Inflacja hybrydowa

Podstawowym niedostatkiem najprostszych modeli z potencjałem kwadratowym jest małość masy inflatonu w porównaniu z masą Plancka m/ MPl ≅ 10-6

Istnieją jednak pewne możliwości wyjścia z tej sytuacji. Przykładowo poprzez wprowadzenie drugiego hipotetycznego pola skalarnego. Najbardziej znana próba takiego podejścia znana jest jako inflacja hybrydowa [212, 218].

Potencjał inflacji hybrydowej zależny jest od dwóch pól skalarnych σ i χ i standardowo zapisywany jest w postaci :

V(χ, σ ) = κ2 ( M2 – ¼ χ2 )2 + ¼ λ2χ2σ2 + ½ m2σ2 (6.7) Gdzie : κ, λ, m – parametry danej teorii.

Podobna forma zapisu pozwala otrzymać w naturalny sposób wolne opadanie wzdłuż doliny potencjału χ = 0, σ > σc i szybkie fluktuacje obu pól przy końcu inflacji. Wolne opadanie jest konieczne dla zaistnienia stadium inflacyjnego, a szybkie drgania pól – dla efektywnego tworzenia cząstek materii i nagrzewania Wszechświata.

Dynamika pól określona jest przez klasyczne równania :

σ^•• + 3Hσ^• + ½ λ2χ2σ + m2σ = 0 (6.8)

χ^•• + 3Hχ^• – κ2χ( M2 – ¼ χ2 ) + ½ λ2χσ2 = 0 (6.8)

gdzie H – parametr Hubble’a w omawianej epoce.

W kontekście inflacji hybrydowej wolne opadanie oznacza wolną zmianę pola σ wzdłuż doliny χ = 0, które może mieć miejsce przy warunku σ > σc. Dla szacunków można przyjąć, że wolne opadanie zachodzi przy m << H.

W tym przypadku można zaniedbać drugą pochodną w równaniach (6.8), co pozwala otrzymać rozwiązanie w postaci : σ(t) = σin exp( - m2t /3H) ; m << H

Inflacja trwa, póki pola nie osiągną punktu krytycznego : σc = √2(κM/λ ) ( czarny punkt na rysunku 6.1)

Rys. 6.1 Potencjał inflacji hybrydowej. Klasyczny ruch pól następuje wzdłuż linii krytycznej ( strzałka na rysunku ) Po osiągnięciu punktu krytycznego możliwe są dwa dalsze kierunki ruchu : ku minimum χ+ i χ− .

Po tym jak pole σ osiągnie tą wartość, ruch wzdłuż linii χ = 0 , σ > σc staje się niestabilny i pole χ szybko osiąga jedno z minimów χ± = ±2M , σ = 0.

Los Wszechświata zależy od wartości początkowych χin , σin

Załóżmy, standardowo, że epoka inflacyjna trwa przez okres czasu równy NUH-1( ħ = c = 1 ).

Standardowo wybieramy NU ≈ 60. Wtedy z warunku σ ( t = NUH-1) = σc łatwo otrzymać wartość początkową pola σ : σin = σc exp( m2NU / 3H2 )

Inflacja kończy się intensywnymi fluktuacjami pola w obszarze przypadkowo wybranego minimum.

Mimo wszystko również ten model posiada poważne niedostatki. W epoce inflacyjnej, kiedy pola σ, χ poruszają się wzdłuż linii χ = 0, przestrzeń rozdziela się na zbiór obszarów przyczynowo niezwiązanych. Dzięki fluktuacją kwantowym pola skalarne w tych obszarach różnią się nieco od siebie. Oczywiście, przeważająca większość obszarów zawiera pole χ ≠ 0.

Zatem, w końcówce inflacji po osiągnięciu przez pole σ wartości krytycznej σc tworzy się kolosalne liczba ( ok. 1078 ) domen. W połowie z nich – tych które zawierają pole χ < 0, rozpoczyna się staczanie ku minimum χ- = -2M , podczas gdy w drugiej połowie – ku minimum χ+ = +2M. Po zakończeniu inflacji powstaje wszechświat złożony z chaotycznie rozłożonych domeno znaczeniach pól χ+ lub χ- Sąsiednie domeny rozdzielone są ściankami ( barierami pola ), ponieważ przy ruchu od χ+ do χ- należy przejść przez punkt χ = 0, σ =0 , osiągając przy tym ekstremum potencjału.

Podobny okres „dominacji ściankowej” w ewolucji Wszechświata nie jest możliwy, ponieważ wyklucza istnienie

Wszechświata w jego obecnej formie. Zatem standardowo przyjmowany ruch „średni” wzdłuż linii χ = 0 jest wykluczony.

Jest to bardzo mocne ograniczenie, nakładane na model inflacji hybrydowej, może ono być jednak ominięte, zarówno w samym tym modelu jak i jego modyfikacjach. Rozpatrzmy teraz takie możliwości [265].

Okazuje się, że w swojej pierwotnej postaci inflacja hybrydowa może być zrealizowana tylko przy jednym warunku : wartość początkowa pola χ we Wszechświecie pojawiająca się w stadium inflacyjnym odpowiada warunkowi χin ≠ 0.

Oprócz tego, podczas trwania inflacji pole χ nie powinno przecinać linii krytycznej χ = 0, aby uniknąć opisanych powyżej problemów. Jednym z warunków wolnego ruchu pola jest :

η≡ V’’χχ / 3H2 << 1

Łatwo ocenić tę wielkość dla σ ≈ σin , χ = 0 i H ≈ sqrt(8π/3 ) κM2 / MPl W wyniku tego otrzymujemy :

co prowadzi do nierówności :

η = [ 6NU /(8π)2 ] ( MPl4 m2 / κ2 M6 ) << 1 (6.9)

Łącząc ją z wyrażeniem dla temperatury fluktuacji :

( 16π /45 )2 ( λκ2 M5 / MPl3 m2 ) ≈ 10-5 (6.10)

otrzymujemy ocenę parametru λ :

λ ≈ ( 8π /6NU ) sqrt( 45/16π ) δT/T (M/ MPl ) (6.11) Oczywiście parametr ten jest mały przy warunku M >> MPl standardowym dla inflacji hybrydowej.

Zauważmy, że model inflacji hybrydowej [212] został opracowany właśnie po to aby uniknąć nienaturalnie małych parametrów. Jednakże równanie (6.11) jednoznacznie wskazuje, że λ << 1 przy rozsądnych wartościach parametrów modelu, a zatem problem małego parametru pozostaje nie rozwiązany.

Jeśli w epoce inflacyjnej średnia wartość pola okazała się zbyt bliska linii krytycznej χ = 0, to fluktuacje pola wewnątrz niektórych obszarów przestrzennych – domen – mogłyby przeciąć tę linie. W przyszłości takie domeny będą zapełnione polem χ = χ- ( przykładowo ) i zanurzone w przestrzeni o innej wartości pola χ = χ+ Dwa minima są rozdzielone zamkniętą ścianką – taj jak to opisano wcześniej. Liczba takich ścianek silnie zależy od wartości początkowych w chwili narodzin Wszechświata.

6.2.1 Tworzenie się czarnych dziur w modelu inflacji hybrydowej.

Dobrze wiadomo, że fluktuacje gęstości energii we wczesnym Wszechświecie prowadziły do formowania się pierwotnych CD (PCD) [27, 236]. PCD nie są zbyt masywne, ich masy miały rząd wielkości MBH ~ 10-5 - 1020 [g ] w zależności od konkretnego modelu. Istnieją modele, które prowadzą do tworzeniu się PCD o znacznie większych masach 1020 - 1040[g ] [133, 268, 313].

Poprzednie rozważania wskazują na możliwość tworzenia się masywnych PCD również w ramach inflacji hybrydowej.

Na początku oszacujmy rozmiar i energię zamkniętych ścianek, omawianych w poprzednim podpunkcie.

Niech pole w objętości o rozmiarze charakterystycznym, określonym przez parametr Hubble’a (H-1), przecina linie krytyczną w chwili charakteryzowanej przez e-fold numer N, do zakończenia inflacji. To oznacza, że rozmiar

charakterystyczny ścianki wzrasta eN razy do zakończenia inflacji. W końcowym wyniku, od razu po zakończeniu inflacji, objętość, zajęta przez fluktuacje, będzie zawierała pole w minimum χ = χ+ , σ = 0, podczas gdy χ = χ- , σ = 0 będzie znajdowało się poza tą objętością. Łatwo sobie wyobrazić, ze taka objętość będzie otoczona zamkniętą ścianką

charakteryzowaną przez wartości pola χ = 0 , σ = 0. Jeśli rozmiar obszaru jest duży w porównaniu z grubością ścianki, to

Ścianka płaska jest dobrze zbadana i przedstawia sobą soliton [251]. Jej powierzchniowa gęstość energii jest dana :

µ = (8√2/3 ) κM3 (6.12)

W naszym przypadku grubość ścianki wyrażana jest przez parametry mikroskopowe i dlatego jest dużo mniejsza od jej rozmiaru. Zatem, wykorzystanie wzoru (6.12) jest dobrym przybliżeniem. Zatem, energia Ewall skupiona w ściance od razu po zakończeniu inflacji, jest równa :

Ewall ≈ 4πµ ( H-1eN )2 = 4√2 ( MPl2/ κM ) e2N (6.13)

Wartość liczbowa N znajduje się w przedziale ( 0 < N < NU ≈ 60 ). Promień grawitacyjny ścianki łatwo możemy wyrazić przez wprowadzone wcześniej parametry :

rg = 2Ewall /MPl2 ≈ ( 8√2/ κM )e2N

Jak oczekiwaliśmy jest on dużo większy niż grubość ścianki d = 2√2/ κM dla dowolnego e-folda N. To oznacza, ze skurczenie ścianki powodowane wewnętrznymi naprężeniami kończy się tworzeniem CD o masie MBH ≈ Ewall [268].

Ocenimy teraz masę podobnej CD dla wartości parametrów κ = 10-2 i M = 1016 [GeV], standardowo zakładanych w modelu inflacji hybrydowej. Jeśli przecięcie linii krytycznej nastąpiło przy N = 40, to masa CD jest dana :

MBH ≈ 3 • 1059 [GeV] ~ 100 MSłońca

Analogiczna ocena dla CD o najmniejszej masie otrzymywana jest, jeśli wybrać moment zakończenia inflacji, któremu odpowiada e-fold N =1 :

MBH, small ≈ 106 MPl

Zatem, inflacja hybrydowa generuje CD w szerokim interwale mas 1025 - 1059 [GeV].

Liczba CD zależy od tego, jak blisko wartość średnia pola przybliża się do linii krytycznej przy swoim ruchu klasycznym w czasie trwania inflacji. A to na swój sposób zależy od warunków początkowych przy jakich powstaje Wszechświat, oraz konkretnych parametrów inflacji hybrydowej.

W wyniku fluktuacji kwantowych pole χ staje się rozłożone wokół wartości średniej z dyspersją < δχ > ≈ (H/2π)sqrt(NU ).

Jeśli pole χ przybliża się do tej wartości w czasie trwania inflacji tworzenie się i dominacja CD jest nieuchronne.

Aby uniknąć podobnej sytuacji, wartość początkowa tego pola powinna spełniać nierówność :

χ≥ (H/2π)sqrt(NU ) = sqrt( 2NU/3π )( κM2 /MPl2 ) (6.14)

Wszechświaty w których nie spełniono tego warunku, będą zawierały zbyt wiele CD w porównaniu z naszym Wszechświatem.

6.2.2 Inflacja hybrydowa z nachyleniem.

Rozpatrzmy zmodyfikowana inflacje hybrydową – załóżmy, że potencjał (6.7) ma dodatkową składową o postaci : δV(σ, χ ) = σχ

Niech nasz Wszechświat narodził się mając rozmiar 1/H z pewną wartością pola po lewej stronie od linii krytycznej ( zobacz rys. 6.2 ) Wtedy po zakończeniu inflacji podstawowa cześć Wszechświata okaże się być w minimum χ- , podczas gdy oddzielne obszary przestrzenne okazują się być w minimum χ+. Obszary te będą otoczone zamkniętymi ściankami pola, tak jak to miało miejsce w poprzednim podpunkcie. Nowym aspektem jest to, że gęstość energii wewnątrz obszarów V(0, χ+ ) jest większa ( jeśli α > 0 ), niż gęstość energii otaczającej przestrzeni V(0, χ- ). Zatem, obszary te będą

oddzielone od kosmologicznego rozszerzania i w końcowym wyniku utworzą gęste obiekty. Niektóre z nich skolapsują tworząc CD.

Sytuacja jest podobna do tej jaką obserwowaliśmy w przypadku symetrycznym, różnica polega na tym, że nadwyżkowa gęstość energii próżni fałszywej prowadzi do szybszego formowania bardziej masywnych CD.

Druga z możliwości wydaje się bardziej interesująca. Jeśli nasz Wszechświat utworzył się na prawo od linii krytycznej, to podstawowa przestrzeń będzie wypełniona polem w stanie próżni fałszywej χ = χ+. Tym niemniej niektóre obszary będą zawierały próżnię właściwą χ = χ-. Niektóre z takich „obszarów próżni właściwej” będą się rozszerzały, pochłaniając przy tym otaczającą przestrzeń, wypełnioną próżnią fałszywą. Sytuacje jest tutaj bardzo podobna do końcowego stadium przejścia fazowego pierwszego rodzaju, jednakże z istotną różnicą – obszar próżni właściwej tworzy się bez przejścia fazowego ( w skrajnym przypadku pierwszego rodzaju ). Jako następstwo takiej sytuacji, obszary te przy narodzinach nie posiadają symetrii sferycznej.

Od razu po szybkim spadku do stanu ( χ = χ- , σ = 0 ) i ( χ = χ+ , σ =0 ) cała przestrzeń będzie wypełniona próżnią fałszywą o gęstości energii ε ≡ V(0, χ+ ) – V(0, χ- ), za wyjątkiem pewnej liczby obszarów próżni właściwej.

To oznacza początek nowej, powtórnej desitterowskiej epoki z niską gęstością energii, która może trwać długi okres czasu.

Wystarczająco duże obszary próżni właściwej mają sposobność rozpocząć nową epokę inflacyjną, podczas gdy małe – kurczą się i znikają, pozostawiając po sobie drgania pola inflatonowego.

Znajdziemy teraz krytyczny rozmiar, poczynając od którego obszary rozszerzają się, a nie kurczą ( będą to obszary o

sferycznej formie ). Całkowita energia takiego obszaru jest sumą energii ścianki Ewall i energii objętości EV :

E = Ewall + EV , Ewall = 4πµR2 , EV = - (4π/3) εR3 (6.15)

Oprócz tego, założymy, że spełniony jest naturalna zależność :

ε < V(0, 0) = κ2M4 (6.16)

Krytyczną wartość promienia znajdujemy z zależności : dE/dR = 8πµR – 4πεR2 = 0

która prowadzi do następującego wyniku :

Rcrit = 2µ/ε (6.17)

Jeśli promień obszaru jest większy od Rcrit , to obszar ten rozszerza się.

Po utworzeniu się obszarów próżni właściwej istnieją dwie drogi ewolucji Wszechświata. Jeśli liczba takich obszarów jest mała ich rozszerzanie kompensowane jest przez inflacyjne rozszerzanie otaczających je obszarów próżni fałszywej o gęstości energii - ε. W przeciwnym wypadku obszary próżni właściwej rozszerzają się efektywnie pochłaniając otaczającą przestrzeń, przekształcając przy tym energię próżni fałszywej w energię kinetyczną ścianek. Aby ocenić minimalną, konieczną liczbę takich obszarów, w pierwszej kolejności znajdziemy stosunek ξ promienia krytycznego do parametru Hubble’a Hε-1 ( Hε ≈ sqrt[ (8π/3 )(ε / MPl2 )]

ξ = Rcrit / Hε-1 = (2µ/ε ) sqrt[ (8π/3 )(ε / MPl2 )] = ( 26/33/2 ) (κM3 /√ε MPl )

Należy jednak podkreślić, że parametr Hubble’a od razu po zakończeniu okresu inflacyjnego Hε ~ √ε jest mniejszy niż H w czasie trwania inflacji H ~ κM2 tj. Hε < H.

Jeśli choćby jedna wysepka próżni właściwej o promieniu R ≥ Rcrit tworzy się w obszarze przyczynowo związanym po zakończeniu inflacji pierwotnej, to rozszerzając się pochłonie ona cały obszar. Wszechświat znajdzie się w stadium postinflacyjnym. Rozmiar takiej wysepki powinien być mniejszy od rozmiaru Hubble’a Hε-1 w czasie trwania inflacji wtórnej, jeśli ξ < 1. Ma to miejsce, jeśli :

ε > ( 212π /33 ) ( κ2M6 / MPl2 )

Taką nierówność oraz ograniczenie (6.16) łatwo spełnić przy warunku M / MPl < 10-2. Oceńmy teraz średnią liczbę wysepek próżni właściwej nb i przyrównajmy ją do pełnej liczby nd domen przyczynowo związanych.

Całkowita objętość Wszechświata jest dana VU ≅ [ H-1 exp( NU )]3 jeśli założymy, że przejście od inflacji pierwotnej do wtórnej nastąpiło stosunkowo szybko. Objętość domen przyczynowo związanych w czasie wtórnej inflacji jest dana Hε-1 Wtedy całkowita liczba wysepek jest równa :

nb = nd = VU / Hε-3 = [ ( Hε /H ) exp(NU )]3 = [ ( √ε /κM2 ) exp(NU )]3

Ponieważ liczba e-fold NU ≈ 60, całkowita liczba wysepek próżni właściwej okazuje się bardzo duża – kilka rzędów mniejsza niż liczba obszarów przyczynowo związanych. Tylko przy tym warunku inflacja wtórna może zakończyć się całkowitym przejściem do próżni właściwej. Taka liczba wysepek może się tworzyć, jeśli na pierwszym etapie inflacyjnym klasyczna wartość pola przybliża się do linii krytycznej lub nawet ją przecina. Zatem, zmodernizowany potencjał jest wolny od podstawowego defektu inflacji hybrydowej nadprodukcji ścianek pola. W danym przypadku czym więcej wysepek pojawi się do chwili zakończenia pierwotnej inflacji, tym szybciej próżnia właściwa zapełni całą przestrzeń Wszechświata.

Proces rozpadu próżni fałszywej utrudniany jest przez zderzenia ścianek, co prowadzi do intensywnego kreowania cząstek.

Struktura przestrzeni po zakończeniu pierwotnej inflacji jest bardzo złożona. Składa się ona z przypadkowo rozłożonych obszarów próżni właściwej i fałszywej, rozdzielonych ściankami pola. Tym niemniej, można ocenić energię wydzielaną przy zderzaniu się ścianek. W tym celu założymy, ze Wszechświat wypełniony jest ściankami o rozmiarze

charakterystycznym R ~ Hε-1. Odległość L między ściankami, jest tego samego rządu L ~ Hε-1.

Wtedy całkowita energia Etot ścianek jest w przybliżeniu równa : Etot ~ µnbHε-2

Czas charakterystyczny ttot zderzenia ścianek jest w przybliżeniu równy odległości między nimi tcoll ~ Hε-1 Z drugiej strony, wiadomo [199], że przy zderzeniu dwóch ścianek następuje efektywne wydzielania energii przy jednoczesnej oscylacji ścianek wokół ich punktu centrum mas. Zatem, czas wydzielania energii tcoll ~ Hε-1 jest bardzo mały. Energia taka wydziela się w postaci drgań pól σ i χ. Masa kwantów pola χ, mχ = V’’(χ, 0) = √3 κM

Takie masywne cząstki powinny rozpadać się, jeśli są one związane z fermionami, np. jako gχψ-ψ. Prawdopodobieństwo takiego rozpadu jest równe Γ ~ g2mχ /4π.

Oczywiście okres ten jest dłuższy niż Hε-1 w tym momencie : theat ≈ Γ-1 ~ 4π/ g2mχ ~ 1/ g2κM

Zakładając, że jedna wysepka próżni właściwej przypada na skalę Hε-1możemy ocenić gęstość energii ρend ośrodka od razu po zakończeniu inflacji :

ρend ~ ρwall ~ µHε-1 / Hε-3

Gęstość energii fermionów ( ψ-cząstek ) zmienia się w czasie w następujący sposób :

ρψ ≈ [ ρend / ( 1 + 3/2γτ )2 [ 1 – exp( -τ/τ0 )] (6.18)

gdzie γ = 1 dla pyłu i γ = 4/3 dla gazu cząstek ultrarelatywistycznych, τ0 = Hε / Γ i czas t = Hε-1τ.

Pierwszy czynnik (6.18) pojawia się w wyniku rozszerzania Wszechświata, a drugi – w wyniku rozpadu cząstek kwantów χ-pola.

Aby ocenić temperaturę ośrodka Theat ~ ρψ¼ wybierzemy realistyczne wartości parametrów : ε = 10-4 κ2M4 , κ = 10-4 , M = 10-4 MPl

Oczywiście, że rozpatrywany mechanizm efektywnie nagrzewa ośrodek – temperatura Theat ≈ 60-9 MPl jest bardzo wysoka, co może doprowadzić nadprodukcji s-neutrin, jeśli takowe istnieją.

Zatem, rozpatrzony mechanizm fluktuacji kwantowych wskazuje na to, że inflacja hybrydowa powinna zawierać mały parametr, tak aby wnioski z niej wyprowadzane nie były sprzeczne z danymi obserwacyjnymi. Dodanie niewielkiego nachylenia do potencjału istotnie upraszcza sytuacje. Zmiana formy potencjału prowadzi do nietrywialnej dynamiki pola skalarnego i w szczególności do nowego mechanizmu przejścia od stadium inflacyjnego do standardowego rozszerzania kosmologicznego w przestrzeni FRW z efektywną produkcją cząstek materii. Mechanizm tworzenia masywnych pierwotnych CD [268] również ma miejsce w ramach modelu inflacji hybrydowej.