1. (a) Udowodnić, że jeśli grupa ilorazowa G/Z(G) jest cykliczna, to grupa G jest abelowa
(Z(G) oznacza centrum grupy G).
(b) Udowodnić, że nie istnieje grupa G, której centrum jest podgrupą o indeksie 2 lub 3.
2. Dowieść, że istnieją tylko dwie nieizomorficzne grupy nieabelowe rzędu 8.
3. Dowieść, że każda grupa rzędu 15 jest cykliczna.
4. Niech A będzie grupą cykliczną rzędu n. Udowodnić, że dla każdego dzielnika d liczby n istnieje dokładnie jedna podgrupa grupy A rzędu d.
5. Dowieść, że każda skończona grupa abelowa, która nie jest grupą cykliczną, za-wiera podgrupę H, która jest sumą prostą dwóch grup cyklicznych rzędu p, gdzie p jest pewną liczbą pierwszą.
6. Niech p będzie liczbą naturalną i niech G 6= E będzie grupą, w której każdy 6= 1 element ma rząd będący potęgą liczby p. Udowodnić, że p jest liczbą pierwszą.
Ponadto, jeśli grupa G jest skończona, to jej rząd jest potęgą liczby p.
7. Niech G będzie grupą skończoną i niech p będzie najmniejszą liczbą pierwszą dzie-lącą rząd grupy G. Dowieść, że każda podgrupa H grupy G, której indeks |G : H|
jest równy p, jest podgrupą normalną grupy G.
8. Niech n 2 i niech
0 −→ A1 −→ A2 −→ · · · −→ An−→ 0 będzie ciągiem dokładnym grup skończonych.
(a) Jeśli n jest liczbą parzystą, udowodnić, że |A1|·|A3| · · · |An−1| = |A2|·|A4| · · · |An|.
(b) Jeśli n jest liczbą nieparzystą, udowodnić, że |A1|·|A3| · · · |An| = |A2|·|A4| · · · |An−1|.
9. Pokazać, że grupa czwórkowa Kleina G = V4 jest jedyną grupą G rzędu 4, której grupa automorfizmów Aut G składa się z wszystkich bijekcji zbioru G pozostawiają-cych jedynkę grupy G na miejscu.
10. Dla ciał kwadratowych K = Q(√
−2 ) oraz F = Q(√
−7 ) udowodnić, że (a) Addytywne grupy ciał K i F są izomorficzne.
(b) Multyplikatywne grupy ciał K i F są izomorficzne.
(c) Ciała K i F nie są izomorficzne.
11. Udowodnić, że część wspólna wszystkich p−podgrup Sylowa grupy skończonej G jest podgrupą normalną grupy G.
12. Niech G będzie grupą rzędu 168. Udowodnić, że grupy G nie można zanurzyć w grupę symetryczną S6. Pokazać, że jeśli grupa G jest prosta, to ma 8 podgrup rzędu 7 i można ją zanurzyć w grupę S8.
13. Udowodnić, że każda grupa wolna jest beztorsyjna i jest nieabelowa jeśli jej ran-ga jest 2.
14. Udowodnić, że grupa z kodem genetycznym
gr( {x1, . . . , xn} || xixjx−1i x−1j , 1 ¬ i < j ¬ n)
jest wolną grupą abelową rangi n (tzn. jest sumą prostą n grup cyklicznych nieskoń-czonych).
15. Znaleźć kod genetyczny grupy czwórkowej Kleina V4 = Z2× Z2.
Rozdział 2 Pierścienie
Ostatnie zmiany 15.11.2008 r.
2.1 Podstawowe pojęcia
Definicja 2.1.1. Zbiór P z dwoma działaniami + i · zwanymi odpowiednio dodawaniem i mnożeniem oraz z dwoma wyróżnionymi elementami 0 i 1 zwanymi zerem i jedynką nazywa się pierścieniem, jeśli spełnione są następujące warunki:
1. (P, + , 0) jest grupą abelową.
2. (P, · , 1) jest monoidem (półgrupą z jedynką).
3. Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania, to znaczy a(b + c) = ab + ac oraz (b + c)a = ba + ca dla każdych a, b, c ∈ P.
Zwracamy uwagę, że każdy pierścień ma jedynkę. Może się jednak zdarzyć, że 0 = 1 i wtedy a = a · 1 = a · 0 = 0 dla każdego a ∈ P , a więc P =n0o jest pier-ścieniem zerowym. Ponadto, mnożenie w pierścieniu P musi być łączne ale może być nieprzemienne. Jeśli mnożenie w pierścieniu P jest przemienne, to znaczy jeśli ab = ba dla każdych a, b ∈ P, to pierścień P nazywa się pierścieniem przemiennym.
Podpierścieniem pierścienia P nazywamy podgrupę P1 addytywnej grupy pierście-nia P zawierającą jedynkę pierściepierście-nia P i zamkniętą ze względu na mnożenie. Łatwo sprawdzić, że P1 jest wtedy także pierścieniem ze względu na działania dodawania i mnożenia będące zacieśnieniami odpowiednich działań w P.
Element a pierścienia P nazywa się lewostronnie odwracalny, jeśli istnieje b ∈ P taki, że ba = 1. Element b nazywa się wtedy lewostronnie odwrotnym do elemen-tu a. Podobnie, a ∈ P jest prawostronnie odwracalny, jeśli istnieje c ∈ P taki, że ac = 1. Element c jest wtedy prawostronnie odwrotny do a. To rozróżnienie pomię-dzy elementami lewostronnie i prawostronnie odwracalnymi jest niezbędne w teorii pierścieni nieprzemiennych. Przykład 2.1.6 wskazuje pierścień nieprzemienny (endo-morfizmów addytywnej grupy pierścienia wielomianów), w którym istnieją elementy jednostronnie, ale nie obustronnie odwracalne.
Element a ∈ P nazywa się odwracalny, jeśli jest równocześnie lewostronnie i prawostronnie odwracalny. Zauważmy, że jeśli ba = 1 oraz ac = 1, to
b = b · ac = ba · c = c.
37
A więc element odwracalny a ma tylko jeden element lewostronnie odwrotny, jak również tylko jeden element prawostronnie odwrotny i elementy te są równe (jedy-nemu) elementowi odwrotnemu do a. W związku z tą jednoznacznością elementu odwrotnego do a wprowadzamy dla niego oznaczenie a−1.
Stwierdzamy z łatwością, że zbiór U (P ) wszystkich elementów odwracalnych pier-ścienia P tworzy grupę ze względu na mnożenie elementów. Nazywa się ją grupą elementów odwracalnych pierścienia P .
Pierścień P nazywa się pierścieniem z dzieleniem, jeśli każdy różny od zera element pierścienia P jest odwracalny. Przemienny pierścień z dzieleniem jest więc ciałem.
Element a pierścienia P nazywa się lewostronnym dzielnikiem zera, jeśli istnieje b ∈ P, b 6= 0, taki, że ab = 0. Podobnie, a ∈ P jest prawostronnym dzielnikiem zera, jeśli istnieje c ∈ P, c 6= 0, taki, że ca = 0. Element a ∈ P nazywa się dzielnikiem zera w P jeśli jest równocześnie lewostronnym i prawostronnym dzielnikiem zera.
Centrum Z(P ) pierścienia P nazywamy zbiór wszystkich elementów pierścienia P przemiennych z każdym elementem pierścienia P :
Z(P ) :=na ∈ P : ab = ba ∀b ∈ Po.
Łatwo sprawdzić, że Z(P ) jest (przemiennym) podpierścieniem pierścienia P.
Przykład 2.1.1. Najbardziej naturalnym przykładem pierścienia jest pierścień Z liczb całkowitych. Nie ma on podpierścieni właściwych (różnych od Z). Ponieważ Z jest pierścieniem przemiennym, więc Z(Z) = Z. Ponadto, U (Z) = {±1}. Pierścień Z nie ma dzielników zera.
Bardzo naturalnych przykładów dostarczają także pierścienie reszt Zn. Tutaj także nie ma właściwych podpierścieni (gdyż addytywna grupa Zn jest grupą cykliczną generowaną przez jedynkę 1 pierścienia Zn), natomiast
U (Zn) = na mod n : NWD(a, n) = 1o.
Jeśli n jest liczbą złożoną, n = ab, gdzie a i b są liczbami naturalnymi większymi niż 1, to a · b = 0 w Zn. A więc jeśli n jest liczbą złożoną, to pierścień reszt Zn ma dzielniki zera.
Przykład 2.1.2. Niech P będzie dowolnym pierścieniem przemiennym i niech P [X]
będzie pierścieniem wielomianów jednej zmiennej X (lub zespołu zmiennych X = [X1, . . . , Xn]). P [X] jest pierścieniem przemiennym. Jeśli P nie ma dzielników zera, to P [X] także nie ma dzielników zera oraz U (P [X]) = U (P ).
Przykład 2.1.3. Niech P będzie dowolnym pierścieniem i niech M (X, P ) będzie zbiorem wszystkich funkcji określonych na niepustym zbiorze X o wartościach w pierścieniu P. W zbiorze M (X, P ) określamy działania dodawania i mnożenia funkcji w zwykły sposób. A więc dla f, g ∈ M (X, P ) funkcje f + g : X → P oraz f · g : X → P określone są następująco:
(f + g)(x) = f (x) + g(x), (f · g)(x) = f (x) · g(x)
dla każdego x ∈ X. Funkcje 0 : X → P, 0(x) = 0 oraz 1 : X → P, 1(x) = 1 są elementami neutralnymi dodawania i mnożenia w M (X, P ). Sprawdzamy bez
trudu, że system (M (X, P ), + , · , 0, 1) jest pierścieniem. Jeśli P jest pierścieniem przemiennym, to M (X, P ) jest także pierścieniem przemiennym. W szczególności, jeśli X = P , to M (P, P ) jest pierścieniem funkcji P → P . Wśród nich wyróżniamy podpierścień Pol(P, P ) funkcji wielomianowych f : P → P takich, że f ∈ P [X].b Tutajf (a) = f (a) jest wartością wielomianu f w punkcie a ∈ P .b
Przykład 2.1.4. Dla pierścienia P symbolem Mn(P ) oznacza się zbiór wszystkich macierzy kwadratowych stopnia n o elementach z pierścienia P. Sumą i iloczynem macierzy A = [aij] i B = [bij] nazywamy macierze
A + B = [aij + bij], AB = [cij], gdzie cij = ai1b1j + ai2b2j + · · · + ainbnj. Rutynowe rachunki pozwalają stwierdzić, że Mn(P ) jest pierścieniem. Nazywamy go pierścieniem macierzy stopnia n nad pierścieniem P. Jeśli n 2, to Mn(P ) jest pierścieniem nieprzemiennym.
Przykład 2.1.5. Niech A będzie grupą abelową i niech End A będzie monoidem wszystkich endomorfizmów grupy A (ze składaniem endomorfizmów jako działa-niem). Obok składania endomorfizmów rozpatrujemy także dodawanie endomor-fizmów określone tak samo jak w pierścieniu funkcji M (A, A). Dzięki abelowości grupy A dodawanie endomorfizmów jest także działaniem przemiennym. End A jest podgrupą addytywnej grupy pierścienia M (A, A). Bezpośrednim rachunkiem stwier-dzamy, że składanie endomorfizmów jest rozdzielne względem dodawania:
f (g + h)(a) = f ((g + h)(a)) = f (g(a) + h(a)) = f (g(a)) + f (h(a)) = (f g + f h)(a) dla dowolnych f, g, h ∈ End A i a ∈ A, i podobnie dla prawostronnej rozdzielności mnożenia względem dodawania endomorfizmów. A więc End A jest pierścieniem. Jest to pierścień endomorfizmów grupy abelowej A.
Przykład 2.1.6. Niech P będzie dowolnym pierścieniem przemiennym i niech A = P [X] będzie addytywną grupą pierścienia wielomianów jednej zmiennej X o współ-czynnikach z P . Będziemy rozpatrywać pierścień endomorfizmów End P [X] grupy abelowej P [X].
Niech D oraz I będą odwzorowaniami P [X] → P [X] określonymi następująco:
D(f ) = d
dX f, I(f ) =
Z X 1
f (t)dt.
Tutaj D(f ) jest formalną pochodną wielomianu f natomiast I(f ) jest formalną całką oznaczoną wielomianu f. Operacje D i I są oczywiście endomorfizmami grupy abelowej A = P [X]. Zauważamy, że dla dowolnego wielomianu f ∈ P [X] mamy
DI(f ) = D
Z X 1
f (t)dt
= f (X) = f, oraz z drugiej strony
ID(f ) =
Z X 1
D(f )(t)dt = f (X) − f (1).
Zatem D · I = 1A, natomiast I · D 6= 1A, gdyż jeśli tylko wielomian f nie zeruje się w punkcie X = 1, to ID(f ) 6= f. Zatem endomorfizm różniczkowania D jest prawo-stronnie odwracalny i prawoprawo-stronnie odwrotnym endomorfizmem jest endomorfizm całkowania I. Natomiast I nie jest endomorfizmem lewostronnie odwrotnym do D. Ponieważ element odwracalny ma tylko jeden element lewostronnie odwrotny, wynika stąd, że operacja różniczkowania (a także operacja całkowania) nie jest od-wracalnym endomorfizmem addytywnej grupy abelowej P [X].