Mechanizm dokładnego dostrojenia

10.2.1 Redukcja kaskadowa.

Dynamika naszego Wszechświata jest dobrze opisywana przez współczesne teorie, zawierające 30 – 40 parametrów.

Liczba tych parametrów ( ich wartości określane są eksperymentalnie ) jest zbyt duża, aby przyjmować teorię jako ostateczną. Oprócz tego, sformułowanie przyszłej teorii, pretendującej do roli takiej teorii, nie powinna zawierać

konkretnych wartości liczbowych. W przeciwnym wypadku potrzebna byłaby jeszcze jedna ogólniejsza teoria wyjaśniająca ich pochodzenie. Oprócz tego wiadomo, że dla narodzin i istnienia naszego Wszechświata obszar dostępnych wartości takich parametrów powinien być skrajnie wąski ( mówimy o dokładnym dostrojeniu parametrów ), co jest skrajnie trudno wyjaśnić. Omówieniu tego problemu poświęcono obszerną literaturę [42, 59, 71, 125, 170, 181, 216, 254, 290, 303].

Jedną z możliwości rozwiązanie tego problemu jest założenie o istnieniu całego zbioru wszechświatów o różnych własnościach [178, 207, 264, 266]. Bogate możliwości dla uzasadnienia tego założenia zawierają się w idei

Model Kaluzy- Kleina pierwotnie zawierał jeden dodatkowy wymiar. Obecnie omawia się już np. przestrzenie o nieskończonych wymiarach [115], a nawet przestrzenie o zmiennej liczbie wymiarów [69].

W artykule [31] przyjęto mechanizm tworzenia się wszechświatów o zupełnie różnych własnościach. Pojęcie

superprzestrzeni rozszerzane jest tam do zbioru superprzestrzeni o różnej, nie ograniczonej od góry liczbie wymiarów.

W każdej z takich superprzestrzeni następują procesy redukcji do przestrzeni o mniejszych wymiarach.

Zdefiniujmy superprzestrzeń ℜD = (MD , gij ) jako zbiór metryk gij , MD z dokładnością do dyfeomorfizmów. Na przekroju przestrzenno-podobnym Σ wprowadzimy metrykę hij ( szczegóły zobacz [227, 309] )

I zdefiniujemy przestrzeń wszystkich (D – 1 ) -metryk riemannowskich : Riem (Σ ) = { hj(x ) | x ∈Σ }

Amplituda przejścia od Σin do Σf ma postać : hf

Af, in = < hf , Σf | hin , Σin > =

∫

Dg exp[ is(g) ] (10.3) hin

Przypomnijmy, że wykorzystujemy jednostki h = c = 1.

Topologie przekrojów Σin , Σf mogą być różne. Nas będą interesowały przejścia kwantowe, przy których topologia hiperpowierzchni Σf przedstawia sobą iloczyn prosty podprzestrzeni MD– 1– d ⊗ Md Przestrzeń Md zakładamy jako zwartą. Dalej będziemy badali, jaka klasa geometrii na hiperpowierzchni Σf może indukować dynamikę klasyczną.

Rozważania prowadzić będziemy w ramach nieliniowej grawitacji w przestrzeni D > 4 bez uwzględnienia pól materii.

Rozważymy pojawienie się skali Plancka i jej związku z masą inflatonu. Redukcja w przestrzenie o mniejszym wymiarze realizowana jest poprzez kilka etapów, tworząc pewnego rodzaju kaskadę.

Różne kaskady prowadzą do formowania się czterowymiarowych przestrzeni o różnych efektywnych teoriach i różną liczbą dodatkowych wymiarów.

Parametry niskoenergetycznej teorii okazują się zależne od topologii dodatkowych przestrzeni i zmieniają się w szerokich granicach ( zobacz również [122] ), mimo, iż parametry wejściowej teorii są ustalone. Dotyczy to takich fundamentalnych wielkości jak np. masa Plancka i topologia dodatkowej przestrzeni.

Niewystępowanie pól materii, postulowanych pierwotnie stanowi zasadniczą sprawę. Zakładamy, że przy niskich energiach składowe tensora metrycznego dodatkowej (super)- przestrzeni będą interpretowane jako pola materii w duchu teorii Kaluzy –Kleina.

Tworzenie CP wraz z parametrami teorii.

Pierwotnie pojęcie superprzestrzeni oznaczało zbiór różnych geometrii [306], następnie włączono do niego zbiór wszystkich możliwych topologii [227]. Dokonajmy następnego kroku i rozszerzmy superprzestrzeń poprzez dodanie do niej przestrzeni o różnych wymiarach. Oprócz tego, zdefiniujemy rozszerzoną superprzestrzeń E jako iloczyn prosty superprzestrzeni M o różnych wymiarach :

E = M1 ⊗ M2 ⊗ M3 ⊗ ... ⊗ MD (10.4)

Gdzie Md – superprzestrzeń o wymiarze d = 1, 2, ...będąca zbiorem wszystkich możliwych geometrii ( z dokładnością do dyfeomorfizmów ) i topologii.

Fluktuacje kwantowe generują różne geometrie w każdej z superprzestrzeni ( piana CP ) [227, 306]. Prawdopodobieństwo kwantowej kreacji „dodatkowych” 3-geometrii i warunki przy których to następuje, omawialiśmy w podrozdziale 10.2.1.

Obecnie rozpatrzymy następstwa hipotezy o istnieniu rozszerzonej superprzestrzeni.

Wybierzmy przestrzeń o pewnym wymiarze MD. Jego struktura topologiczna może się zmieniać pod wpływem fluktuacji kwantowych [200, 227]. W szczególności możliwe są topologie, dopuszczające przestrzenie rozwłóknione o

przestrzennopodobnymi powierzchniami Σ, co też przyjmujemy w wyrażeniu dla amplitudy przejścia (10.3).

W dalszej kolejności będziemy rozpatrywali przestrzenie dopuszczające rozbicie o postaci : MD = R ⊗ MD – 1(space)

(10.5) Gdzie R reprezentuje kierunek czasopodobny.

Skonkretyzujmy topologię i metrykę na przestrzennopodobnym przekroju Σf oraz amplitudę (10.3), nakładając na nie następujące warunki :

a) topologia przekroju Σf ma postać iloczynu prostego : Σf = MD – 1(space)

= MD1 ⊗ Md1 (10.6)

gdzie : D1 , d1 - są wymiarami odpowiednich podprzestrzeni.

Teraz i dalej zwarta podprzestrzeń oznaczana będzie jako Mdk , k =1, 2, ...

b) Spełniony jest warunek nakładany na krzywiznę podprzestrzeni MD1i Md1 o postaci :

RD1(gab ) << Rd1(γij ) (10.7)

tj. Krzywizna podprzestrzeni MD1jest małą w porównaniu z krzywizną podprzestrzeni Md1.

c) W zbiorze podprzestrzeni Md1 wybierzemy przestrzenie maksymalnie symetryczne o stałej krzywiźnie Rd1, która związana jest z parametrem krzywizny k w standardowy sposób :

Rd1(γij ) = kd1( d1 – 1 ) (10.8)

W pozostałych przestrzeniach MD1topologia i geometria jest dowolna.

W podrozdziale 10.2.1 omawialiśmy prawdopodobieństwo przejść kwantowych, których końcowy stan charakteryzował się określoną powyżej topologią i metryką. Teraz rozpatrzymy następstwa takich przejść. Wybierzemy w tym celu zmienne dynamiczne i formę lagranżjanu. Metrykę przestrzeni MD zapiszemy w postaci [110] :

ds2 = GAB dXAdXB = gab(x ) dxadxb – b2(x ) γij(y ) dyidyj = dt2 – hαβ dxαdxβ – b2(x) γij(y ) dyidyj (10.9) gdzie : gab – metryka podprzestrzeni R ⊗ MD1 o sygnaturze ( + - - - ... - ) ; b(x) – promień krzywizny zwartej

podprzestrzeni Md1; γij(y ) – metryka dodatnio określona podprzestrzeni Md1

Dla zadanego rozwłóknienia przestrzeni na powierzchnie przestrzennopodobne, zawsze można wybrać normalne współrzędne Gaussa, co zostało właśnie wykorzystane w (10.9).

Działanie E-H dla pola grawitacyjnego, jest liniowe po krzywiźnie R i całkowicie opisuje zjawiska fizyczne przy niskich energiach, w których ważna jest grawitacja. Tym niemniej, jest oczywiste, że efekty kwantowe nieuchronnie prowadzą do nieliniowych poprawek do działania [135]. Przy tym działanie zawiera składowe o wyższych pochodnych w postaci wielomianów różnych potęg skalara Ricciego oraz innych inwariantów. Zatem, jakiekolwiek działanie nie bralibyśmy jako podstawę, po uwzględnieniu poprawek kwantowych będzie ono miało postać :

S =

∫

dNx ( R + ε1R2 + ε2R3 + ε3R4 + ... + α1RAB RAB + … )

ze zbiorem nieznanych współczynników, zależnych od geometrii przestrzeni [106, 259, 285].

Tym niemniej problem nie jest tak wyraźny, ponieważ nieliniowe po skalarze Ricciego teorie mogą być sprowadzone poprzez przekształcenia konforemne do teorii liniowej [58, 184]

Oprócz tego, w artykułach [94, 98] przedstawiono ogólniejszy sposób sprowadzenia dowolnych lagranżjanów do postaci standardowej E-H w granicy niskich energii. Przy tym okazało się, że problem stabilizacji rozmiarów dodatkowych wymiarów [110] jest całkowicie rozwiązywalny – zobacz rozdział 8.

Zatem, teorie z wyższymi pochodnymi są konieczne przy uwzględnieniu zjawisk kwantowych i pozwalają one dać te same przewidywania co OTW, a przy tym posiadają bogatsze możliwości. Dla uproszczenia ograniczymy się do działania kwadratowego po skalarze Ricciego :

SD = ½

∫

_{dNX √−}G [ RD(GAB ) + CRD(GAB )2 – 2Λ ] +

∫

K dD – 1 Σ (10.10) ∂MD

Wkład od brzegu ∂MD przedstawia sobą składową, wprowadzoną przez Hawkinga i Gibbonsa.

(* zobacz tekst pt. „Kwantowanie grawitacji- wprowadzenie” *)

W dalszej analizie parametry C i Λ przyjmujemy jako ustalone, a wszystkie rozmaitości niskoenergetycznych teorii, generowanych przez działanie (10.10), pojawiają się dzięki różnym sposobom redukcji do przestrzeni o mniejszych wymiarach.

Ponieważ rozważania prowadzimy w ramach podejścia czysto geometrycznego, w teorii (10.10) skala nie jest pierwotnie ustalona, a stałe C i Λ są bezwymiarowe. W następnym podrozdziale omówimy pojawienie się skali Plancka przy niskich energiach.

Jak było pokazane w [94, 98], teoria (10.10) pozwala otrzymać zwartą i stabilną przestrzeń w dodatkowych wymiarach z zerową gęstością energii próżni. Obserwacyjnie mała wartość energii próżni wymaga nadzwyczaj dokładnego dobrania parametrów C i Λ. Dalej przedstawiamy mechanizm pozwalający w naturalny sposób wariować parametry efektywnej teorii w szerokich obszarach. Przy tym w każdym wszechświecie, tworzącym się w wyniku fluktuacji kwantowej, wartości tych parametrów są unikalne. To oznacza, że istnieje określona cześć wszechświatów z wymaganymi wartościami

parametrów, a zatem i odpowiednią wartością energii próżni. Zatem, małość gęstości ciemnej energii w naszym Wszechświecie oznacza małą ilość wszechświatów podobnych do naszego.

Powróćmy teraz do zagadnienia dotyczącego mechanizmu wariacji parametrów. Dalsze zależności zachodzą dzięki

Objętość Vd1 przestrzeni wewnętrznej Md1zależy od jej metryki i topologii :

Vd1=

∫

dd1y √γ (10.14)

Dla wygody wprowadzimy pole skalarne ϕ(x) :

ϕ(x) = b(x)-2 Rd1(γij ) (10.15)

Z użyciem którego działanie przyjmuje postać :

Ponieważ pole ϕ jest jednoznacznie związane z promieniem krzywizny b(x) przestrzeni zwartej Md 1obecność rozwiązań stacjonarnych minimalizujących działanie, oznaczałoby stabilność rozmiarów tej przestrzeni.

W obrazie Jordana, zgodnie z (10.16), mamy :

Zauważmy jawną zależność parametrów otrzymanej efektywnej teorii od geometrii dodatkowej przestrzeni. Masa mϕ pola skalarnego ϕ(x) jest proporcjonalne do drugiej pochodnej potencjału w minimum ( w obrazie Einsteina ) i może być wariowana w szerokich granicach. Zauważmy, że określona w taki sposób masa jest wielkością bezwymiarową.

Najbardziej interesujące są trzy stadia :

i) Minimum potencjału nie występuje, co oznacza niestacjonarność rozmiaru dodatkowej przestrzeni.

ii) Minimum potencjału istnieje i spełniony jest warunek :

mϕ2 ≤ RD1( gab ) (10.23)

przy którym pole skalarne ewoluuje wraz z metryką „podstawowej” przestrzeni MD1. Właśnie taka sytuacja realizuje się w modelach inflacyjnych i jest omawiana w następnym podrozdziale.

iii) Maksimum potencjału istnieje i spełniony jest warunek :

mϕ2 >> RD1( gab ) (10.24)

W tym przypadku pole ϕ(x) szybko wpada do minimum potencjału :

ϕ(x) = ϕm = const. (10.25)

i nie zmienia się dalej w czasie przy procesach nisko energetycznych.

Ostatni wariant jest najbardziej naturalny, ponieważ czas relaksacji jest proporcjonalny do skali dodatkowej przestrzeni Md1, małej w porównaniu ze skalą przestrzeni MD1.

Omówimy teraz dokładnie tę sytuację. Zakładając spełnienie warunku (10.25), dokonamy przekształcenia konforemnego o postaci :

które zastosowane do wyrażenia (10.17), prowadzi nas do początkowej postaci działania :

Ponieważ rozpatrujemy przypadek (10.25), kiedy pole ϕ już znajduje się w minimum, możemy zignorować składową kinetyczną.

Postać działania (10.27) pokrywa się z (10.10), jednakże teraz działającym w przestrzeni MD1 I zrenormalizowanymi parametrami CD1i ΛD1, zależnymi od objętości Vd1i krzywizny Rd1dodatkowej przestrzeni Md1.

W tabelach 10.1 i 10.2 podano wyniki obliczeń numerycznych, należy podać tutaj jednak pewną uwagę.

Standardowe założenie Vd ~ Ld , gdzie L – rozmiar charakterystyczny przestrzeni, jest słuszne dla przestrzeni „prostych” z dodatnią krzywizną typu d-wymiarowych sfer. Dla zwartych przestrzeni hiperbolicznych sytuacja jest bardziej złożona.

Związek objętości I rozmiaru charakterystycznego określony jest przez zależność asymptotyczną [179] :

Vd1 ≅ exp[ ( d1 – 1 ) /bm ] ; L >> bm (10.28)

Gdzie : L – największa odległość między punktami rozmaitości Md1.

Oczywiście, przy wystarczająco dużym rozmiarze dodatkowej przestrzeni d1 jej objętość może być duża, a rozmiar charakterystyczny przestrzeni – mały. Zatem, możemy wariować w szerokich granicach parametr Vd1, a z nimi parametry CD1, ΛD1, nie będąc w sprzeczności z ograniczeniami eksperymentalnymi nakładanymi na rozmiar dodatkowej

przestrzeni. W charakterze ilustracji w tabelach 10.1 i 10.2 przedstawiono zależność parametrów CD1i ΛD1od topologii zwartej dodatkowej przestrzeni Md1.

Tabela 10.1 Zależność parametrów CD1i ΛD1od geometrii dodatkowej przestrzeni ( czynnik νd1). Wartości ustalonych parametrów : D = D1 + d1 = 11 , D1 = 4 , Λ = -0,6 , C = - 1,9

Tabela 10.2 Zależność parametrów CD1i ΛD1od wymiarów podprzestrzeni MD1i Md1. W ostatnim wierszu podano promień krzywizny bm dodatkowej przestrzeni Md1. Wartości ustalonych parametrów : D = D1 + d1 = 40, νd1= 100, Λ = -0,6 , C = -1,9

Zatem, podprzestrzeń MD1okazuje się zgodna z teorią analogiczną do teorii wejściowej, działającej w przestrzeni

MD, ale z innymi wartościami parametrów. Ważne jest to, że mimo niezmienności wejściowych parametrów (C, Λ ), efektywne „wtórne” parametry Ceff = CD1 i Λeff = ΛD1zredukowanej teorii zmieniają się w szerokim obszarze.

Konkretne wartości efektywnych parametrów zależne są od przypadkowej geometrii i topologii podprzestrzeni Md1, MD1, uformowanych w wyniku fluktuacji kwantowych. Liczba różnych topologii przestrzeni o danym wymiarze w skrajnym przypadku jest przeliczalna. Zatem, wejściowa teoria z dowolnymi, ale ustalonymi parametrami ( w danym przypadku C = -1,9 , Λ = -0,6 ) generuje zbiór przeliczalny zredukowanych teorii w przestrzeniach o mniejszych wymiarach MD1, różniących się wartościami parametrów. Obszar zmienności parametrów Ceff i Λeff może być jeszcze bardziej rozszerzony, jeśli przyjąć do wiadomości kolejną redukcje podprzestrzeni MD1do jeszcze mniejszej

podprzestrzeni MD2 ∈ MD1. Omówimy to w następnym podrozdziale.

Kaskadowe tworzenie się wszechświatów.

Jak było pokazane w poprzednim podrozdziale redukcja wejściowej teorii do przestrzeni o mniejszym rozmiarze generuje szerokie spektrum teorii wtórnych, różniących się wartościami parametrów lagranżjanu CD1i ΛD1. Wartości te zależą od topologii przestrzeni, pojawiającej się w wyniku fluktuacji kwantowych. Podprzestrzeń MD1na której budujemy efektywną teorię (10.27) podobnie jak i podprzestrzeń MD, podlegają fluktuacją kwantowym, które prowadzą również do jej rozbicie

MD1= MD2 ⊗ Md2 (10.29)

Kolejne kroki takiego rozbicia tworzą kaskadę :

MD1→ MD2 ⊗ Md2 ; MD2 → MD3 ⊗ Md3 → ... → M3 ⊗ Mdfinal (10.30) W odróżnieniu od początkowego etapu, parametry lagranżjanu na pośrednich etapach zależne są od poprzednich etapów kaskady. Ponieważ liczba topologii na każdym etapie w skrajnym przypadku jest przeliczalna, łańcuch (10.30) szybko się rozgałęzia, tworząc w wyniku nieskończony zbiór efektywnych teorii, różniących się wartością parametrów.

Istnieje nieskończona liczba dróg „poruszania się” od początkowej przestrzeni MD do końcowej. Interesujące nas kaskady kończą się utworzeniem czterowymiarowych przestrzeni R ⊗ M3 i dodatkowych zwartych przestrzeni o pewnej liczbie wymiarów równej dfinal. Oczywiście, że tylko mała część utworzonych w ten sposób wszechświatów jest podobna do naszego Wszechświata.

Omówimy teraz pojawienie się skali planckowskiej w podanym obrazie. Ponieważ do tej pory mieliśmy do czynienia z czysto geometrycznymi własnościami przestrzeni, wprowadzenie dowolnej skali wydawało się sztuczne. Na ostatnim etapie kaskady (10.30) pojawia się nasza czterowymiarowa przestrzeń, a składowe tensora metrycznego dodatkowej przestrzeni Mdfinal określane są przez obserwacje jako pola skalarne i wektorowe. Zatem w odróżnieniu od poprzedniego modelu składowych kinetycznych KJ w działaniu (10.17) nie można zaniedbywać. Wykorzystując niskoenergetyczną granicę (10.7), zaniedbamy wyższe potęgi krzywizny skalarnej R4 a w rozkładzie KJ = K(ϕ)∂µϕ ∂µϕ + ... pozostawimy tylko pierwsze człony. Oczywiście, ze w takim przypadku najogólniejsza postać działania w obrazie Einsteina jest :

S ≅ ½ Vd1

∫

_{d4x √−}g [ R4 + K(ϕ)(∂ϕ )2 – 2V(ϕ) ] (10.31)

Gdzie objętość dodatkowej przestrzeni Vd1wypisano jawnie.

Postać funkcji K(ϕ) i V(ϕ) zależy od topologii i geometrii dodatkowej przestrzeni ( zobacz [94, 98] )

Oscylacja pola ϕ wokół położenia równowagi ϕ = ϕm przejawia się obserwacyjnie jako kwanty pola skalarnego.

W pobliżu minimum potencjału min V(ϕ ) = V(ϕm ) = Vm działanie (10.31) ma postać : S ≅ ½ Vd1

∫

d4x [ R4 + K(ϕm )(∂ϕ )2 – 2V(ϕm ) – V’’(ϕm ) ( ϕ – ϕm )2 ]

Masa mϕ kwantów pola skalarnego mierzona jest obserwacyjnie w jednostkach przestrzennych. Jednocześnie jest ona związana bezpośrednio z formą potencjału efektywnego w obrazie Einsteina członu kinetycznego. Jeśli człon kinetyczny K(ϕ) > 0 w obszarze minimum potencjału V(ϕ), to zamiana zmiennych o postaci :

prowadzi do teorii ze standardowym członem kinetycznym :

Jeśli wprowadzimy oznaczenie :

MPl2 = Vd1 mϕ2 [ K(ϕm )/ V’’(ϕm ) ] (10.35)

To otrzymamy postać działania dla pewnego pola skalarnego χ w jednostkach przestrzennych :

Przy tym obserwowalna masa Plancka związana jest z parametrami teorii za pośrednictwem (10.35).

Zatem, na ostatnim etapie kaskady pojawiają się od razu trzy skale – promień krzywizny dodatkowej przestrzeni bm , masa Plancka MPl ( zobacz (10.35)) oraz energia próżni Λ ( zobacz (10.34)), związane z masą pola skalarnego mϕ

Jak widać w przedstawionym podejściu masa Plancka nie jest stałą fundamentalną, a zależy od końcowej konfiguracji kaskady.

Stała kosmologiczna Λ∝ V(mϕ ) zależy od efektywnych parametrów. Parametry te mogą zmieniać się w szerokich granicach, tak jak to wynika z powyższych wywodów ( zobacz tabele 10.1, 10.2 ). To oznacza, że i wartość stałej kosmologicznej w przestrzeni M4 wariuje w szerokich granicach w zależności od własności kaskady (10.30), w wyniku której tworzy się ta przestrzeń. Niektóre kaskady mogą, prowadzić do przestrzeni M4 z obserwowalną wartością członu Λ Nadzwyczajna małość tego członu oznacza tylko to, że mała część kaskad prowadzi do oczekiwanego wyniku.

„Subtelne dostrojenie” parametrów Wszechświata następuje przy wyborze odpowiedniej kaskady.

Zdefiniujmy stosunek masy Plancka do masy inflatonu :

MPl / mϕ = sqrt[ Vd1K(ϕm )/ V’’(ϕm )] (10.37)

Wybierając podprzestrzeń M10 ze zbioru (10.4) i zadając parametry C = - 1,9 i Λ = - 0,6 tj. takie jakimi są one w tabelach 10.1, 10.2 możemy otrzymać :

MPl / mϕ ≅ 2 • 106

Dla wymiarów dodatkowej przestrzeni d1 = 6.

Otrzymana wartość liczbowa dobrze zgadza się z tą, którą standardowo wykorzystuje się w modelach inflacyjnych.

Prawdopodobieństwo kreacji wszechświatów z dodatkowymi zwartymi wymiarami.

Do tej pory zakładaliśmy, że na strukturę przestrzeni nałożono własności (10.5) – (10.8). W niniejszym podrozdziale omówimy możliwość pojawienia się podobnych topologii w wyniku fluktuacji kwantowych. Problemowi kwantowej kreacji Wszechświata poświęcono wiele prac. W omawianym przypadku sytuacja jest bardziej złożona poprzez ten fakt, że rozpatrujemy nieliniowy wariant grawitacji i oprócz tego istnieją dodatkowe wymiary, których stabilność powinna być rozważana osobno. Kreacja n-wymiarowej przestrzeni z dodatkowymi wymiarami w ramach standardowej grawitacji rozpatruje się w [112, 174], gdzie badano również obszary stabilności zwartej podprzestrzeni. W artykułach [112, 157]

badano możliwość inflacji przy obecności dodatkowych wymiarów. Grawitacja kwadratowa po skalarze Ricciego badana jest w tym aspekcie w pracy [226].

Prawdopodobieństwo kreacji Wszechświata, otrzymywane w różnych podejściach, różni się zasadniczo [295], co może wskazywać zarówno na niepełność współczesnej teorii, jak i na złożoność tematu. Ostatecznym celem takich obliczeń jest określenie prawdopodobieństwa pojawienia się wszechświata o naszych własnościach. Pytaniem jest czy takie

prawdopodobieństwo jest duże, uwzględniając fakt dokładnego dostrojenia parametrów Wszechświata. W takim przypadku obliczenie prawdopodobieństwa ma czysto akademicki charakter, na mocy niewystępowania związku przyczynowego między kreowanymi wszechświatami. Jak się wydaje na współczesnym etapie badań koniecznym i wystarczającym jest dowiedzenie tego, że zbiór wszechświatów naszego typu nie jest równy zero w ramach konkretnego podejścia. W naszym przypadku oznacza to, że prawdopodobieństwo każdego przejścia (10.6) w kaskadzie jest różna od zera.

Podstawowy wkład do amplitudy przejścia (10.3) dają klasyczne trajektorie, na których działanie jest stacjonarne. Ich forma zależy od warunków brzegowych i w szczególności od własności rozmaitości Σf . W naszym przypadku metryka na

hiperpowierzchni Σf określona jest przez warunki (10.6), (10.7), (10.8). Dlatego będziemy poszukiwali klasycznych trajektorii, spełniających te właśnie warunki na dowolnym przekroju Σ między przekrojami Σin i Σf .

Początkowa hiperpowierzchnia Σin może w ogóle nie istnieć ( podejście Hawkinga-Hartle’a ), albo może posiadać

„zerową geometrię” ( interwał między dowolnymi dwoma punktami na tej hiperpowierzchni jest równy zero – podejście Wilenkina ). Dalej pokażemy, ze prawdopodobieństwo przejścia słabo zależy od własności hiperpowierzchni Σin.

W charakterze przykładu rozpatrzymy prawdopodobieństwo uformowania struktury :

Σf = M3 ⊗ Mdfinal (10.38)

pojawiającej się na ostatnim etapie kaskady. Podstawowy wkład do amplitudy przejścia wnoszą klasyczne trajektorie.

Zmiana topologii przy ruchu klasycznym jest mało prawdopodobna. Dlatego też dla nas będą ważne trajektorie klasyczne, składające się z hiperpowierzchni, spełniających również warunek (10.38). wtedy topologia D-wymiarowej przestrzeni Riemanna między przekrojami Σin i Σf jest :

R ⊗ M3 ⊗ Mdfinal (10.39)

Podobnie jak i wcześniej ( zobacz (10.7)), zakładamy spełnienie nierówności R3 << Rdfinal, która pozwala wykorzystać wyniki osiągnięte w poprzednim podrozdziale. W istocie bowiem w wykorzystanym przybliżeniu działanie (10.10) transformuje się w teorię o postaci (10.31), a zatem i w standardowe działanie E-H (10.36).

Działanie (10.36) wykorzystywano wielokrotnie dla badania problemu kwantowego kreowania Wszechświata [ 139, 161, 209, 294, 295, 304]. Różnica polega na tym, że w pracach poświęconych temu tematowi , obecność pola skalarnego jest standardowo postulowana, podczas gdy w naszym podejściu pojawia się ono ze składowych tensora metrycznego dodatkowej przestrzeni. Dlatego można wykorzystać wyniki wielu powyżej wymienionych prac, omówimy teraz krótko ich podstawowe wyniki.

Kwantowa kreacja Wszechświata badana jest standardowo w ramach minisuperprzestrzeni, w której interwał ma postać [295] :

ds2 = σ2 [ N(t)2 dt2 – a(t)2 dΩ32 ] , σ = 1 /12π2MPl2 (10.40) Funkcja falowa ψ(a) spełnia równanie Wheelera- de Witta :

[ ∂/∂a2 – W(a)] ψ(a) = 0 (10.41)

o potencjale

W(a) = a2( 1 – H2a2 ) , a > 0 , H = √U(χ)/ 6π MPl2

Kreacja wszechświata opisywana jest jako przejście podbarierowe o obszarze wzbronionym :

0 < a < 1/H (10.42)

Funkcja falowa w tym obszarze ma postać [295] : H-1

ψ(a) ≅ exp[

∫

sqrt( -2W(a’ ) da’ ] (10.43)

a

Całka wchodząca do tego wyrażenie jest słabo określona na granicy dolnej gdzie a → 0. W tym obszarze nie pracuje przybliżenie R3 << Rdfinal, ponieważ R3 = k/a2 →∞ i jawne wyrażenie dla potencjału nie jest określone. Ten problem istnieje również w innych modelach kwantowej kreacji Wszechświata [226]. Tym niemniej obliczona w taki sposób całka ma sens w granicy :

H << MPl (10.44)

Kiedy obszar a ~ 0 jest mały w porównaniu z całym obszarem całkowania. Nasz Wszechświata utworzył się przy H ~ 10-6 MPl tak, że nierówność (10.44) spełniona jest już na etapie inflacyjnym. Wniosek o słabej zależności otrzymanego wyniku od zachowania funkcji w pobliżu osobliwości potwierdzają prace innych autorów.

Początkowa funkcja falowa o postaci δ( a – ain ) zakładana jest w pracy [286], rozpad próżni metastabilnej ze stanu o ustalonej energii badano w pracach [139, 304]. W obu tych przypadkach pokazano, że warunki początkowe słabo wpływają na prawdopodobieństwo przejścia. Dokładne omówienie kwantowej kreacji wszechświatów w wielowymiarowej grawitacji można znaleźć w [112, 143].

W podejściu Wilenkina prawdopodobieństwo kreacji wszechświata jest określone jajko : dP ∝ exp[ + 2/ 3U(χ) ]

podczas gdy przybliżenie Hartle’a –Hawkinga daje : dP ∝ exp[ − 2/ 3U(χ) ]

Wielkość potencjału skalarnego χ jest jednoznacznie związana z rozmiarem dodatkowej przestrzeni, a wzory dają prawdopodobieństwo kreacji dodatkowych wymiarów w zależności od ich rozmiaru charakterystycznego.

Przy wszelkich różnicach, główną cechą wspólną jest to, że prawdopodobieństwo omawianego zdarzenia jest różne od zera, a zatem zbiór wszechświatów o zadanych własnościach , utworzonych w wyniku kaskady redukcji, jest różny od zera.

Dyskusja.

Istnieją problemy, rozwiązanie każdego z których przedstawia sobą poważne zagadnienie. Do takich problemów możemy zaliczyć :

a) problem dodatkowych wymiarów – ich liczba, sposób kompaktyfikacji, możliwości eksperymentalnej weryfikacji.

b) nieliniowość działania grawitacyjnego pojawiająca się nieuchronnie w wyniku działania efektów kwantowych.

c) liczbowe wartości parametrów teorii, prowadzących do utworzenia się Wszechświata o złożonej strukturze.

W artykule [31] pokazano możliwość powiązania tych problemów. Przy tym okazało się, że zgodne ich rozpatrzenie nie powoduje wzrostu złożoności zagadnienia – jest wprost przeciwnie. Proces redukcji kaskadowej (10.30) pozwala otrzymać

W artykule [31] pokazano możliwość powiązania tych problemów. Przy tym okazało się, że zgodne ich rozpatrzenie nie powoduje wzrostu złożoności zagadnienia – jest wprost przeciwnie. Proces redukcji kaskadowej (10.30) pozwala otrzymać

W dokumencie Wykłady z grawitacji i kosmologii K. A. Bronnikow, S. G. Rubin (Stron 180-192)