Miary nierówności społecznych – podstawy metodologiczne
D EFINICJE WYBRANYCH MIAR NIERÓWNOŚCI SPOŁECZNYCH I ICH OCENA NA PODSTAWIE PRZEDSTAWIONYCH KRYTERIÓW EWALUACJI
Pozycyjne miary nierówności społecznych
Cała klasa miar nierówności społecznych bazująca na statystykach pozycyjnych (czyli miejscach, jaką dane wartości zajmują w uszeregowanym zbiorze danych) opiera się na zasadzie porównywania pewnych charakterystycznych części (punk-tów) rozkładu danych z górnej oraz dolnej części takiego uporządkowanego zbioru wyników. Defi niowanie miar nierówności opiera się na prostej obserwacji, że dla rozkładów idealnie równomiernych wartości statystyk pozycyjnych będą sobie rów-ne, a im większy poziom nierówności w dystrybucji danego dobra w całej populacji, tym wartości statystyk pozycyjnych z górnej części rozkładu danych będą bardziej „oddalone” od wartości statystyk z dolnej części rozkładu. Wskaźniki nierówności, których budowę oparto na takich zasadach, mogą być określane dla dowolnych
punktów rozkładu danych (kwartyli, kwantyli, decyli, percentyli itd.) oraz wykorzy-stywane do opisu nierówności rozkładu dowolnego mierzalnego dobra w dowolnej populacji. Zanim podam defi nicje oraz sposoby interpretacji miar społecznych nierówności opartych na statystykach pozycyjnych, zbiór wartości badanego do-bra zapiszę jako y [y(1);y(2); ... ;y ( )N]T, gdzie N jest wielkością badanej populacji, a kolejne wartości uporządkowane są niemalejąco, tzn. y(1) y(2) y(N).
. Gdy mówię o porównywaniu górnej oraz dolnej części rozkładu danych, na przykład pierwszego kwartyla i kwartyla trzeciego (oznaczanych w artykule jako y(75%) oraz
y(25%)),to mam na myśli takie wartości badanego dobra (np. dochodu), dla których
dokładnie 25% całości populacji posiada dochód poniżej wartości kwartyla pierw-szego i analogicznie 75% całości populacji ma dochód poniżej wartości kwartyla trzeciego (ryc. 1).
Ryc. 1. Podział zbioru danych na kwartyle
W przypadku idealnie równomiernego rozkładu danego dobra w całej popu-lacji, tj. gdy każda jednostka posiada w populacji taki sam zasób badanego dobra, wartość dolnej oraz górnej części rozkładu danych będzie jednakowa. Z kolei im bardziej nierównomierny rozkład wartości badanego dobra, tym różnica pomię-dzy wartością kwartyla dolnego i górnego będzie większa. W literaturze spotkać można całą grupę wskaźników defi niowanych na takich właśnie zasadach, które przyjmują postać:
(10) dla percentyli: Imiara( )y y(95%)/y(5%), gdzie y(95%) oraz y(5%) oznaczają wartości odpowiednio 95. oraz 5. percentyla;
(11) dla decyli: Imiara( )y y(90%)/y(10%), gdzie y(90%) oraz y(10%) oznaczają wartości od-powiednio 9. oraz 1. decyla;
(12) dla kwantyli: Imiara( )y y(80%)/y(20%), gdzie y(80%) oraz y(20%) oznaczają wartości odpowiednio 4. oraz 1. kwantyla;
(13) dla kwartyli: Imiara( )y y(75%)/y(25%), gdzie y(75%) oraz y(25%) oznaczają wartości odpowiednio 3. oraz 1. kwartyla.
wartość minimalna
25% 25% 25% 25%
wartość maksymalna
y(1) y(25%) y(50%) y(75%) y(N)
Wszystkie miary społecznych nierówności wyznaczane jako proporcje okreś-lone w równaniach od (10) do (13) osiągają minimalną wartość równą 1 (jest to przypadek idealnie równomiernego rozkładu, zatem przypadek braku społecznych nierówności). Wzrost wartości tak oznaczonych miar świadczy o coraz większych rozmiarach nierówności, a maksymalna wartość, jaką miara taka może przyjąć, jest nieograniczona (tak będzie, gdy dla równań (10)–(13) odpowiednio: 5%, 10%, 20%
oraz 25% populacji nie będzie posiadać żadnego zasobu badanego dobra). Przy niewielkiej modyfi kacji wzorów (10)–(13) można zdefi niować miary nierówności tak, by przyjmowały wartości jedynie z przedziału [0; 1], pozostawiając jednocześnie zasadę, iż większa wartość oznacza większą nierówność społeczną. Miary nierów-ności musiałyby wtedy zostać zdefi niowane w następującej postaci:
(14) dla percentyli: miara (95%) (5%)
(95%)
(16) dla kwantyli: miara (80%) (20%)
(80%)
(17) dla kwartyli: miara (75%) (25%)
(75%)
Rozważając wady i zalety miar społecznych nierówności zdefi niowanych na podstawie wyłożonej zasady, należy mieć na uwadze kilka względów. Po pierwsze, niewątpliwą zaletą tych miar jest ich przejrzystość, prosta interpretacja i sposób ob-liczania wartości. Ponadto miary te spełniają trzy kryteria ewaluacji, tj. słabą wersję warunku transferu dobra według Pigou–Daltona (przy transferze dobra będą miały tendencję do wykazywania, że nie nastąpiła zmiana), warunek niezależności od skali pomiaru oraz warunek niezależności od wielkości populacji, nie dając zadość jedynie warunkowi dekompozycji. Jednakże główny i najbardziej poważny zarzut, jaki można sformułować, polega na tym, że miary te wykorzystują jedynie dwa określone punkty rozkładu danych, odrzucając większość informacji o poziomie zróżnicowania nierówności powyżej, poniżej oraz pomiędzy ustalonymi punkta-mi rozkładu danych. Stąd wynika ich główne ograniczenie i stosunkowo rzadkie wykorzystywanie w badaniu oraz opisie społecznych nierówności.
Innym przykładem miary społecznej nierówności, której budowę oparto na zasadzie porównywania określonych części rozkładu danych, jest tzw. Indeks McLoone`a, który sprawdza, jaka część całości danego dobra (np. dochodu)
ulo-kowana jest w górnej połowie całej populacji, innymi słowy – jaka część danego dobra skoncentrowana jest powyżej wartości mediany. Wartość współczynnika McLoone`a obliczana jest jako iloraz sumy wartości wszystkich obserwacji powyżej wartości mediany i iloczynu liczby obserwacji poniżej mediany oraz wartości samej mediany. Współczynnik ten defi niuje się dla dwóch przypadków. Pierwszego, gdy wielkość populacji N jest liczba parzystą, wtedy:
(18)
oraz drugiego, gdy wielkość populacji N jest liczbą nieparzystą, wówczas:
(19)
Różnice we wzorach (18) i (19) wynikają z odmiennego sposobu wyznaczania wartości mediany dla parzystej oraz nieparzystej liczby obserwacji.
Indeks McLonne`a, podobnie jak wskaźniki nierówności społecznych określo-ne w równaniach (10)–(13) oraz (14)–(17), spełnia słabą wersje warunku transferu dobra Pigou–Daltona, warunek niezależności od skali pomiaru oraz niezależności od wielkości populacji, jednocześnie nie spełniając warunku dekompozycji. W od-różnieniu jednak od poprzednio zdefi niowanych miar indeks ten wykorzystuje znacznie większą część informacji o rozkładzie badanego dobra, pokazując jego skoncentrowanie w obrębie 50% populacji powyżej wartości mediany.
Współczynnik Giniego
Najbardziej znaną miarą nierówności społecznej jest współczynnik Giniego, zde-fi niowany w 1912 roku i wykorzystywany oryginalnie do badania dysproporcji w dystrybucji dochodu w populacji. Współczynnik ten ma prostą i intuicyjną interpretację grafi czną, bowiem w geometrycznym sensie miara Giniego ozna-cza stosunek wielkości obszaru znajdującego się pomiędzy prostą reprezentującą rozkład idealnie równomierny a krzywą Lorenza do całego obszaru pod prostą prezentującą rozkład idealnie równomierny.
Można dodać, że krzywa Lorenza powstaje poprzez umieszczenie w układzie współrzędnych skumulowanych wartości dochodu dla uporządkowanego zbioru danych y [y(1);y(2); ... ;y ( )N]T (gdzie y(1) y(2) y(N) ) oraz odpowiadającego mu skumulowanego odsetka wielkości populacji. Krzywa Lorenza umożliwia zatem analizę struktury rozkładu badanego dobra w populacji i formułowanie wniosków na zasadzie, że na przykład „50% populacji o najniższych dochodach posiada 30%
całej wartości danego dobra” lub: „10% osób najlepiej zarabiających gromadzi 25%
dochodów całej populacji”, itp.
Ryc. 2. Grafi czna interpretacja współczynnika Giniego
W przypadku idealnie równomiernego rozkładu danego dobra w całej popu-lacji, tj. gdy każda jednostka ma taki sam zasób badanego dobra, krzywa Lorenza pokrywa się z prostą rozkładu idealnie równomiernego, a wartość współczynnika Giniego jest równa 0. Natomiast dla skrajnego przypadku nierówności, tzn. gdy cały zasób dobra w populacji skupia jedna jednostka, wartość współczynnika Giniego jest równa 1.
W literaturze spotkać można cały szereg sposobów analitycznego ujmowania i defi niowania wartości współczynnika Giniego zarówno dla rozkładów dyskret-nych, jak i ciągłych (por.: Jasso 1979: 867-870; Gastwirth 1972: 306-316). Poniżej podaję jeden z nich, zaproponowany w 1997 roku przez C. Daguma, który ma tę zasadniczą przewagę nad innymi, że umożliwia dekompozycję wartości na zróż-nicowanie wewnątrz- i międzygrupowe. Daje zatem zadość czwartemu kryterium ewaluacji, ale tylko połowicznie, o czym będzie mowa w dalszej części artykułu.
Linia idealnej równości
Krzywa Lorenza
Skumulowana liczebność populacji 1,0
1,0 0,8
0,8 0,6
0,6 0,4
0,4 0,2
0,2 0,0
0,0
Skumulowana wartość dochodu
Współczynnik Giniego defi niuje się następująco: N wielkość populacji, yi oraz yi’ wartość zasobu danego dobra będącego w po-siadaniu i-tej oraz i`-tej jednostki, natomiast
1 wszystkich jednostek w populacji (por. Liao 2004: 201-224).
Wskaźnik Giniego, zdefi niowany zgodnie ze wzorem (20), jest w analitycz-nym sensie przeciętną bezwzględnych różnic pomiędzy każdą parą obserwacji.
Miara ta spełnia mocne kryterium transferu dobra Pigou–Daltona, niezależność od wielkości populacji oraz skali pomiaru, a także słabą wersję warunku dekom-pozycji. Spełnienie słabego warunku dekompozycji oznacza, że istnieje możliwość odpowiedzi na ogólne pytanie, jaka część nierówności wytwarzana jest w obrębie grup porównawczych, a jaka jest wynikiem zróżnicowania międzygrupowego.
Jednocześnie nie można odpowiedzieć na pytanie szczegółowe: W jakiej części dana podgrupa generuje ogólny poziom społecznych nierówności? Na przykład, gdyby należało ocenić poziom nierówności w dystrybucji dochodu ze względu na kategorie wykształcenia ludności, to dekompozycja współczynnika Giniego oparta na wzorach (21) i (22) pozwoliłaby na formowanie wniosków na zasadzie:
[...] nierówności w dystrybucji dochodu w obrębie wyodrębnionych kategorii wykształcenia generują 80% ogólnego poziomu nierówności, jednocześnie 20% nierówności da się przypisać zróżnicowaniom międzygrupowym.
Nie można już postawić tezy:
[...] nierówności w dystrybucji dochodu w obrębie osób z wykształceniem wyższym generują 10% ogółu nierówności, z wykształceniem średnim 15% ogółu nierówności, ..., natomiast 20%
nierówności da się przypisać zróżnicowaniom międzygrupowym.
Zanim podam dokładny wzór na dekompozycję współczynnika Giniego, ko-nieczne jest wprowadzenie dodatkowych oznaczeń i symboli. Zakładam, że doko-nuję „rozbicia” populacji na k kategorii, w obrębie których znajduje się n1, n2, ..., nk jednostek (całkowita wielkość populacji równa jest N = n1 + n2 + ... + nk), wówczas przez Y oznaczać będę średnią wartość danego dobra w j-tej kategorii j {1, 2, ..., k}, j a przez Y średnią wartość dla całej populacji, która może być obliczona dla danych jednostkowych (wówczas
N
¦
) lub dla danych zagregowanych do poziomu j-tej grupy (wówczasDekompozycja wskaźnika Giniego wygląda wtedy następująco (por. Liao 2004:
215-218):
(21) G y( ) GbetweenGwithin( )j , gdzie wartość współczynnika Giniego Gwithin( )j ob-licza się, stosując następujący wzór:
(22)
¦
, natomiast wartość zróżnicowań międzygrupo-wych Gbetween wyznacza się ze wzoru:(23)
Przykłady zastosowań dekompozycji wskaźnika Giniego można znaleźć między innymi w opracowaniach T.F. Liao (2004: 201-224) oraz Garnera i Terrella (1998:
23-46).
Indeks Theila
Przykładem innej powszechnie stosowanej miary społecznej nierówności jest współczynnik Th eila. Wskaźnik ten nie ma już wprawdzie tak prostej interpreta-cji geometrycznej i grafi cznej jak współczynnik Giniego, lecz jego szerokie zasto-sowanie bierze się z jednej zasadniczej przewagi nad współczynnikiem Giniego – pozwala on bowiem dokładnie oszacować, jaka część nierówności wygenero-wana jest przez nierówności wewnątrz grup porównawczych, a jaka w wyniku nierówności międzygrupowych – spełnia zatem mocne kryterium dekompozycji.
Indeks Th eila w literaturze metodologicznej zalicza się do klasy wskaźników tzw.
uogólnionej entropii (Generalized Entropy) (por. Lichfi eld 1999: 3), a analityczna defi nicja współczynnika Th eila dla dowolnego zbioru y [ ,y y1 2,...,yN]T danego dobra przedstawia się następująco (por. Allison 1978: 867):
(24) danego dobra będącego w posiadaniu i-tej jednostki, natomiast
1
średnią wartość dla wszystkich jednostek w populacji.
W przypadku całkowitego zrównoważenia rozkładu badanego dobra współ-czynnik Th eila przyjmuje wartość 0, natomiast dla przypadku skrajnej nierówności
(gdy jedna osoba posiada całą wartość danego dobra w populacji) współczynnik Th eila przyjmuje maksymalną wartość równą wartości logarytmu naturalnego
z liczby jednostek w populacji (tj. lnN).
Zatem, wskaźnik Th eila spełnia mocne kryterium dekompozycji, co oznacza możliwość dodawania składowych nierówności w obrębie poszczególnych grup oraz nierówności pochodzącej z różnic pomiędzy tymi grupami. Współczynnik Th eila można zatem rozpisać jako:
(25) between within( )
1 dla każdej z k grup oblicza się, stosując wzór podany w równaniu (24), natomiast wartość zróżnicowań międzygrupowych Tbetween wyznacza się ze wzoru:
(26) between
Minimalna wartość zróżnicowań międzygrupowych wynosi 0 i oznacza, że średnie wartości zasobu badanego dobra są w każdej z k grup jednakowe, natomiast maksymalna wartość zróżnicowań międzygrupowych wynosi
n n1 2 n lnmin{ , ,..., k}
N
i osiągana jest, gdy najmniej liczna podgrupa w populacji posiada całą wartość zasobu danego dobra (przypadek skrajnej nierówności międzygrupowej). O moż-liwościach i ograniczeniach, jakie wynikają z dekompozycja wskaźnika Th eila, była mowa przy okazji opisu samej idei dekompozycji. Więcej o wykorzystaniu tej własności można przeczytać między innymi w: Beck (1991: 139-150), Beblo, Knaus (2001: 301-320) oraz Conceicaio, Ferreira (2000:1-54).