1.1 Ca÷ ki funkcji wymiernych . . . . 9

Spis tre´sci

Wst ¾ ep 7

1 Ca÷ ka nieoznaczona 9

1.1 Ca÷ ki funkcji wymiernych . . . . 9

1.1.1 Rozk÷ ad funkcji wymiernej na u÷ amki proste . . . . 9

1.1.2 Ca÷ kowanie u÷ amków prostych . . . . 14

1.2 Ca÷ kowanie funkcji niewymiernych . . . . 19

1.2.1 Ca÷ kowanie funkcji niewymiernych przez podstawianie . . . . . 19

1.2.2 Ca÷ kowanie funkcji postaci p ^W

^(x) ax

+bx+c . . . . 20

1.2.3 Ca÷ kowanie funkcji postaci p ax ² + bx + c . . . . 27

1.2.4 Ca÷ kowanie funkcji postaci ¹ (x p)

p ax

+bx+c . . . . 29

1.3 Ca÷ ki funkcji trygonometrycznych . . . . 31

1.3.1 Ca÷ ki typu R sin ax cos bxdx; R sin ax sin bxdx; R cos ax cos bxdx 32 1.3.2 Ca÷ ki typu R sin ⁿ xdx; R cos ⁿ xdx . . . . 33

1.3.3 Ca÷ ki typu R sin ⁿ x cos ^m xdx . . . . 35

1.3.4 Ca÷ ki typu Z dx sin ⁿ x cos ^m x . . . . 36

1.3.5 Ca÷ ki typu R R (sin x; cos x) dx . . . . 38

1.3.6 Ca÷ ki typu R R sin ² x; cos ² x; sin x cos x dx . . . . 39

1.3.7 Zadania . . . . 40

2 Szeregi liczbowe 45 2.1 De…nicja i podstawowe w÷ asno´sci szeregu . . . . 45

2.1.1 Szereg geometryczny . . . . 47

2.1.2 Badanie zbie· zno´sci szeregów z de…nicji . . . . 48

2.2 Kryteria zbie· zno´sci szeregów . . . . 50

2.3 Szeregi naprzemienne . . . . 63

2.3.1 Zadania . . . . 66

3 Ci ¾ agi i szeregi funkcyjne 72 3.1 Ci ¾ agi funkcyjne i ich zbie· zno´s´c . . . . 72

3.2 Szeregi funkcyjne . . . . 77

3.3 Szeregi pot ¾ egowe . . . . 82

3

4 SPIS TRE´SCI

3.4 Zadania . . . . 96

4 Szereg trygonometryczny Fouriera 100 4.1 Rozwijanie funkcji w szereg trygonometryczny . . . 100

4.1.1 Szereg Fouriera funkcji parzystych i nieparzystych . . . 109

4.2 Zadania . . . 113

5 Zastosowanie ca÷ ki oznaczonej 115 5.1 Krzywe w R ² i ich w÷ asno´sci . . . 115

5.2 D÷ ugo´s´c ÷ uku krzywej . . . 118

5.3 Obj ¾ eto´s´c i pole powierzchni bry÷obrotowych . . . 128

5.4 Zadania . . . 132

6 Ca÷ ki wielokrotne 135 6.1 Ca÷ ka podwójna . . . 135

6.1.1 De…nicja i w÷ asno´sci ca÷ ki podwójnej . . . 135

6.1.2 Ca÷ ka iterowana . . . 137

6.1.3 Zamiana zmiennych w ca÷ ce podwójnej . . . 144

6.1.4 Zastosowanie ca÷ ki podwójnej . . . 150

6.2 Ca÷ ka potrójna . . . 162

6.2.1 W÷ asno´sci ca÷ ki potrójnej . . . 163

6.2.2 Zamiana zmiennych w ca÷ kach potrójnych . . . 166

6.2.3 Zastosowanie ca÷ ki potrójnej . . . 169

6.3 Zadania . . . 173

7 Ca÷ ka krzywoliniowa 181 7.1 Ca÷ ka krzywoliniowa nieskierowana . . . 181

7.1.1 De…nicja i w÷ asno´sci . . . 181

7.1.2 Zamiana ca÷ ki krzywoliniowej na ca÷ k¾ e pojedyncz ¾ a . . . 183

7.2 Ca÷ ka skierowana . . . 188

7.2.1 Ca÷ ka skierowana po krzywych zamkni ¾ etych. Twierdzenie Greena . . . 195

7.2.2 Niezale· zno´s´c ca÷ ki od krzywej ca÷ kowania . . . 198

7.3 Zadania . . . 201

8 Równania ró· zniczkowe zwyczajne 206 8.1 De…nicja i podstawowe poj ¾ ecia . . . 206

8.1.1 Interpretacja geometryczna równania ró· zniczkowgo I rz ¾ edu . . 210

8.2 Wybrane typy równa´n pierwszego rz ¾ edu . . . 210

8.2.1 Równania sprowadzalne do równa´n o zmiennych rozdzielonych . . . 215

8.2.2 Równania ró· zniczkowe liniowe rz ¾ edu pierwszego . . . 224

8.2.3 Wybrane równania ró· zniczkowe nieliniowe I rz ¾ edu . . . 232

8.3 Równania ró· zniczkowe zwyczajne rz ¾ edu n . . . 244

SPIS TRE´SCI 5

8.3.1 Równania ró· zniczkowe zwyczajne rz ¾ edu II

sprowadzalne do równa´n rz ¾ edu I . . . 244

8.3.2 Równania ró· zniczkowe liniowe rz ¾ edu II o wspó÷ czynnikach sta÷ ych . . . 248

8.3.3 Równania ró· zniczkowe liniowe wy· zszych rz ¾ edów o sta÷ ych wspó÷ czynnikach . . . 259

8.4 Zastosowanie równa´n ró· zniczkowych w ekonomii . . . 264

8.5 Zadania . . . 266

9 Równania ró· znicowe 274 9.1 Wprowadzenie . . . 274

9.2 Równania ró· znicowe liniowe rz ¾ edu k . . . 277

9.2.1 Równania ró· znicowe I rz ¾ edu . . . 278

9.2.2 Równanie ró· znicowe rz ¾ edu II . . . 281

9.3 Zastosowanie ekonomiczne równa´n ró· znicowych . . . 286

9.4 Zadania . . . 289

Literatura 291