Zadania domowe z Matematyki Dyskretnej (grupa 3) – seria 11, na czwartek 30.05.2019
Zadanie 1. W pewnej grupie n 2 osób istnieją co najmniej dwie osoby, które się zna- ją. Ponadto każde dwie osoby, które mają w tej grupie jakiegoś wspólnego znajomego, mają różne liczby znajomych. Udowodnij, że jest w tej grupie osoba znająca dokładnie jedną osobę.
(Przyjmujemy, że relacja znajomości nie jest zwrotna, ale jest symetryczna.) Wskazówka: można dowodzić przez zaprzeczenie, rozważając osobę, która ma najwięcej znajomych.
Zadanie 2. Niech G będzie grafem, który ma 2d + 1 wierzchołków, z których każdy jest stopnia d. Wykaż, że G jest spójny.
Zadanie 3. Udowodnij, że dowolny graf spójny o n wierzchołkach ma co najmniej n − 1 krawędzi. Wskazówka: można dowodzić przez zaprzeczenie – załóż, że dany graf ma nie więcej niż n−2 krawędzie, usuń jeden wierzchołek wraz z wychodzącymi z niego krawędziami i przyjrzyj się spójnym składowym tak powstałego grafu.
1
