• Nie Znaleziono Wyników

Cwiczenie 1. Dowie´s´ ´ c, ˙ze nast¸epuj¸ ace funkcje s¸ a formami liniowymi przestrzeni wek- torowej V :

N/A
N/A
Info
Pobierz
Protected

Academic year: 2021

Share "Cwiczenie 1. Dowie´s´ ´ c, ˙ze nast¸epuj¸ ace funkcje s¸ a formami liniowymi przestrzeni wek- torowej V :"

Copied!
7
0
0

Ładowanie.... (Zobacz pełny tekst teraz)

Pobierz teraz ( 7 Stron )

Pełen tekst

(1)

Przestrze´ n sprz¸ e ˙zona, anihilatory i formy dwuliniowe Javier de Lucas

Cwiczenie 1. Dowie´s´ ´ c, ˙ze nast¸epuj¸ ace funkcje s¸ a formami liniowymi przestrzeni wek- torowej V :

ω 1 (w(X)) = R 1

0 P (x)w(x)dx, w(X) ∈ V = R n [X], dla ustalonego P (X) ∈ V ω 2 (w(X)) = P n

k=0 d

k

w

dx

k

(1), w(X) ∈ V = R n [X], d 0 w/dx = w, ω 3 (v) = P n

i=1 a i x i , v = (x 1 , . . . , x n ) ∈ C n , dla ustalonych a 1 , . . . , a n ∈ C.

Rozwi¸ azanie: Badamy ω 1 . Najpierw, trzeba zauwa˙zy´ c, ˙ze wszystkie odwzorowania s¸ a dobrze okre´slone. Skoro w definiciach odwzorowa´ n ω 1 , ω 2 , ω 3 pojawiaj¸ ac si¸e pochodne, mno˙zenia i ca lki na zawartym przydzi lem wielomian´ ow, to wida´ c, ˙ze ω i (w(X)) zawsze istnieje i ka˙zdy z powy˙zszych odwzorowa´ n maj¸ a posta´ c ω : V → R . Aby udowodni´c, ˙ze s¸ a formami liniowymi, musimy dodatkowo udowodni´ c, ˙ze

ω i (λ 1 w 1 (X) + λ 2 w 2 (X)) = λ 1 ω i (w 1 (X)) + λ 2 ω i (w 2 (X)), i = 1, 2, 3, dla dowolnych wektor´ ow w 1 , w 2 ∈ V i skalarnych λ 1 , λ 2 .

Dla pierwszego przyk ladu wida´ c, ˙ze ω 1 (λ 1 w 1 (X) + λ 2 w 2 (X)) =

Z 1 0

P (x)((λ 1 w 1 + λ 2 w 2 )(x)dx

= λ 1 Z 1

0

P (x)w 1 (x)dx + λ 2 Z 1

0

P (x)w 2 (x)dx.

W´ owczas,

ω 1 (λ 1 w 1 (X) + λ 2 w 2 (X)) = λ 1 ω 1 (w 1 (X)) + λ 2 ω 2 (w 2 (X)).

Badamy ω 2 . Wida´ c, ˙ze

ω 2 (λ 1 w 1 (X) + λ 2 w 2 (X)) =

n

X

k=0

d k

dx k [λ 1 (w 1 (x)) + λ 2 w 2 (x)]

x=1

= λ 1

n

X

k=0

d k

dx k [w 1 (x)]

x=1

+ λ 2

n

X

k=0

d k

dx k [w 2 (x)]

x=1

.

W´ owczas,

ω 2 (λ 1 w 1 (X) + λ 2 w 2 (X)) = λ 1 ω 1 (w 1 (X)) + λ 2 ω 2 (w 2 (X)).

(2)

Aby udowodni´ c, ˙ze ω 2 jest form¸ a liniow¸ a te˙z mo˙zna powiedzie´ c, ˙ze pochodna rz¸edu r, gdzie pochodna rz¸edu r = 0 to identyczno´s´ c, jest form¸ a liniow¸ a. Z tego wynika,

˙ze kombinacja liniowa pochodnych to odwzorowanie liniowe. Ponadto, odwzorowanie δ : ω 1 (X) ∈ V → δ(ω 1 ) = ω 1 (1) ∈ R to te˙z jest odwzorowanie liniowe. Wi¸ec, ω 2

to z lo˙zenie odwzorowa´ n liniowych. Zatem, ω 2 to odwzorowanie liniowe. Skoro ω 1 to odwzorowanie liniowe od V do R, to ω 1 jest form¸ a liniow¸ a.

Podobnie mo˙zna udowodni´ c, ˙ze ω 3 jest form¸ a liniow¸ a.



Cwiczenie 2. Dana przestrze´ ´ n wektorowa R 2 [X], sprawd´ z, czy nast¸epuj¸ ace formy liniowe ω 1 , ω 2 , ω 3 ∈ R 2 [X] ∗ postaci

ω 1 (P (X)) = Z 1

0

P (x)dx, ω 2 (P (X)) = Z 1

−1

P (x)dx, ω 3 (P (X)) = Z 0

−2

P (x)dx.

tworz¸ a baz¸e przestrzeni sprz¸e˙zonej R 2 [X] ∗ . Oblicz baz¸e e 1 , e 2 , e 3 przestrzeni R 2 [X] tak¸ a,

˙ze

ω j (e i ) = δ i j , i, j = 1, . . . , 3.

Oblicz Y ◦ , gdzie

Y = he 1 + e 3 , e 2 i

Rozwi¸ azanie: Aby sprawdzi´ c, czy ω 1 , ω 2 , ω 3 s¸ a odwzorowaniami liniowymi liniowo nie˙zale znymi, trzeba udowdoni´ c, ˙ze

λ 1 ω 1 + λ 2 ω 2 + λ 3 ω 3 = 0 ⇔ λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0.

Skoro λ 1 ω 1 + λ 2 ω 2 + λ 3 ω 3 to forma liniowa, to

λ 1 ω 1 + λ 2 ω 2 + λ 3 ω 3 = 0 ⇒ (λ 1 ω 1 + λ 2 ω 2 + λ 3 ω 3 )(P (X)) = 0, ∀P (X) ∈ R 2 [X].

Wida´ c, ze

ω 1 (a 0 + a 1 X + a 2 X 2 ) = a 1 + 1

2 a 1 + 1

3 a 2 , ω 2 (a 0 + a 1 X + a 2 X 2 ) = 2a 0 + 2 3 a 2 , ω 3 (a 0 + a 1 X + a 2 X 2 ) = 2a 0 − 2a 1 + 8

3 a 2 . Korzystaj¸ ac z tego, mo˙zemy zapisa´ c nast¸epuj¸ ace r´ ownania

(λ 1 ω 1 + λ 2 ω 2 + λ 3 ω 3 )(1) = 0, (λ 1 ω 1 + λ 2 ω 2 + λ 3 ω 3 )(X) = 0,

(λ 1 ω 1 + λ 2 ω 2 + λ 3 ω 3 )(X 2 ) = 0.

(3)

1 2 2 0

1

2 0 −2 0

1 3

2 3

8

3 0

−1/2K

1

+K

2

→K

2

−1/3K

1

+K

3

→K

3

−→

1 2 2 0

0 −1 −3 0

0 0 2 0

 Z tego wynika, ˙ze λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0.

Teraz, mamy szuka´ c wektor´ ow e 1 , e 2 , e 3 takich, ˙ze ω ( j e i ) = 0. Wi¸ec, wektor e 1 spe lnia,

˙ze

ω 1 (e 1 ) = 1, ω 2 (e 1 ) = 0, ω 3 (e 1 ) = 0.

Je˙zeli zapisujemy e 1 w postaci e 1 = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 , to mamy, ˙ze 1 = ω 1 (e 1 ) = a 0 + 1

2 a 1 + 1

3 a 2 , 0 = ω 2 (e 1 ) = 2a 0 + 2

3 a 2 , 0 = ω 3 (e 1 ) = 2a 0 − 2a 1 + 8 3 a 2 . Rozwi¸ azuj¸ ac ten uk lad, mamy, ˙ze a 1 = 2, a 2 = 2, a 0 = −2/3.

Je˙zeli zapisujemy e 2 w postaci e 2 = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 , to mamy, ˙ze 0 = ω 1 (e 2 ) = a 0 + 1

2 a 1 + 1

3 a 2 , 1 = ω 2 (e 2 ) = 2a 0 + 2

3 a 2 , 0 = ω 3 (e 2 ) = 2a 0 − 2a 1 + 8 3 a 2 . Rozwi¸ azuj¸ ac ten uk lad mamy, ˙ze a 1 = −1, a 2 = −1/2, a 0 = −1/3.

Je˙zeli zapisujemy e 3 w postaci e 3 = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 , to mamy, ˙ze 0 = ω 1 (e 3 ) = a 0 + 1

2 a 1 + 1

3 a 2 , 0 = ω 2 (e 3 ) = 2a 0 + 2

3 a 2 , 1 = ω 3 (e 3 ) = 2a 0 − 2a 1 + 8 3 a 2 . Rozwi¸ azuj¸ ac ten uk lad mamy, ˙ze a 1 = 0, a 2 = 1/2, a 0 = −1/6.

Teraz mamy obliczy´ c annihilator podprzestrzeni Y . Taki annihilator to zbi´ or wszys- tkich form liniowych takich, ˙ze zeruj¸ a si¸e na Y . Dana forma liniowa ω ∈ Y ◦ mo˙zemy napisa´ c w wsp´ o lrz¸ednych

ω = λ 1 ω 1 + λ 2 ω 2 + λ 3 ω 3 . Mamy, ze

ω ∈ Y ◦ ⇔ ω(e 1 + e 3 ) = 0 ∧ ω(e 2 ) = 0.

Zatem

ω ∈ Y ◦ ⇔ λ 1 + λ 3 = 0 ∧ λ 2 = 0.

i λ 1 = −λ 3 i λ 3 jest dowolna. Z tego wynika, ˙ze Y ◦ = hω 1 − ω 3 i.

W la´snie wiemy, ˙ze dim Y ◦ = dim R 3 − dim Y = 3 − 2 = 1. Zatem, nasz wynik ma sens.



(4)

Cwiczenie 3. Zbadaj czy odwzorowanie ω : V ⊕ V −→ R okre´sla form¸e dwuliniow¸a, ´ je´sli:

a) V := R n [x], ∀ v, w ∈ V : ω(v, w) :=

Z 1 0

v(x)w(x) dx;

b) V := R n [x], ∀ v, w ∈ V : ω(v, w) :=

Z 1 0

v 0 (x)w(x) dx;

c) V := R n , ∀ v, w ∈ V : ω(v, w) := v · w.

Cwiczenie 4. Czy ka˙zda forma dwu-liniowa b : R ´ 2 ⊕ R 2 → R mo˙zna przedstawi´c w postaci

b(x, y) = ω 1 (x)ω 2 (y), ∀x, y ∈ R 2 (4.1) dla pewnych form-liniowych ω 1 , ω 2 ∈ (R 2 ) ∗ .

Rozwi¸ azanie: Mo˙zemy ustali´ c tzw baz¸ a kanoniczn¸ a przestrzeni R 2 postaci e 1 =  1

0



, e 2 =  0 1

 .

W tej bazie, wektory x, y ∈ R 2 mo˙zna napisa´ c w postaci x = x 1 e 1 +x 2 e 2 i y = y 1 e 1 +y 2 e 2 . Wtedy

b(x, y) = b(x 1 e 1 + x 2 e 2 , y 1 e 1 + y 2 e 2 ) =

2

X

i,j=1

x i y j b(e i , e j ).

Trzeba zauwa˙zy´ c, ˙ze warto´sci b(e i , e j ) s¸ a dowolne. Te warto´sci zdefiniuj¸ a form¸e dwulin- iow¸ a. np.

b(e 1 , e 1 ) = b(e 2 , e 2 ) = 1, b(e 1 , e 2 ) = b(e 2 , e 1 ) = 0, to standardowy iloczyn skalarny.

Po drugiej stronie, mamy, ˙ze ka˙zda forma liniowa ω i ∈ (R 2 ) ∗ ma posta´ c, ω 1 (x) = ω 1 (x 1 e 1 + x 2 e 2 ) = x 1 ω 1 (e 1 ) + x 2 ω 1 (e 2 ),

ω 2 (y) = ω 2 (y 1 e 1 + y 2 e 2 ) = y 1 ω 2 (e 1 ) + y 2 ω 2 (e 2 ).

M´ owi¸ ac inaczej, ka˙zda forma liniowa jest okre´slona przez obrazy wektor´ ow jednej bazy.

Je˙zeli (4.1) si¸e spe lnia, to

2

X

i,j=1

x i y j b(e i , e j ) = (x 1 ω 1 (e 1 ) + x 2 ω 1 (e 2 ))(y 1 ω 2 (e 1 ) + y 2 ω 2 (e 2 )), ∀x 1 , x 2 , y 1 , y 2 ∈ R,

(5)

dla pewnych warto´sci ω i (e j ), gdzie i, j = 1, 2. Skoro (4.2) ma si¸e spe lniac dla wszys- tkich warto´sci x i , y j , dla i, j = 1, 2, to many, ˙ze b(e i , e j ) = ω 1 (e i )ω 2 (e j ). Zak ladamy, ˙ze b(e 1 , e 2 ) = b(e 2 , e 1 ) = 0 i b(e 1 , e 1 ) = b(e 2 , e 2 ) = 1. Wtedy,

ω 1 (e 1 )ω 2 (e 2 ) = 0 ⇒ ω 1 (e 1 ) ∨ ω 2 (e 2 ) = 0.

Z tego wynika, ˙ze 0 = b(e 1 , e 1 ) = ω 1 (e 1 )ω 2 (e 1 ) = 0 lub b(e 2 , e 2 ) = ω 1 (e 2 )ω 2 (e 2 ) = 0. To sprzecno´s´ c poniewa˙z b(e 1 , e 1 ) = b(e 2 , e 2 ) = 1 i (4.1) nie mo˙ze si¸e spe lnia´ c dla ˙zadnych ω 1 i ω 2 .

To zadanie mo˙zna rozwi¸ aza´ c szybczej. Forma dwuliniowa b m´ owi si¸e niezdegen- erowana, gdy nie istnieje x ∈ R 2 taki, ˙ze

b(x, y) = 0, ∀y ∈ R 2 .

Iloczy´ n skalarny nie jest zdegenerowany, w la´snie, b(x, x) 6= 0 dla x 6= 0. Natomiast, forma dwuliniowa ω 1 (x)ω 2 (y) jest zawsze zdegenerowana. Dla ka˙zdego ω 1 istnieje taki x, ˙ze ω 1 (x) = 0. Wi¸ec, forma dwuliniowa ω 1 (x)ω 2 (y) jest zdegenerowana. Zatem, to nie mo˙zliwe, ˙ze b(x, y) ma posta´ c (4.1). 

Cwiczenie 5. Dana baza ´

e 1 =

 1 1 0

 , e 2 =

 1 0 1

 , e 3 =

 0 1 1

 ,

przestrzeni R 3 . Oblicz baz¸e dualn¸ a θ 1 , θ 2 , θ 3 do tej baz¸e. Napisz form¸e dwuliniow¸ a b(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 , x = [x 1 , x 2 , x 3 ] T , y = [y 1 , y 2 , y 3 ] T , jako liniow¸ a kombinacj¸e form-dwuliniowych

b ij (x, y) = θ i (x)θ j (y), dla i, j = 1, . . . , 3.

(6)

Rozwi¸ azanie: Niech ¯ θ 1 , ¯ θ 2 , ¯ θ 3 b¸edzie baz¸ a sprz¸e˙zn¸ a do bazy kanonicznej ¯ e 1 , ¯ e 2 , ¯ e 3 w R 3 . Wtedy, baza sprz¸e˙zona do bazy e 1 , e 2 , e 3 ma posta´ c

θ i = µ i 1 θ ¯ 1 + µ i 2 θ ¯ 2 + µ i 3 θ ¯ 3 , i = 1, 2, 3.

Skoro

θ i (e j ) = δ j i , i, j = 1, 2, 3 to dla i = 1 mamy, ˙ze taki uk lad w postaci macierzowej

1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0

 →

1 1 0 1

0 −1 1 −1

0 1 1 0

 →

1 1 0 1

0 −1 1 −1

0 0 2 −1

 Wi¸ec,

µ 1 3 = − 1

2 ⇒ µ 1 2 = 1

2 ⇒ µ 1 1 = 1 2 . Zatem

θ 1 = 1 2

θ ¯ 1 + 1 2

θ ¯ 2 − 1 2

θ ¯ 3 . Podobno mo˙zna obliczy´ c reszt¸e form, namely

θ 2 = 1 2

θ ¯ 1 − 1 2

θ ¯ 2 + 1 2

θ ¯ 3 , θ 3 = − 1 2

θ ¯ 1 + 1 2

θ ¯ 2 + 1 2

θ ¯ 3 .

Jest wa˙zny zauwa˙za´ c, ˙ze mo˙zemy rozwi¸ aza´ c te uk lady korzystaj¸ ac z symmetrii. Mamy uk lad

µ 1 + µ 2 = 1,

µ 1 + µ 3 = 0,

µ 2 + µ 3 = 0.

Je˙zeli zmienimy zmienne µ 2 przez µ 3 , otrzymamy uk lad

µ 1 + µ 2 = 0,

µ 1 + µ 3 = 1,

µ 2 + µ 3 = 0.

To uk lad ustalaj¸ acy θ 2 . Wi¸ec, rozwi¸ azanie tego uk ladu mo˙zna otryma´ c z rozwi¸ azania poprzedniego uk ladu zamieniaj¸ ac µ 2 przez µ 3 . Wida´ c, ˙ze

b(x, y) = ¯ θ 1 (x)¯ θ 1 (y) + ¯ θ 2 (x)¯ θ 2 (y) + ¯ θ 3 (x)¯ θ 3 (y)

Mamy, ˙ze

(7)

Zatem,

b(x, y) = 2θ 1 (x)θ 1 (y) + 2θ 2 (x)θ 2 (y) + 2θ 3 (x)θ 3 (y) + θ 3 (y)θ 3 (x)

+ θ 1 (x)θ 2 (y) + θ 1 (y)θ 2 (x) + θ 2 (x)θ 3 (y) + θ 2 (y)θ 3 (x) + θ 1 (x)θ 3 (y) + θ 1 (y)θ 3 (x).



Cytaty

Pobierz teraz ( PDF - 7 Stron - 267.21 KB )

Powiązane dokumenty

S P E C Y F I K A C J A

2) Wykazu robót budowlanych wykonanych nie wcześniej niż w okresie ostatnich 5 lat przed upływem terminu składania ofert , a jeżeli okres prowadzenia działalności jest krótszy –

S P E C Y F I K A C J A

3. Wykonawca spełnia również warunki wymienione w Specyfikacji Istotnych Warunków Zamówienia.. po przeprowadzeniu postępowania o udzielenie za- mówienia publicznego w

Cwiczenie 1. Sprawd´ ´ z, czy nast¸epuj¸ ace odwzorowania s¸ a formami liniowymi:

[r]

Sprawd´´ z, czy nast¸epuj¸ace odwzorowania s¸a liniowe

Sprawd´ ´ z, czy nast¸epuj¸ ace odwzorowania s¸ a liniowe.. Sprawd´ z, czy s¸ a

Cwiczenie 1. Sprawd´ ´ z, czy nast¸epuj¸ ace odwzorowania s¸ a formami liniowymi:

Wiemy, ˙ze istnieje tylko jedna taka baza... W´ owczas, formy liniowe pod- przestrzeni hω

Cwiczenie 1. Dowie´s´ ´ c, ˙ze je´sli µ := c ¯ d − d¯ c 6= 0, to homografia h(x) = (ax + b)/(cx + d), a, b, c, d ∈ C, ad − bc 6= 0, odwzorowuje o´s rzeczywist¸a R ⊂ C na okr¸ag

[r]

Dowie´s´´ c, ˙ze je´sli U i V s¸a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0, r + s − n

[r]

Cwiczenie 1. Dowie´s´ ´ c, ˙ze nast¸epuj¸ ace funkcje s¸ a formami liniowymi przestrzeni wek- torowej V :

[r]