Nieabelowa grupa cechowania jako grupa izometrii dodatkowej przestrzeni
9.4 Nieliniowa D-wymiarowa grawitacja z kilkoma dodatkowymi przestrzeniami
Rozpatrzymy teraz nieliniową wielowymiarową grawitację w przestrzeniach o ogólniejszej postaci, dopuszczających redukcje do mniejszych wymiarów, a dokładniej D-wymiarową CP M o strukturze :
M = M0 × M1 × ... × Mn (9.99)
Gdzie : dim Mi = di oraz metryką :
n
dsD2 = gab(x )dxa dxb + ΣΣΣΣ exp(2βi(x) ) g(i) (9.100) i=1
gdzie : (x) oznacza zależność od pierwszych d0 współrzędnych xa ; gab = gab(x ) – metryka w M0 ; g(i) – niezależne od x di –wymiarowe metryki przestrzeni ilorazowych w Mi , i = 1, ... , n
Wejściowe działanie zakładamy w postaci :
S = ½ mDD–2
∫
√ Dg [ F(R ) + c1RABRAB + c2K + Lm ] (9.101)Gdzie : F(R ) – dowolna funkcja krzywizny skalarnej przestrzeni M ; c1, c2 – stałe ; RAB i K = RAB RAB są odpowiednio tensorem Ricciego i skalarem Kretschmanna przestrzeni M ; Lm – lagranżjan materii.
Wielkie indeksy łacińskie obejmują wszystkie D współrzędnych , małe indeksy łacińskie ( a, b, ... ) – obejmują współrzędne przestrzeni M0 , indeksy postaci ai, bi , ... – są współrzędnymi przestrzeni Mi.
Będziemy przyjmowali, że „kaluza-kleinowskie” (KK) przestrzenie Mi są zwarte i mają dostatecznie mały rozmiar, aby wykluczyć ich obserwowalność we współczesnych eksperymentach.
D-wymiarowy tensor Ricciego posiada następujące niezerowe składowe :
Kreską górną oznaczono wielkości, otrzymane z metryk przestrzeni ilorazowych gab i g(i) ,branych oddzielnie.
β,a ≡ ∂aβ ; δab cd ≡ δa
c δb d – δa
d δb c
Niezerowe składowe tensora Ricciego i krzywizna skalarna mają postać :
Gdzie : (∂σ )2 ≡ σ, a σ ,a i analogicznie dla pozostałych funkcji ; = gab ∇a∇b – d0 wymiarowy operator d’Alamberta ; R−| g | , R−i – skalary Ricciego odpowiadające gab i g(i)
n Symbol ΣΣΣΣi oznacza tutaj ΣΣΣΣ i=1
Założymy, że g(i) – są di –wymiarowymi metrykami przestrzeni o niezerowej stałej krzywiźnie, tj. sfery ( Ki = 1 ) lub zwartych di –wymiarowej przestrzeni hiperbolicznej ( Ki = -1 ) o ustalonym promieniu krzywizny r0, unormowanym do D-wymiarowego analogu mD masy Plancka ,tj. r0 = 1/mD ( jednostki naturalne ). Wtedy otrzymujemy :
Zatem czynniki skalowe ri(x ) ≡ exp(βi ) we wzorze (9.100) są bezwymiarowe.
9.4.1 Przybliżenie wolnych zmian. Redukcja do d0 wymiarów.
Załóżmy, że wszystkie wielkości zmieniają się wolno, tj. rozpatrujemy każdą pochodną ∂a ( włączając w to te, które wchodzą do definicji wielkości R− ) jako wyrażenia zawierające mały parametr ε i odrzucamy wszystkie wielkości rzędów wyższych niż O(ε2 ).
Wtedy mamy następujące rozkłady :
Symbol ( ∂α, ∂β ) oznacza gab α, a β, b , F’(ϕ) = dF/dϕ.
W wyniku tego mamy ( zaniedbując człony O(ε2 ) i całkując po wszystkich Mi ) działanie zredukowane do d0–wymiarów o postaci :
gdzie g0 = | det(gµν ) | , V – jest iloczynem objętości n zwartych di –wymiarowych przestrzeni Mi o jednostkowej krzywiźnie.
Wyrażenie (9.107) jest typowe dla (multi)skalarno-tensorowych teorii (MSTT) grawitacji w obrazie Jordana.
Odejmując dywergencje zupełną wyeliminujemy drugie pochodne w wyrażeniu (9.107) i w wyniku tego człon kinetyczny przyjmie postać :
Przejście do obrazu Einsteina.
Dla dalszej analizy dogodnie będzie przejść do obrazu Einsteina z pomocą odwzorowania konforemnego (9.61). Wyrażenie dla krzywizny skalarnej w zależności (9.107) przekształca się następująco :
gdzie tyldą oznaczono wielkości, otrzymane z metryki g~µν lub z jej pomocą, div oznacza dywergencje zupełną nie wpływającą na równania pola. Działanie (9.107) przyjmuje postać:
z członami – kinetycznym i potencjalnym :
× { F(ϕ) + ΣΣΣΣ di ϕi2 [ c1 + ( 2c2 / di – 1 )] } (9.112) gdzie opuściliśmy tyldy, chociaż wykorzystywaliśmy metrykę g~µν ; lagranżjan materii ma postać :
Lm(E) = exp[ - 2σ/ ( d0 – 2 )] | F’ | - d0 / d0 – 2 (9.113) Wielkości βi i σ wyrażają się przez n pól ϕi , których liczba pokrywa się z liczbą dodatkowych przestrzeni ilorazowych.
9.4.2 Efekty struktury dodatkowych przestrzeni ilorazowych.
Powyżej omówiliśmy niskoenergetyczne teorie, odpowiadające przypadkom szczególnym metryki (9.100) przy różnym wyborze działania początkowego. Nie jest przy tym dziwne, że niektóre wartości parametrów są odpowiednie dla opisu poszczególnych własności naszego Wszechświata. Dodatkowe możliwości pojawiają się przy wariowaniu struktury dodatkowych wymiarów, włączając w to liczbę dodatkowych przestrzeni ilorazowych, ich wymiar i krzywiznę. Przy tym udaje się otrzymać zbiór istotnie różnych niskoenergetycznych teorii nawet przy ustalonym lagranżjanie początkowym.
Dodatkowe wymiary, masa inflatona i ΛΛΛΛeff
Przypomnijmy jeszcze raz pewien niedostatek inflacji chaotycznej w jej najprostszej postaci kwadratowej. Zgodnie z obserwacjami fluktuacji temperatury CMB, masa inflatona powinna być rzędu 10-6 MPl. Jej małość wymaga wyjaśnienia, które póki co nie istnieje.
Rozpatrzmy potencjał efektywny (9.112), generowany przez działanie początkowe (9.65), (9.92). Jego postać przedstawiono na rysunku 9.8 dla niektórych wartości liczby dodatkowych wymiarów d. Oczywiście, można dobrać wartości d tak, aby otrzymać wymagana masę inflatona.
Rys. 9.8 Potencjał efektywny V(ϕ) dla teorii (9.65) z F(R ) postaci (9.92) dla różnej liczby dodatkowych wymiarów.
Wartości parametrów : c =1 , Λ = - 0,4.
Liczbowe oceny prowadzą do następujących wyników – druga pochodna potencjału w minimum ( określa ona masę inflatona ) jest równa ~ 0,2 mD przy d = 3 ; ~ 1,5 • 10-3 mD przy d = 5 i ~ 0,8 • 10-5 mD przy d = 7.
W wejściowym lagranżjanie nie występują małe parametry. Tym niemniej wymagana wartość masy inflatona pojawia się na klasycznym poziomie przy odpowiednim wyborze parametru d.
Silny wpływ liczby dodatkowych wymiarów na postać niskoenergetycznego lagranżjanu nie powinien dziwić, wynika to bowiem z faktu, że potencjał (9.112) zawiera czynnik ~ d-d Jeśli zatem stan stacjonarny to ϕ = ϕ0 , a bezwymiarowy parametr | ϕ0 | mD-2 i F’(ϕ ) –są wielkościami rzędu jedności, to efektywna stała kosmologiczna Λeff = EEin(ϕ0 ) związana jest z funkcją F(ϕ0 ) ( która może być bliska wartości mD-2 ) następująco :
Λeff / F(ϕ0 ) ~ [ d (d – 1 )] – ½d (9.114)
Interesujące jest to, że d-d ≈ 10-123 przy d = 67. To oznacza, że fluktuacje czaso-przestrzenne, generowane przez (67 +4) – wymiarową przestrzeń mogą służyć jako przyczyna tworzenia się przestrzeni z obserwowalną gęstością energii próżni 10-123 m4. Ekstremalna małość Λeff związana jest tylko z liczbą dodatkowych wymiarów przestrzeni, pojawiającą się dzięki fluktuacją kwantowym w skali Plancka.
Na rysunku 9.9 przedstawiono drugi przykład zależności formy potencjału efektywnego od parametru . Widać, ze samo istnienie minimum potencjału, które wskazuje na możliwość stabilizacji rozmiarów dodatkowej przestrzeni zależy od d.
Jeśli wszechświata rodził się wraz z dodatkową przestrzenią o ujemnej krzywiźnie, to ϕ < 0 ( zobacz rys. 9.9 ). Oczywiście, że przy wartości początkowej pola ϕ < - 1 jego średnia wartość w takim wszechświecie dąży do nieskończoności przy d = 2, do stałej przy d = 4 i do zera dla d = 6. Jeśli wszechświat rodził się przy –1 < ϕ < 0, to średnia wartość pola lokalizuje się w minimum potencjału i wymiar dodatkowej przestrzeni pozostaje ustalony.
Zmiana topologii dodatkowej przestrzeni również prowadzi do nietrywialnych rezultatów. W charakterze przykładu na rysunku 9.10 przedstawiono efektywny potencjał (9.94), pojawiający się przy warunku, że dodatkowa przestrzeń posiada topologię 3-sfery. Metastabilne minimum znajduje się blisko zera i wszechświat, znajdujący się w nim może istnieć bardzo długo, ponieważ prawdopodobieństwo tunelowania do niższego minimum jest bardzo małe.
Rys. 9.9 Potencjały przy różnych wymiarach d dodatkowej przestrzeni, otrzymane z lagranżjanu (9.65) z F(R ) = R + cR2 + w1R2 + w2R4 – 2Λ.
Parametry : c = 0 ,w1= 0, w2 = - 1 , Λ = - 0,25 Krzywe wyskalowano jednakowo.
Rys. 9.10 Potencjał efektywny (9.94). Wartości parametrów : c = - 0,5, Λ = 0,2 , c’ = - 0,626 , d = 2 Przestrzenie ilorazowe i zmienny w przestrzeni rozmiar dodatkowych wymiarów.
Przypomnijmy, że nie zakładamy apriori ustalonej liczby wymiarów dodatkowej przestrzeni oraz jego geometrii i topologii.
Wszystko to pojawia się w skali Plancka dzięki fluktuacją kwantowym. Czym bardziej złożona jest pojawiająca się struktura dodatkowej przestrzeni, tum bogatsze są dalsze możliwości.
Rozpatrzmy przestrzeń o metryce (9.100) i dwoma dodatkowymi przestrzeniami ilorazowymi : M = M4 × Md1 × Md2
Wykorzystując to samo działanie (.93), powinniśmy teraz wprowadzić dwa pola skalarne, po to aby opisać niskoenergetyczny obszar teorii. Potencjał efektywny obrazie Einsteina ma postać :
Na rysunku 9.11 przedstawiono potencjał z dwoma dolinami ułożonymi wzdłuż wzajemnie prostopadłych kierunków ϕ1= 0 i ϕ2 = 0, każdy z których odpowiada nieskończenie wielkiemu rozmiarowi jednej z dodatkowych przestrzeni Md1 lub Md2.
Rys. 9.11 Potencjał efektywny w przypadku dodatkowej przestrzeni M = M4 × Md1 × Md2 dla d1= d2 = 3, z parametrami : c = -0,5 , Λ = 0,2 , c1= c2 = - 0,38
Minimum lokalne zaznaczono długą strzałką.
Najbardziej interesujące jest minimum lokalne, gdzie obie przestrzenie ilorazowe są skończone. Wszechświat może znajdować się wystarczająco długo w takim metastabilnym stanie, tak jak w przypadku dodatkowej przestrzeni z prostszą strukturą, omawianą wcześniej.
Interesująca możliwość pojawia się, jeśli założymy, że Wszechświat został wykreowany w punkcie B ( rys. 9.11 )
W czasie inflacji pole porusza się od punktu B wzdłuż strzałki. Przy tym fluktuacje kwantowe generują różne wartości pola w domenach przyczynowo związanych. Los domeny zależy od wartości pola wewnątrz niego. Nawet jeśli większość domen w końcu inflacji znajdzie się w metastabilnym minimum, pewna ich cześć podąży do jednej z dolin. W tym przypadku nasz Wszechświat powinien zawierać pewną liczbę domen z makroskopowo dużą dodatkową przestrzenią. Ich liczba i rozmiar silnie zależy od warunków początkowych.
Jeśli w naszym Wszechświecie istnieją obszary z dodatkową przestrzenią o dużym rozmiarze, to prawa niskoenergetycznej fizyki będą różniły się od praw nam znanych. Przykładowo jeśli gwiazda znajdzie się w takiej domenie, równowaga sił wewnątrz niej będzie naruszona i gwiazda albo skolapsuje, albo rozerwie się.
Zatem, pokazaliśmy, że jedna i ta sama teoria może prowadzić do różnych niskoenergetycznych teorii w zależności od struktury dodatkowej przestrzeni i warunków początkowych.