Zadanie 1. Obliczy¢ caªki przez podstawienie

IV seria zada« domowych z Analizy I, 12.01.2018

Zadanie 1. Obliczy¢ caªki przez podstawienie

Z x

1 + x ² dx,

Z x

√ 1 + x ² dx, Z

xe ^−x

dx, Z

p

(7 − 2x) ⁶ dx Z

x ³ p

2 + x ⁴ dx, Z

sin ⁵ x cos xdx, Z

sin ⁷ x cos ³ xdx,

Z sin x

√

cos ² x dx Z (arctan x) ²

1 + x ² dx,

Z e ^x e ^x + 1 dx,

Z sin 2x 1 + cos ² x dx,

Z

cot xdx Z

a ^x dx, Z √

ln x x dx

Zadanie 2. Obliczy¢ caªki przez cz¦±ci Z

x ² e ^x dx, Z

arctan xdx, Z

arcsin xdx, Z

x ¹⁰ ln xdx, Z

x(ln x) ² dx Z

ln(x ² + 1)dx, Z

(arcsin x) ² dx, Z

sin ln xdx, Z

cos ln xdx Zadanie 3. Obliczy¢ caªki

Z x

2x ² − 3x − 2 dx,

Z x ⁵ + x ⁴ − 8 x ³ − 4x dx,

Z 2x ² − 5 x ⁴ − 5x ² + 6 dx,

Z  x + 2 x − 1

 ²

Z x ⁵

(x − 1) ² (x ² − 1) dx,

Z 3x ² + 1

(x ² − 1) ³ dx, x ⁴ + 1 x ³ − x ² + x − 1 dx Z

sin ⁵ x cos ² xdx, Z

sin ⁷ x cos ⁷ xdx, Z

sin ⁴ xdx,

Z sin ³ x cos ⁴ x dx,

Z 1

sin x cos x dx Z

tan ³ xdx,

Z 1

4 − 3 sin x dx,

Z 2 + sin x 2 − cos x dx,

Z 1

cosh ² x dx, Z

sinh ³ xdx Zadanie 4. Wyrazi¢ F n+2 (x) przez F n (x) :

F n (x) = Z

cos ⁿ xdx Zadanie 5. Obliczy¢ caªki oznaczone

Z 2e 1

ln xdx, Z 2

0

1

x ² + 6x + 10 dx, Z

−

sin ⁴ x cos ³ xdx, Z

−

sin ³ x cos ⁴ xdx Z

√ e

1

1 x p

1 − ln ² x dx,

Z π 0

x ³ sin xdx, Z

−

1 1 + cos x dx Z 2π

0

sin ⁹ xdx, Z 3

0

|2 − x|dx, Z 3

0

sgn(x − x ³ )dx

1

Zadanie 6. Znale¹¢ takie x, »e speªniona jest równo±¢

Z x

√ 2

1 t √

t ² − 1 dt = π 12 Zadanie 7.

a) Obliczy¢ pole powierzchni gury ograniczonej krzywymi y ² = 2x + 1 oraz x − y − 1 = 0 .

b) Obliczy¢ pole powierzchni gury ograniczonej krzywymi x ² = 2py oraz y ⁼ 2px .

c) Obliczy¢ pole powierzchni gury ograniczonej krzywymi y = ^{ln x} _4x oraz y = x ln x .

d) Okr¡g x ² + y ² = 8 podzielono parabol¡ y = ^x ₂

na dwie cz¦±ci. Obliczy¢ pole powierzchni ka»dej z nich.

Zadanie 8. Obliczy¢ R ₀

cos ⁿ xdx . Zadanie 9*. Obliczy¢ caªki

Z r 2 + x 2 − x dx,

Z dx

x ³ √ x ² + 1 ,

Z √

e ^x − 1dx, Z

x ⁻

ln(1 + √ x)dx

Z dx

1 + 2 sin x(sin x + cos x) ,

Z sin nx

sin x dx, n ∈ N,

Z  x

arctan x − 1  −2

dx

Z r x

1 − x ³ dx,

Z sin x cos ³ xdx 2 + sin ² x ,

Z dx

1 + √ x − x ² ,

Z p

e ^2x + 2e ^x + 4dx

2