Etapy ewolucji Wszechświata
5.4 Epoki postinflacyjne
5.4.1 Postinflacyjne nagrzewanie Wszechświata.
Następny po epoce inflacyjnej etap ewolucji Wszechświata jest etapem najbardziej złożonym w analizie. Nawet jego nazwa rehiting ( ang. reheating – powtórne nagrzewanie ) nie całkiem odzwierciedla rzeczywistość tego etapu ( w istocie bowiem nie było żadnego pierwotnego nagrzewania ). Właśnie w tej epoce nastąpiła aktywna kreacja cząstek o wysokich energiach oraz ich termalizacja, co w języku fizyki statystycznej oznacza nagrzewanie dopiero co utworzonej plazmy.
Epoka inflacyjna zakończyła się kiedy „tarcie” było małe, tj. przy Hend <~ minfl ( minfl – masa inflatonu )
Pole inflatonowe rozpoczyna szybko oscylować wokół minimum potencjału, zgodnie z równaniem (5.39). Właśnie ten zmienny w czasie ruch generuje cząstki. Stopniowo energia oscylacji pola przechodzi w energię cząstek. Wykorzystując wzory dla ciśnienia (5.51) i gęstości energii (5.50), równanie to łatwo możemy przekształcić do znanej postaci :
dρ/dt = - 3H(t) ( p + ρ ) (5.52)
Dodatkowy warunek ( równanie stanu ) p + ρ = γρ, jest słuszny tylko w przybliżeniu po uśrednieniu go po okresie drgań.
Przy tym parametr γ zależy od modelu :
Dalsze uproszczenie tego wzoru jest możliwe, jeśli założymy, że w jednym okresie drgań Wszechświat rozszerza się nieznacznie, co jest dosyć realistycznym złożeniem. Wtedy zgodnie z prawem zachowania energii, mamy :
ϕ• = sqrt{ 2[ V(ϕmax ) – V (ϕ ) ] }
W pobliży swojego minimum potencjał możemy aproksymować parabolą V(ϕ) ≅λϕ2 , zatem równanie (5.53) silnie się upraszcza i wielkość γ na etapie reheatingu, okazuje się równa jedności :
γ ≅ 1 (5.54)
Określmy teraz zależność czynnika skalowego od czasu. Jego wartość początkowa na etapie reheatingu pokrywa się z wartością na końcu etapu inflacji a(tin ) = ainfl (tend ) = H(ϕU )-1 eNU
Zakładając, że widoczna cześć Wszechświata utworzyła się podczas NU e-foldów do zakończenia epoki inflacji.
Początkowy rozmiar Wszechświata był równy odwrotności parametru Hubble’a H(ϕU )-1, a wartość inflatonu była równa ϕU. Gęstość energii na początku stadium rehitingu pokrywała się z gęstością energii na końcu inflacji,
ρ(tin ) = ρinfl (tend ) = V(ϕend ).
Wtedy wzór (5.23) możemy zapisać w postaci :
areh (t ) = ( 2/3Hend )2/3 H(ϕU )-1eNU t2/3 (5.55)
Przypomnijmy, że standardowo zakłada się : Hend ≅ H(ϕU )2/3 ≅ 1013 [GeV]
Podczas szybkich oscylacji pole inflatonowe generuje cząstki, przekazując im część swojej energii.
Załóżmy, że gęstość energii oddziaływania inflatonu ϕ z fermionami ψ i innymi polami skalarnymi χ ma standardową postać :
Lint = hϕψ- ψ + gϕχ2 Gdzie : g, h – stałe sprzężenia.
Wtedy prędkość zmiany gęstości energii pola inflatonowego jest następująca : ρ• = d/dt[ ½ ϕ•2 + V(ϕ) + ∆L ] = ϕ•ϕ•• + ϕ•V(ϕ) + ∆L
gdzie : ∆L – składowa, odpowiedzialna za zmniejszenie gęstości energii inflatonu przy jego rozpadzie na inne, wtórne cząstki.
Przyjmiemy iż odwrotna reakcja promieniowania na dynamikę inflatona jest mała [134]. Wtedy w pierwszym przybliżeniu, zgodnie z równaniami ruchu, otrzymamy :
ϕ•• ≅ -3Hϕ• – V’
Podstawiając do poprzedniego wyrażenia, znajdujemy prędkość zmiany gęstości energii inflatonu : ρ• ≅ - 3H( ρ + p ) + ∆L
Teraz sens ostatniej składowej tego równania jest jasny – jest to prędkość zmiany gęstości energii inflatonu w wyniku rozpadu na inne cząstki :
∆L• = -∆ρ•
gdzie : ∆ρ• - prędkość zmiany gęstości cząstek wtórnych w wyniku rozpadu inflatonu.
Rozkładając w szereg Taylora względem pochodnych pola ϕ, otrzymamy :
∆ρ• (ϕ• ) = ∆ρ•(0) + Aϕ• + Γϕ•2 + ... ≅ Γϕ•2
Pierwszy człon rozkładu jest równy zero, ponieważ pole spoczywające nie promieniuje, a drugi dlatego, że przy oscylacjach inflatonu średnia od jego pochodnej jest równa ( w przybliżeniu ) zero.
Uwzględnimy również to, że ciśnienie i gęstość energii oscylującego pola inflatonowego, związane są przez zależność p = wρ
Zatem :
ρ• ≅ - ( 3H + Γ ) ϕ•2 = - ( 3H + Γ ) ( p + ρ ) ≅ - ( 3H + Γ ) ( w + 1 )ρ
Przypominając, że H = a• /a, otrzymujemy zależność gęstości energii inflatonu od czasu :
ρ = ρend [ a(t )/ a(tend ) ]- 3(w + 1) exp[ - Γ ( w + 1 ) ( t – tend )] (5.56) gdzie indeks „end“ odnosi się do chwili zakończenia inflacji.
Fizycznie powyższe wyrażenie jest całkowicie zrozumiałe. Drugi czynnik oznacza zmniejszenie gęstości energii pola inflatonowego dzięki rozszerzeniu przestrzeni , a trzeci – w wyniku jego rozpadu na cząstki.
Co dzieje się przy tym z gęstości energii kreowanych cząstek materii ?
Prędkość zmiany gęstości energii cząstek relatywistycznych ρm może być zapisana następująco :
ρm• = -3H( pm + ρm ) + Γϕ•2 = -3H( wm + 1 ) ρm + Γ( w + 1 )ρ = 4Hρm + Γ(w + 1 )ρ (5.57) Uwzględniono tutaj to, że wm = 1/3 dla cząstek relatywistycznych. Oczywista jest tutaj konkurencja dwóch składowych – zmniejszenie gęstości w wyniku rozszerzania się przestrzeni ( pierwsza składowa ) i wzrost gęstości w wyniku rozpadu inflatonu.
Cząstki relatywistyczne szybko się termalizują. W chwili początkowej oscylacji inflatonu dominuje przyrost energii plazmy cząstek – temperatura rośnie. Z czasem intensywność oscylacji zmniejsza się i zaczyna dominować efekt rozszerzania przestrzeni, prowadzący do ochłodzenia plazmy. Oceńmy teraz temperaturę plazmy, przy której jej gęstość
jest maksymalna. Zakładając ρm ~ ρ, z ostatniego równania otrzymujemy H ~ Γ. Ponieważ parametr Hubble’a i czas kosmologiczny związane są przez zależność t ~ 1/H ( zobacz (5.24)), a temperatura związana jest z czasem jak T ~ sqrt( MPl /t ) ( zobacz (5.63)), dochodzimy do następującej oceny :
Treh ~ sqrt( MPl /t ) ~ sqrt( MPl H ) ~ sqrt( MPl Γ )
Duża nieokreśloność w szacunku wielkość Γ nie pozwala jednoznacznie oszacować temperatury nagrzania ośrodka.
Standardowo zakłada się, że jest ona zawarta w szerokich granicach od 104 do 1012 [ GeV].
5.4.2 Stadium dominacji promieniowania.
Do tej pory udawało się nam wyrażać gęstość energii z użyciem pojęć polowych, co też pozwoliło rozwiązać równanie (5.42) i znaleźć zależność czynnika skalowego od czasu. Jednakże na końcu stadium rehitingu oscylacje inflatonu zanikły, przechodząc w wysoko energetyczne cząstki. Obecność plazmy cząstek wskazuje na konieczność wprowadzenia pojęcia temperatury, tak aby możliwe było wykorzystanie standardowych wyników fizyki statystycznej i termodynamiki. Pojęcie temperatury jest ścisłe, tylko wtedy jeżeli układ znajduje się w stanie równowagi. W naszym przypadku oczywiście tak nie jest w wyniku rozszerzania Wszechświata. Tym niemniej, procesy relaksacyjne zachodzą tak szybko, że w każdej chwili stan Wszechświata jest bliski równowadze. W celu sprawdzenia tego założenia, założymy, że tak właśnie jest i zobaczymy czy dojdziemy do sprzeczności. W prowadzimy temperaturę T plazmy w chwili czasu t.
Dalej pokażemy, ze czas kosmologiczny i temperatura związane są zależnością t ~ MPl /T2 ( zobacz wzór (5.63))
Ustanowienie równowagi następuje przy zderzeniach cząstek. Czas charakterystyczny zderzenia elektronu i fotonu tγe jest rzędu tγe ~ 1/ nσv , gdzie : n ~ T2 – gęstość elektronów, σ - α2 / T2 – przekrój comptonowski , v ≅ 1 – prędkość
elektronów. Pojęciem temperatury można się posługiwać, tylko jeśli tγe << t. Podstawiając oceny wielkości, wprowadzone w danym modelu otrzymujemy warunek stosowalności pojęcia temperatury w rozszerzającym się Wszechświecie w postaci T << α2 MPl ~ 1017 [GeV]
Wiadomo, że temperatura po skończeniu etapu inflacji przewyższała 109 [GeV]. Zatem, równowaga w ośrodku ustalała się bardzo szybko, w skrajnym przypadku w wyniku rozpraszania comptonowskiego, co też uprawnia wprowadzenie pojęcia temperatury.
W celu znalezienia jawnej postaci czynnika skalowego aRD(t ) (* RD – radiation dominance *) na etapie dominacji radiacyjnej wykorzystamy standardowy wzór (5.22) z γ = 4/3. Wartość ta wynika z związku ciśnienia i gęstości p = ρ/3 dla ośrodka, składającego się z cząstek ultrarelatywistycznych i wzoru (5.20).
Warunkiem początkowym dla danej epoki jest tin = treh , ρin = ρ( treh ), ain = a( treh ), gdzie indeks reh odnosi się do końcówki poprzedniej epoki rehitingu. Ostateczne wyrażenie dla czynnika skalowego podano w (5.79).
Rozpatrzmy, jak zmienia się temperatura materii z czasem. Na początku przypomnimy, ze gęstość energii cząstek ultrarelatywistycznych związana jest z temperaturą T w następujący sposób :
ρ = (π2/30 ) g
* T4 (5.58)
gdzie g
* - liczba rodzaii cząstek z uwzględnieniem ich wagi statystycznej.
W następnej kolejności ustanowimy ważny związek między temperaturą i czynnikiem skalowym. Z jednej strony, na danym etapie γ= ¾ i zgodnie z (5.21) mamy ρ ~ a-4, z drugiej strony ρ ~ T. Zatem :
a(t ) = const. / T(t) (5.59)
tj. Temperatura zmniejsza się odwrotnie proporcjonalnie do czynnika skalowego. Teraz pokażemy, że entropia po epoce rehitingu ( kiedy zostały utworzone cząstki, a zatem entropia rosła ) pozostawała stała. Wykorzystując znany związek gęstości entropii i temperatury :
s = (2π2/45 ) g
* T3 (5.60)
łatwo otrzymać :
S ~ sa3(t) = const. (5.61)
Drugi użyteczny wzór, wynikający z (5.59), jest równie ważny dla szacunków prowadzonych w modelach kosmologicznych :
T(t) = [a(treh )/ a(t )] Treh (5.62)
Na koniec, manipulując wzorami (5.58), (5.59) i (5.79), łatwo otrzymujemy jawną zależność temperatury ośrodka, wypełniającego Wszechświat od czasu :
T = ( 45/32π2g
* )¼ sqrt( MPl / t ) (5.63)
Należy podkreślić, że wzór ten jest słuszny tylko na stadium dominacji promieniowania.
5.4.3 Stadium dominacji materii.
Wraz z rozszerzaniem się Wszechświata temperatura ośrodka zmniejszała się, cząstki masywne stały się
nierealtywistyczne, a długość fali fotonów zmniejszała się. Nastąpiła chwila, kiedy energia spoczynkowa cząstek była porównywalna z ich energią kinetyczną. Poczynając od tej chwili, rozpoczęła się epoka dominacji materii. Z upływem czasu ciśnienie p stało się na tyle małe, że można było przyjąć, ze jest ono równe zero, a zatem parametr γ = 1w równaniu (5.20). Całkowicie analogicznie do poprzednich stadiów, czynnik skalowy aDM(t) może być znaleziony z wzoru (5.22) z γ =1. Warunki początkowe dla danej epoki są następujące :
tin = tRD , ρin = ρ(tRD ) = ( π2/ 30 ) g
* TRD4 , ain = aRD(tRD ) gdzie : tRD odpowiada chwili końcowej epoki dominacji promieniowania.
Interesujące, jest to, że wzór (5.59) jest słuszny również na obecnym stadium, jednakże z jedną uwagą – teraz T oznacza temperaturę fotonów. Fotony te nazywamy reliktowymi.
Zanim przystąpimy do dowodu (5.59), omówimy jeszcze jedną ważną epokę w życiu Wszechświata – tzw. epokę rekombinacji. Przy wysokich temperaturach elektrony i protony nie są w stanie tworzyć atomów wodoru w wyniku małej wartości energii wiązania atomu wodoru. Wszechświat wypełniony był zatem plazmą cząstek naładowanych, oddziałujących intensywnie z fotonami. To, oznaczało, że emitowane w wyniku takich oddziaływań fotony doznawały czegoś w rodzaju ruchów Browna. Wszechświat był nieprzeźroczysty dla promieniowania EM.
Jednakże w pewnej chwili, kiedy temperatura istotnie się zmniejszyła, rozpoczęły się tworzyć atomy wodoru. Będąc neutralnymi, słabo oddziaływały one z fotonami, pozwalając im propagować się na duże odległości. Interwał czasowy, przy którym atomy rekombinowały, a ośrodek stał się przeźroczysty, nazywa się epoką rekombinacji. Wszystkie dane mówią o tym, że okresy – rekombinacji i równowagi energii materii i promieniowania, jeśli chodzi o czas istnienia prawie, ze pokrywały się. W rzeczywistości zaniedbamy ich niedużą z kosmologicznego punktu widzenia czasową rozbieżnością.
Zatem, zakładamy, że fotony nie oddziałują z materią po osiągnięciu temperatury Trec . Do tej chwili rozkład fotonów jeśli chodzi o energię przedstawia sobą rozkład Bosego-Einsteina i do chwili rekombinacji ma ono postać:
dN(trec ) = Vrec (Erec2 /π2 ) dErec / exp[ ( Erec /Trec ) – 1 ] (5.64) gdzie dN – liczba fotonów o energii między Erec i Erec + dErec wewnątrz objętości Vrec
Ponieważ po rekombinacji oddziaływanie fotonów z otaczającym ośrodkiem przyjmuje się małe, energia fotonów zmniejsza się tylko w wyniku ogólnego rozszerzania przestrzeni :
E(t) = p(t) = 2π/λ(t) = 2π/ [ (a(t)/a (trec ) ] λ(trec ) = [ a(trec ) /a(t )]Erec (5.65) Oprócz tego, liczba fotonów jest wielkością zachowaną, ponieważ :
DN(t) = dN(trec )
jednocześnie objętość V, zawierająca te cząstki zwiększa się zgodnie z prawem : V(t) = [ (a(t)/a (trec )]3 Vrec
W wyniku tego otrzymujemy rozkład fotonów w dowolnych chwili t :
dN(t ) = V(t ) ( E(t)2 /π2 ) { dE / exp[ E(t )a(t) / a(t rec ) Trec ] – 1 } (5.66) Rozkład pozostaje rozkładem Bosego-Einsteina, przy czym :
T(t ) =[ a(t rec )/ a(t ) ] Trec (5.67) Nasze stwierdzenie zostało dowiedzione – prawo (5.59) rzeczywiście jest spełnione, zarówno na epoce dominacji radiacji, tak i dominacji materii. Nieznana stała we wzorze (5.59) może być określona z warunku normalizacji w danej chwili : const. = a0T0 lub w chwili rekombinacji, tak jak to zrobiono powyżej.
5.4.4 Współczesny etap przyspieszonego rozszerzania ( wtórnej inflacji ).
Dane obserwacyjne cały czas wskazują na to, że gęstość ciemnej energii, substancji równomiernie rozłożonej w
przestrzeni, daje wkład do współczesnej całkowitej energii na poziomie ok. 70%. Najbardziej naturalne założenie jest takie, że wielkość ta nie zależy od czasu i związana jest ze stałą kosmologiczną Λ. To w pewnym stopniu oznacza, ze w danej epoce Wszechświat w przybliżeniu opisywany jest przez modelem de Sittera, ale z gęstością energii, dużo mniejszej niż w epoce inflacyjnej. Oprócz tego, wraz z dalszym rozszerzaniem się przestrzeni gęstość materii zmniejsza się, podczas gdy energia związana z członem Λ, pozostaje stała. Zatem, parametr Hubble’a również dąży do wartości stałej :
HΛ → sqrt[ (8π/3) (ρΛ /MPl2 )] (5.68)
a czynnik skalowy dąży do funkcji :
a(t ) = HΛ-1 exp[ HΛ( t – t0 )] (5.69)
Parametr Hubble’a charakteryzuje prędkość rozszerzania, a dla opisu zmiany tej prędkości
( tj. przyspieszenia rozszerzania ) wykorzystuje się jeszcze jeden ( bezwymiarowy ) parametr ) – parametr spowolnienia q(t ) := - aa•• /a•2 (* symbol := oznacza równość definicyjną *)
Parametr q został wprowadzony w tym czasie, kiedy przyjmowano, że Wszechświat rozszerza się spowalniając.
Przyspieszonemu rozszerzaniu odpowiada q < 0.
wartości :
H0 ≈ 0,71 ± 0,004 [ km/s Mpc ] , q0 ≈ - 1 ± 0,4 (5.70) Gdzie indeks „0” odpowiada współczesnej epoce.
W przypadku (5.69) otrzymujemy q(t) = q0 = - 1
Wielkość odwrotna do parametru Hubble’a charakteryzuje rozmiar obszaru przyczynowo związanego. Ocena, oparta na danych obserwacyjnych, daje :
H-1 ≈ 1028 [cm] ≈ 1062 MPl
Właśnie taki jest rozmiar widocznej części Wszechświata. Jeśli parametr Hubble’a jest rzeczywiście stały, to informacja o dalszych obszarach Wszechświata nie będzie nam dostępna nigdy.
Przy wykorzystaniu wzorów typu (5.22) [ np. podanych poniżej wzorów (5.77), (5.78), (5.79), (5.80)] w ocenach
liczbowych pojawia się zagadnienie związane z konkretną wielkością czynnika skalowego ain, początkowego dla każdej z epok. Oprócz tego, nie jest oczywista również wartość odległości współrzędnościowej r. Z tego powodu pojawia się problem w obliczeniu np. czynnika skalowego a(t0 ) w danej chwili czasu t0, a zatem i odległości fizycznej między dwoma obiektami równej :
R0 = a(t0 )r (5.71)
Właśnie ta wielkość mierzona jest przez obserwatora. Problem można obejść, jeśli rozpatrujemy wyrażenie (5.71) jako sposób wyeliminowania współrzędnej r, normując czynnik skalowy do jego współczesnej wartości a0 = a(t0 ).
Wtedy odległość między dwoma obiektami punktowymi w dowolnej chwili czasu wyraża się następująco : R(t) = [a(t)/a0 ] R0
Przykładowo, odległość w epoce dominacji materii jest dana : R(t ) =[ ( t – tRD )/ ( t0 – tRD )]2/3 R0 ≅ ( t /t0 )2/3 R0
Czas życia Wszechświata t0 i jego rozmiar a0 są już stosunkowo dobrze określone.
Często wprowadza się również bezwymiarowy czynnik skalowy : a(t ) ≡ a(t)/a0 ; 0 < a(t ) ≤ 1
5.4.5 Przyszłość Wszechświata – czy czeka nas „Wielki rozryw” (* Big rip *)
Opis ciemnej energii z pomocą członu lambda w równaniach Einsteina wystarczająco dobrze zgadza się z współcześnie prowadzonymi obserwacjami. Jednakże obserwacje te pozostawiają stosunkowo duży przedział dowolności wielkości parametru w, jeśli opisywać ciemną energię jako ciecz idealną o równaniu stanu p = wρ. Przy takim opisie parametr w, ogólnie mówiąc, zależy od czasu, a przy w = const. prawo zachowania prowadzi do wzoru (5.21), ρ ~ a –3(w + 1 ).
Łatwo się przekonać, że przyspieszone rozszerzanie q < 0 wymaga ujemnego ciśnienia w < - 1/3, zatem przy dużym czynniku skalowym a , człon z k w równaniu (5.82) jest mały w porównaniu z pozostałymi składowymi, tak, ze
zachowanie czynnika skalowego dla dużych wartości czasu nie zależy od przestrzennej krzywizny i zależność a(t ) może być opisana następująco :
a) Przy – 1/3 > w > - 1 , kiedy ρ > | p | ( spełniony jest warunek dominacji energetycznej ), następuje tzw. inflacja potęgowa
a ~ t2/3(w+1) , q = - 1 + 3/2 ( w + 1) > - 1 (5.72)
b) przy w = - 1, co odpowiada stałej kosmologicznej Λ > 0, ρ = const. > 0, otrzymujemy inflacje wykładniczą :
a ~ eHt , H = const. , q = - 1 (5.73)
c) przy w < - 1 z tzw. materią fantomową, ma miejsce hiperinflacja kończąca się osobliwością w wyniku wzrostu czynnika skalowego :
a ~ ( t
* – t )-2/3(w+1) , q = - 1 – 3/2 | w + 1 | > - 1 (5.74)
gdzie t
* – chwila osobliwości ( Wielkiego Rozrywu )
Jak widać z ocen (5.70) z obserwacyjnego punktu widzenia całkowicie możliwe są wszystkie powyższe trzy warianty.
Jednakże ponieważ przyspieszenie rozszerzania Wszechświata, cały czas wzrasta, istnieje pewna przewaga wariantu c, a w wielu pracach omawiane są modele kosmologiczne w których ciemna energia „przełamuje bariera fantomową”, tj. w pewnej chwili czasu ( 3 – 4 • 109 lat temu ) przechodzi od w > - 1 do w < - 1
W przypadku c materia zachowuje się bardzo egzotycznie – w odróżnieniu od standardowej materii, jej gęstość nie zmniejsza się, a rośnie wraz ze wzrostem objętości, w osobliwości stają się nieskończone zarówno a jak i ρ.
Katastroficzny wzrost a(t) prowadzi do wzrostu wszystkich odległości – poczynając od między galaktycznych, między gwiezdnych, między planetarnych – kończąc na między atomowych ( wewnątrz atomowych ) tj. bezpośrednio przed osobliwością następuje rozpad całej materii, a nawet wszystkich cząstek złożonych.
Czy taki los naszego Wszechświata jest przesądzony, jeśli potwierdzi się wartość w < - 1 ( dla współczesnej epoki ) ? Odpowiedź jest na szczęście przecząca.
Jeśli bowiem, w = p/ρ zależy od czasu, to można zakładać, że ciemna energia reprezentowana być może przez pole skalarne ϕ o lagranżjanie :
LS = ½ εgµν ϕ ,µ ϕ, ν – V(ϕ ) (5.75)
Gdzie : ε = ± 1, a V(ϕ) – jest potencjałem samooddziaływania ϕ.
Są to te skalarne pola normalne i fantomowe, z którymi spotkaliśmy się w rozdziałach 3 i 4.
Przy ϕ = ϕ(t) :
ρ = ½ εϕ•2 + V , p = ½ε ϕ•2 – V , w = p/ρ = − 1 + ( 2εϕ•2 / 2V + εϕ•2 ) (5.76) Zatem, normalne pole skalarne ( ε = + 1) o dodatnim potencjale V daje w > - 1, a fantomowe pole skalarne ( ε = - 1 ) z V > 0 prowadzi do w < - 1. Jednakże, jeśli przy dużych t pole skalarne wystarczająco szybko dąży do ekstremum potencjału
Vext > 0, to ϕ• → 0 i w → - 1 przy t → ∞ ; Vext zachowuje się jak efektywna stała kosmologiczna i odpowiednio dla ewolucji Wszechświata otrzymuje się desitterowską asymptotykę (5.73).
Wiadomo, że normalne pole skalarne dąży do minimum potencjału ( „stacza” się wzdłuż krzywej V(ϕ) ), podczas gdy pole fantomowe – odwrotnie dąży do maksimum ( „wspina” się po krzywej V(ϕ)). Jeśli V(ϕ) posiada maksimum właśnie do niego będzie dążyło fantomowe pole skalarne w trakcie ewolucji kosmologicznej.
Dla tego przypadku znany jest dokładny wynik [154] – jeśli potencjał V(ϕ) jest ograniczony od góry, to jego maksimum przedstawia sobą globalny atraktor dla rozwiązań kosmologicznych równań pól – skalarnego i grawitacyjnego.