Etapy ewolucji Wszechświata
Rozdział 7 Asymetria barionowa Wszechświata
Rys. 6.3 Zależność euklidesowego działania efektywnego od parametru F = κ2 /mχ4.
Wartości parametrów : a = 1, λ = 0,1 , ε = 0,01 w jednostkach mχ = 1.
************************************************************************************************
Rozdział 7 Asymetria barionowa Wszechświata.
Wiadomo, że mimo symetrii występującej między cząstkami i antycząstkami, w naszym Wszechświecie dominują właśnie bariony. Fakt ten jest jednym z najważniejszych składników współczesnego modelu kosmologicznego.
W którym jednak momencie nastąpiło naruszenie symetrii ? Jaki jest mechanizm barionosymtezy ?
Problemom tym poświęcono wiele prac np. [35, 131], w których badano najróżniejsze warianty. My rozpatrzymy mechanizm przewidujący możliwe istnienie wielkoskalowych obszarów przestrzennych zbudowanych z antymaterii.
Zasadniczą możliwość tworzenia się obszarów antymaterii omawiano już wcześniej w pracy [117].
Ponieważ wysp ( obszarów ) antymaterii póki co nie zauważono, liczba antybarionów globalnie we wszechświecie powinna być dużo mniejsza od liczby barionów. Z tej przyczyny wysepki antymaterii nie mogą być zbyt duże – inaczej obserwowalibyśmy fotony pochodzące z procesu anihilacji skrajnych obszarów wypełnionych antymaterią.
Z drugiej strony, jeśli rozmiar obszarów jest niewielki, to sama anihilacja na granicy obszarów prowadziłaby do ich szybkiego wyparowania. Właśnie taki proces ma miejsce w większości modeli barionosymtezy. Zwykle procesy spontanicznego naruszenia CP-symetrii przejawiają się podczas przejść fazowych pierwszego i drugiego rodzaju, które miały miejsce w naszym Wszechświecie. W tym przypadku dowolne obszary antymaterii okazują się zbyt małe, aby być zachowane do chwili obecnej [131]. Jak było pokazane w [177], brzeg oddzielający obszar antymaterii od otoczenia barionowego, przesuwa się w wyniku procesu anihilacji nie więcej niż 0,5 [pc] do chwili zakończenia epoki dominacji promieniowania. Aby się zachować do chwili obecnej, obszary antymaterii powinny być wystarczająco duże.
To oznacza, że współczesne obszary antymaterii powinny rozpocząć swoje formowanie w epoce inflacyjnej, ponieważ podstawową własnością tego stadium jest możliwość efektywnego „rozciągania” rozmiarów przestrzennych.
7.1 Mechanizm spontanicznej barionogenezy.
Istnieje znaczna liczba mechanizmów, prowadzących do asymetrii barionowej Wszechświata, mimo występowania praw symetrii między materią i antymaterią. My będziemy bazowali na jednym z nich [131, 132], w którym to okres inflacyjny odgrywa istotną rolę. Założymy mianowicie, że oprócz inflatona, istnieje zespolone pole skalarne χ, posiadające ładunek barionowy.
Założymy dalej, że lagranżjan pola χ, oddziałującego z ciężkimi kwarkami Q i leptonami L, ma postać:
Zakładamy iż ciężkie kwarki Q i leptony L związane są ze zwykłymi kwarkami i leptonami polem materii.
oddziaływanie prowadzi do niezachowania liczby leptonowej [132].
Zachowanie liczby barionowej jest następstwem U(1) symetrii lagranżjanu względem przekształcenia :
χ→ exp(iβ )χ , Q → exp(iβ)Q , L → L (7.2)
Wybierzmy potencjał w pierwszym przybliżeniu w postaci :
V(χ) = - mχ2χ*χ + λχ(χ*χ )2 + V0 (7.3)
Gdzie stała V0 została dodana po to, aby minimum potencjału było równe zero. Potencjał (7.3)typu „sombrero”
przedstawia sobą pierwsze podstawowe przybliżenie. W dalszej kolejności wprowadzimy poprawki kwantowe do tego potencjału.
Pole χ może być przedstawione w postaci :
χ(ϑ ) (f/ √2 ) exp( iϑ/f ) (7.4)
Naruszenie U(1) symetrii oznacza, że składowa radialna pola χ przyjmuje ustaloną wartość : f = mχ / √λχ
i zmienna ϑ w równaniu (7.4) teraz ma sens bezmasowego pola skalarnego, ponieważ V(ϑ) = const. Minimum potencjału położone jest na okręgu o promieniu f. Dalej będziemy pracowali z bezwymiarową zmienną θ = ϑ / f.
W wyniku naruszenia symetrii faza β pola χ przyjmuje przypadkową wartość θ, a efektywny lagranżjan ma postać :
Poprawki kwantowe prowadzą do zmiany formy potencjału, tak że jego symetria (7.2) zostaje naruszona i pojawia się nieduże nachylenie „sombrero” :
V(θ) = Λ4 [ 1 – cos(θ )] ; Λ << f (7.6)
Potencjał ten posiada przeliczalny zbiór minimów przy θ = 2πN , N = 0, 1, 2 …
Zauważmy, ze potencjał (7.6) jest dogodną aproksymacją bardziej złożonego wyrażenia ( zobacz np. [39] )
Dla barionosyntezy ważnym parametrem jest nachylenia potencjału (7.6) w pobliżu jego minimum, które to ustala masę pola θ :
mθ2 = Λ2 / f2 (7.7)
Ponieważ nachylenie potencjału powodowane jest przez poprawki kwantowe, to naturalnym jest założyć małość parametru Λ. To oznacza, że wkład do gęstości energii od pola θ jest mały w porównaniu z całkowitą gęstością energii na etapie inflacyjnym. Z tego powodu pole θ jest efektywnie bezmasowe, ponieważ :
mθ << H (7.8)
gdzie H – parametr Hubble’a w czasie epoki inflacji.
Po zakończeniu inflacji, kiedy warunek (7.8) jest naruszony, pole θ oscyluje wokół minimum potencjału (7.6). Przy tym energia ρθ ≅ θi2 mθ2 f2 pola θ przechodzi w energię kreowanych barionów i antybarionów [118, 132].
Znak ładunku barionowego w stanie końcowym zależy od wartości początkowej fazy w chwili naruszenia symetrii.
Ocenimy teraz liczbę barionów i antybarionów kreowanych przy oscylacjach fazy θ z dowolną fazą początkową θi.
Wyrażenie dla koncentracji kreowanych barionów nB(B- ) w granicy małej fazy θi ma postać [132] :
Po standardowych obliczeniach z wykorzystaniem ostatniej składowej (7.1) w charakterze lagranżjanu oddziaływania otrzymujemy gęstośćν kreowanych barionów :
co jest słuszne w przypadku χ( t → - ∞ ) = χ( t → + ∞) = 0.
Dla przypadku bardziej ogólnego χ( t → - ∞ ) ≠ 0 , χ( t → + ∞) = 0. odpowiedź można uzyskać całkując przez części wyrażenie (7.10), co też prowadzi do następującego wzoru :
gdzie Ωθi jest objętością zawierającą fazę początkową θi. Przy otrzymaniu wzoru (7.11) człon powierzchniowy był równy
zera przy t = ∞ dzięki warunkom Feynmana narzucanym na pola χ przy t = - ∞.
Przybliżony wynik numeryczny można otrzymać, zakładając zależność fazy od czasu o postaci :
θ(t) ≈ θi( 1 – mθt ) (7.12)
w ciągu początkowego okresu oscylacji. Podstawiając (7.12) i (7.4) do (7.11), po niezłożonych obliczeniach, otrzymujemy
gdzie znak w dolnej granicy całkowania odpowiada nadwyżce barionowej lub antybarionowej.
Dla pola przestrzennie –jednorodnego χ = ( f√2 )eiθ mamy następujący wzór dla generowanego ładunku barionowego :
Q = i [ χ*dχ/dt – (dχ*/dt)χ ] = - f (dθ/dt) (7.14)
Oczywiście ładunek barionowy w pewnym obszarze Q > 0, jeśli θ > 0 w procesie ruchu klasycznego do zeru fazy θ.
Zatem, ruch zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara prowadzi do nadwyżki barionów, a ruch przeciwny prowadzi do nadwyżki antybarionów.
W czasie rehitingu gęstość energii inflatonu przekształca się w gęstość energii cząstek relatywistycznych. Przy tym zakłada się, ze rozpad inflatonu na lekkie cząstki powinien być dowolnie szybki w porównaniu z okresem drgań wokół minimum ( przypomnijmy, że w wyniku nachylenia potencjału jego minimum znajduje się w punkcie θ = 0 ). Zatem, otrzymujemy : Γtot >> mθ
Oscylacje pola θ rozpoczynają się kiedy możemy zaniedbać tarcie w ośrodku, tj. przy H ≈ mθ. Zmiana fazy w czasie prowadzi do kreowania barionów lub antybarionów zgodnie z mechanizmem przedstawionym powyżej. Gęstość entropii po termalizacji ma wartość :
s = 2π2 g
* T3 /45 (7.15)
gdzie : g
* - całkowita efektywna liczba bezmasowych stopni swobody.
Zakłada się iż temperatura przekracza skalę naruszenia symetrii elektrosłabej. Przy takiej temperaturze wszystkie stopnie swobody Modelu Standardowego znajdują się w stanie równowagi i g
* ≅ 106,75. Temperatura związana jest z prędkością rozszerzania w następujący sposób :
T = sqrt( MPl H/ 1,66 √ g
* ) ≈ sqrt( MPl mθ ) / g
*¼ (7.16)
W ostatnim wyrażeniu (7.16) założyliśmy, że procesy relaksacyjne rozpoczynają się przy warunku H ≈ mθ.
Wykorzystując wzory (7.13), (7.15) i (7.16) otrzymujemy różne wyrażenia dla koncentracji barionów i antybarionów : nB(B- )/ s = ( 45g2 /16π4 g
*¼ ) ( f / MPl )3/2 (f /Λ ) k(θi ) (7.17)
Funkcja k(θi )zawiera zależność amplitudy i znaku asymetrii barionowej od fazy początkowej, różnej w różnych obszarach przestrzennych. Zachowanie tej funkcji łatwo poddaje się analizie numerycznej z wykorzystaniem wyrażenia (7.13).
Wyrażenie (7.17) pozwala otrzymać obserwowalną asymetrię barionową średnią we Wszechświecie : nB / s ≈ 3 • 10-10
W danym modelu zakładano, że f ≥ H ≅ 10-6 MPl.
Naturalną wielkością stałej sprzężenia jest wartość g ≤ 10-2, co prowadzi do obserwowalnej asymetrii barionowej przy rozsądnej zależności f / Λ ≥ 105 [39].
7.2 Wielkoskalowe fluktuacje ładunku barionowego.
Interesująca możliwość pojawia się, jeśli uwzględnimy efekty fluktuacji fazy w czasie trwania inflacji. W tym celu dokładnie rozpatrzymy ruch fazy wzdłuż doliny | χ | = f/ √2, przedstawiającej sobą okrąg ( zobacz rysunki 7.1, 7.2 ) Niech faza θ = 0 odpowiada biegunowi północnemu, a θ = ∂ - południowemu. Minimum potencjału znajduje się w
biegunie północnym. Wykorzystując wzór (7.14), łatwo pokazać, że zakładaną dominacje antybarionów otrzymuje się przy ruchu pola ku biegunowi północnemu, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, co ma miejsce kiedy Wszechświat
początkowo tworzony jest z wartością pola ϑ właśnie w tym obszarze ( obszar AB na rys. 7.1 ). Dominacje barionów otrzymujemy w obszarze B, kiedy pole porusza się zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara.
Opisany powyżej obraz jest słuszny „średnio”, kiedy nie uwzględniamy kwantowych fluktuacji fazy, dającej nowy efekt.
Rozpatrzmy taki efekt dokładniej ( zobacz [188] ). Na początku zauważmy ( rozdział 6 ), że fluktuacje (prawie ) bezmasowego pola, bez względu na to jaka jest faza θ, mają rozkład Gaussa [ 210,214, 282, 283 ] :
Rys. 7.1 Potencjał „sombrero” – widok z góry.
Rys. 7.2 Potencjał „sombrero” – widok z boku.
Jak już mówiliśmy, Wszechświat będzie barionowo- zdominowany (średnio ), jeśli wartość początkowa fazy θ = θU znajduje się w interwale [ 0, π]. Wartość θU jest wartością startową dla ruchu Browna fazy wzdłuż okrągłej doliny w czasie trwania inflacji. Średnia fluktuacja fazy ma wartość δθ = H/2πf na każdy e-fold.
Ponieważ charakterystyczny rozmiar przestrzenny fluktuacji δθ, pojawiający się w jednym e-foldzie, jest równy 1/H, domena początkowa zawierająca fazę θU, okazuje się oddzielona o e3 ≈ 20 oddzielnych, przyczynowo niezwiązanych domen o rozmiarze 1/H. Każda taka domena zawiera fazę o amplitudzie θ59 ≈ θU ± δθ.
W połowie domen faza przybliża się do wartości π ( biegun południowy ), a w drugiej połowie - do zera ( biegun północy ).
Na następnym e-foldzie każda z domen o rozmiarze 1/H zostaje rozdzielona ponownie na ok. 20 przyczynowo niezwiązanych obszarów. W niektórych z nich faza przybliża się jeszcze bardziej do bieguna północnego. Łatwo sobie wyobrazić, że przy pewnym e-foldzie oddzielone przestrzennie obszary przetną linię zerową i po zakończeniu inflacji znajdą się w obszarze „B” ( rys. 7.1 ). Takie obszary okażą się wypełnione w większości antybarionami.
Rozkład obszarów jeśli chodzi o ich rozmiary został rozpatrzony w [188]. Załóżmy, że do chwili t, odpowiadającej e-foldowi Nt do zakończenia inflacji, objętość V( θ-, Nt ) zawiera fazę θ-. Zatem objętość wypełniona fazą θ-, przy e-foldzie Nt+ ∆t = Nt – ∆N może być znaleziona poprzez następująca procedurę iteracyjną :
gdzie : VU( Nt ) ≈ exp( Nt )/H – objętość Wszechświata przy e-foldzie Nt
Wykorzystując wyrażenie (7.19) można obliczyć rozkład przestrzenny domen, wypełnionych przez zadaną fazę pola θ.
Aby być realistycznym, model barionosyntezy, oparty na powyższym mechanizmie powinien w nietrywialny sposób tłumić wielkoskalowe fluktuacje ładunku barionowego. W przeciwnym wypadku takie fluktuacje dawałyby wkład do spektrum promieniowania reliktowego i byłyby obserwowane. Zgodnie z podanym mechanizmem, fluktuacje temperatury promieniowania reliktowego są proporcjonalne do gęstości energii materii δρ/ρ ≅ δθΩB /Ωtot
δθ = H/ 2πf ( zobacz wcześniej ), ΩB – gęstość względna energii barionów, Ωtot – całkowita względna gęstość energii.
Zatem, mamy następujące ograniczenia δθ≤ 10-3 w skrajnym przypadku na dużych skalach. Jednakże przez 60 e-foldów w trakcie inflacji faza przesunie się do zera nie więcej niż o kąt ∆θ ~ 60 • 10-3 ~ 0,1 [rad] i przejście przez wartość zerową jest mało prawdopodobne.
Na to, aby stłumić fluktuacje wielkoskalowe i tylko je, wprowadzimy oddziaływanie pola χ z inflatonem ϕ o pewnej stałej sprzężenia g. Wtedy potencjał przyjmie postać :
V(ϕ, χ) = λ( | χ |2 – ½ f2 )2 – g | χ |2 (ϕ – cMPl )2 (7.20)
Gdzie : λ, g, c – parametry potencjału.
Potencjał ten ma również formę „sombrero” z minimum przy :
| χ | ≡ feff (ϕ) = sqrt[ f2 + (g/λ )(ϕ – cMPl )2 ] (7.21)
Oczywiście, że teraz położenie minimum nie jest stałą. Przeciwnie, zależy ono silnie od pola klasycznego ϕ, zmieniającego się w trakcie trwania inflacji :
ϕ(t ) = ϕU – ( mϕ MPl / 2√3 ) (7.22)
dla potencjału kwadratowego U(ϕ) = mϕ2ϕ2 /2
Przypomnijmy, że amplituda fluktuacji fazy θ pola χ jest odwrotnie proporcjonalna do wielkości feff (ϕ).
Nie jest trudno znaleźć zależność wielkości inflatonu od liczby e-fold N :
ϕ = ϕN = ϕU – ( MPl / 2√3 )N (7.23)
Uwzględniono tutaj to, że mϕ ≅ H i N = Ht.
Zatem, przez N e-foldów po utworzeniu Wszechświata efektywna skala feff (7.21) ma następującą postać:
Oznaczając (ϕU /MPl ) – c ≡ Nf / 2√3, dochodzimy do ostatecznego wyrażenia o postaci :
Wyrażenie to posiada ważną własność. Istnieje początkowo duży parametr MPl2/ f2 ~ 1010, zatem funkcja feff (N) posiada wąskie minimum przy feff ( Nf ) = f ( przy rozsądnej zależności między występującymi tutaj parametrami ). Stąd od razu wynika, ze amplituda fluktuacji fazy θ :
< δθ > = H/ 2π feff (N ) (7.26)
wzrasta selektywnie w otoczeniu e-foldu N = Nf.
Oceńmy teraz możliwy przedział wartości parametrów g, λ.
Pierwsza nierówność wynika z tego, że fluktuacje powinny być tłumione wystarczająco silnie, tj. feff >> f i z wyrażenia (7.21) otrzymujemy :
< χ > ~ sqrt( g/λ )MPl >> f (7.27)
Druga nierówność związana jest z tym, ze wprowadzona do potencjału dodatkowa składowa renormalizuje również masę inflatonu :
mren2 = m2 – g < χ2 >
Wymaganie małości takiej renormalizacji prowadzi do nierówności : m2 >> g < χ2 > ~ MPl2 g2 / λ
m >> g MPl / √λ (7.28) Wybierając liczbowe wartości parametrów :
f = 10-5 MPl , m = 10-6 MPl (7.29)
I podstawiając je do wyrażenia (7.27) , (7.28), dochodzimy do następujących ograniczeń :
sqrt(g/λ ) >> 10-5 , g/ √λ << 10-6 (7.30)
Układ ten nie jest zbyt przeciążony, przykładowo, jeśli λ ~ 1, to 10-10 << g << 10-6. Małość parametrów związana jest z wyborem małych parametrów w (7.29) i jest standardowa dla modeli inflacyjnych. Przy takich ograniczeniach na
parametry fluktuacji, fazy mają wąski pik przy pewnej wartości e-fold, oznaczonej przez nas jako Nf.
Podsumowanie.
W niniejszym rozdziale rozpatrzyliśmy konkretny przykład modelu inflacyjnego z niejednorodną barionosyntezą – wysepki antymaterii, wystarczająco duże przestrzennie pojawiają się w nim w sposób naturalny. Ich liczba, rozmiar i gęstość antymaterii wewnątrz nich regulowana jest przez kilka parametrów podanego modelu.
Zauważmy jeszcze jeden problem podanego scenariusza naruszenia symetrii barionowej ( podobnie jak i wielu innych, w których wykorzystuje się mechanizm przejść fazowych ) mianowicie tworzenie się defektów topologicznych.
W naszym przypadku – jest to możliwość pojawienia się wielkoskalowych ścianek domenowych [278, 296].
W danym przypadku obszar antymaterii okazuje się być otoczony zamkniętymi ściankami domenowymi.
Gęstość energii powierzchniowej takiej ścianki ma wartość :
∆≈ 8f Λ2 (7.31)
Po zakończeniu etapu inflacyjnego ścianki kurczą się pod wpływem wewnętrznego naprężenia i oscylując dążą do minimum energii. Proces ten powoduje promieniowanie kwantów pola i fal grawitacyjnych.
Oprócz modeli barionosyntezy, rozpatrzonego w niniejszym rozdziale istnie oczywiście wiele innych modeli i scenariuszy.
W charakterze przykładu rozpatrzymy, krótko model [41, 131] o potencjale : U(ϕ) = m2 | ϕ2 | + ½ λ1 | ϕ |4 + ¼ λ2 ( ϕ4 + ϕ*4 )
Model ten jest interesujący z tego powodu, ze ładunek barionowy pola ϕ nie jest zachowany dzięki obecności ostatniej składowej w powyższym potencjale :
∂µ jµ
B ≡ i∂µ ( ϕ* • ∂µϕ – ∂µϕ* • ϕ ) = iλ2 ( ϕ*4 – ϕ4 ) Dla uproszczenia zakładamy, że λ1 = - λ2 ≡ λ > 0.
Po zakończeniu inflacji pole porusza się zgodnie z klasycznymi równaniami ruchu : ϕ••1 + 3Hϕ•1 + ( m2 + 4λϕ22 ) ϕ1 = 0
ϕ••2 + 3Hϕ•2 + ( m2 + 4λϕ12 ) ϕ2 = 0
W pobliżu minimum potencjału ϕ1 = ϕ2 = 0 pole obraca się z prawie że stałym momentem, co prowadzi do pojawienia się niezerowego ładunku barionowego. Kierunek tego obrotu określony jest przez warunki początkowe na etapie inflacyjnym.
Jeśli warunki początkowe nieco zmienić, to po zakończeniu inflacji pole będzie obracało się w drugą stronę.
Jednakże właśnie na etapie inflacyjnym warunki początkowe w różnych obszarach przestrzennych różnią się od siebie co spowodowane jest fluktuacjami kwantowymi. Dlatego w jednych obszarach będą dominowały bariony, a w drugich – antybariony. Po zakończeniu inflacji następuje wzajemna anihilacja ( na ich brzegach ) takich obszarów. Zatem, sumaryczny ładunek barionowy Wszechświata określony jest przez warunki początkowe.
************************************************************************************************