Przestrzeń de Sittera

5.2 Przestrzeń de Sittera.

Na początku XX wieku de Sitter badał własności zakrzywionej przestrzeni, nie zawierającym materii. Cechą charakterystyczną, która odróżniała ją od przestrzeni Minkowskiego była obecność niezerowego człony lambda w równaniu (5.8).Szczególne własności tej przestrzeni przez długi czas miały jedynie czysto akademicki charakter. Jednakże obecnie stało się jasne, że początkowy – inflacyjny i współczesny etap rozwoju Wszechświata modelowany jest dobrze z pomocą przestrzeni de Sittera. Dlatego też użytecznym będzie zbadanie własności tej przestrzeni.

W istocie są to trzy przestrzenie zasygnalizowane krótko w rozdziale 2, teraz omówimy je dokładniej. Ponieważ nie występuje tutaj materia p = ρ = 0 i równanie (5.8) silnie się upraszcza :

a^•2 – H2 a2 = - k , H2 ≡ 1/3 Λ (5.25)

( przy założeniu Λ > 0 ) I łatwo możemy sprawdzić, że dla :

k = 0 a(t) = a0e±Ht , a0 = const ( Wszechświat przestrzennie płaski ) (5.26) k = 1 a(t) = H-1cosh[ H( t – t0 )] t0 = const ( Wszechświat zamknięty ) (5.27) k = -1 a(t) = H-1sinh[ H( t – t0 )] t0 = const ( Wszechświat hiperboliczny ) (5.28)

Wybór stałych ( tj. wybór początku odmierzania czasu ), jest taki, że : a0 = H-1, t0 = 0 , jak również wybór znaku plus (5.26) ( co odpowiada rozszerzaniu Wszechświata ) prowadzi do dogodnego wyrażenia ogólnego dla asymptotyk wszystkich trzech wyrażeń dla a(t) przy dużych wartościach czasu :

a(t) = H-1eHt , t >> H-1 (5.29)

Wyrażenia te wykorzystamy dla analizy i lepszego zrozumienia wzorów ogólnych, otrzymanych powyżej.

Niech dwóch obserwatorów znajduje się w punktach przestrzeni o ustalonych wartościach r1= 0 i r2 = r, tj. obaj oni spoczywają w tym UO w którym zapisano metrykę. Tym niemniej, mierzona przez nich odległość fizyczna, zgodnie z wyrażeniami (5.12) i (5.29) rośnie z czasem w sposób wykładniczy.

Ważne jest również zorientowanie się w odległościach na jakie uchodzi światło w przestrzeni de Sittera.

Rozpatrzmy płaski wszechświat ( k = 0 ) o czynniku skalowym a(t) = H-1eHt jako najprostszy przypadek zachowujący wszystkie charakterystyczne własności ( w tym asymptotyki wszystkich trzech wariantów są jednakowe ).

Dla modeli płaskich wprowadzone przez nas bezwymiarowe współrzędne r i χ pokrywają się. Analogicznie do (5.17) otrzymujemy wyrażenie :

t’

∆r ( t, t’ ) = ∫ dτ /a(τ) = e-Ht – e-Ht’ (5.30) t

dla odległości współrzędnościowej, pokonywanej przez sygnał świetlny emitowany w chwili t i rejestrowany w chwili t’.

Zatem maksymalna wartość ∆r, osiągalne dla światła, emitowanego w chwili t jest równa :

∆rhor ≡ ∆r (t, t’ → ∞ ) = e-Ht (5.31)

To oznacza, ze horyzont znajduje się na skończonej odległości współrzędnościowej i oprócz tego, im później został wyemitowany sygnał tym jest ona mniejsza,

We współrzędnościowym sensie rozmiar horyzontu zmniejsza się z czasem.

Z punktu widzenia odległości fizycznych sytuacja jest inna – w czasie ( t’ – t ) światło oddala się na odległość : Rphys ( t, t’ ) = a(t’ ) ∆r ( t, t’ ) = H-1[ eH( t’ – t ) – 1 ]

Przy ustalonej chwili początkowej t, odległość rośnie wykładniczo, co znacznie odbiega od sytuacji jaka ma miejsce w przestrzeni Minkowskiego. Przy tym, zgodnie z równaniem :

Rhor (t ) = Rphys (t, t’ → ∞ ) = H-1 eH( t’ – t ) (5.32)

Rozmiar horyzontu dąży do nieskończoności.

Pojęcie horyzontu jest nadzwyczaj ważne w kosmologii ponieważ określa procesy dynamiczne we wczesnym Wszechświecie. W epoce inflacyjnej, zaraz po narodzinach Wszechświata, przestrzeń można było w przybliżeniu rozpatrywać jak przestrzeni desitterowską , przy tym rozmiar horyzontu był rzędu 10-27 [cm]. Właśnie taki był rozmiar obszaru przyczynowo związanego. Przypominając sobie, że comptonowska długość fali elektronu jest rzędu 10-11 [cm]

łatwo zauważyć, że sama obecność horyzontu wprowadza pewną specyfikę do procesów fizycznych. Na współczesnym etapie ewolucji przewagę ma ciemna energia, co oznacza m.in. że Wszechświat „przeszedł” do przestrzeni de Sittera.

Obecnie rozmiar horyzontu jest rzędu 1028 [cm] i dalsze obszary nie są obserwowalne.

Czy rozszerzanie w przestrzeni de Sittera jest rzeczywiste ?

Rozpatrzmy jeszcze raz metrykę de Sittera w postaci (5.4) i płaską 3-przestrzenią ( k = 0 ) :

ds2 = dt2 – H2 e2Ht ( dr2 + r2dΩ2 ) (5.33)

gdzie : H ≡ sqrt(Λ/3 )

Czynnik skalowy zmienia się z czasem, a z nim również odległości między obiektami punktowymi, nieruchomymi względem kosmologicznego UO, w którym zadano powyższą metrykę.

Jednocześnie poprzez przekształcenie współrzędnych metrykę tę można sprowadzić do postaci statycznej [ zobacz (3.18) ] :

ds2 = ( 1 – H2 r2 )dt2 – ( 1 – H2 r2 )-1( dr2 + r2dΩ2 )

W takiej metryce odległości między ciałami, ustalone w zadanym UO nie zmieniają się. Istnieje również taki UO w którym odległości zmniejszają się z czasem – np. tak będzie jeśli weźmiemy znak minus we wzorze (5.26).

Powróćmy teraz do metryki (5.33) i rozpatrzmy ruch cząstek próbnych. Równanie geodezyjnej ma postać:

( d2xi /ds2 ) + Γiµν (dxµ/ds ) (dxν/ds ) = 0 (5.34)

Ponieważ symbole Christoffela Γi

mm = 0 jednym z rozwiązań tego równania jest xi (t ) = const.

Współrzędne punktów ( i ich różnice ) nie zależą od czasu. Z drugiej strony, pomiary fizyczne

( Rphys (t ) = eHt Rphys (0) ) oczywiście wskazują na wzrost odległości między spoczywającymi cząstkami.

Jak zrozumieć to że Wszechświat się rozszerza i że przy tym przestrzeń de Sittera jest maksymalnie symetryczna i wszystkie jej punkty-zdarzenia są całkowicie równoprawne ?

To wydawałoby się oznacza, że przejście od jednej chwili do drugiej niczego nie zmienia, zatem nie ma żadnego rozszerzania.

Proste wyjaśnienie ( pozornie paradoksalne ) , jest takie, że rozszerza się nie czterowymiarowa CP, a 3-przestrzeń takiego lub innego UO. Oprócz tego, dopiero co przekonaliśmy się, że linie czasu xi = const. tego UO w którym metryka ma postać (5.33), są geodezyjnymi – a odległości Rphys rosną – zatem kongruencja (pęk ) takich geodezyjnych rozszerza się. Inne kongruencje geodezyjnych w tej CP mogą się kurczyć – to zależy od zadania danych początkowych w równaniu (5.34).

Można podać jeszcze jeden argument, potwierdzający realność rozszerzania przestrzeni w metryce (5.33).

Rozpatrzmy mianowicie układ cząstek próbnych, jednorodnie rozmieszczonych w całej przestrzeni i nieruchomych we współrzędnych (5.33) tj. z liniami świata xi = const. Ważne jest przy tym to, że oddziałują one słabo ze sobą ( np.

grawitacyjnie ). Jeśli przekonamy się, że oddziaływanie między nimi zmniejsza się, to wskazuje to jednoznacznie na to, że odległości między cząstkami zwiększają się, tj. Wszechświat rzeczywiście rozszerza się.

Przypomnijmy również, że w takich współrzędnych rozmiar horyzontu (5.31) zmniejsza się z czasem według prawa e-Ht , podczas gdy odległość współrzędnościowa miedzy cząstkami jest ustalona. Zatem, dla dowolnych dwóch cząstek istnieje chwila, kiedy rozmiar horyzontu stanie się mniejszy niż odległość między nimi, co będzie oznaczało zanik związku przyczynowego, tj. od tej chwili cząstki próbne przestaną oddziaływać. Inaczej mówiąc, pierwotne niezerowe

oddziaływanie między takimi cząstkami powinno z czasem dążyć do zera – Wszechświat rozszerza się ( ściślej, rozszerza się 3-przestrzeń rozpatrywanego UO )

Można przeprowadzić analogiczne rozumowanie z użyciem odległości fizycznych – ich wynik będzie oczywiście taki sam.

5.3 Inflacja.

Idea inflacji – superszybkiego rozszerzania się Wszechświata na jego bardzo wczesnym etapie – została wysunięta na początku lat 80-tych XX wieku. Sukces paradygmatu inflacyjnego w wyjaśnieniu obserwowanych własności Wszechświata sprawił iż idea ta stałą się ogólnie przyjętą. Obecnie znana jest cała rodzina scenariuszy inflacyjnych, jednakże wydzielenie tego, który zrealizował się w praktyce jest zadaniem złożonym, zwłaszcza, że liczba (hipotetycznych ) modeli inflacyjnych stale rośnie. Dalej omówimy własności modeli inflacyjnych, zbudowanych na bazie idei tzw. inflacji chaotycznej.

Od chwili, kiedy stało się jasne, że rozszerzanie Wszechświata rozpoczęło się od stadium „gorącego” ( dominacja promieniowania ) upłynęło już kilka dziesięcioleci, jednakże wciąż pozostało wiele nierozwiązanych problemów, m.in.

stało się oczywistym, że Wszechświat rozwijał się w sposób nietrywialny zanim osiągnął „gorące” stadium.

Pełny spis takich problemów można znaleźć np. w [210] ( jak również w większości podręczników do kosmologii ).

Podstawowe z takich problemów omawiamy w podrozdziale 5.6 Sposoby rozwiązań takich zagadnień można znaleźć np. w [6, 158, 282].

Po pewnym czasie badań stało się jasne, że inflacja jest w stanie wyjaśnić podstawowe fakty znane z obserwacji.

Sukces scenariuszy inflacyjnych stał się na tyle znaczący, że zostały one włączone do tzw. Standardowego Modelu Kosmologicznego, jako jego podstawowy składnik.

Najprostszy i najbardziej rozpowszechniony sposób opisu epoki inflacyjnej jest taki.

Zakładamy istnienie pewnego pola skalarnego ( inflatonu(a) ), które ewoluuje wraz z polem grawitacyjnym, generowanym właśnie przez to pole. Przy pewnych warunkach nakładanych na to pole ( omówimy je dalej ), pojawia się sytuacja, przypominająca desitterowską tzn. rozmiar przestrzeni pod horyzontem rośnie wykładniczo, co właśnie stanowi główną cechę charakterystyczną epoki inflacyjnej.

Gęstość lagranżjanu układu składającego się z pola skalarnego i grawitacyjnego, zwykle zapisuje się następująco :

L = √−g [ (1/16πG )R + ½ gµν ∂µϕ∂νϕ – V(ϕ) ] (5.35)

Gdzie : g = det (gµν ), G – stała grawitacyjna.

Wybiegając nieco na przód, powiemy, że proces inflacyjny przebiegał efektywnie przy dużej gęstości energii pola

skalarnego. Taka sytuacja może wyniknąć dzięki fluktuacją kwantowym. Oceńmy rozmiar takich fluktuacji, wykorzystując zależność nieokreśloności :

∆E∆t ~ 1 ( = ħ ) (5.36)

Dla uproszczenia przyjmiemy, że V(ϕ) = ½ m2ϕ2 , m – masa pola ϕ , a wartość pola tła jest równa ϕ0 = 0, tj. rozpatrujemy niskie energie.

Fluktuacja pojawia się w obszarze przyczynowo związanym, co nakłada ograniczenia na jej maksymalny możliwy rozmiar przestrzenny ∆ł ~ ∆t. Energia układu, opisywanego przez lagranżjan (5.35) ma postać :

E =

∫

d3x √−g [ ½ gµν ∂µϕ∂νϕ + V(ϕ) ] (5.37)

Krzywizna skalarna R została odrzucona, ponieważ dokonujemy oceny tylko dla pola skalarnego ϕ.Uwzględniając to wszystko, ocenimy całkę (5.37) i z równości (5.36) znajdujemy przestrzenny rozmiar fluktuacji :

∆ł3 ∆t[ ½ (∆ϕ /∆ł )2 + ½ m2∆ϕ2 ] ~ ∆ϕ2 ∆ł2 [ 1 + m2∆ł2 ] ~ 1 Zatem, amplituda fluktuacji co do rzędu wielkości jest równa :

∆ϕ ~ 1/ ∆ł3 sqrt( 1 + m2∆ł2 )

Jest to wyrażenie ogólne. Na jego podstawie możemy ocenić energię fluktuacji z zadanym przestrzennym rozmiarem, np.

rzędu naruszenia symetrii oddziaływań elektrosłabego i silnego ∆ł ~ 1/ MGUT ~ 1000/MPl. Szczególnie proste wyrażenie otrzymujemy, jeśli przyjmiemy założenie m << MGUT W tym przypadku fluktuacja energii potencjalnej jest równa :

∆V ~ m2 MGUT2 a kinetycznej :

∆E ~ MGUT4

Dochodzimy do zrozumienia tego faktu, że fluktuacje kwantowe pól w otaczającej nas przestrzeni tworzą ciągle obszar o podwyższonej gęstości energii. Z punktu widzenia standardowego obserwatora, czas życia takiej fluktuacji jest bardzo mały. W rozpatrywanym przez nas przypadku jest on rzędu 10-40 [s].

Przestrzenny rozmiar obszaru zajętego przez fluktuacje to ok. 10-30 [m]. Będąc tak mały jest on jednakże dużo większy od rozmiaru planckowskiego, co pozwala wykorzystać równania Einsteina w ich standardowej postaci w celu opisania procesów zachodzących wewnątrz tego obszaru. Punkt widzenia obserwatora wewnętrznego rozpatrywany jest poniżej.

Równanie pola skalarnego wynikają z (5.35) :

∂µ ( √−g gµν∂νϕ ) + √−g V’(ϕ) = 0 (5.38)

Metrykę zakładamy w postaci (5.4).

W związku z jednorodnością przestrzeni zakładamy również i jednorodność rozkładu pola skalarnego ϕ, tj. ϕ = ϕ(t).

Równanie (5.38) upraszcza się zatem do postaci :

ϕ^•• + 3Hϕ^• + V’(ϕ) = 0 , H ≡ a^•/a (5.39)

Jeszcze jedno równanie otrzymamy, jeśli uwzględnimy to, ze gęstość energii pola skalarnego jest równa ρ = ½ ϕ^•2 + V(ϕ)

Wtedy równanie (5.8) w postaci :

H2 = (8πG/3) ( ½ ϕ^•2 + V(ϕ) ) (5.40)

jest drugim równaniem danego układu dla zmiennych dynamicznych ϕ(t), a(t). W danym przypadku można przyjąć, że składowa Λ/3 w (5.8) albo jest równa zero, albo jest już zawarta w definicji potencjału V.

Kluczowym momentem dla procesu inflacyjnego jest „wolna” zmiana pola skalarnego ϕ ( inflatonu ). W tym przypadku zachowanie układu (5.39), (5.40) następuje jak gdyby w przestrzeni de Sittera, nawet jeśli Λ = 0.

W istocie bowiem analogicznie do standardowej mechaniki punktu materialnego, wolny ruch jest wykonywany wtedy, kiedy składowa odpowiedzialna za tarcie 3Hϕ^• jest duża, tj. :

3H| ϕ^• | >> | ϕ^•• | (5.41)

To pozwala jeszcze bardziej uprościć podany układ równań. Wykorzystując (5.41), zapiszemy równanie (5.39) w postaci

3Hϕ^•+ V’(ϕ ) ≅ 0 (5.42)

Zatem, dochodzimy do nierówności : V’(ϕ ) ~ 3Hϕ^• >> ϕ^••

Mnożąc pierwszy i ostatni człon na ϕ^• i całkując, otrzymujemy szukaną nierówność :

ϕ^•2 << V(ϕ ) (5.43)

Nierówność ta oznacza, że energia kinetyczna jest małą w porównaniu z energią potencjalną, a to znaczy, że ta ostatnia zmienia się w czasie inflacji nieznacznie V ≅ const. i oprócz tego na mocy równania (5.40), parametr Hubble’a jest również prawie stały :

H ≡ a^• /a ≅ sqrt[ (8πG/3 ) V(ϕ)] (5.44)

Rozwiązanie równania (5.44), a(t) ∝ exp(Ht ), oznacza ( w przybliżeniu ) wykładniczy wzrost czynnika skalowego, a to oznacza również wzrost odległości fizycznych, analogicznie jak w przestrzeni de Sittera.

Nie jest to dziwne, ponieważ ( w przybliżeniu ) stały potencjał inflatonu ϕ może być interpretowany jako stałą kosmologiczna.

Dynamika pola skalarnego, związanego z grawitacją, jest znacznie bardziej interesująca w porównaniu z dynamiką przestrzeni de Sittera. W szczególności, nierówność (5.43) powinna być obowiązkowo naruszona, ponieważ pole ϕ, chociaż wolno, ale jednak porusza się ku minimum potencjału. Kiedy potencjał stanie się wystarczająco mały, parametr Hubble’a H będzie również mały. Zatem, „tarcie” w równaniu (5.39) można zaniedbać, co oznacza początek szybkiego ruchu inflatonu ku minimum potencjału i zakończenie epoki inflacji.

Prześledźmy teraz procesy przebiegające na etapie inflacyjnym. Dynamika inflatonu ϕ określona jest poprzez równanie (5.42), a czynnik skalowy a – poprzez równanie (5.44). To ostatnie rozwiązujemy w ogólnej postaci :

t

a(t ) = a(tin ) exp[

∫

H(ϕ ) dt ] (5.45)

tin

Jeśli inflacja rozpoczęła się w chwili t = 0, a zakończyła w chwili te, to początkowy obszar przestrzenny zwiększa się o a(te )razy. Standardowo wykorzystuje się wartość parametru Hubble’a He ~ 1013 [GeV], zgodnym z danymi

obserwacyjnymi. Dla większości szacunków wystarczającym jest przyjęcie H(ϕ) ≈ He = const. W tym przypadku czynnik skalowy na etapie inflacyjnym ma postać:

a(t ) ≅ a(tin )exp[ Hend ( tend – tin )] (5.46)

gdzie : Hend – wartość parametru Hubble’a na końcowym etapie okresu inflacyjnym, tend – chwila zakończenia inflacji.

Użytecznym okazało się wprowadzenie pojęcia liczby e-foldów ( e-folds ) N, zdefiniowanej jako :

N ≡ ln[ a(t)/ a(tin )] (5.47)

Innymi słowy, jeśli znana jest liczba N, to znaczy to, że do danej chwili czasu Wszechświat rozszerzył się o eN razy.

Jeśli inflacja rozpoczęła się, kiedy pole skalarne miało wartość ϕin , to liczbę N możemy obliczyć w następujący sposób t ϕ ϕ

N ≡ ln[ a(t)/ a(tin )] =

∫

H dt =

∫

H ( 1/ϕ^• ) dϕ = −

∫

[ 3H(ϕ ) / V’(ϕ) ] dϕ (5.48) tin ϕin ϕin

Rozpatrzmy dokładniej warunek wolnego zwijania. Aby określić jawniej przy jakich warunkach jest to możliwe, wykonamy następujące czynności. Z równania (5.42) w postaci :

ϕ^• = - V’(ϕ)/ 3H(ϕ)

drugą pochodną wyrazimy następująco :

ϕ^•• = [ V’(ϕ)/ 3H2(ϕ) ] H’(ϕ)ϕ^• – [ V’’(ϕ)/3H(ϕ)]ϕ^•

Aby warunek wolnego zwijania był spełniony, oba składowe w prawej części powinny być małe w porównaniu z 3Hϕ^• Przypominając wyrażenie (5.44) dla parametru Hubble’a, otrzymujemy następujące warunki :

ε ≡ ( MPl2 /16π ) ( V’(ϕ)2/ V(ϕ)2 ) << 1 ; η ≡ ( MPl2 /8π ) ( V’’(ϕ)2/ V(ϕ)2 ) << 1 (5.49) TEP pola skalarnego ϕ(t) w metryce (5.4), jak wynika to z symetrii danego zagadnienia, pokrywa się z TEP cieczy idealnej we współporuszającym się UO ( zobacz podrozdział 5.1 ), Tνµ = diag ( ρ, - p, -p , -p ), przy czym dla pola skalarnego gęstość energii ρ i ciśnienie p określone są przez wzory :

ρ = ½ ϕ^•2 + V(ϕ) (5.50)

p = ½ ϕ^•2 − V(ϕ) (5.51)

W epoce inflacji ½ ϕ^•2 << V(ϕ), co oznacza w przybliżeniu przestrzeń desitterowską z odpowiednim zachowaniem czynnika skalowego.

W dokumencie Wykłady z grawitacji i kosmologii K. A. Bronnikow, S. G. Rubin (Stron 93-97)