, b ∈ R.
3.4 Wykaza´c, ˙ze macierza b b c
dla a, b, c ∈ R diagonalizuje sie,. 3.5 Skonstruowa´c przekszta lcenie liniowe φ : C → M2×2(R) takie, ˙ze
φ(z1z2) = φ(z1) · φ(z2).
3.6 Opisa´c wszystkie klasy sprze,˙zono´sci rzeczywistych macierzy 2 × 2.
3.7 Za l´o˙zmy, ˙ze K jest cia lem algebraicznie domknie,tym. (Wersja latwiejsza K = C.) Niech φ : V → V be,dzie przekszta lceniem spe lniaja,cym φk= Id dla pewnego k niepodzielnego przez char(K). Udowodni´c, ˙ze w pewnej bazie macierz φ jest diagonalizowalna.
3.8 Dla ka˙zego k > 1 poda´c przyk lad cia la K i operatora φ ∈ End(K2), kt´ory spe lnia φk= Id, lecz nie mo˙zna go zdiagonalizowa´c nawet je´sli sie,rozszerzy cia lo do algebraicznie domknie,tego.
3.9 Dane jest przekszta lcenie φ : K7→ K7. Wiemy, ˙ze warto´sci w lasne φ to 1 i 2. Ponadto wiemy, ˙ze 1) dim(ker(φ − Id)) = 2, dim(ker((φ − Id)2)) = 4,
2) dim(ker(φ − 2Id)) = 1, dim(ker((φ − 2Id)2)) = 2.
Jakiej postaci Jordana mo˙ze by´c macierz φ?
3.10 Za l´o˙zmy, ˙ze char(K) 6= 3. Niech φ : K4 → K4 be,dzie przekszta lceniem zadanym w bazie standardowej przez macierz
3 4 0 2
−1 −1 1 0
0 0 3 2
0 0 1 2
.
Znale´z´c baze,Jordana dla φ.
3.11 Niech φ : K5 → K5 be,dzie przekszta lceniem zadanym w bazie standardowej przez macierz
−2 1 1 0 0
1 2 −1 0 0
−2 2 1 0 0
−6 −6 5 −1 1
−2 2 2 0 −1
Znale´z´c baze,Jordana dla φ. Odpowied´z uzale˙zni´c od charakterystyki cia la.
3.12 Je´sli V jest przestrzenia zespolona,, przez VRrozumiemy przestrze´n wektorowa,rzeczywsta,, r´owna,V jako zbi´or, jedynie zapominamy o mno˙zeniu przez liczby urojone. Niech φ : V → V be,dzie liniowym izomorfizmem.
Wykaza´c, ˙ze φ przeprowadza dowolna,baze,VR na baze,zgodnie zorientowana,.
3.13 Wykaza´c, ˙ze je´sli izomorfizm liniowy φ zachowuje orientacje,, to mo˙zna znale˙z´c cia,g la, rodzine izomor- fizm´ow φt, t ∈ [0, 1], taka, ˙ze φ1 = φ i φ0 = Id.
3.14 Niech V = C∞(R), a) φ(f ) = (t2− 1)f0(t)0
. Sprawdzi´c, ˙ze wielomian Legendra Pn = 2n1n!
dn
dtn (t2− 1)n jest wektorem w lasnym z warto´scia,w lasna,n(n + 1).
b) φ(f ) = t f0− (1 − t2)f00. Sprawdzi´c, ˙ze wielomian Czebyszewa Tnjest wektorem w lasnym z warto´scia,w lasna, n2. (Wielomian Czebyszewa spe lnia cos(nx) = Tn(cos(x)).)
3.15 Obliczy´c A2013, gdzie A =
2 1 1 1
−1 0 1 0
0 0 2 2
0 0 1 3
lub A =
2 1 1 2
−1 0 1 2
0 0 2 2
0 0 1 3
. Wynik poda´c w postaci
C D C−1
3.16 Wykaza´c, ˙ze φ ∈ End(V ) jest diagonalizowalny wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdej podprzestrzeni niezmienniczej W ⊂ V istnieje niezmiennicze dope lnienie do sumy prostej V = W ⊕ U .
3.17 M´owimy, ˙ze ψ jest unipotentny je´sli ψ − Id jest nilpotentny. Za l´o˙zmy, ˙ze φ jest odwracalny. Udowodni´c,
˙ze je´sli φ zapisa´c jako φ = φsφu, gdzie φs jest diagonalizowalny, a φu jest unipotentny oraz φuφs = φsφu to czynniki sa,wyznaczone jednoznacznie.
3.18 Niech φ ∈ End(V ) (nie zak ladamy, ˙ze dim(V ) < ∞). Za l´o˙zmy, ˙ze φ spe lnia to˙zsamo´s´c wielomianowa, f (φ), oraz wielomian f (x) rozk lada sie, na czynniki wzgle,dnie pierwsze f (x) = g1(x)g2(x). Udowodni´c, ˙ze V rozk lada sie,na sume,prosta,niezmienniczych przestrzeni V = V1⊕ V2 oraz gi(φ|Vi) = 0 dla i = 1, 2.
3.19 Niech φ : V → V be,dzie endomorfizmem (V niekoniecznie skonczo´nego wymiaru). Niech f (x) be,dzie wielomianem rozk ladaja,cym sie,w ciele bazowym K na czynniki liniowe f (x) =Qk
i=1(x − λi)ni. Przypu´s´cmy, ˙ze f (φ) = 0. Udowodni´c, ˙ze V jest suma,prosta,podprzestrzeni pierwiastkowych
V = V(λ1)⊕ V(λ2)⊕ · · · ⊕ V(λ
k).
3.20 Niech V be,dzie przestrzenia, wektorowa, nad cia lem K. Za l´o˙zmy, ˙ze char K = 0 lub char K < dimV . Dany operator A dzia laja,cy na V . Pokaza´c, ˙ze je´sli tr(Ak) = 0 dla k = 1, 2, . . . dimV , to A jest nilpotentny.
3.21 Niech V be,dzie przestrzenia, sko´nczonego wymiaru nad Q i niech A : V → V be,dzie endomorfizmem, takim, ˙ze A5 = Id. Za l´o˙zmy, ˙ze 1 nie jest warto´scia,w lasna,. Udowodni´c, ˙ze wymiar V jest podzielny przez 4.
3.22 Niech V be,dzie przestrzenia, sko´nczonego wymiaru nad R i niech A : V → V be,dzie endomorfizmem, takim, ˙ze A2 = −Id. Udowodni´c, ˙ze wymiar V jest podzielny przez 2.
4 Przestrzenie afiniczne
4.1 Niech E be,dzie przestrzenia,afiniczna,, a A ⊂ E jej podzbiorem. Za l´o˙zmy, ˙ze dla dowolnej pary punkt´ow p, q ∈ A prosta af (p, q) ⊂ A. Czy A jest podprzestrzenia,afiniczna,?
4.2 M´owimy, ˙ze p, q, r, s ∈ E jest r´owoneleg lobokiem gdy ω(p, q) = −ω(r, s). Udowodni´c, ˙ze je´sli char(K) 6= 2, to 12p +12r = 12q + 12s.
4.3 Sformu lowa´c i udowodni´c twierdzenie Talesa w przestrzeni afinicznej nad cia lem K.
4.4 Twierdzenie Menelaosa. Niech p1, p2, p3∈ E oraz
q1 = a1p2+ (1 − a1)p3 q2 = a2p3+ (1 − a2)p1 q3 = a3p1+ (1 − a3)p2
dla a1, a2, a3 ∈ K. Udowodni´c, ˙ze q1, q2, q3 sa, wsp´o lliniowe wtedy i tylko wtedy gdy a1a2a3 = (a1− 1)(a2 − 1)(a3− 1).
4.5 Dane sze´s´c r´o˙znych punkt´ow A, B, C, P , Q i R w przestrzeni afinicznej nad K. Przypu´s´cmy, ˙ze punkty P , Q i R le˙za,odpowiednio na prostych af(B, C), af(C, A) i af(A, B):
P = pB + (1 − p)C Q = qC + (1 − q)A R = rA + (1 − r)B.
Znale´z´c warunek dla p, q, r ∈ K na to, by proste af(A, P ), af(B, Q) i af(C, R) przecina ly sie, w jednym punkcie.
(Za l´o˙zmy, ˙ze ˙zadne dwie proste wyste,puja,ce w zadaniu nie sa,r´ownoleg le.)
4.6 Dana jest przestrze´n afiniczna wymiaru n, jej baza punktowa oraz n + 1 punkt´ow qi. Niech ai,0, . . . , ai,n be,da,wsp´o lrzednymi barycentrycznymi punktu qi. Wykaza´c, ˙ze det(ai,j) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy punkty sa, w po lo˙zeniu szczeg´olnym.
4.7 Niech F : R2 → R2 be,dzie przekszta lceniem afinicznym takim, ˙ze F (pi) = qi, gdzie p0 = [2, 1], p1 = [1, 2], p2 = [1, 1]
a) q0= [1, 1], q1 = [1, 2], q2 = [0, 1]
b) q0 = [4, 1], q1 = [3, 3], q2 = [2, 1]
c) q0= [3, 1], q1 = [3, 2], q2 = [2, 1].
Znale´z´c punkty sta le i proste niezmiennicze przekszta lcenia F .
4.8 Niech A = Kn be,dzie przestrzenia, afiniczna,, a B podprzestrzenia, afiniczna, opisana, uk ladem r´owna´n afinicznych {fi(x) = 0}i∈I. Wykaza´c, ˙ze je´sli H jest hiperpowierzchnia, afiniczna, (tzn. dimA − dimH = 1) zawieraja,ca,B, to H mo˙zna opisa´c r´ownaniemP
i∈Iaifi(x) = 0 dla pewnego wyboru ai ∈ K.
4.9 Dane dwie podprzestrzenie afiniczne E i F wymiaru n w K2n+1. Za l´o˙zmy, ˙ze sa,one po lo˙zone sko´snie (tzn.
T E ∩ T F = {0} i E ∩ F = ∅). Ponadto dany punkt p nienale˙za,cy do ˙zadnej z tych podprzestrzeni.
a) Ile jest prostych afinicznych przechodza,cych przez p i przecinaja,cych E oraz F ?
b) Czy ka˙zda,taka,konfiguracje,(para przestrzeni i punkt) mo˙zna przekszta lci´c afinicznie na dowolna,inna,? 4.10 Niech K, L, M ⊂ K3 be,dzie tr´ojka,prostych parami sko´snych. Czy ka˙zda,taka,tr´ojke,mo˙zna przekszta lci´c na dowolna,inna,za pomoca,izomorfizmu afinicznego? Je´sli nie, to opisa´c orbity dzia lania grupy izomorfizm´ow afinicznych na zbiorze takich tr´ojek.
4.11 Wyznaczy´c wszystkie punkty sta le oraz proste i p laszczyzny zachowywane przez przekszta lcenie afiniczne f : R3 → R3 zdefinowane na bazie punktowej:
f (3, 2, 3) = (2, 4, 6) f (4, 2, 3) = (1, 8, 12) f (3, 3, 3) = (−1, −5, −1) f (3, 2, 4) = (6, 12, 11).
(Zbi´or X jest zachowywany przez f gdy f (X) ⊂ X.)
5 Przekszta lcenia rzutowe
5.1 Niech f (x, y) = (1/x, y/x). Znale´z´c przeciwobraz okre,gu x2+ y2 = 1.
5.2 Niech f (x, y) = (x/(x − 1), y/(x − 1)). Znale´z´c przeciwobraz okre,gu x2+ y2 = 1.
Niech A be,dzie odwracalna,macierza,wymiaru n + 1. Okre´slamy przekszta lcenie Kn wzorem fA(x1, . . . , xn) = (y1/y0, . . . , yn/y0), gdzie y = (y0, y1, . . . , yn)T = A(1, x1, . . . xn)T.
5.3 Wykaza´c, ˙ze fA przeprowadza kwadryki w Knna kwadryki.
5.4 Wykaza´c, ˙ze elipsy, hiperbole i parabole na p laszczy´znie sa,rzutowo r´ownowa˙zne. Znale´z´c przekszta lcenia rzutowe przeprowadzaja,ce afiniczne jedne postacie kanoniczne na drugie.
5.5 Znale´z´c przekszta lcenie rzutowe R2 przeprowadzaja,ce hiperbole,na parabole,.
5.6 Znale´z´c przekszta lcenie rzutowe R2 przeprowadzaja,ce dwie przecinaja,ce sie,proste na proste r´ownoleg le.
5.7 Czy istnieje przekszta lcenie rzutowe R3 przeprowadzaja,ce sfere,na paraboloide,hiperboliczna,(tzn. siod lo)?
5.8 Niech µn+1(K) be,dzie zbiorem rozwia,za´n r´ownania xn+1 = 1 w ciele K. To jest podgrupa K∗. Niech SLn+1(K) be,dzie grupa, przekszta lec´n o wyznaczniku 1. Wykaza´c, ˙ze je´sli w K mo˙zna wycia,ga´c pierwiastki stopnia n + 1, to poni˙zszy cia,g jest dok ladny:
µn+1(K) ,→ SLn+1(K) P GLn+1(K).
5.9 Przekszta lcenie rzutowe Pn(K) jest wyznaczone przez warto´sci na n + 2 punktach takich, ˙ze ka˙zde n + 1 punkt´ow nie le˙zy w przestrzeni rzutowej mniejszego wymiaru.
5.10 Udowodni´c, ˙ze przekszta lcenia rzurowe zachowuja,wsp´o lliniowo´s´c oraz dla czw´orki punkt´ow le˙za,cch na jednej prostej p, q, r, s ∈ L zachowany jest dwustosunek
x(p) − x(r)
x(p) − x(s) ·x(q) − x(s) x(q) − x(r) ∈ K,
gdzie x(p), x(q), x(r), x(s) ∈ K sa,wsp´o lrzednymi afinicznymi na L danych punkt´ow.
6 Grupy przekszta lce´ n
6.1 Je´sli przekszta lcenie liniowe K2 zachowuje 3 r´ozne proste, to jest mno˙zeniem przez skalar.
6.2 Niech zbi´or X be,dzie zbiorem par prostych (liniowych) w K2. Grupa G = GL(2, K) dzia la na X w spos´ob oczywisty. Opisa´c orbity.
6.3 To samo zadanie dla X, kt´ory jest zbiorem tr´ojek prostych.
6.4 To samo zadanie dla X, kt´ory jest zbiorem tr´ojek prostych w K3 oraz G = GL(3, K).
6.5 To samo zadanie dla X, kt´ory jest zbiorem tr´ojek prostych afinicznych w K2oraz G = Af f (K2) jest grupa, przekszta lce´n afinicznych.
6.6 To samo zadanie dla X, kt´ory jest zbiorem konfiguracji typu 2 proste + punkt w K2 oraz G = Af f (K2).
6.7 To samo zadanie dla X, kt´ory jest zbiorem konfiguracji typu 2 proste + punkt w K3 oraz G = Af f (K3).
6.8 Grupa G = Z/2 dzia la na C2 poprzez zamiane, zmiennych: τ (x, y) = (y, x) dla 0 6= τ ∈ G. Niech F : C2 → C2 be,dzie zadane wzorem F (x, y) = (x + y, xy). Wykaza´c, ˙ze F zadaje bijekcje pomie,dzy C2/G a C2. Czy to samo jest prawdziwe je´sli zasta,pi´c C przez R?
6.9 Grupa permutacji Σn dzia la na Cn poprzez permutowanie wsp´o lrze,dnych. Znale´z´c funkcje,wielomianowa, Cn→ Cn zadaja,ca,bijekcje,Cn/Σn' Cn.
6.10 Ustalamy liczbe, naturalna, n. Niech Gn ⊂ GL(2, R) be,dzie grupa, obrot´ow o ka,ty postaci 2kπn . Znale´z´c funkcje,wielomianowa,sta la,na orbitach dzia lania Gn, kt´ora zadaje bijekcje,R2/Gnz R2.
6.11 Grupa multiplikatywna K∗= K \ {0} dzia la na K2\ {0} przez mno˙zenie a · v = av. Iloraz (K2\ {0})/K∗ oznaczamy przez P1. Niech L ⊂ R3 be,dzie prosta,afiniczna,. Zbi´or p laszczyzn zawieraja,cych L oznaczamy przez X(L). Znale´z´c bijekcje,X(L) ' P1.
7 Formy 2-liniowe
char(k) 6= 2 !
7.1 Wyznaczniki kolejnych minor´ow maja,znaki jak poni˙zej. Jakiej postaci mo˙ze by´c forma? a) + 0 −, b) + + 0 −, c) + − 0 +, d) + + 0 −, e) + − 0 −, itp.
7.2 Niech φ be,dzie dwuliniowa,forma,na przestrzeni liniowej K4 zadana,w bazie standardowej przez macierz
0 0 2 1 0 0 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1
.
Czy istnieje baza, w kt´orej forma φ ma macierz
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
?
Odpowied´z uzale˙zni´c od w lasno´sci cia la K.
7.3 Niech V be,dzie przestrzenia, funkcji r´o˙zniczkowalnych na przedziale [0, 1], zeruja,cych sie, w 0 i 1. Niech φ(f, g) =R1
0 f (x)g0(x)dx. Wykaza´c, ˙ze jest to forma antysymetryczna.
7.4 Niech V = M (2 × 2; K) be,dzie przestrzenia, liniowa, macierzy. Definiujemy symetryczna, forme, 2-liniowa, φ(A, B) = −T r(AB). Dla K = R zbada´c okre´slono´s´c tej formy na przestrzeni macierzy symetrycznych i antysymetrycznych.
7.5 W niech φ be,dzie niezdegenerowana,symetryczna,forma,2-liniowa,w Cn. Jakiego wymiaru sa,maksymalne podprzestrzenie izotropowe (tzn takie W ⊂ Cn, ˙ze φ|W ≡ 0)?
7.6 Je´sli a + b 6= 0, to macierza 0 0 b
jest kongruentna doa + b 0 0 ab(a + b)
. 7.7 Znale´z´c rodziny prostych pokrywaja,ce powierzchnie,
a) hiperboloida jednopowlokowa x2+ y2− z2= 1, b) paraboloida hiperboloczna x2− y2= 2z.
7.8 Niech be,da,dane dwie przestrzenie V i W z iloczynami skalarnymi. W przestrzeni przekszta lce´n liniowych L(V, W ) wprowadzamy forme,2-liniowa,wzorem Θ(φ, ψ) = tr(φ ◦ ψ∗). Wykaza´c, ˙ze Θ jest iloczynem skalarnym.
7.9 Niech Θ be,dzie jak wy˙zej. Oraz niech A i B be,da, izometriami przestrzeni V i W odpowiednio. Niech α : L(V, W ) → L(V, W ) be,dzie przekszta lceniem danym wzorem α(φ) = BφA−1. Wykaza´c, ˙ze α jest izometria,. 7.10 To samo polecenie, ale nie zak ladamy, ˙ze formy 2-liniowe na V i W sa,iloczynami skalarnymi tylko, ˙ze sa,niezdegenerowane i symetryczne. Pytamy, czy Θ jest niezdegenerowane i symetryczne i czy α zachowuje Θ.
7.11 Dana antysymetryczna forma φ na V . Niech W ⊂ V be,dzie podprzestrzenia,, dim(W ) = k. Za l´o˙zmy, ˙ze φ zeruje sie,na W , tzn. dla ka˙zdych α, β ∈ W mamy φ(α, β) = 0. Udowodni´c, ˙ze mo˙zna znale´z´c baze,Darboux przestrzeni V taka,, ˙ze pierwszych k wektor´ow rozpina W .
7.12 Udowodni´c, ˙ze dla A ∈ M (n × n; K) je´sli A = −AT to istnieje p ∈ K takie, ˙ze det(A) = p2, tzn.
wyznacznik macierzy antysymetrycznej jest zawsze kwadratem.
7.13 Dana jest A – macierz antysymetryczna o wyrazach ca lkowitych. Wykaza´c, ˙ze det A jest kwadratem.
7.14 Forme,kwadratowa,xy + yz + xz w R3 zapisa´c w postaci sumy ±kwadrat´ow. Znale´z´c baze,R3 w kt´orej dana forma ma posta´c diagonalna,.
7.15 Niech A = (aij), B = (bij), C = (cij) be,da,macierzami symetrycznymi (nad R), przy czym cij = aijbij. Udowodni´c, ˙ze je´sli A i B sa,dodatnio okre´slone, to C jest dodatnio okre´slona.
7.16 Niech A i B be,da,rzeczywistymi macierzami symetrycznymi i dodatnio okre´slonymi. Warto´sci w lasne A nale˙za,do odcinka [a, b], a warto´sci w lasne B nale˙za,do odcinka [c, d]. Wykaza´c, ˙ze warto´sci w lasne A + B nale˙za, do odcinka [a + c, b + d].
7.17 Forma 2-liniowa spe lnia warunek:
f (x, y) = 0 ⇒ f (y, x) = 0 . Wykaza´c, ˙ze f jest symetryczna albo antysymetryczna.
7.18 Niech ω be,dzie niezdegenerowana, 2-liniowa, forma, antysymetryczna, na przestrzeni V . Niech L be,dzie podprzestrzenia,Lagrange’a (tzn. maksymalna,podprzestrzenia, taka,, ˙ze ω(x, y) = 0 dla x, y ∈ L). Wykaza´c, ˙ze istnieje baza przestrzeni V :
α1, α2, . . . , αn, β1, β2, . . . , βn
taka, ˙ze wektory αi rozpinaja, L, wektory βi rozpinaja, inna, podprzestrze´n Lagrange’a oraz ω(αi, βj) = δji, ω(βi, βj) = 0.
7.19 Dane macierze:
A1 =−3 0 0 −2
, A2 =3 0 0 2
, A3 =1 0 0 1
, A4 =
2 −2
−2 5
, A5 =
35 −25
−25 35
.
Kt´ore z tych macierzy sa,kongruentne nad Q? (M´owimy, ˙ze A i B sa, kongruentne nad Q je´sli istnieje macierz odwracalna C o wsp´o lczynnikach wymiernych taka, ˙ze A = CTBC.)
7.20 10. Czy istnieje macierz rzeczywista symetryczna 4 × 4, kt´orej znaki minor´ow sa,naste,puja,ce?
a) − , + , 0 , − b) − , + , 0 , +
Czy znamy sygnature,tej macierzy?
7.21 Cia lo k = R. Niech Γ be,dzie grafem o wierzcho lkach v ∈ I. Definiujemy symetryczna,forme,dwuliniowa, na przestrzeni liniowej rozpie,tej przez wierzcho lki V = linv∈I{ev}:
f (ev, ev) = 2
f (ev, ew) = −1 gdy vw jest krawe,dzia, f (ev, ew) = 0 gdy vw nie jest krawe,dzia, (zak ladamy, ˙ze nie ma krawe,dzi vv.)
Kiedy otrzymana forma jest dodatnio okre´slona?
Kt´ore z tych form (dodatnio okre´slonych) sa,jednocze´snie niezdegenerowane nad ka˙zdym Fp? Wskaz´owka:
dy
7.22 Niech ei, i = 1, 2, . . . , n be,dzie standardowa,baza,Rn. Sprawdzi´c, ˙ze αi= ei− ei+1dla i = 1, 2, . . . , n − 1 wraz z αn = en−1+ en jest baza, Rn. Upewni´c sie,, ˙ze macierz standardowego iloczynu skalarnego w bazie {αi} jest macierza,stowarzyszona,z jednym z powy˙zszych graf´ow.
7.23 Ile sk ladowych ma grupa O(m, n) tzn grupa izometri formy typu (1)m+ (−1)n? Wsk. O(m, n) ∩ O(m + n) = O(m) × On) ma tyle samo sk ladowych co O(m, n).
7.24 Sklasyfikowa´c formy dwuliniowe symetryczne Q2. Kt´ore macierze symetryczne 2 × 2 sa,kongruentne do macierzy jednostkowej?
7.25 Niech H oznacza przestrze´n K2 z forma,zadana,przez macierz 0 1 1 0
. Dana niezdegenerowana forma dwuliniowa (V, φ), dim(V ) = n. Udowodni´c, ˙ze (V, φ) ˙⊥(V, −φ) ' H( ˙⊥n).
8 Iloczyny skalarne
8.1 a) Wykaza´c ˙ze forma 2-liniowa φ(A, B) = −T r(AB) jest iloczynem skalarnym na przestrzeni liniowej macierzy antysymetrycznych n × n.
b) Wykaza´c, ˙ze φ(CAC−1, CBC−1) = φ(A, B) je´sli C jest macierza, odwracalna,. Wskaza´c wszystkie formy kwadratowe o tej w lasno´sci. Kt´ore z nich sa, dodatnio/ujemnie okre´slone na przestrzeni liniowej macierzy an- tysymetrycznych/symetrycznych?
8.2 Niech dimW < ∞ i U, V ⊂ W . Wykaza´c a) (V⊥)⊥= V ;
b) (U + V )⊥= U⊥∩ V⊥; c) (U ∩ V )⊥ = U⊥+ V⊥; d) 0⊥= W oraz W⊥= 0.
8.3 Znale´z´c przyk lad (V, φ) niesko´nczonego wymiaru taki, ˙ze istnieje W V , W⊥= {0}.
8.4 Znale´z´c odleg los´c pomie,dzy prostymi [1, 0, −2] + t(0, 1, 1) i [1, 0, 1] + t(1, −1, 0).
8.5 Niech v1, v2, . . . vn∈ Rk, a h be,dzie odleg lo´scia,v1od lin{v1, v2, . . . vn−1}. Udowodni´c wz´or na wyznaczniki Gramma:
G(v1, v2, . . . vn) = h2G(v1, v2, . . . vn−1).
8.6 Niech φ i ψ be,da,izometriami. Wykaza´c, ˙ze ker(φ − ψ) ⊥ ker(φ + ψ).
8.7 Wykaza´c, ˙ze ka˙zda,niezdegenerowana,macierz mo˙zna przedstawi´c jako iloczyn AB macierzy symetrycznej, dodatnio okre´slonej A i ortogonalnej B (tzn. B BT = I).
Wsk. Wykaza´c ˙ze dla ka˙zdej macierzy symetrycznej i dodatnio okre´slonej P istnieje (wyznaczona jednoznacznie) macierz symetryczna i dodatnio okre´slona Q, taka ˙ze Q2= P .
8.8 Niech A be,dzie macierza,symetryczna,i dodatnio okre´slona,, a B ortogonalna,(tzn. B BT = I). Wykaza´c,
˙ze
(i) je´sli AB i BA sa,symetryczne i dodatnio okre´slone, to B = I.
(ii) je´sli AB i BA sa,ortogonalne, to A = I.
8.9 Wskaza´c bijekcje,pomie,dzy zbiorem iloczyn´ow skalarnych w Rn a zbiorem Rn>0× Rn(n−1)2 .
8.10 Niech 1 ≤ k < n oraz niech φ be,dzie przekszta lceniem liniowym Rn. Za l´o˙zmy,˙ze φ zachowuje obje,to´s´c k-wymiarowych r´ownoleg lobok´ow. Udowodni´c, ˙ze φ jest izometria,.
8.11 Wykaza´c, ˙ze
O(n) × T+→ GLn(R) (A, B) 7→ AB
jest bijekcja,. (O(n) to macierze ortogonalne, a T+macierze g´ornotr´ojka,tne z wyrazami dodatnimi na przeka,tnej.) 8.12 Udowodni´c analogiczny fakt dla macierzy zespolonych.
8.13 Czy
T+→ {iloczyny skalarne}
A 7→ ATA jest bijekcja,?
8.14 Znale´z´c bijekcje,
GL(R3) ' P3(R) × Z2× R6.
9 Obje
,to´ s´ c i odleg lo´ s´ c
9.1 Niech V ⊂ R4 be,dzie opisana r´ownaniami x1 = x − 2, x3 = x4 oraz niech L = {[1, −1, 1, −1] + t(1, 1, 1, 2) | t ∈ R}. Znale´z´c odleg lo´s´c V od L.
9.2 Niech ∆n ⊂ Rn+1 be,dzie standardowym sympleksem, tj. rozpie,tym przez wektory bazowe εi. Obliczy´c obje,to´s´c ∆n.
9.3 Niech A i B be,da,roz la,cznymi ´scianami w ∆n wymiar´ow k i n − k − 1. Znale´z´c ich odleg lo´s´c.
9.4 Niech V be,dzie przestrzenia,euklidesowa,wymiaru n. Niech S be,dzie sympleksem o wierzcho lkach p0, p1, . . . pn takich, ˙ze |pi− pj| = 1 dla i 6= j. Wyznaczy´c wysoko´s´c sympleksu hn. Obliczy´c limn→∞hn.
9.5 Niech ∆(a0, a1, . . . an) oznacza sympleks rozpie,ty przez odpowiednie wierzcho lki. Znale´z´c zwia,zek (np ≤) pomie,dzy obje,to´sciami |∆(a0, a1, . . . an)|, |∆(b0, b1, . . . , bm)|, |∆(a0, a1, . . . an, b0, b1, . . . , bm)| i odleg lo´scia, h = d(∆(a0, a1, . . . an), ∆(b0, b1, . . . , bm)). (Dla m = 0 mamy |∆(a0, a1, . . . an, b0)| = (n+1)!1 h|∆(a0, a1, . . . an)|.)
9.6 Dane niezerowe wektory α1, α2, . . . , αn∈ V takie, ˙ze |](αi, αj)| > π2. Wykaza´c, ˙ze dimV ≥ n − 1.
9.7 Niech A be,dzie nieujemnie okre´slona,macierza,symetryczna,z ujemnymi wyrazami poza przeka,tna,. Udowodni´c,
˙ze rz(A) ≥ n − 1.
9.8 Dana macierz symetryczna dodatnio okre´slona postaci E = A B BT C
. Udowodni´c, ˙ze det E ≤ det A det C.
9.9 Niech E be,dzie przestrzenia, euklidesowa,. Znale´z´c warunki koniecze i dostateczne na to by liczby ai,j, 1 ≤ i, j ≤ n by ly odleg lo´sciami uk ladu punkt´ow pi ∈ E, tzn ai,j = d(pi, pj).
9.10 Niech ∈ R3. Udowodni´c formu le,na rzut na (lin{a})⊥ w R3 π(b) = b × (a × b)/|b|2. 9.11 Udowodni´c, ˙ze dla wektor´ow w R3 zachodzi
- (a × b, c) = (b × c, a).
- |a × b|2+ (a, b)2= |a|2|b|2
- ((a + b), ((a + c) × b)) = −(a, (b × c))
- ((a + 2b − c), ((a − b) × (a − b − c))) = 3(a, (b × c)) - (a × b) × (c × d) = ((a × c), d)b − ((b × c), d)a - a × (b × c) − (a × b) × c = (b, c)a − (a, b)c
10 Przekszta lcenia samosprze
,˙zone
10.1 Wykaza´c, ˙ze funkcje √1
2, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . stanowia, uk lad ortogonalny wektor´ow w lasnych samosprze,˙zonego operatora dxd22 w przestrzeni funkcji cia,g lych o okresie 2π z iloczynem skalarnym (f, g) = R2π
0 f (x)g(x)dx
10.2 Niech A be,dzie liniowym operatorem. Wykaza´c, ˙ze ATA jest ma warto´sci w lasne rzeczywiste nieujemne.
Wywnioskowa´c (nie rozwia,zuja,c r´owna´n r´o˙zniczkowych), ˙ze waro´sci w lasne Laplasjanu ∆ : C∞(S1) → C∞(S1) sa,niedodatnie.
10.3 Udowodni´c, ˙ze je´sli φ i ψ sa,przekszta lceniami samosprze,˙zonymi oraz sa,ze soba,przemienne, to φψ te˙z jest samosprze,˙zone. Wykaza´c, ˙ze przemienno´s´c jest konieczna.
10.4 Niech φ be,dzie przekszta lceniem samosprze,˙zonym. Wykaza´c, ˙ze ker φ ⊥ im φ oraz ker φ i im φ rozpinaja, ca la,przestrze´n (ortogonalna suma prosta).
11 Tensory
11.1 Dane φ ∈ End(V ) oraz ψ :∈ End(W ). Znamy ich postacie Jordana. Jaka jest posta´c Jordana przek- szta lcenia φ × ψ ∈∈ End(V ⊗ W )?
11.2 Dane φ ∈ End(V ) oraz ψ :∈ End(W ). Wyrazi´c tr(φ ⊗ ψ) i det(φ ⊗ ψ) za pomoca,niezmiennik´ow φ i ψ.
11.3 Dana forma kwadratowa φ na przestrzeni wektorowej V . Definiujemy algebre,Cliforda Cl(q) = (K ⊕ V ⊕ (V ⊗ V ) ⊕ (V ⊗ V ⊗ V ) . . . ) / ∼,
gdzie ∼ jest relacja,r´ownowa˙zno´sci generowana,przez α ⊗ α ∼ q(α). Znale˙z´c dim(Cl(q)) (nie zale˙zy on od q).
11.4 Przedstawi´c C i H jako algebry Cliforda dla odpowiednio dobranych kwadratowych form rzeczywistych.
ZADANIA TRUDNIEJSZE
12 Kwaterniony
12.1 Niech
1 =1 0 0 1
, i = i 0 0 −i
, j = 0 1
−1 0
, k =0 i i 0
. Udowodni´c
i2= j2 = k2 = −1, i j = k, j k = i, k i = j.
12.2 Niech
H = linR{1, i, j, k}.
Udowodni´c, ˙ze w H ka˙zdy element r´o˙zny od zera jest odwracalny. Na ile sposob´ow mo˙zna zanurzy´c cia lo C w H?
12.3 Przekona´c sie,, ˙ze na H forma 2-liniowa hx, yi = 12T r(x¯yT) przyjmuje warto´sci rzeczywiste i jest iloczynem skalarnym. Sprawdzi´c, ˙ze 1, i, j, k jest baza, ortonormalna,. Niech S3 be,dzie sfera, jednostkowa,. Udowodni´c S3 = SU (2).
12.4 Niech
im H = linR{i, j, k}.
Grupa SU (2) dzia la na im H:
x 7→ qxq−1
dla x ∈ im H, q ∈ SU (2) (sprarawdzi´c, ˙ze wynik dzia lania nale˙zy do im H). Wykaza´c, ˙ze to dzia lanie zachowuje iloczyn skalarny w im H. Wykaza´c ˙ze otrzymujemy przekszta lcenie SU (2) → SO(3) takie, ˙ze przeciwobraz ka˙zdego elementu jest dwulelementowy.
12.5 Wyrazi´c mno˙zenie w kwaternionach za pomoca,iloczynu skalarnego i wektorowego w im H.
13 Zadania o oktonionach
13.1 Niech a, b ∈ O. Sprawdzi´c, ˙ze
kak2 = a ¯a ∈ R≥0 i udowodni´c:
ka bk = kak kbk.
13.2 Udowodni´c, ˙ze dla a, b ∈ O mamy
a (b b) = (a b) b , a (a b) = (a a) b .
13.3 Niech a, b ∈ O, ||a|| = ||b|| = 1, a ⊥ b. Wykaza´c, ˙ze istnieje automorfizm oktonion´ow przeprowadzaja,cy a na e1 i b na e1 (gdzie ei dla i = 1, 2, . . . 7 standardowa baza im O).
14 Zadania o expie : M (n × n, R) → GL
n(R)
Wykaza´c:
14.1 Jesli [A, B] = 0, to eAeB = eA+B 14.2 det(eA) = etr A
14.3 Niech Log(I + A) = A − 12A2+13A3−14A4+ . . . . Sprawdzi´c, ˙ze Log(etAetB) = t(A + B) + 1
2t2[A, B] + 1
12t3(±[A, [A, B]] ± [B, [B, A]]) + t4????
Ustali´c znaki i wyrazi´c wyrazy przy t4 za pomoca,komutator´ow.
(Wzory Bakera-Campbella-Hausdorffa.)
14.4 Wykaza´c, ˙ze wyrazy szeregu Log(etAetB) mo˙zna wyrazi´c za pomoca,A, B i operacji komutatora.
14.5 Sprawdzi´c, ˙ze
exp: Macierze symetryczne → symetryczne, dodatnio okre´slone exp: Macierze antsymetryczne → ortogonalne
jest przekszta lceniem ,,na”.
14.6 Niech sl2(R) oznacza zbi´or macierzy o ´sladzie 0. Czy exp : sl2(R) → SL2(R) jest epimorfizmem?
14.7 Obliczy´c exp od klatki Jorana u˙zywaja,´c rozk ladu na cze,´s´c p´o lprosta, i nilpotentna,. Zobaczy´c, ˙ze w wyniku dostajemy multiplikatywny rozk lad na cze,´s´c p´o lprosta,i unipotentna,.
14.8 Niech J =0 −I
I 0
∈ M (2n × 2n, R). Definiujemy
Sp(n) = {A ∈ GL2n(R) | AJAT = J }, sp(n) = {A ∈ M (2n × 2n, R) | AJ + JAT = 0}.
Udowodni´c, ˙ze exp(sp(n)) ⊂ Sp(n).
14.9 Niech B ∈ M (n × n, R). Definiujemy
GB = {A ∈ GL2n(R) | ABAT = B}, gB(n) = {A ∈ M (n × n, R) | AB + BAT = 0}.
Udowodni´c, ˙ze exp(gB) ⊂ GB. Ponadto macierze A ∈ GB dostatecznie bliskie I sa,w obrazie.
Wsk. Najpierw rozpatrze´c B odwracalne, a potemB −I
I 0
15 Funkcje Schura
Definiujemy funkcje,Schura dla λ = (λ1 ≥ λ2≥ · · · ≥ λn≥ 0)
Sλ(x1, x2, . . . , xn) = Wλ/W0
gdzie
Wλ = det
(xλij+n−j)i,j∈{1,...,n}
. 15.1 Dla przyk ladu policzy´c
S3,1,0 = x31x2+ x21x22+ x1x23+ x31x3+ 2x21x2x3+ 2x1x22x3+ x32x3+ x12x23+ 2x1x2x23+ x22x23+ x1x33+ x2x33 15.2 Wykaza´c, ˙ze funkcja Sλ(x1, x2, . . . , xn) jest wielomianem zmiennych x1, x2, . . . xn. Ponadto dla dowolnej permutacji σ:
Sλ(xσ(1), xσ(2), . . . , xσ(n)) = Sλ(x1, x2, . . . , xn).
M´owimy, ˙ze funkcja Sλ(x1, x2, . . . , xn) jest symetryczna,funkcja,zmiennych x1, x2, . . . , xn.
15.3 Sprawdzi´c, ˙ze je´sli λ = (1, 1, 1, .., 1, 0, 0, 0, . . . , 0) (k-jedynek) to Sλ jest elementarna,funkcja,symetryczna,
ek = X
i1<i2<···<ik k
Y
j=1
xij.
Przedstawi´c hk := Sk,0,0,...,0jako sume,jednomian´ow.
15.4 Mamy
n
Y
i=1
(1 + xi) =
n
X
k=0
ek. Wykaza´c
n
Y
i=1
1 1 − xi
=
∞
X
k=0
hk.
15.5 Przyjmujemy konwencje,hi = 0 dla i < 0. Udowodni´c:
Sλ = det
hλ1 hλ1+1 hλ1+2 . . . hλ1+n−1
hλ2−1 hλ2 hλ2+1 . . . hλ2+n−2 hλ3−2 hλ3−1 hλ3 . . . hλ2+n−3
. . . .
hλn−n+1 hλn−n+2 hλn−n+3 . . . hλn
15.6 Wykaza´c, ˙ze funkcje Schura stanowia,baze,przestrzeni wielomian´ow symetrycznych zmiennych x1, x2, . . . , xn. 15.7 . Wykaza´c ˙ze dla k < n mamy
Sλ(x1, x2, . . . , xk, 0, . . . , 0) = 0 jesli λk+1> 0, oraz
Sλ(x1, x2, . . . , xk, 0, . . . , 0) = Sλ(x1, x2, . . . , xk) w przeciwnym przypadku.
15.8 Udowodni´c, ˙ze ka˙zda funkcja Schura jest kombinacja,jednomian´ow z nieujemnymi wsp´o lczynnikami.
16 Zadania kategoryjne
16.1 Udowodni´c dla U, W ⊂ V :
(U + W )/U = W/(U ∩ W ).
16.2 Niech φ : W → V be,dzie przekszta lceniem liniowym. Koja,dro coker(φ) definiujemy poprzez w lasno´s´c uniwersalna,.
coker(ψ)
W V
U
// ∃!ψ ψ
**0
440 ::
π
$$
∀ψ
Udowodni´c coker(φ) ' V /im(φ)
16.3 Zweryfikowa´c kategoryjna,definicje,ja,dra:
ker(ψ)
W V
U
tt
0
zz π
oo ψ dd ∀ψ
jj
0
OO
∃!ψ
16.4 Kategoryjna definijcja produktu: Je´sli V wraz z przekszta lceniami π1, π2 spe lnia warunek dla dowolnej przestrzeni U oraz przekszta lce´n φi, φj istnieje dok:ladnie jedno przekszta lcenie ψ, takie, ˙ze φi= πiψ dla i = 1, 2
V1
U V
V2
??∀φ1
∀φ2
//∃! ψ
__ π
1
π2
wtedy V ' V1× V2.
16.5 Sformu lowa´c definicje,zewne,trznej sumy prostej (koproduktu):
V1
U V
V2
∀φ1
i1
oo ∃! ψ__
∀φ1
??
i2
Pokaza´c, ˙ze w ´swiecie przestrzeni liniowych zewnetrzna suma prosta jest izomorficzna z V1× V2, ale tak nie jest w ´swiecie zbior´ow.
16.6 Wiadomo, ˙ze algebra tensorowa
T0V =M
i≥0
V⊗i ma w lasno´s´c uniwersalna,
Homprestrzenie wektorowe(V, A) = Homalgebry(T0(V ), A) . Znale´z´c w lasno´s´c uniwersalna,charakteryzuja,ca,S•V .
16.7 Znale´z´c w lasno´s´c charakteryzuja,ca,algebre,zewne,trzna,Λ•V . (Wsk: rozpatrze´c superalgebry przemienne, tzn. algebry A =L
i∈F2Ai w kt´orych zachodzi a · b = (−1)ijb · a je´sli a ∈ Ai, b ∈ Aj.)
16.8 Rozwa˙zmy DSCA – przemienne superalgebry z r´o˙zniczka,, tzn. superalgebry wyposa˙zone w przek- szta lcenie liniowe d : A → A spe lniaja,ce d ◦ d = 0 takie, ˙ze dla a ∈ Ai mamy d(a) ∈ Ai+1 oraz d(a · b) = d(a) · b + (−1)ia · d(b). Gdy A = Λ•V∗ dla wybranego wektorem v ∈ V przyjmujemy d(ξ) := ivξ. Pokaza´c, ˙ze to jest DSCA. Uwaga: dobieramy taka, konwencje, iloczynu ∧, zwe,˙zenia iv oraz izomorfizmu Λ•V∗ ' (Λ•V )∗ tak, aby´smy dla bazy e1, e2, . . . , en przestrzeni V mieli
iej(e∗i1∧ e∗i
2∧ · · · ∧ e∗i
k) =
(−1)`+1
wyrzucone ei`
z }| {
e∗i1 ∧ e∗i
2 ∧ · · · ∧ e∗i
k gdy j = i`
0 gdy j 6∈ {i1, i2, . . . , ik} gdzie i1< i2 < · · · < ik.
16.9 Dla danej przestrzeni wektorowej V skonstruowa´c przemienna, superalgebre, z r´o˙zniczka, ?(V ) maja,cy uniwersalna,w lasno´s´c:
Homprestrzenie wektorowe(V, A0) = HomDSCA(?(V ), A) .
17 Inne
17.1 Niech 0 < m < n be,da,liczbami naturalnymi. Definiujemy W (q) =Qm−1 i=0
qn−qi
qm−qi. Wykaza´c, ˙ze W (q) jest wielomianem, W (q) =Pm(n−m)
i=0 aiqi, gdzie ai jest r´owne ilo´sci takich cia,g´ow liczb naturalnych 0 < λ1 < λ2 <
· · · < λm≤ n, ˙zePm
j=1(λj− j) = i. (W szczeg´olno´sci ai > 0.) Wskaz´owka:
1 ∗ 0 ∗ ∗ 0 ∗ 0 0 0 1 ∗ ∗ 0 ∗ 0 0 0 0 0 0 1 ∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 1
17.2 Niech D be,dzie algebra, operator´ow r´o˙zniczkowych, czyli algebra, rozpie,ta, przez symbole q1, q2, . . . qn i p1, p2, . . . pn, kt´ore sa,ze soba,przemnienne opr´ocz pary pi i qi
[pi, qi] = 1 . Mamy filtracje,stopniem operatora
FiD = {P ∈ D : w przedstawieniu P iloczyny pi sa,d lugo´sci ≤ i } i obiekt ,,zgradowany”
GriD = FiD/Fi−1D , Gr•D =
∞
M
i=0
GriD . Sprawdzi´c, ˙ze
Gr•D ' S•(q1, q2, . . . qn, p1, p2, . . . pn) ' S•(R2n) .
Wykaza´c, ˙ze komutator [P, Q] zadaje pewna, operacje, (oznaczana, {P, Q}) w Gr•D. Uto˙zsamiaja,c S•(R2n) z funkcjami wielomianowymi wyrazi´c {P, Q} za pomoca,mno˙zenia i r´o˙zniczkowania po pi i qi.
Link: http://pl.wikipedia.org/wiki/Nawias Poissona
