Elementy całkowite nad pierścieniem

Niech B będzie pierścieniem całkowitym (czyli bez dzielników zera) i niech A będzie podpierścieniem pierścienia B.

Definicja 6.3.2. Mówimy, że element x ∈ B jest całkowity nad pierścieniem A (lub A−całkowity), jeśli istnieje liczba naturalna n i elementy a₁, . . . , a_n ∈ A takie, że

xⁿ+ a₁xⁿ⁻¹+ · · · + a_n= 0.

Zbiór C wszystkich elementów pierścienia B całkowitych nad podpierścieniem A nazywa się całkowitym (lub integralnym) domknięciem pierścienia A w pierścieniu B i oznacza C = C_B(A).

Jest rzeczą oczywistą, że każdy element a ∈ A jest całkowity nad A (wystarczy wziąć x = a, n = 1, a₁ = −a). Zatem A zawiera się w każdym swoim całkowitym domknięciu. Fakt, że x ∈ B jest całkowity nad A oznacza, że element x jest pier-wiastkiem wielomianu f = Xⁿ+ a1Xⁿ⁻¹+ · · · + an ∈ A[X] z tym, że wymagamy tutaj by najwyższy współczynnik wielomianu f był równy 1 ∈ A, czyli, by wielo-mian f był wielowielo-mianem unormowanym o współczynnikach z A.

Pojęcie elementu całkowitego rozszerza znane z kursowego wykładu algebry poję-cie elementu algebraicznego nad ciałem. Jeśli bowiem A jest podciałem ciała B, to element x ∈ B całkowity nad A jest elementem algebraicznym nad A. Bardzo czę-sto występuje problem opisu elementów ciała B całkowitych nad podpierścieniem (ale nie podciałem) A ciała B. Na przykład, gdy A = Z oraz B = C, to całkowite domknięcie pierścienia Z w C nie pokrywa się z całkowitym domknięciem ciała Q w C. Pierwsze składa się z wszystkich liczb algebraicznych całkowitych, drugie zaś z wszystkich liczb algebraicznych. Zbiory te nie są równe, gdyż na przykład, liczba x = ¹₂√

3 jest algebraiczna jako pierwiastek wielomianu X²−³₄ ∈ Q[X], ale nie jest liczbą algebraiczną całkowitą. Można bowiem pokazać, że każdy wielomian f ∈ Z[X]

spełniający f (x) = 0, ma najwyższy współczynnik podzielny przez 4.

Przystępujemy teraz do dowodu podstawowej własności elementów A−całkowitych pierścienia B mówiącej, że całkowite domknięcie C_B(A) pierścienia A w pierścieniu B jest podpierścieniem pierścienia B. Musimy więc pokazać, że suma, różnica i ilo-czyn dwóch A−całkowitych elementów pierścienia B jest elementem A−całkowitym.

Klasyczny dowód tej własności wykorzystywał teorię wielomianów symetrycznych i jest już dzisiaj rzadko prezentowany (zob. Satz 61 w klasycznej książce: E. Hecke, Vorlesungen ¨uber Zahlentheorie. Leipzig 1923). Poniższy dowód ilustruje współcze-sną tendencję eliminując wielomiany symetryczne przez odpowiednie wykorzystanie charakteryzacji całkowitości elementu w języku teorii modułów.

Dla elementu x ∈ B i podpierścienia A pierścienia B rozpatrujemy podpierścień A[x] pierścienia B generowany przez A oraz x. Zatem

A[x] = {a₀ + a₁x + · · · + a_mx^m ∈ B : a_i ∈ A, m ∈ N}.

Zauważmy, że zarówno B jak i A[x] można traktować jako A−moduły.

Lemat 6.3.3. Dla x ∈ B, x 6= 0 oraz podpierścienia A pierścienia całkowitego B następujące warunki są równoważne.

(a) x jest A−całkowity.

(b) A[x] jest skończenie generowanym A−modułem.

(c) W A−module B istnieje niezerowy skończenie generowany podmoduł M taki, że xM ⊆ M.

Dowód. (a) ⇒ (b). Ponieważ x jest A−całkowity, więc istnieje liczba naturalna n oraz elementy a_i ∈ A takie, że

xⁿ = a0+ a1x + · · · + a_n−1xⁿ⁻¹.

Stąd przy pomocy łatwego argumentu indukcyjnego otrzymujemy, że dla każdej liczby naturalnej m element x^m jest kombinacją liniową elementów 1, x, . . . , xⁿ⁻¹ ze współczynnikami z A. A więc

A[x] = A · 1 + A · x + · · · + A · xⁿ⁻¹ jest skończenie generowanym A−modułem.

(b) ⇒ (c). Można wziąć M = A[x].

(c) ⇒ (a). Niech x₁, . . . , x_n będzie układem generatorów A−modułu M . Ponieważ xM ⊆ M , więc każdy iloczyn xx_i jest kombinacją liniową elementów x₁, . . . , x_n

xx_i = a_i1x₁+ · · · + a_inx_n, i = 1, . . . , n, gdzie aij ∈ A. Równości te można zapisać w równoważnej postaci

a_i1x₁+ · · · + (a_ii− x)x_i+ · · · + a_inx_n= 0, i = 1, . . . , n.

Ponieważ M 6= 0, więc nie wszystkie generatory x_i są równe zero. Zatem x₁, . . . , x_n jest niezerowym rozwiązaniem układu równań liniowych jednorodnych o macierzy współczynników [a_ij]−xI_n, gdzie I_njest macierzą jednostkową stopnia n. Wobec tego det([a_ij]−xI_n) = 0. Stąd wynika, że x jest pierwiastkiem unormowanego wielomianu stopnia n o współczynnikach z pierścienia A, jest więc elementem A−całkowitym.

Lemat 6.3.4. Jeśli x, y ∈ B są A−całkowite, to A[x, y] = A[x][y] jest niezerowym skończenie generowanym A−modułem.

Dowód. Jeśli xⁿ = a₀+ a₁x + · · · + an−1xⁿ⁻¹ oraz y^m = b₀+ b₁y + · · · + bm−1y^m−1, gdzie a_i, b_j ∈ A, to A[x, y] jest generowany jako A−moduł przez zbiór skończony

{xⁱy^j : 0 ¬ i ¬ n − 1, 0 ¬ j ¬ m − 1}.

Ponieważ 1 ∈ A[x, y], więc A[x, y] 6= 0.

Teraz możemy udowodnić zapowiedziane już twierdzenie.

Twierdzenie 6.3.5. Zbiór CB(A) wszystkich elementów pierścienia B całkowitych nad podpierścieniem A jest podpierścieniem pierścienia B zawierającym A.

Dowód. Wystarczy pokazać, że zbiór C_B(A) jest zamknięty ze względu na odejmo-wanie i mnożenie. Niech więc x, y ∈ C_B(A). Weźmy M = A[x, y]. Jest to niezerowy skończenie generowany A−moduł oraz

(x − y)M ⊆ M, (xy)M ⊆ M.

Zatem x − y, xy ∈ C_B(A) na podstawie lematu 6.3.3.

Całkowite domknięcie C_B(A) pierścienia A w pierścieniu B jest więc pewnym podpierścieniem B, przy tym

A ⊆ C_B(A) ⊆ B.

Szczególnie ważny jest przypadek, gdy A = C_B(A).

Definicja 6.3.6. Mówimy, że pierścień A jest całkowicie domknięty w B, jeśli A = C_B(A) (to znaczy, gdy jedynymi elementami pierścienia B całkowitymi nad A są elementy pierścienia A).

Jeśli K jest ciałem ułamków pierścienia całkowitego A, to mówimy, że pierścień A jest całkowicie domknięty, gdy jest całkowicie domknięty w swoim ciele ułamków K, to znaczy, gdy A = C_K(A).

Przykład 6.3.2. Pierścień Z jest całkowicie domknięty. Rzeczywiście, ciałem ułam-ków pierścienia Z jest ciało Q liczb wymiernych i jeśli x ∈ CQ(Z), to liczba wymierna x jest pierwiastkiem unormowanego wielomianu f o współczynnikach całkowitych.

Jeśli x = a/b jest nieskracalnym przedstawieniem liczby x jako ilorazu liczb całko-witych, to liczba a jest dzielnikiem wyrazu wolnego wielomianu f natomiast b jest dzielnikiem najwyższego współczynnika. Stąd b = ±1 oraz x = ±a ∈ Z.

A więc C_Q(Z) = Z.

Używając tych samych argumentów można pokazać, że każdy pierścień całkowity z jednoznacznością rozkładu na iloczyn elementów nierozkładalnych, jest całkowi-cie domknięty. W szczególności, każdy całkowity (to znaczy bez dzielników zera) pierścień ideałów głównych jest całkowicie domknięty.

Przykład 6.3.3. Rozważmy pierścień A = Z[√

−3 ] = {a + b√

−3 ∈ C : a, b ∈ Z}.

Ciałem ułamków pierścienia A jest kwadratowe rozszerzenie K = Q(√

−3 ) = {a + b√

−3 ∈ C : a, b ∈ Q}

ciała liczb wymiernych Q. Liczba x = (−1 +√

−3 )/2 należy do K i nie należy do A. Jest ona pierwiastkiem wielomianu X²+ X + 1 ∈ A[X], zatem jest całkowita nad A ale nie należy do A. W takim razie A 6= CK(A) i pierścień A nie jest całkowicie domknięty. W szczególności więc, nie jest to pierścień z jednoznacznością rozkładu na iloczyn elementów nierozkładalnych. (Ten ostatni fakt można także stwierdzić bezpośrednio wskazując konkretny przykład niejednoznaczności rozkładu taki jak 4 = 2 · 2 = (1 +√

−3)(1 −√

−3).)

Można pokazać, że C_K(A) = {a + bx : a, b ∈ Z}, gdzie x = (−1 +√

−3 )/2. Ponad-to, pierścień CK(A) ma własność jednoznaczności rozkładu na iloczyn elementów nierozkładalnych.

6.3.3 Pierścienie Dedekinda

Definicja 6.3.7. Pierścień całkowity A nazywa się pierścieniem Dedekinda, jeśli ma następujące własności:

(a) A jest pierścieniem noetherowskim,

(b) dim A = 1 (każdy niezerowy ideał pierwszy jest maksymalny), (c) A jest pierścieniem całkowicie domkniętym.

Przykład 6.3.4. Najprostszym przykładem pierścienia Dedekinda jest pierścień Z liczb całkowitych. Ogólniej każdy całkowity pierścień ideałów głównych jest pierście-niem Dedekinda. Warunek (a) jest spełniony automatycznie, warunek (c) sprawdza się tak jak w przykładzie 6.3.2. Natomiast warunek (b) sprawdza się w kursowym wykładzie algebry (zob. A. Białynicki–Birula, Algebra, PWN 1971, wniosek 5.5 na str. 200). Tak więc, na przykład, pierścień wielomianów K[X] jednej zmiennej nad dowolnym ciałem K jest pierścieniem Dedekinda.

Z drugiej strony, pierścień Z[X] wielomianów o współczynnikach całkowitych spełnia oczywiście warunki (a), (c), ale nie jest pierścieniem Dedekinda, gdyż nie spełnia warunku (b) (zob. przykład 6.3.1).

Ponieważ pierścień Dedekinda jest pierścieniem noetherowskim, więc każdy nie-zerowy ideał właściwy pierścienia Dedekinda ma (minimalny) rozkład prymarny (zob. twierdzenie 6.2.12). Wykorzystując dodatkowe własności pierścienia Dedekin-da można ten rezultat bardzo znacznie wzmocnić i uprościć, chociaż nie jest to zadanie proste. W związku z tym ograniczymy się jedynie do objaśnienia główne-go twierdzenia o rozkładach ideałów w pierścieniach Dedekinda i zasygnalizowania niektórych argumentów ogólniejszej natury.

Dla dowolnego niezerowego ideału właściwego a pierścienia Dedekinda mamy rozkład

a = q₁∩ · · · ∩ q_n (6.21)

gdzie q_i są ideałami prymarnymi oraz radykały ideałów q_i są parami różne. Ideał a jest więc przekrojem ideałów prymarnych. Pokażemy teraz że w tym rozkładzie można zamienić przekrój ideałów iloczynem ideałów.

Lemat 6.3.8. Jeśli ideały a1, . . . , a_n pierścienia A są parami względnie pierwsze, to a1· · · an= a1∩ · · · ∩ an.

Dowód. Indukcja ze względu na n. Dla n = 2 własność tę zauważyliśmy już w rozdziale 2.3. Niech n > 2 i niech

b = a₁· · · a_n−1 = a₁∩ · · · ∩ a_n−1.

Pokażemy, że ideały b i an są względnie pierwsze. Stąd, że ai+ an = (1) dla i < n wynika, że dla każdego i < n istnieją x_i ∈ a_i oraz y_i ∈ a_n takie, że x_i+ y_i = 1. Stąd wynika, że x₁· · · x_n−1 ∈ b oraz

x1· · · x_n−1 = (1 − y1) · · · (1 − yn−1) ≡ 1 (mod an).

Zatem b + a_n= (1) oraz

a₁· · · a_n = b · a_n = b ∩ a_n= a₁∩ · · · ∩ a_n,

przy czym środkowa równość wynika ze sprawdzonego już przypadku dwóch ideałów względnie pierwszych.

Lemat 6.3.9. Niech A będzie pierścieniem noetherowskim oraz dim A = 1. Każdy niezerowy ideał właściwy a pierścienia A ma rozkład prymarny (6.21), w którym ideały prymarne q₁, . . . , q_n są parami względnie pierwsze.

Dowód. Niech (6.21) będzie minimalnym rozkładem prymarnym ideału a. W szcze-gólności radykały rad(q_i) =: p_i są parami różnymi ideałami pierwszymi pierścienia A. Ponieważ dim A = 1, ideały p_i są maksymalne w A (żaden z nich nie może być ideałem zerowym, gdyż jeśli rad(q_i) = (0), to wobec q_i ⊆ rad(q_i) także q_i = (0), co pociąga a = (0), wbrew założeniu).

Z drugiej strony, dla i 6= j mamy p_i 6= p_j. Różne ideały maksymalne są względnie pierwsze, zatem na podstawie (6.16) ideały q_i oraz q_j są względnie pierwsze.

Wracając teraz do rozkładu prymarnego (6.21) widzimy, że można założyć, iż czynniki tego rozkładu są parami względnie pierwsze (lemat 6.3.9) zaś na podstawie lematu 6.3.8, przekrój ideałów q_i pokrywa się z ich iloczynem. A więc

a = q₁∩ · · · ∩ q_n= q₁· · · q_n.

W pierścieniu Dedekinda każdy niezerowy ideał właściwy ma zatem przedstawienie jako iloczyn ideałów prymarnych. Faktycznie prawdziwe jest następujące znacznie dokładniejsze twierdzenie.

Twierdzenie 6.3.10. W pierścieniu Dedekinda każdy niezerowy ideał właściwy ma jednoznaczne przedstawienie jako iloczyn potęg ideałów pierwszych.

Pierwszy krok w dowodzie twierdzenia 6.3.10 polega na pokazaniu, że w rozkła-dzie (6.21) przekroje ideałów można zastąpić iloczynami ideałów. Sprawdziliśmy to powyżej.

Drugi krok polega na ustaleniu, że w pierścieniu Dedekinda każdy ideał pry-marny jest potęgą swojego radykału (a więc potęgą ideału pierwszego). Ten dowód pomijamy.

W trzecim kroku należy udowodnić własność jednoznaczności przedstawienia ide-ału a w postaci iloczynu potęg ideałów pierwszych. Tutaj jest niezbędny dodatkowy argument (tak zwane drugie twierdzenie o jednoznaczności rozkładu prymarnego), pominięty w dyskusji rozkładu prymarnego. Pomijamy więc także dyskusję tej części dowodu twierdzenia 6.3.10.

Kompletny dowód twierdzenia 6.3.10 realizujący taki plan dowodu można znaleźć w książce: M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, Introduction to commutative algebra, Reading, Mass. 1969.

Warto jeszcze zauważyć, że prawdziwe jest twierdzenie odwrotne do twierdze-nia 6.3.10 i w związku z tym otrzymujemy następującą charakteryzację pierścieni Dedekinda: Pierścień całkowity jest pierścieniem Dedekinda wtedy i tylko wtedy gdy każdy niezerowy ideał właściwy ma jednoznaczne przedstawienie jako iloczyn potęg ideałów pierwszych. Szczegóły, a także wiele innych informacji o pierścieniach Dede-kinda można znaleźć w książce: O. Zariski, P. Samuel, Commutative algebra, vol. I, Springer-Verlag, Berlin 1975, str. 270.

Przykład 6.3.5. Dla pierścienia Dedekinda A niech M (A) oznacza monoid niezero-wych ideałów pierścienia A z mnożeniem jako działaniem. Na podstawie twierdzenia 6.3.10, M (A) jest monoidem z jednoznacznym rozkładem. W związku z tym dla do-wolnych ideałów a, b ∈ M (A) istnieje ich największy wspólny dzielnik nwd(a, b) i najmniejsza wspólna wielokrotność nww(a, b). Jeśli

a = p^a₁¹· · · p^a_m^m, b = p^b₁¹· · · p^b_m^m,

gdzie p₁, . . . , p_m są ideałami pierwszymi oraz a_i ­ 0, b_i ­ 0, to nwd(a, b) = p^e₁¹· · · p^e_m^m, nww(a, b) = p^f₁¹· · · p^f_m^m, gdzie dla każdego i

e_i = min(a_i, b_i), f_i = max(a_i, b_i).